รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน (The nth Roots of Complex Number)

1.6 รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน (The nth Roots of Complex Number)  

            ประโยชน์ของทฤษฎีบทของเดอมัวร์ คือการหาคำตอบของสมการ   zn = w เมื่อ w เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่กำหนดให้ และ n เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งคำตอบของสมการก็คือรากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน w นั่นเอง   ดังนั้นในหัวข้อนี้จะกล่าวถึงการนำทฤษฎีบทของเดอมัวร์ไปช่วยในการหารากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน ดังตัวอย่างต่อไปนี้

 

ตัวอย่างที่    จงหารากที่ 3 ของ 1

วิธีทำ   เนื่องจาก   1 = 1+0i = 1(cos 0 + isin 0)

                          ถ้าให้       เป็นรากที่สามของ 1

                          โดยทฤษฎีบทของเดอมัวร์ จะได้      

                          ฉะนั้น   r3  = 1  และ     

                           จึงได้ว่า  r = 1   และ      เมื่อ k เป็นจำนวนเต็ม

                            นั่นคือ   

                           ฉะนั้น     

                            เมื่อ   k = 0 จะได้   z1  =  1  

                            เมื่อ  k = 1 จะได้     

                            เมื่อ   k = 2 จะได้      

            เมื่อแทนค่า k ด้วยจำนวนเต็มอื่นๆ จะได้จำนวนเชิงซ้อนที่ซ้ำกับ z1, z2, z3   แสดงว่ารากที่ 3 ของ 1 คือ z1, z2, z3   เท่านั้น

            แผนภาพของรากที่ 3 ของ 1 แสดงได้โดยวงกลมรัศมีหนึ่งหน่วย ดังนี้

            สังเกตว่าเวกเตอร์ที่แทนรากที่ 3 ของ 1 แต่ละคู่ที่อยู่ในลำดับติดกัน ทำมุมขนาด     เท่ากันทุกคู่

 

ตัวอย่างที่  2    จงหารากที่ 6 ของ 64

วิธีทำ   เนื่องจาก      

                           ถ้าให้      เป็นรากที่ 6 ของ  - 64

                           โดยทฤษฎีบทของเดอมัวร์ จะได้     

                           ฉะนั้น      และ     

                            จึงได้ว่า  r = 2 และ       เมื่อ k เป็นจำนวนเต็ม

                            นั่นคือ      

                             ฉะนั้น      

                            เมื่อ k = 0 จะได้     

                            เมื่อ k = 1 จะได้        

                            เมื่อ k = 2 จะได้       

                            เมื่อ k = 3 จะได้      

                            เมื่อ k =  4 จะได้   

                            เมื่อ k = 5 จะได้      

 

            เมื่อแทนค่า k ด้วยจำนวนเต็มอื่นๆ จะได้จำนวนเชิงซ้อนที่ซ้ำกับ z1, z2, …, z6  แสดงว่ารากที่ 6 ของ  - 64 คือ z1, z2, …, z6     เท่านั้น

            แผนภาพของรากที่ 6 ของ  - 64 แสดงได้โดยวงกลมรัศมียาว 2 หน่วย ดังนี้

                                                                                   

ตัวอย่างที่  3  จงหารากที่ 4 ของ     

วิธีทำ   ให้       

                           ดังนั้น      

                           โดยทฤษฎีบทของเดอมัวร์ จะได้

                            

                             ดังนั้น     

                            จึงได้ว่า    

                            ฉะนั้น    

                            เมื่อ k = 0 จะได้ว่า      

                            เมื่อ k = 1 จะได้ว่า      

                            เมื่อ k = 2 จะได้ว่า      

                            เมื่อ k = 3 จะได้ว่า    

 

            แผนภาพของรากที่ 4 ของ    แสดงได้โดยวงกลมรัศมียาว  หน่วย ดังนี้

 

 

จากตัวอย่างทั้งสาม สามารถสรุปเป็นทฤษฎีบทได้ดังนี้

 

 ทฤษฎีบท   ถ้า      แล้วรากที่ n ของ w มีทั้งหมด n ราก   ที่แตกต่างกันคือ