วิชาการ.คอม-บทเรียนออนไลน์-การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ | บทเรียน วิชาการ.คอม
ฟิสิกส์
 

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

สร้างเมื่อ 14 มิ.ย. 2554 09:07:50
  • ระดับม.4
  • 19,684 view

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

          โพรเจกไทล์ (projectile) ในภาษาอังกฤษหมายถึงวัตถุที่ขว้างหรือยิงออกไป เช่น  ก้อนหินที่ถูกขว้างออกไปหรือลูกกระสุนที่ถูกยิงออกไป  ทั้งนี้ในบริเวณใกล้ผิวโลกตามปกติการเคลื่อนที่ของวัตถุดังกล่าวจะสังเกตได้ว่ามีวิถีโค้ง แต่จะโค้งอย่างใดโดยละเอียดและทำไมจึงโค้งเช่นนั้นจะได้ศึกษากันต่อไป  การเคลื่อนที่ตามรูปแบบที่วัตถุดังกล่าวเคลื่อนที่ไป โดยเฉพาะเมื่อไม่มีแรงต้านทานของอากาศหรือแรงต้านทานมีผลน้อยจนไม่ต้องนำมาคิด  จะเรียกว่า การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ (projectile motion)  ในกรณีที่แรงต้านทานของอากาศมีผลต่อการเคลื่อนที่เนื่องจากวัตถุเบา หรือเนื่องจากเคลื่อนที่เร็วและมีการหมุน วิถีการเคลื่อนที่จะแตกต่างออกไปจากการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์และไม่นับเป็นการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์  เช่น  การเคลื่อนที่ของลูกแบดมินตัน  ลูกกอล์ฟ ลูกฟุตบอลที่หมุน ฯลฯ

          การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์เป็นการเคลื่อนที่ใน  2  มิติ  คือเคลื่อนที่ในแนวระดับและแนวดิ่งพร้อมกัน  ในแนวดิ่งเป็นการเคลื่อนที่ที่มีความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงของโลก  (ซึ่งสม่ำเสมอในบริเวณใกล้ผิวโลก)  ในขณะที่การเคลื่อนที่ในแนวราบไม่มีความเร่งเพราะไม่มีแรงกระทำในแนวระดับ  ทำให้เส้นทางการเคลื่อนที่เป็นแนวโค้ง  เส้นทางการเคลื่อนที่ของโพรเจกไทล์จะมีลักษณะเป็นเส้นโค้งแบบพาราโบลา  เราสามารถศึกษาแนวการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ได้ดังการทดลอง  4.1  ท้ายบทนี้
 


รูป  4.1  เส้นทางการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์   


          จากการทดลองให้ลูกกลมโลหะกลิ้งลงมาตามรางเข้าชนเป้า  และทำเครื่องหมายบนกระดาษกราฟให้ตรงกับจุดที่ลูกกลมกระทบเป้า  ถ้าเลื่อนเป้าไปหลายตำแหน่ง แล้วลากเส้นผ่านจุดบนกระดาษกราฟ  จะได้เส้นทางการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ของลูกกลมโลหะ  อุปกรณ์ดังแสดงในรูป  4.2
 


รูป  4.2  เครื่องมือสำหรับหาแนวการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์   


          ถ้ากำหนดให้จุดแรกของการชนบนกรดาษกราฟเป็นจุดกำเนิดของแกน  x  และ แกน  y  ดังรูป  4.2  วัดการกระจัด  x  ในแนวระดับ  และการกระจัด  y  ในแนวดิ่งของจุดต่างๆ  แล้วเขียนกราฟระหว่าง  y  กับx_2  ซึ่งจะได้กราฟเส้นตรงผ่านจุดกำเนิด

              ดังนั้น   y\alpha x^2   หรือ    y = kx^2  เมื่อ  k เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน

          เนื่องจาก  รูปสมการ   y=kx_2 เป็นสมการพาราโบลา  แสดงว่าแนวการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์มีแนวการเคลื่อนที่เป็นเส้นโค้งพาราโบลา  โดยมีการกระจัดทั้งแนวดิ่งและแนวระดับพร้อมกัน

          จะเห็นว่าการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์มีทั้งการเคลื่อนที่ในแนวดิ่งและแนวระดับพร้อมกัน  การเคลื่อนที่ทั้งสองแนวมีความสัมพันธ์กันอย่างไร  และโพรเจกไทล์เคลื่อนที่ด้วยความเร่ง  \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} <br />
\over g} เช่นเดียวกับวัตถุแบบเสรีหรือไม่  ให้ศึกษาจากกิจกรรมต่อไปนี้


รูป  4.3   การวางเหรียญที่ขอบโต๊ะและบนไม้บรรทัด  



          นำเหรียญขนาดเท่ากันมา  2  เหรียญโดยวางเหรียญแรกไว้ที่ขอบโต๊ะ  อีกเหรียณหนึ่งวางบนไม้บรรทัดที่วางราบและยื่นออกนอกขอบโต๊ะดังรูป  4.3  ใช้มือหนึ่งกดไม้บรรทัดที่อยู่บนโต๊ะ  อีกมือหนึ่งจับไม้บรรทัดอีกอันหนึ่งให้อยู่ในแนวดิ่ง  ใช้สันไม้บรรทัดในแนวดิ่งเคาะที่สันไม้บรรทัดที่วางอยู่บนโต๊ะ  ให้เคลื่อนที่ไปในแนวระดับอย่างรวดเร็ว ทำให้เหรียญบนไม้บรรทัดตกแบบเสรี  และเหรียญที่วางบนโต๊ะเคลื่อนที่ออกไปในแนวระดับจากขอบโต๊ะ ซึ่งเป็นการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ดังรูป  4.4  ฟังเสียงที่เหรียญทั้งสองตกกระทบพื้นว่าพร้อมกันหรือไม่  อาจทำซ้ำโดยใช้ความเร็วในการปัดไม้บรรทัดขนาดต่างๆ กัน  จะพบว่าเหรียญทั้งสองตกถึงพื้นพร้อมกันจนได้ยินเป็นเสียงเดียวหรือเกือบเป็นเสียงเดียวซึ่งเวลาที่แตกต่างกันน้อยมาก
 


รูป  4.4  เหรียญตกแบบเสรีและเหรียญเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์   


          เหรียญบนโต๊ะที่ถูกปัดด้วยขนาดของแรงไม่เท่ากัน เหรียญหนึ่งจะมีความเร็วเริ่มต้นในแนวระดับต่างกันเหรียญที่มีความเร็วในแนวระดับมาก จะตกถึงพื้นในระยะทางไกลกว่าเหรียญที่มีความเร็วในเร็วระดับน้อยกว่า  สำหรับเวลาในการเคลื่อนที่  พบว่าเหรียญที่ตกในแนวดิ่งแบบเสรี  และเหรียญที่เคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ตกถึงพื้นพร้อมกันทุกกรณี  แสดงว่าช่วงเวลาที่ใช้ในการตกถึงพื้นของเหรียญที่ตกในแนวดิ่งแบบเสรีกับเหรียญที่เคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์มีค่าเท่ากัน  ทำให้สรุปได้ว่า  การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์  เป็นเช่นเดียวกับการตกในแนวดิ่งและไม่ขึ้นกับความเร็วในแนวระดับของโปรเจกไทล์

          ต่อไปทดลองเช่นเดิมแต่โดยเปลี่ยนความสูงของโต๊ะ  เวลาที่เหรียญตกถึงพื้นจะเปลี่ยนไป  แต่เหรียญทั้งสองก็ยังคงตกถึงพื้นพร้อมกันเช่นเดิม  สรุปได้ว่าเหรียญที่เคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์จะเคลื่อนที่ตัวด้วยความเร่ง  \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over g}  เช่นเดียวกับเหรียญที่ตกแบบเสรี และแสดงว่าการเคลื่อนที่ในแนวระดับไม่มีผลต่อการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง หรือกล่าวว่าการเคลื่อนที่ทั้งสองแนวเป็นอิสระต่อกัน
          สรุปได้ว่า   วัตถุที่เคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์  มีการเคลื่อนที่ในแนวดิ่งและแนวระดับพร้อมๆ กัน การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งเป็นการเคลื่อนที่เป็นการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงตัว  \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over g} ส่วนการเคลื่อนที่ในแนวระดับเป็นการเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงตัวเพราะไม่มีแรงลัพธ์ในแนวระดับกระทำ   ในการวิเคราะห์การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์  เราสามารถพิจารณาการเคลื่อนที่ทั้งสองแนวแยกจากกันได้

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ในแนวระดับ
          การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ของวัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วต้นในแนวระดับ จะมีเส้นทางเคลื่อนที่เป็นเส้นโค้งพาราโบลา  ดังรูป  4.5  และเคลื่อนที่ด้วยความเร็วในแนวระดับคงตัวตลอดเวลาเพราะไม่มีความเร่งในแนวนี้
 


รูป  4.5  การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ด้วยความเร็วต้นในแนวระดับ   



          จากรูป  4.5  ให้แกน  x  เป็นแนวการเคลื่อนที่วัตถุตามแนวระดับ  แกน  y  เป็นแนวการเคลื่อนที่ของวัตถุตามแนวดิ่ง v_x เป็นความเร็วชองวัตถุในแนวระดับซึ่งมีค่าคงตัวถ้าให้วัตถุอยู่ที่ตำแหน่ง   B  เมื่อเวลาผ่านไป  t  จะได้การกระจัดในแนวระดับเป็น                  
                                                     s_x = v_x t                              (4.1)

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ในแนวดิ่ง
          จากรูป  4.5  เมื่อพิจารณาการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง  ซึ่งเป็นการตกแบบเสรี  วัตถุ จะเคลื่อนที่ลงด้วยความเร่ง  g  ความเร็วของวัตถุในแนวดิ่งที่ตำแหน่ง  A,B,C  จึงไม่เท่ากัน  เราสามารถหาความเร็วในแนวดิ่ง  ที่ตำแหน่ง  B  คือ  v_y ได้จากสมการ v = u + at และเนื่องจากความเร็วในตอนเริ่มต้นการเคลื่อนที่ในแนวดิ่งเป็นศูนย์  จึงได้ 
                                                  .v_y=gt
ส่วนการกระจัดในแนวดิ่งที่ตำแหน่ง  B คือ  S_y หาได้จากสมการs = ut + \frac{1}{2}at^2เป็น
                                                  S_y = \frac{1}{2}gt^2                                       (4.2)


ตัวอย่าง  4.1    ถ้าถือปืนที่ยิงด้วยแรงอัดของสปริงเล็งไปยังเป้า  โดยให้ลำกล้องปืนขนานกับพื้นและสูงจากพื้น  6.0  เมตร  ส่วนปากลำกล้องปืนห่างจากเป้า  4.0  เมตร  เมื่อทำการยิงลูกปืนที่ออกจากปากลำกล้องปืนด้วยความเร็ว  5.0  เมตรต่อวินาที  ในขณะเดียวกันเป้าตกแบบเสรีสู่พื้น  ขณะลูกกลมเหล็กกระทบเป้า เป้าอยู่สูงจากพื้นเท่าใด
 


รูป  4.6  ยิงเป้าขณะตกแบบเสรี


วิธีทำ
          สมมติลูกเหล็กกระทบเป้าเมื่อเป้าตกลงมาถึงระดับที่สูงจากพื้น  h  เมตร   เวลาที่ลูกเหล็กเคลื่อนที่ในแนวระดับในตระยะทาง  4.0  เมตร  ด้วยความเร็วคงตัวที่ได้ระยะทางนั้น
                                                                       ระยะ              =           อัตราเร็ว  x  เวลาที่เคลื่อนที่ได้ระยะทางนั้น
                                  แทนค่าจะได้          4.0    m               =            (5.0   m/s)     t
                                                                           T                =            0.8    s
เนื่องจากลูกเหล็กและเป้าต่างใช้เวลาเท่ากันในการเคลื่อนที่จากระดับความสูงเดียวกันลงสู่ตำแหน่งที่ระดับความสูงเดียวกัน  ซึ่งในที่นี้คือ  0.8  วินาที  ดังนั้นในขณะที่ทั้งสองเคลื่อนที่มากระทบกันจะหาระยะที่ลูกเหล็กตกลงมาในเวลา   0.8  วินาทีได้จาก   s = ut + \frac{1}{2}at^2
                                                              (6.0 - h ) m            =    0+\frac{1}{2} \times(9.8m/s^2 ) \times (0.8s)^2
                                                                                              =   3.1    m
   ขณะลูกเหล็กกระทบเป้า   ความสูงของเป้าจากพื้นคือ  h     =    6.0   m  -  3.1  m    =   2.9   m
                                 คำตอบ   เป้าอยู่สูงจากพื้น   2.9  เมตรขณะลูกเหล็กกระทบเป้า

ระยะทางแนวระดับของโพรเจกไทล์

          การวิเคราะห์การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ที่ผ่านมานั้น  วัตถุเริ่มเคลื่อนที่ด้วยความเร็วต้นในแนวระดับ  ต่อไปจะศึกษาการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ที่มีความเร็วต้นของวัตถุอยู่ในทิศทำมุมกับแนวระดับดังที่เห็นในการพุ่งแหลน  การทุ่มน้ำหนัก  เป็นต้น
 


รูป  4.7  เคลื่อนที่ด้วยความเร็วต้นในทิศทำมุม \thetaกับแนวระดับ



        ในวัตถุเคลื่อนที่ออกจากจุดกำเนิดของระบบแกนมุมฉาก  x , y  ด้วยความเร็วต้น  \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over u} ในทิศทำมุม  \thetaกับแกน  x  หรือพื้นระดับการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์นี้เป็นแนวการเคลื่อนที่แบบโค้งพาราโบลาคว่ำ  ดังรูป  4.7  การวิเคราะห์การเคลื่อนที่ในลักษณะนี้จะแยกแกเป็นการเคลื่อนที่ในแนวดิ่งด้วยความเร่งคงตัว   \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over g} และการเคลื่อนที่ในแนวระดับด้วยความเร็วคงตัว

          การเคลื่อนที่ในแนวระดับ  วัตถุจะเคลื่อนที่ในแนวระดับด้วยความเร็วคงตัว  u\cos \thetaซึ่งเป็นความเร็วองค์ประกอบของ   \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over u} ในแนวระดับ  ถ้าวัตถุเคลื่อนที่ได้การกระจัดในแนวระดับ S_x ในแนว  t  จะได้  

S_x = (u\cos \theta )t
                    การเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง  ในการเคลื่อนที่ในแนวดิ่งจะมีปริมาณที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่ทั้งทิศขึ้นและลงในแนวดิ่ง  ดังนั้น  จึงกำหนดให้ปริมาณที่มีทิศขึ้นในแนวดิ่งมีเครื่องหมาย  +  และปริมาณที่มีทิศลงในแนวดิ่งมีเครื่องหมาย  -  
                    พิจารณาช่วงเวลา  t  ที่วัตถุเคลื่อนที่ขึ้นจนกระทั่งตกถึงพื้นระดับโดยการเคลื่อนที่มีความเร็วต้นเป็น  + u\sin \thetaและความเร่ง - g และเนื่องจากจุดเริ่มต้นและจุดสุดท้ายของการเคลื่อนที่อยู่ในระดับเดียวกันจึงได้การกระจัดเป็นศูนย์  ดังนั้นจาก  s = ut + \frac{1}{2}at^2
                              จะได้              S_y = \left( {u\sin \theta } \right)t - \frac{1}{2}gt^2
                              แทนค่า  S_y เป็นศูนย์ได้  t           \frac{{2u\sin \theta }}{g}
                    ช่วงเวลา  t = \frac{{2u\sin \theta }}{g}นี้เป็นช่วงเวลาเดียวกันกับช่วงเวลาที่วัตถุเคลื่อนที่ในแนวระดับจากจุดเริ่มต้นถึงจุดสุดท้าย    ดังนั้นระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ในแนวระดับ<b>จากเริ่มต้นจนตกถึงพื้นระดับเดิม หรือ ระยะตก (range)</b> ของวัตถุจะเป็น
                                                   S_x = \left( {u\cos \theta } \right)t
                                                   S_x = \left( {u\cos \theta } \right)\left( {\frac{{2u\sin \theta }}{g}} \right)
                                                   S_x = \left( {\frac{{u^2 }}{g}\sin 2\theta } \right)                                         (4.3)
                    นั่นคือ  ระยะทางที่เคลื่อนที่ได้ในแนวระดับหรือขนาดการกระจัดของวัตถุในแนวระดับ S_x สำหรับขนาดความเร็วต้นค่าหนึ่งๆ จะขึ้นอยู่กับมุม \thetaซึ่งเป็นมุมที่ความเร็วต้นทำกับแนวระดับ  <b>มุมที่ทำให้  S_x มีค่าได้สูงสุดคือเมื่อ  \sin 2\thetaมีค่าสูงสุดคือ  1  และได้  \theta = 45^\circ</b>


          ตัวอย่าง  4.2   การแข่งขันทุ่มน้ำหนัก  นักกีฬาคนหนึ่งทุ่มลูกน้ำหนักด้วยความเร็วต้น  10  เมตรต่อวินาที  ในทิศทำมุม  42  องศากับพื้น  ลูกน้ำหนักจะขึ้นไปสูงสุดจากพื้นเท่าใด  และตกห่างจากจุดเริ่มต้นกี่เมตรในแนวระดับ  ถ้าลูกน้ำหนักเคลื่อนที่ออกจากมือนักกีฬาในขณะอยู่สูงจากพื้น  1.80  เมตร กำหนด  \sin 42^\circ = 0.669 และ \cos 42^\circ = 0.743

          วิธีทำ  แยกแนวการเคลื่อนที่ของลูกน้ำหนักเป็นแนวระดับและแนวดิ่ง  โดยความเร็วในแนวระดับมีค่าคงตัวเท่ากับความเร็วองค์ประกอบในแนวระดับของความเร็วต้นและความเร็วเริ่มต้นในแนวดิ่งเท่ากับความเร็วองค์ประกอบในแนวดิ่งของความเร็วต้นที่มีค่า  10  m/s


รูป  4.8  แสดงแนวทางการเคลื่อนที่ของลูกน้ำหนัก   


          การเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
           กำหนดปริมาณที่มีทิศในแนวดิ่งขึ้นเป็น  +  และแนวดิ่งลงเป็น  -  และให้ระยะสูงสุดของลูกน้ำหนักเมื่อเทียบกับระดับเริ่มต้นเคลื่อนที่ เป็น  h  ในที่นี้ลูกน้ำหนักมีความเร็วต้น  u  ในแนวดิ่งซึ่งเท่ากับ  +10\sin 42^\circ และความเร่งเป็น  -9.8 m/s^2โดยมีความเร็วสุดท้ายที่ตำแหน่งสูงสุดเป็นศูนย์
จาก            v^2 = u^2 + 2as
แทนค่า        o = (10\sin 42^\circ m/s)^2 + 2( - 9.8m/s^2 ) (h m)
                   h = 2.28 m
เนื่องจากขณะที่เริ่มเคลื่อนที่ ลูกน้ำหนักอยู่สูงจากพื้น  1.80 m  ดังนั้นลูกน้ำหนักจะขึ้นไปสูงสุด
จากพื้น     =    1.80   m    +   2.28  m    =  4.08    m

                    คำตอบ  ลูกน้ำหนักขึ้นไปสูงสุดจากพื้น  เท่ากับ  4.08  เมตร


          การเคลื่อนที่ในแนวระดับ
          เนื่องจากช่วงเวลาของการเคลื่อนที่ในแนวระดับ  จะเท่ากับเวลาที่ลูกน้ำหนักเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง  นับตั้งแต่ลูกเหล็กออกจากมือถึงจุดสุดท้าย  จะได้  การกระจัด  = -1.80 m โดยลูกน้ำหนักมีความเร็วต้น u_y = + 10\sin 42^\circ m/s และความเร่ง  = - 9.8m/s^2 เราสามารถหาช่วงเวลา t 0นับตั้งแต่ลูกน้ำหนักออกจากมือจนตกถึงพื้นได้จาก s = u_y t + \frac{1}{2}at^2
แทนค่า        -1.80 = (10\sin 42^\circ m/s)t + \frac{1}{2}( - 9.8m/s)t^2
                                                                                        t    =     1.59       s
สำหรับการกระจัดในแนวระดับ   S_x หาได้จาก   s = u_x t
แทนค่า                                                     s_x = (10\cos 42^\circ m/s)(1.59s)
ได้                                                                           =       11.82      m
          คำตอบ   ลูกน้ำหนักตกห่างจากจุดเริ่มต้นในแนวระดับ   11.82  เมตร

          การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ที่กล่าวมานี้ไม่ได้คิดถึงแรงต้านจากอากาศและแรงอื่นๆ  เช่น  แรงลม  แรงหนึด  ความแตกต่างของสนามโน้มถ่วง ฯลฯ  ซึ่งต่างก็มีผลต่อการเคลื่อนที่ของโพรเจกไทล์ทั้งสิ้น  แนวการเคลื่อนที่ของวัตถุที่คิดถึงแรงต่างๆ เหล่านี้จึงมักไม่เป็นพาราโบลาที่สมบูรณ์  เช่น  ลำน้ำที่ถูกฉีดออกจากท่อน้ำดับเพลิงหรือสายยางรดน้ำต้นไม้ ถ้าไม่คิดแรงต้านอากาศแนวการเคลื่อนที่ของลำน้ำจะเป็นเส้นโค้งพาราโบลา แต่ความเป็นจริงอากาศมีแรงต้านทานต่อการเคลื่อนที่ของลำน้ำ  ดังนั้นแนวการเคลื่อนที่ของลำน้ำอาจจะไม่เป็นเส้นโค้งพาราโบลา ดังรูป  4.9  โดยเฉพาะเมื่อปลายลำน้ำแตกเป็นฝอย  อย่างไรก็ตามความรู้เกี่ยวกับโพรเจกไทล์  สามารถใช้ทำนายการเคลื่อนที่ของโพรเจกไทล์ได้โดยประมาณอาจได้ผลถูกต้องพอควรสำหรับโพรเจกไทล์ที่แรงต้านอากกาศมีผลต่อการเคลื่อนที่น้อย