วิชาการ.คอม-บทเรียนออนไลน์-การเคลื่อนที่แบบวงกลม | บทเรียน วิชาการ.คอม
ฟิสิกส์
 

การเคลื่อนที่แบบวงกลม

สร้างเมื่อ 14 มิ.ย. 2554 14:46:03
  • ระดับม.4
  • 27,308 view

การเคลื่อนที่แบบวงกลม

 
รูป  4.10   การเคลื่อนที่แบบวงกลมหรือส่วนของวงกลม



          การเคลื่อนที่แบบวงกลมเป็นการเคลื่อนที่อีกแบบหนึ่งที่น่าสนใจ  เพราะการเคลื่อนที่หลายอย่างรอบตัวเรา  มีส่วนที่จะเป็นการเคลื่อนที่เป็นวงกลม  ตัวอย่างเช่น  การเคลื่อนที่ดังรูป  4.10  รถยนต์หรือรถจักรยานยนต์กำลังเลี้ยวโค้ง  รถไฟตีลังกา  หรือดาวเทียมโคจรรอบโลก   นับเป็นการเคลื่อนที่แบบวงกลมหรือส่วนของวงกลม  รถยนต์  รถจักรยานยนต์  และ ดาวเทียม  เคลื่อนที่ในแนววงกลมหรือส่วนของวงกลม ได้อย่างไร  หรือทำไมการเคลื่อนที่เป็นแบบนั้นๆ ได้ จะศึกษาต่อไป
          เพื่อความเข้าใจการเคลื่อนที่เป็นวงกลม  เราควรเริ่มศึกษาจากการเคลื่อนที่เป็นวงกลมที่มีอัตราเร็วคงตัวก่อน  นั่นคือการเคลื่อนที่ที่มีขนาดของความเร็วเท่าเดิม  สม่ำเสมอแต่มีทิศเปลี่ยนไปทีละน้อย
 


รูป  4.11  การแกว่งวัตถุให้เคลื่อนที่เป็นวงกลมในระนาบระดับ

          เราอาจหาประสบการณ์จากการแกว่งวัตถุที่ปลายเชือกให้เป็นวงกลมในระนาบระดับดังรูป  4.11  ในการแกว่งที่รัศมีค่าหนึ่ง เราจะรู้สึกว่า  มือจะต้องใช้แรงดึงมากขึ้นเมื่อแกว่งให้เร็วขึ้น  (เวลาครบรอบสั้นลง)  แสดงว่าการทำให้วัตถุเคลื่อนที่เป็นวงกลมจะต้องใช้แรงดึง  การแสดงว่า การเคลื่อนที่เป็นวงกลมหรือการเคลื่อนที่เป็นแนวโค้งของวัตถุต้องใช้แรงก็คือ การใช้อุปกรณ์สาธิตที่ดีดลูกกลมโลหะให้เคลื่อนที่ไปตามรางโค้งวงกลม ดังรูป  4.12  จะสังเกตได้ว่าเมื่อสุดรางโค้ง ลูกโลหะจะวิ่งตรงต่อไป  แสดงว่าวัตถุวิ่งโค้งได้เนื่องจากมีรางบังคับ  และจะต้องมีแรงจากรางกระทำอยู่ตลอดเวลา แรงดังกล่าวเป็นแรงกระทำจากขอบรางซึ่งเกิดขึ้นเนื่องจากลูกกลมโลหะเคลื่อนที่สัมผัสกับราง  ณ  ตำแหน่งต่างๆ ในทิศตั้งฉากกับราง จึงมีทิศเข้าหาศูนย์กลางของการเคลื่อนที่ดังรูป  4.13


 
รูป  4.12  ลูกกลมโลหะเคลื่อนที่ไปตามรางโลหะที่เป็นส่วนโค้งวงกลม 
 


รูป  4.13  แรงกระทำกับลูกกลมโลหะขณะเคลื่อนที่ไปตารางโค้ง

การเคลื่อนที่แบบวงกลมมีความเร่งสู่ศูนย์กลาง
          เราอาจพิสูจน์ได้ว่าวัตถุเคลื่อนที่เป็นวงกลมมีความเร่ง  จากความหมายของความเร่ง  คือ  อัตราการเปลี่ยนความเร็ว  การเคลื่อนที่เป็นวงกลมที่มีขนาดของความเร็วคงตัว  แต่มีการเปลี่ยนทิศของความเร็วตลอดเวลา  ซึ่งจะถือว่ามีการเปลี่ยนความเร็ว  และมีความเร่งดังต่อไปนี้
            พิจารณาการเคลื่อนที่ของวัตถุในแนววงกลมรัศมี r ด้วยขนาดความเร็วคงตัว v จากตำแหน่ง A ไปยังตำแหน่ง B โดยผ่านตำแหน่ง C ที่อยู่บนแกน y ดังรูป 4.14 ถ้าให้ A และ B อยู่ห่างจากแกน y เท่ากัน และที่ตำแหน่ง A กับ B วัตถุมีความเร็ว\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over v} _A และ \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over v} _B ตามลำดับ


รูป  4.14  การเปลี่ยนแปลงความเร็วของวัตถุซึ่งเคลื่อนที่ในแบบวงกลม

                    เมื่อพิจารณาแต่ขนาดของ  \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} <br />
\over v} _A และ\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over v} _B จะได้ v_A&nbsp; = v_B&nbsp; = vและจะได้ว่า
                    ความเร็วองค์ประกอบของ \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over v} _A ในแนวแกน   x    =    + v_A \cos \theta
                    ความเร็วองค์ประกอบของ \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over v} _A ในแนวแกน   y    =    + v_A \sin \theta
                    ความเร็วองค์ประกอบของ \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over v} _B ในแนวแกน   x    =    + v_B \cos \theta
                    ความเร็วองค์ประกอบของ\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over v} _B ในแนวแกน   y    =   - v_B \sin \theta
                    เมื่อ  \thetaเป็นมุมระหว่างเส้นรัศมีมีที่ตำแหน่ง  A  กับ  C  หรือมุมระหว่างเส้นรัศมีที่ตำแหน่ง  B  กับ  C  พิจารณาช่วงเวลาที่วัตถุใช้ในการเคลื่อนที่จาก  A  ไป  B  ด้วยอัตราความเร็วคงตัว v จะได้
                                                                                           t = \frac{{Êèǹâ¤é§ AB}}{v}
                    จากรูปเราสามารถหา ความยาวของส่วนโค้ง  AB  ได้เป็น (2\theta )rดังนั้น
                                                                                           t = \frac{{2\theta r}}{v}

                    สำหรับการเคลื่อนที่ของวัตถุบนส่วนโค้ง  AB  ความเร็วในแกน  X  ที่  A และที่  B  จะมีค่าเท่ากันคือ 
                    v_A \cos \theta = v_B \cos \theta = v\cos \thetaดังนั้นความเร่งในแนวแกน  X  จึงเท่ากับศูนย์  และ
                    เราสามารถหาความเร่งเฉลี่ยตามแนวแกน  y  คือ  a_y ได้จาก  a = \frac{{v - u}}{t}
                    แทนค่า                     a_y = ( - v_B \sin \theta - v_A \sin \theta )\frac{v}{{2\theta r}}
                                                     a_y = - \frac{{v^2 }}{r}\left( {\frac{{\sin \theta }}{\theta }} \right)
                              เครื่องหมาย  -  แสดงว่า  ความเร่ง  a_y มีทิศทางไป  - y  คือตำแหน่ง  C  เข้าหาจุด ศูนย์กลาง  O
                             เมื่อให้มุม\thetaมีค่าน้อยจนเกือบเป็นศูนย์  เพื่อให้  A และ  B  เข้าใกล้ตำแหน่ง  C  ซึ่งอยู่ตรงส่วนบนสุดของวงกลม  ดังนั้นความเร่ง a_y ก็จะเป็นความเร่งขณะหนึ่งคือความเร่งที่ตำแหน่ง  C  มีทิศเข้าหาจุดศูนย์กลาง  O  ของวงกลม  การหาขนาดของความเร่งขณะหนึ่งจะพิจารณาว่า  \sin \theta = \thetaเพราะ \thetaมีค่าน้อยเข้าใกล้ศูนย์  และจะได้
                                                    a_y = \frac{{v^2 }}{r}  ซึ่งมีทิศเข้าสู่จุดศูนย์กลางของวงกลม
                             ในทำนองเดียวกัน  ถ้าย้ายตำแหน่ง  C  มาอยู่บนแนวแกน  X  แทน โดยให้  A  และ  B  อยู่ห่างจาก  C  เท่ากันเช่นเดิม ก็จะได้ว่าความเร่งขณะหนึ่งที่ตำแหน่ง  C  จะมีทิศในแนวแกน  X  และเข้าหาจุดศูนย์กลางเช่นเดิม  และไม่ว่าจะย้าย  C  ไปอยู่ที่ตำแหน่งใดบนเส้นรอบวงกลม  ก็จะได้ว่าความเร่งขณะหนึ่งที่ตำแหน่ง  C  มีทิศเข้าหาจุดศูนย์กลางเสมอ
                              ดังนั้นถ้าให้  a_c เป็นความเร่งขณะหนึ่งที่มีทิศเข้าสู่ศูนย์กลางวงกลม
                              จะได้              a_c = \frac{{v^2 }}{r}                                   (4.4)
                              เมื่อวัตถุมีความเร่งทิศเข้าสู่ศูนย์กลาง  ดังนั้นวัตถุเคลื่อนที่ในแนววงกลมด้วยอัตราเร็วคงตัว  ต้องมีแรงสู่ศูนย์กลางกระทำต่อวัตถุตามกฎของนิวตัน แรงสู่ศูนย์กลาง F_c จะเป็น
                                                    F_c = ma_2 \frac{{mv^2 }}{r}                                   (4.5)
                              เราสามารถทำการทดลองเพื่อสำรวจว่า  การเคลื่อนที่แบบวงกลมมีแรงสู่ศูนย์กลางหรือไม่  หรือเพื่อพิสูจน์ว่าแรงสู่ศูนย์กลางเป็นไปตามสมการ  (4.5)  หรือไม่ ดังรายละเอียดท้ายบท

                              การเคลื่อนที่บนโค้ง
                              ในกรณีของรถยนต์ที่กำลังเลี้ยวโค้ง  แรงเสียดทานที่พื้นถนนกระทำกับด้านข้างของยางรถจะเป็นแรงสู่ศูนย์กลางที่ทำให้รถยนต์เลี้ยวโค้งได้  และเนื่องจากแรงเสียดทานมีค่าจำกัดขึ้นกับสภาพถนนและยางรถ  ดังนั้นแรงสู่ศูนย์กลางที่เป็นไปได้จึงมีค่าจำกัดด้วย  ถ้าถนนมีรัศมีความโค้งขนาดหนึ่ง  อัตราเร็วที่รถวิ่งขณะเลี้ยวโค้งจะต้องไม่มากเกินกว่าที่ถนนจะสามารถให้แรงเสียดทานทิศสู่ศูนย์กลางที่เป็นไปตามสมการ  (4.4)  ได้  หากอัตราเร็วเกินรถจะไถลออกนอกโค้ง  ดังที่เกิดขึ้นเป็นอุบัติเหตุที่เป็นข่าวบ่อยครั้ง โดยเฉพาะเมื่อฝนตก  ถนนลื่นแรงเสียดทานที่เป็นไปได้จะลดลง

                    ตัวอย่าง  4.3    รถยนต์มวล  1,000  กิโลกรัม แล่นด้วยความเร็ว  60  กิโลเมตรต่อชั่วโมงเลี้ยวโค้งบนถนน ที่มีผิวอยู่ในแนวระดับและมีทางโค้ง  2  โค้ง  ซึ่งมีรัศมีความโค้ง  100  เมตร  และ  500  เมตร ตามลำดับ
                               1.     แรงสู่ศูนย์กลางที่กระทำต่อรถยนต์ในแต่ละกรณีมีค่าเท่าใด
                               2.    ถ้าแรงเสียดทานที่พื้นถนนกระทำกับยางรถในทิศเข้าสู่ศูนย์กลางมีค่าสูงสุดเท่ากับ  1,000  นิวตัน  จะมีผลอย่างไรต่อการเลี้ยวโค้งของรถยนต์ทั้งสองกรณี
                               วิธีทำ
                                                1.  กรณีที่ถนนระดับมีรัศมีความโค้ง  100  เมตร
                                                            จาก           F_c = \frac{{mv^2 }}{r}
                                     ในที่นี้  m   =   1000  kg,   v = \frac{{60 \times 10^3 }}{{3600}}m/s และ r = 100 m
                                             แทนค่า                     F_c = \frac{{1000kg}}{{100m}} \times \left( {\frac{{60 \times 10^3 }}{{3600}}m/s} \right)^2
                                                                                F_c = 2,778 N
                             คำตอบ     แรงสู่ศูนย์กลางกระทำต่อรถยนต์ขณะเลี้ยวโค้งบนถนนระดับรัศมีความโค้ง  100  เมตร เท่ากับ  2,778  นิวตัน

                                      กรณีที่ถนนระดับมีรัศมีความโค้ง   500  เมตร
                                            

                                                                       จาก  F_c = \frac{{mv^2 }}{r}
                                      ในที่นี้  m     =     1000  kg  v = \frac{{60 \times 10^3 }}{{3600}}m/s และ r = 500 m
                                       แทนค่า                             F_c = \frac{{1000kg}}{{500m}} \times \left( {\frac{{60 \times 10^3 }}{{3600}}m/s} \right)^2
                                                                                  F_c = 555.6 N

             คำตอบ     แรงสู่ศูนย์กลางกระทำต่อรถยนต์ขณะเลี้ยวโค้งบนถนนระดับรัศมีความโค้ง  500  เมตร เท่ากับ  555.6  นิวตัน

2. เนื่องจากแรงสู่ศูนย์กลางที่กระทำต่อรถยนต์มีค่าสูงสุด  1,000  นิวตัน  รถยนต์จะต้องเลี้ยวโค้งด้วยแรงสู่ศูนย์กลางที่น้อยกว่าหรือเท่ากับแรงสู่ศูนย์กลางสูงสุดจึงจะเลี้ยวโค้งได้อย่างปลอดภัย

             คำตอบ     กรณีที่รัศมีของทางโค้ง  100  เมตร  ต้องใช้แรงสู่ศูนย์กลางถึง  2,778  นิวตัน  ดังนั้นรถยนต์จึงไม่สามารถเลี้ยวโค้งได้  เป็นเหตุให้รถไถลออกนอกถนน  แต่กรณีที่รัศมีของทางโค้ง  500  เมตรจะใช้แรงสู่ศูนย์กลางเพียง  555.6  นิวตัน  ดังนั้นรถยนต์จึงสามารถเลี้ยวโค้งได้อย่างปลอดภัย
            จากตัวอย่าง  4.3  ทำให้วิเคราะห์ได้ว่ารถยนต์แล่นเลี้ยวโค้งบนถนนระดับที่มีรัศมีความโค้งไม่เท่ากันแต่ด้วยอัตราเร็วเท่ากัน  จะมีแรงสู่ศูนย์กลางไม่เท่ากัน  ทางโค้งที่มีรัศมีความโค้งสั้น  รถยนต์จะใช้แรงสู่ศูนย์กลางมากกว่าทางโค้งที่มีรัศมีความโค้งยาว  ดังนั้นรถยนต์ที่เลี้ยวโค้งที่มีรัศมีความโค้งน้อย  ไม่ควรเลี้ยวด้วยอัตราเร็วเท่ากับการเลี้ยวโค้งบนทางที่มีรัศมีความโค้งมากกว่า  เนื่องจากแรงเสียดทานที่ถนนกระทำกับรถซึ่งเป็นแรงสู่ศูนย์กลางมีค่าจำกัด  อาจมีค่าไม่พอที่จะทำให้รถเลี้ยวโค้งได้อย่างปลอดภัย  ผู้ขับขี่ยวดยานจึงต้องใช้ความเร็วตามที่กำหนดอย่างเคร่งครัด  อย่างไรก็ตาม  ถ้าต้องการให้รถเลี้ยวโค้งได้อย่างปลอดภัยด้วยอัตราเร็วที่มากขึ้น จำเป็นต้องหาแรงอื่นมาเสริมแรงเสียดทานเพื่อเพิ่มแรงสู่ศูนย์กลางขึ้นให้เหมาะสม

             การเลี้ยวโค้งบนถนนระดับของรถจักรยานยนต์หรือรถจักรยาน ขณะรถจักรยานยนต์หรือรถจักรยานแล่นในแนวตรงบนถนนระดับ  ถ้าพิจารณาแรงทั้งหมดที่กระทำกับรถและคนนอกจากแรงเสียดทานที่กระทำที่ล้อรถทำให้รถเคลื่อนที่ไปข้างหน้าได้  ยังมีน้ำหนักของรถและคน m\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} <br />
\over g} และแรงที่พื้นดันรถและคนในทิศตั้งฉาก  \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} <br />
\over N} รถและคนจะต้องตั้งตรง แนวของ m\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} <br />
\over g}  และ \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} <br />
\over N} จึงจะผ่านศูนย์กลางมวลรวมของรถและคนและอยู่ในแนวดิ่ง  ทำให้ไม่มีโมเมนต์ของแรงที่จะทำให้รถล้ม  รถจึงไม่ล้ม  ดังรูป  4.15 ก.


รูป  4.15   แสดงแรงกระทำต่อรถจักรยานยนต์   



                    เมื่อรถจักรยานยนต์หรือรถจักรยานเลี้ยวโค้ง  จะต้องมีแรงกระทำต่อรถเพิ่มอีก  1  แรง คือแรงเสียดทาน \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} <br />
\over f} ที่พื้นถนนกระทำกับด้านข้างของล้อรถในทิศเข้าหาจุดศูนย์กลางของความโค้งรถจำเป็นต้องเอียงตัว เพื่อให้ไม่มีโมเมนต์ของแรงที่จุดศูนย์กลางมวล  ดังรูป  4.15  ข.ถ้าคนและรถไม่เอียงตัว  แรงลัพธ์ \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over R}  ของแรง \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over f}และ\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over N} จะไม่ผ่านศูนย์กลางมวล ดังรูป 4.15 คำให้มีโมเมนต์ของแรง \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over R} (คิดรอบจุดศูนย์กลางมวล)  เป็นเหตุให้มีการหมุนรอบจุดศูนย์กลางมวล และรถล้ม


                    การยกขอบของถนนโค้ง
 


รูป  4.16 แรงที่กระทำต่อรถขณะที่กำลังแล่นเลี้ยวโค้งบนถนเอียงทำมุมกับพื้นระดับ


         เพื่อให้การเลี้ยวโค้งด้วยความเร็วเป็นไปได้ง่ายขึ้นและปลอดภัยขึ้น  พื้นถนนโค้งจะถูกยกให้เอียงโดยให้ขอบถนนด้านนอกสูงกว่าขอบด้านใน เมื่อรถแล่นเลี้ยวโค้งบนพื้นถนนที่เอียงด้วยขนาดของความเร็วพอดีตามที่วิศวกรออกแบบไว้  ไม่ว่าจะเป็นรถยนต์ หรือรถจักรยานยนต์  แรงที่ถนนกระทำต่อรถจะพอดีและอยู่ในทิศตั้งฉากกับพื้นเอียงได้  ที่ความเร็วนั้นจึงไม่มีแรงเสียดทาน  \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over f} ที่พื้นถนนกระทำต่อด้านข้างของล้อรถ  องค์ประกอบของแรงตั้งฉากกับถนนในทิศขนานกับพื้นระดับ\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over N} จะทำให้เกิดแรงสู่ศูนย์กลาง\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _c ดังรูป  4.17  โดยไม่ต้องอาศัยแรง \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over f} ถ้ารถวิ่งด้วยอัตราเร็วที่ไม่พอดีรถจึงจะอาศัยแรง \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over f} ช่วย  องค์ประกอบของแรง \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over N} ในแนวระดับคือN\sin \thetaเมื่อยกขอบถนนให้เอียงทำมุม \thetaกับแนวระดับและวิ่งด้วยอัตราเร็วพอดีจากรูป  4.16  แรงสู่ศูนย์กลางคือ N\sin \theta
                                                              จาก     F_c = \frac{{mv^2 }}{r}
                                                   ดังนั้น  N\sin \theta = \frac{{mv^2 }}{r}
                                                  และ     N\cos \theta = mg
                                                     ดังนั้น  \frac{{N\sin \theta }}{{N\cos \theta }}= \frac{{mv^2 }}{{rmg}}
                                                       หรือ      \tan \theta = \frac{{v^2 }}{{rg}}                                                         (4.6)
          สมการ  4.6  แสดงให้เห็นว่าในการสร้างถนนทางโค้งให้เอียงทำมุมกับแนวระดับนั้นต้องคำนึงถึงอัตราเร็วของรถขณะเลี้ยวและรัศมีของทางโค้งเพื่อให้การขับรถปลอดภัย


ตัวอย่าง  4.4        รถยนต์คันหนึ่งแล่นด้วยอัตราความเร็ว  60  กิโลเมตรต่อชั่วโมง  บนถนนโค้งที่มีรัศมีความโค้ง  150  เมตร ถ้าไม่คิดแรงเสียดทาน พื้นถนนควรเอียงทำมุมเท่าไร กับแนวระดับรถจึงจะเลี้ยวได้อย่างปลอดภัย

                   วิธีทำ     การหามุมที่พื้นถนนทำกับแนวระดับ  หาได้จากสมการ
                                               \tan \theta = \frac{{v^2 }}{{rg}}                                                        
                   ในที่นี้                  v = 16.67 m/s และ r = 150 m
                   แทนค่า   \tan \theta = \frac{{(16.67m/s)^2 }}{{150m \times 9.8m/s^2 }} = 0.189
                                   \theta = 10.7^\circ
                   คำตอบ พื้นถนนจะต้องเอียงทำมุม  10.7  องศากับแนวระดับรถจึงจะเลี้ยวได้อย่างปลอดภัย

ตัวอย่าง  4.5      รถยนต์มวล  1,550  กิโลกรัม  แล่นเลี้ยวบนถนนระดับ  ซึ่งมีรัศมีความโค้ง  50 เมตร ด้วยอัตราเร็ว  36  กิโลเมตรต่อชั่วโมง  จงหาแรงเสียดทานระหว่างพื้นถนนกับยางรถที่มีค่าน้อยที่สุดที่ทำให้รถยนต์สามารถเลี้ยวได้อย่างปลอดภัย

                   วิธีทำ     แรงเสียดทานระหว่างพื้นถนนกับยางรถที่มีค่าน้อยที่สุดที่ทำให้รถยนต์สามารถเลี้ยวโค้งได้ คือแรงสู่ศูนย์กลาง
                                                 F_c = \frac{{mv^2 }}{r}
           จะได้แรงสู่ศูนย์กลาง    ในที่นี้             m   =   1,550  kg, v =   10   m/s   และ   r   =   50  m
                       แทนค่า              F_c = \frac{{1550kg \times (10m/s)^2 }}{{50m}}
                       จะได้แรงสู่ศูนย์กลาง  [texF]_c[/tex] =   3,100  N
                  คำตอบ  แรงเสียดทานระหว่างพื้นถนนกับยางรถที่มีค่าน้อยที่สุดทำให้รถยนต์สามารถเลี้ยวได้อย่างปลอดภัย เท่ากับ  3,100  นิวตัน
          เราสามารถใช้ความรู้ที่ศึกษามานี้อธิบายการเคลื่อนที่แบบวงกลมในแนวระดับของวัตถุในลักษณะอื่นๆ ได้ เช่น  เพนดูลัมกรวย  ได้เช่นกัน

          ตัวอย่าง  4.6      ถ้าแกว่งเชือกยาว l ซึ่งเป็นวัตถุมวล  m ผูกที่ปลายให้เคลื่อนที่แบบเพนดูลัมกรวย รัศมีของการเคลื่อนที่แบบวงกลมเท่ากับ  r  และวัตถุเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วคงตัว v  จงหามุม \theta ที่เส้นเชือกทำกับแนวดิ่ง

รูป  4.17  แสดงแรงกระทำต่อวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่แบบเพนดูลัม 


         วิธีทำ
                ให้  T  เป็นแรงดึงในเส้นเชือก แรงองค์ประกอบของ T  ในแนวระดับเท่ากับ  T\sin \thetaซึ่งเป็นแรงสู่ศูนย์กลาง  F_c
                จาก              F_c = \frac{{mv^2 }}{r}
                แทนค่า        T\sin \theta = \frac{{mv^2 }}{r}
                แรงองค์ประกอบของ  T  ในแนวดิ่งคือ  T\cos \thetaซึ่งมีขนาดเท่ากับน้ำหนัก  mg  แต่กระทำต่อวัตถุในแนวตรงข้ามกัน ในสมดุล
                        T\cos \theta = mg
                จะได้     \frac{{T\sin \theta }}{{T\cos \theta }} = \frac{{mv^2 }}{r}\frac{1}{{mg}}
                         \tan \theta = \frac{{v^2 }}{{rg}}

          คำตอบ   มุมที่เส้นเชือกทำกับแนวดิ่งเท่ากับ \tan ^{ - 1} = (\frac{{v^2 }}{{rg}})

การเคลื่อนที่แบบวงกลมในระนาบดิ่ง
          การเคลื่อนที่แบบวงกลมในระนาบดิ่ง ได้แก่  การเคลื่อนที่ของลูกกลมโลหะไปตามรางรูปวงกลมในระนาบดิ่ง ทุกๆ หนแห่งที่ลูกกลมโลหะเคลื่อนที่ผ่านจะมีแรงสู่ศูนย์กลางกระทำต่อลูกกลมโลหะเพื่อเปลี่ยนทิศของความเร็ว  แรงสู่ศูนย์กลางมีค่าอย่างไรเมื่อลูกกลมโลหะอยู่ ณ ตำแหน่งต่างๆ ในรางรูปวงกลมจะต้องระลึกว่า  เพราะลูกกลมถูกแรงโน้มถ่วงกระทำอยู่ตลอดเวลาด้วย  ผลของแรงโน้มถ่วงที่กระทำนี้  จะทำให้อัตราเร็วของการเคลื่อนที่ไม่สามารถจะรักษาให้คงตัวได้  แต่จะต้องเป็นไปตามหลักการอนุรักษ์พลังงาน  ซึ่งจะได้เรียนในบทต่อไป


รูป  4.18 การเคลื่อนที่เป็นวงกลมในระนาบดิ่ง



          การคิดหาค่าแรงที่ต้องการที่จะกระทำให้วัตถุวิ่งโค้ง  อาจทำได้ตามหลักเกณฑ์ปกติ เช่น กรณีลูกกลมโลหะอยู่  ณ ตำแหน่งล่างสุดของรางวงกลม แรงที่รางกระทำกับวัตถุจะเป็นเท่าใด  ขณะที่วัตถุมีอัตราเร็ว v และรางมีรัศมีความโค้งเป็น  r
 


รูป  4.19  แรงต่อการเคลื่อนที่เป็นวงกลมในระนาบดิ่งที่จุดต่ำสุด


                           ถ้าให้F_c เป็นแรงสู่ศูนย์กลาง จะได้
                                              \frac{{mv^2 }}{r} = F_c = N - mg
                           แสดงว่า   แรงที่รางดันลูกกลมโลหะในทิศตั้งฉาก
                                       กับราง  N = \frac{{mv^2 }}{r} + mg
          แรงกระทำต่อวัตถุที่ตำแหน่งอื่นอาจจะหาได้ในทำนองเดียวกัน

ตัวอย่าง  4.7   ผูกวัตถุมวล 1 กิโลกรัม ด้วยเส้นเชือกยาว 1 เมตร แกว่งวัตถุให้เคลื่อนที่เป็นแนววงกลมในระนาบดิ่ง จงหาอัตราเร็ว  ณ  ตำแหน่งสูงสุด  เมื่อแรงดึงในเส้นเชือกเท่ากับ 6 นิวตัน (กำหนดให้  g = 10 เมตร/วินาที^2 )


 
รูป  4.20  สำหรับตัวอย่าง  4.7   



          วิธีทำ
                             อัตราเร็ว ณ  ตำแหน่งสูงสุดสามารถหาได้จาก
                                               F_c = \frac{{mv^2 }}{R}
                             ในที่นี้แรงสู่ศูนย์กลางมาจากแรงดึงและน้ำหนักดังนั้น
                                                 F_c = (1kg ) x (10 m/s^2 ) +6N
                                                       =   \frac{{mv^2 }}{R}
    แทนค่ามวลและรัศมี  จะได้  v^2 = 16 หรือ v = 4.0 m/s

คำตอบ    อัตราเร็ว  ณ  ตำแหน่งสูงสุดเท่ากับ  4.0  เมตรต่อวินาที

อัตราเร็วเชิงมุม
          การเคลื่อนที่ของวัตถุในแนววงกลมเป็นการเคลื่อนที่ในระนาบ  xy  ด้วยอัตราเร็วคงตัวระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ไปได้ใน  1  หน่วยเวลาเป็นอัตราเร็วเชิงเส้น  นอกจากวัตถุจะมีอัตราเร็วเชิงเส้นแล้วยังมีอัตราเร็วเชิงมุมซึ่งหมายถึง มุมที่รัศมีกวาดไปได้ใน 1 หน่วยเวลา ในรูป 4.21  แสดงให้เห็นว่าเราใช้มุม \theta ที่วัตถุกวาดไปบนเส้นรอบวงกลมบอกตำแหน่งของวัตถุได้ ซึ่ง \theta = \frac{s}{r}โดย s  เป็นระยะทางบนส่วนโค้งวงกลมที่วัตถุกวาดไป  และ  r  เป็นรัศมีวงกลม มุม \thetaที่กำหนดในลักษณะนี้จะวัดเป็นเรเดียนซึ่งเป็นค่าตัวเลขการเปรียบเทียบตำแหน่งบนเส้นรอบวงกลมจากแนวอ้างอิง  (ในรูปนี้คือแนวแกน   x)
เนื่องจากความยาวของเส้นรอบวงกลม 1 รอบคือ 2\pi rดังนั้นมุมที่กวาดไปครบ 1 รอบจึงเป็น 2\pi เรเดียน



 
รูป  4.21  แสดงวัตถุเคลื่อนที่ในแนววงกลมจาก A ไป  B

      
                              จากรูป  4.21  วัตถุเคลื่อนที่ในแนววงกลมรัศมี  r ด้วยอัตราเร็วคงตัว v  ถ้าวัตถุเคลื่อนที่จาก  A  ไป  B  ใช้เวลา t  และรัศมีวงกลมกวาดไปเป็นมุม \thetaค่ามุมที่กวาดไปได้ในเวลา 1 หน่วยเวลาเรียกว่า  อัตราเร็วเชิงมุม ใช้สัญลักษณ์ \omegaมีหน่วยเป็น  เรเดียนต่อวินาที หรือ  rad/s  จะหาค่าได้จาก
                                                 \omega = \frac{\theta }{t}                                      (4.7)
         
          ถ้าวัตถุเริ่มเคลื่อนที่จาก A  ไปตามเส้นรอบวงกลมและกลับมาที่  A  อีกครั้งหนึ่ง เป็นการเคลื่อนที่ครบ 1 รอบ จะได้เวลาในการเคลื่อนที่ครบ 1 รอบ คือ คาบ  T   และมุมที่รัศมีกวาดไปครบ 1 รอบเป็น 2\piเรเดียน
          ดังนั้น                   \omega&nbsp; = \frac{{2\pi }}{T}                                                            (4.8)
และในการเคลื่อนที่ครบ 1 รอบ จะได้ระยะทาง 2\pi r
          ดังนั้น  อัตราเร็วเชิงเส้น    v = \frac{{2\pi r}}{T}                                 (4.9)
จะได้ความสัมพันธ์ระหว่าง v กับ \omegaเป็น
                                           v = \omega r
จาก                          a_c = \frac{{v^2 }}{r}
จะได้                         a_c = \omega ^2 r                                                         (4.10)
จาก                              F_c = ma_c
จะได้                            F_c = m\omega ^2 r                                                  (4.11)
          สมการ (4.10) และ (4.11)  เป็นการเขียนความเร่งและแรงสู่ศูนย์กลางในรูปของอัตราเร็วเชิงมุม
     
ตัวอย่าง 4.8    โลกหมุนรอบตัวเองครบ 1 รอบ ใช้เวลา 24 ชั่วโมง และรัศมีของโลกเท่ากับ  6.37 x 106เมตร จงคำนวณหา
ก.อัตราเร็วเชิงมุมของวัตถุบนผิวโลก
ข.อัตราเร็วเชิงเส้นและขนาดของความเร่งสู่ศูนย์กลางของวัตถุที่อยู่บนเส้นศูนย์สูตรของโลก
วิธีทำ
          วัตถุบนโลกเคลื่อนที่ในแนววงกลมตลอดเวลา และเคลื่อนที่ครบ 1 รอบใช้เวลา 24 ชั่วโมง เนื่องจากโลกหมุนรอบตัวเอง
ก.    หาอัตราเร็วเชิงมุมของวัตถุ
                  จาก                        \omega = \frac{{2\pi }}{T}
              ในที่นี้                       T   =   86400  s   
แทนค่า                               \omega = \frac{{2 \times 3.0142}}{{86400}} = 7.27 \times 10^{ - 5} rad/s

คำตอบ     อัตราเร็วเชิงมุมของวัตถุบนผิวโลกเท่ากับ7.27 \times 10^{ - 5}เรเดียนต่อวินาที
ข.    หาอัตราเร็วเชิงเส้นของวัตถุที่อยู่บนเส้นศูนย์สูตร
จาก                       v = \omega r
ซึ่ง                         \omega = 7.27 \times 10^{ - 5} rad/s และ r = 6.37x 106 m
แทนค่า                      v = (7.27 \times 10^{ - 5} rad/s) \times (6.37 \times 10^{10} m)
                                v = 4.63 \times 10^2 m/s
คำตอบ  อัตราเร็วเชิงเส้นของวัตถุที่อยู่บนเส้นศูนย์สูตร  463  เมตรต่อวินาที

หาขนาดของความเร่งสู่ศูนย์กลางของวัตถุที่อยู่บนเส้นศูนย์สูตรของโลก
จาก                       a_c = \omega ^2 r
แทนค่า                  v = (7.27\times 10^{- 5} rad/s) \times (6.37 \times10^{10} m)
                              a_c = 3.37 \times 10^{ - 2} m/s^2
คำตอบ     ขนาดของความเร่งสู่ศูนย์กลางของวัตถุที่อยู่บนเส้นศูนย์สูตรของโลกเท่ากับ  displaystyle 3.37 \times 10^{ - 2} m/s^2
หมายเหตุ   จากตัวอย่าง  4.8  จะเห็นว่าวัตถุที่อยู่บนผิวโลกมีความเร่งสู่ศูนย์กลาง  ดังนั้น  กรอบอ้างอิงที่อยู่บนผิวโลกจึงไม่ใช่กรอบอ้างอิงเฉื่อยที่แท้จริง  แต่เราประมาณว่าเป็นกรอบอ้างอิงเฉื่อย


การเคลื่อนที่ของดาวเทียม
          ดาวเทียมที่โคจรรอบโลกมีเป็นจำนวนมาก  ดาวเทียมแต่ละดวงจะทำหน้าที่ต่างๆ กัน เช่น ดาวเทียมอุตุนิยมดาวเทียมสำรวจทรัพยากร ดาวเทียมสื่อสารและดาวเทียมจารกรรมททางทหารเป็นต้น  ดาวเทียมแต่ละดวงมีรัศมีวงโคจรต่างกันแต่ต่างก็เคลื่อนที่รอบโลกในแนววงกลม  โดยมีแรงที่โลกดึงดูดดาวเทียมเป็นแรงสู่ศูนย์กลางกระทำต่อดาวเทียม ดาวเทียมแต่ละดวงจะเคลื่อนที่รอบโลกด้วยอัตราเร็วอย่างไร


 
รูป 4.22 การเคลื่อนที่ของดาวเทียมรอบโลก


                    จากรูป 4.22 ดาวเทียมมวล  m  โคจรรอบโลกด้วยอัตราเร็ว  v ณ ตำแหน่งวงโคจรซึ่งห่างศูนย์กลางของโลกเป็นระยะ  r  ให้  M  เป็นมวลของโลก F_c เป็นแรงสู่ศูนย์กลางซึ่งเป็นแรงดึงดูดที่โลกกระทำกับดาวเทียม และหาค่าของแรงนี้ได้จากกฎแรงดึงดูดระหว่างของนิวตัน
                                                       F=\frac{{GMm}}{{r^2}}
                                        ดังนั้น \frac{{mv^2}}{r}=\frac{{GMm}}{{r^2}}      
                                                      v^2 = \frac{{GM}}{r}                                                 (4.12)
                      จากสมการ (4.12) จะเห็นว่า ดาวเทียมที่มีรัศมีวงโคจรต่างกันจะเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วเชิงเส้นต่างกันด้วย
                    การส่งดาวเทียมขึ้นไปสู่วงโคจรต่างๆ รอบโลกนั้น  ได้มีการกำหนดรัศมีวงโคจรไว้ก่อน แล้วคำนวณหาแรงสู่ศูนย์กลางที่กระทำกับดาวเทียมและอัตราเร็วเชิงเส้นในวงโคจรนั้นๆ เมื่อยิงดาวเทียมขึ้นไปจนมีความสูงหรือรัศมีของการโคจรตามต้องการแล้ว จึงปรับทิศทางและอัตราเร็วของดาวเทียมเพื่อให้เข้าสู่วงโคจรรอบโลกตามที่กำหนดไว้
                    เมื่อสังเกตดาวเทียมสื่อสารจากพื้นโลก จะเห็นดาวเทียมสื่อสารอยู่  ณ  ตำแหน่งเดิมตลอดเวลา  ที่เป็นเช่นนี้ เพราะดาวเทียมสื่อสารมีคาบของการโคจรรอบโลกเท่ากับคาบการหมุนของโลกรอบตัวเอง หรืออัตราเร็วเชิงมุมของดาวเทียมสื่อสารเท่ากับอัตราเร็วเชิงมุมในการหมุนรอบตัวเองของโลก และการที่ดาวเทียมสื่อสารอยู่ที่ตำแหน่งเดิมโดยไม่เปลี่ยนแปลง ทำให้สถานีภาคพื้นดินและดาวเทียมสามารถติดต่อกันได้ตลอดเวลา
                     ตัวอย่าง  4.9    โลกหมุนรอบตัวเองเท่ากับ 24 ชั่วโมง  รัศมีวงโคจรรอบโลกของดาวเทียมสื่อสารจะต้องเป็นเท่าใดและมีอัตราเร็วเชิงมุมเท่าใด  กำหนดให้ G = 6.67 \times 10^{ - 11}นิวตัน เมตร2 ต่อกิโลกรัม2 มวลของโลก5.95 x 1024กิโลกรัม
                      วิธีทำ
                     เนื่องจากคาบของดาวเทียมสื่อสารเท่ากับคาบของการหมุนรอบตัวเองของโลก
                     จาก                                  \omega = \frac{{2\pi }}{T}
                                    ในที่นี้              T      =     86,400  s                    
                         แทนค่า                         \omega = 7.27 \times 10^{ - 5} rad/s
                     จาก                                v^2 = \frac{{GM}}{r}
                        และ                                v = \omega r
                       จะได้                              r^3 = \frac{{GM}}{{\omega ^2 }}
                     แทนค่า                            r^3 = 74848.19 \times 10^{18}
                                            r = 42.14 \times 10^6 m
                      คำตอบ  รัศมีวงโคจรรอบโลกของดาวเทียมเท่ากับ 42.14 \times 10^6เมตร
                                       อัตราเร็วเชิงมุมของดาวเทียมสื่อสารเท่ากับ 7.26 \times 10^{ - 5}เรเดียน/วินาที
                      คำตอบ  รัศมีวงโคจรรอบโลกของดาวเทียมเท่ากับ 42.14 \times 10^6เมตร
                                       อัตราเร็วเชิงมุมของดาวเทียมสื่อสารเท่ากับ 7.26 \times 10^{ - 5}เรเดียน/วินาที