วิชาการ.คอม-บทเรียนออนไลน์-การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย | บทเรียน วิชาการ.คอม
ฟิสิกส์
 

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

สร้างเมื่อ 27 มิ.ย. 2554 11:58:52
  • ระดับม.4
  • 19,272 view

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย


รูป  4.23  การเคลื่อนที่ของวัตถุติดสปริงบนพื้นราบ



          ในรูป  4.23  วางมวลไว้บนพื้นราบ ผูกวัตถุเข้ากับปลายหนึ่งของสปริงโดยที่อีกปลายหนึ่งของสปริงผูกติดกับผนัง วัตถุจะอยู่นิ่งๆ บนพื้นในตำแหน่งสมดุล เมื่อดึงวัตถุออกจากตำแหน่งสมดุลแล้วปล่อยให้วัตถุเคลื่อนที่บนพื้นราบ วัตถุจะเคลื่อนที่กลับไปกลับมาผ่านตำแหน่งสมดุลและซ้ำเส้นทางเดิมการเคลื่อนที่ในลักษณะนี้มีจำนวนมาก เช่น  การสั่นของสายไวโอลินเมื่อถูกสี การสั่นของกลองเมื่อถูกตี  การเคลื่อนที่ของวัตถุที่ติดปลายลวดสปริง การเคลื่อนที่ของโมเลกุลอากาศเมื่อเคลื่อนเสียงส่งผ่าน  การเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอนในสายอากาศของเครื่องส่งวิทยุ เป็นต้น ปริมาณที่สำคัญอย่างหนึ่งของการเคลื่อนที่ในลักษณะนี้ คือ ความถี่ ซึ่งหมายถึงจำนวนรอบของการเคลื่อนที่ใน 1 วินาที แทนสัญลักษณ์ f มีหน่วยเป็นเฮิรตซ์ (Hz) ซึ่ง 1 Hz =  1s^{ - 1}                            
           ความถี่จะเป็นส่วนกลับกับคาบ ดังสมการ (4.13) คาบคือ เวลาในการเคลื่อนที่ครบ 1 รอบ ใช้สัญลักษณ์  T  แทนคาบ คาบมีหน่วยเป็นวินาที (s)
                                T = \frac{1}{f}                                                                                   (4.13)
          การเคลื่อนที่ใดๆ ซึ่งเคลื่อนที่กลับไปมาซ้ำทางเดิม โดยผ่านตำแหน่งสมดุลและคาบของการเคลื่อนที่คงตัว ดังแสดงด้วยกราฟของการเคลื่อนที่ในแนวแกน x ดังรูป 4.24  เรียกว่า การเคลื่อนที่แบบพีริออดิก(periodic motion)


 
รูป 4.24  กราฟของการเคลื่อนที่แบบพีริออดิก ทางแกน x



          การเคลื่อนที่แบบพีริออดิกชนิดหนึ่งที่กราฟของการกระจัดกับเวลาอยู่ในรูปของฟังก์ชันไซน์หรือโคไซน์ความถี่คงที่มีค่าที่แน่นอนค่าเดียว เรียกว่า  การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย  (simple harmonic motion) นั่นคือ การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายเป็นการเคลื่อนที่แบบพีริออดิกอย่างหนึ่ง อาจจะเรียกย่อๆ ว่า  การเคลื่อนที่แบบ  SHM  การกระจัดทาง  x  ในรูปฟังก์ชันของเวลา  t  ของ SHM โดยทั่วไปเขียนเป็นสมการได้เป็น
                  x = x_m \cos (\omega t + \phi )                                     (4.14)   
                  ซึ่ง  x_m , \omega และ\phi เป็นค่าคงตัว
                  x_mเป็นการกระจัดสูงสุด เรียกว่า แอมพลิจูด (Amplitude)  
                 \omega เป็นความถี่เชิงมุม มีค่าเท่ากับ 2\pi f เมื่อ f  เป็นความถี่ หรือเท่ากับ\frac{{2\pi }}{T}เมื่อ  T  เป็น คาบ  (period)
\phi เป็นค่าคงตัวทางเฟส (phase constant)  หมายถึงเฟสเริ่มต้น  คือค่าเฟสที่เวลาเป็นศูนย์ การเคลื่อนที่จะเป็นรูปไซน์หรือโคไซน์ขึ้นกับค่านี้ ถ้า  \phi = 0ก็เป็นรูปโคไซน์ ถ้า  \phi = - \frac{\pi }{2} ก็เป็นรูปไซน์  เนื่องจากรูปโคไซน์และรูปไซน์ต่างกันที่เฟสเท่านั้น  จึงอาจเรียกรวมว่าเป็นฟังก์ชันรูปไซน์

(sinusoidal function) 
                    \omega tในสมการ (4.14)  นับเป็นเฟสที่เปลี่ยนไปตามเวลาของการเคลื่อนที่
          จากสมการ (4.14)  เมื่อเขียนกราฟระหว่างการกระจัดกับเวลา โดยมี \phi ต่างๆ กันการกระจัดที่ตำแหน่งเริ่มต้นจะมีค่าขึ้นกับมุมเฟสเริ่มต้น \phi ดังรูป  4.25


รูป 4.25  กราฟระหว่างการกระจัดกับเวลาของฟังก์ชันรูปไซน์ \phi = 0, - \pi /4 และ- \pi /2 </b>
      


                    การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย จึงอาจจะเขียนได้ในรูป
                                                     x = A\sin \omega t                                                (4.15)
          ถ้าอนุภาคเริ่มต้นเคลื่อนที่จากตำแหน่งสมดุล  (x  =  0)  ซึ่งจะมีลักษณะเช่นเดียวกับกราฟของ
                                          x = A\cos \left( {\omega t - \frac{\pi }{2}} \right)

        สรุปได้ว่า  สำหรับ การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย  คือการเคลื่อนที่ซึ่งมีการกระจัดเป็นฟังก์ชันของเวลาเป็นฟังก์ชันรูปไซน์

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายเทียบกับการเคลื่อนที่เป็นวงกลม
        ถ้านำดินน้ำมันก้อนโตพอเหมาะติดไว้ที่ขอบวงล้อกลมหรือแผ่นไม้วงกลมซึ่งหมุนได้คล่องในแนวระดับ เมื่อหมุนวงล้อให้อัตราเร็วเชิงมุมสม่ำเสมอ  ดินน้ำมันจะเคลื่อนที่ในแนววงกลมด้วยอัตราเร็วสม่ำเสมอด้วย  เมื่อฉายลำแสงขนานในแนวระดับไปที่ดินน้ำมัน ดังรูป  4.26  เงาของดินน้ำมันจะปรากฏบนฉากข้างหลัง โดยการเคลื่อนที่ของเงาจะกลับไปกลับมาในแนวตรงเป็นแบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย
 


รูป 4.26  การฉายแสงผ่านวัตถุที่เคลื่อนที่เป็นวงกลม ปรากฏเงาบนฉากเป็น SHM


                  เงาบนฉากของวัตถุที่เคลื่อนที่เป็นวงกลม ก็เหมือนกบการคิดองค์ประกอบทาง x  ของการเคลื่อนที่ของจุดๆ หนึ่งเป็นวงกลมบนระนาบ xy  ดังรูป 4.27 ให้ที่ขณะหนึ่งจุดนั้นอยู่ที่ตำแหน่งมุม  \thetaหลังจากเคลื่อนที่มาแล้วเป็นเวลา  t  จากจุดตั้งต้นบนแกน  x  ดังรูป  การเคลื่อนที่เป็นวงกลมที่มีอัตราเร็วสม่ำเสมอ ดังนั้น  \theta = \omega tถ้าวงกลมมีรัศมี  r  จะมีองค์ประกอบของตำแหน่งบนแกน x คือ
                                                     x = r\cos \theta = r\cos \omega t                                        (4.16)
และองค์ประกอบของความเร็วบนแกน  x  คือ
                                    v_x = - v\sin \theta = - r\omega \sin \omega t                            (4.17)

 


รูป 4.27  จุด P เคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอบนระนาบ xy



          จากความเร่งในทิศเข้าหาจุดศูนย์กลางมีขนาดเท่ากับ   \omega ^2 rหรือ v^2 /r จะได้องค์ประกอบของความเร่งบนแกน  x  คือ
                                          a_x = - a\cos \theta = - \omega ^2 r\cos \omega t                                          (4.18)
          จะเห็นว่าตำแหน่งทาง  x  ในสมการ (4.16)  เป็นอย่างเดียวกับสมการ (4.14)  เมื่อ เมื่อ เมื่อ เมื่อ \phi = 0ซึ่งเป็นการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย  และเมื่อนำมาใช้ในสมการ (4.18)  จะทำให้ได้ว่า
                                                           a_x = - \omega ^2 x                                              (4.19)
          สมการ (4.19) แสดงลักษณะสำคัญประการหนึ่งของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย นั่นคือ การมีความเร่งเป็นปฎิภาคกับการกระจัดแต่มีทิศตรงกันข้าม เนื่องจาก\omega^2 มีค่าคงตัว ทั้งนี้ทิศของความเร่งจะเป็นทิศเดียวกับแรง และแรงจะต้องเป็นแรงเข้าหาจุดสมดุลในขณะที่การกระจัดมีทิศออกไปจากสมดุล
            สำหรับการเคลื่อนที่ของดินน้ำมันไปตามแนววงกลม เมื่อเคลื่อนที่ครบ 1 รอบใช้เวลาที่เรียกว่าหนึ่งคาบ (period) หรือ T หนึ่งรอบหมายถึงดินน้ำมันจะเคลื่อนที่ไป 2\piเรเดียน ดังนั้นอัตราเร็วเชิงมุม \omega  ของการเคลื่อนที่เป็นวงกลมจึงมีค่าเท่ากับ \frac{{2\pi }}{T}ส่วนเงาของดินน้ำมันที่เคลื่อนที่กลับไปกลับมารอบตำแหน่งสมดุลจะมีความถี่ของการเคลื่อนที่เป็น  f= \frac{1}{T}มีหน่วยเป็นรอบต่อวินาทีหรือเฮิรตซ์ (hertz, Hz)  ความถี่เชิงมุม (\omega)  ของการเคลื่อนที่แบบ SHM  มีค่าเป็น 2\pi f= \frac{{2\pi }}{T}ซึ่งมีค่าเหมือนกับอัตราเร็วเชิงมุม \omega และมีหน่วยเป็นเรเดียนต่อวินาทีเช่นเดียวกัน


 
รูป 4.28 การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายของรถติดสปริง 


                   เมื่อดึงรถทดลองให้สปริงยึดและรถออกจากตำแหน่งสมดุลเป็นระยะ A จะได้การกระจัดของรถทดลองมีค่า  A และมีแรง  \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F}ของสปริงดึงรถทดลองไปทางซ้าย ดัง รูป 4.28  ก. แรงนี้เรียกว่า แรงดึงกลับ  (restoring  force) มีค่าตาม \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F}=- k\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over x}ซึ่งแสดงว่าขนาดและแรงดึงกลับแปรผันตรงกับระระยืดหรือหดของสปริงหรือขนาดการกระจัด  แต่แรงดึงกลับ \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} มีทิศตรงข้ามกับการกระจัด\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over x}โดย  k  เป็นค่าคงตัวของสปริง
          เมื่อปล่อยมือ แรง \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} จะดึงรถทดลองเคลื่อนที่กลับไปทางซ้ายเข้าหาตำแหน่งสมดุลด้วยความเร่ง\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over a}ทำให้ความเร็วมีขนาดเพิ่มขึ้นและมีทิศไปทางซ้าย ขนาดของแรง\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} <br />
\over F}จะลดลง เพราะขนาดการกระจัด \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over x}ลดลง  การเคลื่อนที่เป็นแบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย เมื่อรถทดลองเคลื่อนที่ถึงตำแหน่งสมดุล ขนาดของการกระจัด \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over x}เป็นศูนย์ ขนาดของ\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F}และ\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over a}ก็เป็นศูนย์แต่ความเร็ว\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over v}ของรถทดลองจะมีค่ามากที่สุดและมีทิศไปทางซ้าย ดังรูป 4.28 ค
จากนั้นรถทดลองจะเคลื่อนที่ออกจากตำแหน่งสมดุลไปทางซ้ายต่อไปอีก และอัดลวดสปริงให้หดสั้น ลวดสปริงก็จะออกแรง \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F}มีทิศไปทางขวาต้านการเคลื่อนที่ของรถทดลอง ในขณะนี้รถทดลองจะเคลื่อนที่ด้วยความเร่ง \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over v}ที่มีทิศไปทางขวาทำให้ความเร็วรถทดลองลดลงเรื่อยๆ จนกระทั่งความเร็วเป็นศูนย์ ขณะนี้รถทดลองมีการกระจัดค่า - A  ดังรูป 4.28  จ  แล้วเคลื่อนที่ต่อไปดังรูปซึ่งเป็นการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย เราอาจเขียนกราฟของการกระจัดกับเวลาของการเคลื่อนที่ของรถทดลองในรูป 4.28 ได้ดังรูป 4.29      


รูป 4.29 กราฟของการกระจัดของเวลาสำหรับหนึ่งรอบของการเคลื่อนที่ 



                    เมื่อพิจารณาการเคลื่อนที่ของรถทดลองติดปลายสปริงที่เคลื่อนที่ แรงที่สปริงกระทำต่อรถทดลองจะมีค่าเป็น  F  =  - kx   ถ้าให้  m  เป็นมวลของรถทดลอง และ a  เป็นความเร่งของรถทดลอง จากกฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 2 ของนิวตัน
จะได้                        F   =  ma  =  -  kx
และ                         a = - \frac{k}{m}x                                                                                                                                        (4.20)
นั่นคือ  การเคลื่อนที่ของรถทดลองติดสปริงเป็นการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่าง่ายเช่นเดียวกับการเคลื่อนที่ของเงาของดินน้ำมัน มีความเร่งแปรผันตรงกับการกระจัด แต่มีทิศตรงกับข้าม
          เทียบสมการ  ( 4.20)  กับสมการ (4.19) จะเห็นว่า ความเร่งคือ
                               - \frac{k}{m}x = - \omega ^2 x
ดังนั้น                     \omega ^2 = \frac{k}{m}                                    
                               \omega = \sqrt {\frac{k}{m}}                                                 (4.21)
          ความถี่เชิงมุมของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย มีความสัมพันธ์กับค่าคงตัวของสปริง และมวลของวัตถุที่ติดกับสปริง ดังสมการ 4.21

                    การแกว่งของลูกตุ้มอย่างง่าย
          ลูกตุ้มอย่างง่ายคือ ลูกตุ้มที่ประกอบด้วยมวลขนาดเล็ก ตามอุดมคติเป็นจุด แขวนที่ปลายด้ายหรือเชือกอ่อน โดยธรรมชาติวัตถุแขวนห้อยในแนวดิ่งเป็นตำแหน่งสมดุล เมื่อดึงวัตถุให้เอียงทำมุมเล็กๆ กับแนวดิ่งแล้วปล่อยให้วัตถุเคลื่อนที่แกว่งกลับไปมา ซึ่งจะพิสูจน์ได้ว่าเป็นการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย


 
รูป 4.30 ขณะเส้นเชือกเอียงทำมุมกับแนวดิ่งมีแรงกระทำเข้าหาจุดสมดุล



                    ขณะที่ปล่อยลูกตุ้มมวล m ซึ่งผูกกับเส้นเชือกยาว  \ell เอียงเป็นมุม \thetaเรเดียนกับแนวดิ่ง
                    ลูกตุ้มมวล m จะมีแรงสองแรงกระทำต่อมวล m คือ น้ำหนักของลูกตุ้ม mg  และแรงดึงในเส้นเชือก T ซึ่งทำมุม\thetaเรเดียนกับแนวดิ่ง ดังรูป 4.32 สองแรงนี้รวมกันได้แรงลัพธ์เป็น mg\sin \thetaตามแนวเส้นสัมผัสซึ่งตั้งฉากกับเส้นเชือก
                    เนื่องจากแรง  mg  สามารถคิดแยกออกเป็น  2  แรงในแนวตั้งฉากกัน ดังรูป จะเห็นว่าแรงmg\sin \theta เป็นแรงที่ดึงมวล  m  กลับสู่ตำแหน่งสมดุล ให้แรงนี้เป็นแรง F ขณะที่ mg\cos \thetaมีขนาดเท่ากับ T ทำให้เชือกตึงยาวเท่าเดิม  เมื่อคำนึงถึงทิศด้วย แรงลัพธ์  F คือ
                                                             F= - mg\sin \theta
                   ถ้ามุม thetaเป็นมุมเล็กๆ การเคลื่อนที่โค้งประมาณได้ว่าเป็นเส้นตรง คือการกระจัด x และ \sin \theta = \frac{x}{\ell }จะได้
                                                              F= - mg\frac{x}{\ell }
                   จากกฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตัน       F  =  ma
                   จะได้                        - \frac{{mg}}{\ell }x = ma
                                                                a= - \frac{g}{\ell }x
                   จะเห็นว่า ความเร่งของลูกตุ้มแปรผันตรงกับการกระจัด และมีทิศตรงกันข้ามการแกว่งของลูกตุ้มจึงเป็นการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายด้วย
                   เนื่องจากอัตราเร่งของการแกว่ง                          a = - \omega ^2 x
                    ดังนั้น                                                              \omega ^2 = \frac{g}{\ell }
                    จาก                                     \omega = 2\pi fจะได้  f = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{g}{\ell }}     (4.22)
                    หรือ                                                                   T= 2\pi \sqrt {\frac{\ell }{g}}      (4.23)
          สมการ  (4.23) อาจนับว่าเป็นสมการที่ทำนายคาบของลูกตุ้มอย่างง่ายจากที่ได้วิเคราะห์มาตามหลักการของการเคลื่อนที่ที่ต้องเป็นไปตามกฎของนิวตัน  คาบของการแกว่งจริงจะเป็นอย่างไร จะศึกษาจากการทดลองดังภาคการทดลองต่อไป