วิชาการ.คอม-บทเรียนออนไลน์-โมเมนต์ความเฉื่อย | บทเรียน วิชาการ.คอม
ฟิสิกส์
 

โมเมนต์ความเฉื่อย

สร้างเมื่อ 29 มิ.ย. 2554 09:47:40
  • ระดับม.4
  • 14,299 view

โมเมนต์ความเฉื่อย
          ค่าโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุรูปต่างๆ รอบแกนสมมาตร  สามารถคำนวณได้โดยวิธีแคลคูลัส คือ
                                  \displaystyle I = \sum\nolimits_i {\Delta m_i } r_i^2 = \int {r^2 } dm           (7.15)
          โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุรูปต่างๆ ที่น่ารู้ มีดังตาราง  7.1  ต่อไปนี้

 

รูปร่างวัตถุ แกนหมุน รูป โมเมนต์ความเฉื่อย  I
ทรงกลมตัน มวล m
รัศมี  R
รอบแกนผ่านจุดศูนย์กลาง \displaystyle I = \frac{2}{5}mR^2
ทรงกลมกลวง มวล mรัศมี  R รอบแกนผ่านจุดศูนย์กลาง \displaystyle I = \frac{2}{3}mR^2
ทรงกระบอกตันมวล mรัศมี R  ยาว  L รอบแกนทรงกลมกระบอก \displaystyle I = \frac{1}{2}mR^2
แผ่นกลมบาง มวล mรัศมี  R  รอบแกนผ่านจุดศูนย์กลางบนระนาบของ \displaystyle I = \frac{1}{2}mR^2
แผ่นกลมบาง มวล mรัศมี  R รอบแกนผ่านจุดศูนย์กลางบนระนาบของ \displaystyle I = \frac{1}{4}mR^2

แท่งวัตถุเหล็ก  มวล m ยาว  L
รอบแกนผ่านจุดศูนย์กลางมวล ตั้งฉากกับแท่ง \displaystyle I = \frac{1}{{12}}mL^2



          การหมุนของวัตถุทั้งหมดในตารางข้างบนเป็นการหมุนรอบแกนผ่านจุดศูนย์กลางมวลและเป็นแกนสมมาตรของวัตถุ มีหลักที่สามารถพิสูจน์ได้อยู่ว่า  ถ้าเลื่อนแกนหมุนไปเป็นระยะ  L  ให้ขนานแกนสมมาตร เดิม โมเมนต์ความเฉื่อยจะเพิ่มขึ้นเท่ากับ  \displaystyle mL^2 (ต้องนำค่า \displaystyle mL^2มาบวกค่าในตาราง)

          ตัวอย่าง 7.1   ระบบล้อกับเพลาประกอบด้วยล้อมวล \displaystyle M_1 รัศมี  R ยึดติดกับเพลามวล \displaystyle M_2  รัศมี r ถ้าถ่วงน้ำหนักของมวล  m  ที่เชือกพันรอบเพลา ดังแผนภาพ ความเร่งเชิงมุมของล้อและเพลงจะเป็นเท่าใด
 
          วิธีทำ   โมเมนต์ความเฉื่อยของล้อและเพลารอบแกนหมุนคือ (1)
                              \displaystyle I = \frac{1}{2}M_1 R^2 + \frac{1}{2}M_2 r^2
                              ให้  T เป็นความตึงของเส้นเชือก
          เราจะมีสมการการเคลื่อนที่สองสมการ  คือสมการการเคลื่อนที่เชิงเส้นของมวล  m  และสมการการเคลื่อนที่แบบหมุนของล้อและเพลา คือ
                                               mg - T = ma                     (1)
                                และ             \displaystyle \tau     = Tr = \displaystyle I\alpha                 (2)

          ซึ่งจากสมการ (1)  จะได้  T = mg - ma  และนำไปแทนค่า   T ในสมการ (2)  แล้วอาศัยความสัมพันธ์    \displaystyle a = \alpha r จงหาค่า  \displaystyle \alpha ได้คือ
                         \displaystyle (mg - mr\alpha )r = I\alpha
                                                      \displaystyle \alpha = \frac{{mgr}}{{I + mr^2 }}  ซึ่งสามารถหาค่าได้จากที่ \displaystyle I = \frac{1}{2}M_1 R^2 + \frac{1}{2}M_2 r^2
          คำตอบ   ความเร่งเชิงมุมของล้อและเพลาจะมีค่าเท่ากับ  \displaystyle \alpha = \frac{{mgr}}{{I + mr^2 }} โดยที่ \displaystyle I = \frac{1}{2}M_1 R^2 + \frac{1}{2}M_2 r^2

          ตัวอย่าง  7.2   ทรงกระบอกกลวงบาง มวล  m  รัศมี  R  กลิ้งลงตามพื้นเอียงทำมุม \displaystyle \theta กับระนาบระดับโดยไม่มีการไถล  จุดศูนย์กลางมวลของทรงกระบอกจะมีความเร่งเท่าใด
 
          วิธีทำ เนื่องจากมวลจากทุกส่วนของทรงกระบอกกลวงบางจะอยู่ห่างจากแกนหมุนซึ่งผ่านจุดศูนย์กลางมวลเท่ากันทั้งหมดและเท่ากับค่ารัศมี  R
          ดังนั้น  ค่าโมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกระบอกกลวงรอบแกนหมุนดังกล่าวคือ  \displaystyle I = mR^2
          แรงที่กระทำต่อทรงกระบอกมีดังแสดงในรูปน้ำหนักของทรงกระบอกซึ่งกระทำที่จุดศูนย์กลางมวลสามารถคิดแยกเป็นสององค์ประกอบในแนวที่ขนานกับพื้นเอียง (ลง = \displaystyle mg\sin \theta )  และในแนวที่ตั้งฉากกับพื้นเอียง ( \displaystyle mg\cos \theta )จึงสามารถเขียนสมการได้สองสมการคือ
          การเคลื่อนที่เชิงเส้นของ  c.m.  ตามสมการ  \displaystyle mg\sin \theta - f = ma                   (1)
          และการหมุนรอบแกนผ่าน  c.m.  ตามสมการ \displaystyle \tau = fr = I\alpha
          นำค่า f จากสมการ (2)  ไปแทนใน  (1)  และอาศัยความสัมพันธ์ \displaystyle a = \alpha R สำหรับการกลิ้งโดยไม่ไถล  จะมีค่า  a  ได้
          \displaystyle mg\sin \theta - \frac{{Ia}}{{R^2 }} = ma  แล้วแทนค่า I จะได้  \displaystyle a = \frac{1}{2}g\sin \theta
          คำตอบ   จุดศูนย์กลางมวลมีความเร่งลงตามพื้นเอียงเท่ากับ  (1/2)  \displaystyle g\sin \theta
          หมายเหตุ ในการกลิ้งโดยไม่ไถลของวัตถุรูปวงกลม  เมื่อกลิ้งไปหนึ่งรอบ  จุดที่วัตถุสัมผัสพื้นจะเลื่อนไปได้ระยะทางบนพื้นเท่ากับเส้นรอบวง และจุดศูนย์กลางของวงกลมจะเลื่อนไปเป็นระยะทางเท่ากัน  ทำให้ \displaystyle v = \omega r และ  \displaystyle a = \alpha r  เมื่อ  v และ   a  เป็นอัตราเร็ว และอัตราเร่งของจุดศูนย์กลาง