วิชาการ.คอม-บทเรียนออนไลน์-พลังงานจลน์ของการหมุน | บทเรียน วิชาการ.คอม
ฟิสิกส์
 

พลังงานจลน์ของการหมุน

สร้างเมื่อ 29 มิ.ย. 2554 10:20:57
  • ระดับม.4
  • 7,826 view

พลังงานจลน์ของการหมุน
          ในการหมุนเช่นการหมุนของวัตถุรูปแผ่นกลมรอบแกนๆ  หนึ่งดังรูป  7.3  ทุกส่วนของวัตถุย่อมเคลื่อนที่เป็นวงกลมวนรอบแกนหมุนด้วยความเร็วเชิงมุมค่าเดียวกัน  แต่อัตราเร็วเชิงเส้นซึ่งอยู่ในแนวเส้นตั้งฉากกับรัศมีไม่เท่ากัน  เพราะจะขึ้นกับระยะทางที่ส่วนนั้นๆ ห่างจากแกนมุม
          จากการศึกษาเรื่องพลังงานจลน์  เราทราบแล้วว่า วัตถุมวล  m ที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว  v  จะมีพลังงานจลน์  \displaystyle E_k ซึ่ง \displaystyle E_k ซึ่ง \displaystyle E_k = \frac{1}{2}mv^2           สำหรับวัตถุที่มีการหมุน  ถ้าเราพิจารณามวลย่อยที่ประกอบขึ้นเป็นวัตถุ  แต่ละมวลย่อยมีการเคลื่อนที่ด้วยความเร็วต่างๆ กันขึ้นอยู่กับระยะทางที่มวลย่อยอยู่ห่างจากแกนหมุน  นั่นคือ  แต่ละมวลมีพลังงานจลน์ต่างๆ กัน พลังงานจลน์รวมของทุกๆ มวลย่อยที่ประกอบขึ้นเป็นวัตถุนั้น  จะเป็นพลังงานจลน์ของวัตถุเนื่องจากการหมุน  ซึ่งสามารถหาได้ดังนี้
          พิจารณาวัตถุซึ่งประกอบด้วยมวลย่อย  \displaystyle m_1 , \displaystyle m_2 ,... \displaystyle m_n      หมุนรอบแกนซึ่งอยู่กับที่ด้วยความเร็วเชิงมุม  \displaystyle \omega ดังรูป
          ถ้าให้  \displaystyle E_k  เป็นพลังงานจลน์รวมของมวลย่อย ดังนั้นจะได้
                               \displaystyle E_k = \frac{1}{2}m_1 v_1^2 + \frac{1}{2}m_2 v_2^2 + ... + \frac{1}{2}m_n v_n^2 = \frac{1}{2}\sum\limits_{i = 1}^n {m_1 } v_i^2                          (7.16)
          (ให้ \displaystyle v_i  เป็นความเร็วของมวลย่อย \displaystyle m_i  )  เนื่องจากแต่ละมวลย่อยต่างเคลื่อนที่หมุนไปกับวัตถุนั่นคือทุกมวลย่อยมีการเคลื่อนที่ในแนววงกลมด้วยความเร็วเชิงมุมเท่ากันเท่ากับความเร็วเชิงมุมของวัตถุ โดยใช้ความสัมพันธ์ \displaystyle v = \omega rวัตถุประกอบด้วยมวลย่อยๆ จะได้ \displaystyle v_1 = \omega r_1  และ\displaystyle v_i = \omega r_i  เมื่อ \displaystyle r_i  เป็นระยะห่างจากแกนหมุนของมวล \displaystyle m_i  ดังนั้นจะเขียน \displaystyle E_k  ได้ใหม่เป็น
                              \displaystyle E_k = \frac{1}{2}\sum\limits_{i = 1}^n {m_i } (r_i \omega )^2         
                               \displaystyle E_k = \frac{1}{2}(\sum\limits_{i = 1}^n {m_i } r_i^2 )\omega ^2
            นั่นคือ         \displaystyle E_k = \frac{1}{2}I\omega ^2               (1.17)
                           เมื่อ  \displaystyle I = (\sum\limits_{i = 1}^n {m_1 } r_i^2 ) คือโมเมนต์ความเฉื่อย  หน่วยของพลังงานจลน์ของการหมุน  คือ  จูล
          โปรดสังเกตว่ารูปแบบของพลังงานจลน์ของการหมุนมีลักษณะเดียวกับพลังงานจลน์ของการเลื่อนตำแหน่ง  คือ  \displaystyle E_k(ËÁع)  = \displaystyle \frac{1}{2}I\omega ^2 เทียบกับ \displaystyle E_k(àÅ×è͹) = \displaystyle \frac{1}{2}mv^2 ซึ่งอยู่ในรูปแบบเดียวกัน  และสำหรับการเคลื่อนที่เช่นการกลิ้ง  พลังงานจลน์ทั้งหมดจะประกอบด้วยพลังงานจลน์ของการเลื่อนตำแหน่งของจุดศูนย์กลางมวลและพลังงานจลน์ของการหมุนรอบจุดศูนย์กลางมวล

          ตัวอย่าง  7.3    ม้าหมุดชุดหนึ่งมีโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนหมุนในแนวดิ่ง  900  กิโลกรัม  〖เมตร〗^2  ถ้าผลักให้หมุนรอบแกนหมุนในอัตรานาทีละ  12  รอบ  จงหาพลังงานจลน์ของม้าหมุน
          วิธีทำ                                   \displaystyle \omega = 2\pi f
                        เมื่อ                          \displaystyle f= \frac{{12}}{{60}}s^{ -1}
              ดังนั้นอัตราเร็วเชิงมุม        \displaystyle\omega = 2\pi  \times \frac{{12}}{{60}}rad/s
                       เมื่อ                           \displaystyle I = 900kgm^2
                        จากสมการ
                                                  7\displaystyle E_k = \frac{1}{2}I\omega ^2                          
                                                   \displaystyle E_k = \frac{1}{2} \times (900kgm^2 ) \times (2\pi \times \frac{{12}}{{60}}rad/s)^2
                                                    \displaystyle E_k  = 710.6 จูล
                        คำตอบ   พลังงานจลน์ของการหมุนเท่ากับ  710.6  จูล

          ตัวอย่าง  7.4    ทรงกระบอกกลวงบาง  กลิ้งลงพื้นเอียงโดยไม่ไถลจากตำแหน่งสูง  h  เมื่อสุดพื้นเอียง  จุดศูนย์กลางของทรงกระบอกจะมีอัตราเร็วเท่าใด
          วิธีทำ โจทย์ข้อนี้อาจคิดจากหลักการคงที่ของพลังงานในการกลิ้งลงตามโจทย์  จุดศูนย์กลางมวลของทรงกระบอกเคลื่อนที่ต่ำลง  h  พลังงานที่เพิ่มขึ้นย่อมเท่ากับพลังงานศักย์ที่ลดลงแต่ต้องคิดว่าพลังงานจลน์ประกอบด้วยพลังงานจลน์การเลื่อนและการหมุน  นั่นคือ
                                               \displaystyle \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega ^2 = mgh
          ถ้าให้ m เป็นมวลของทรงกระบอกกลวง  และ R  เป็นรัศมี
          โมเมนต์ความเฉื่อย \displaystyle I = mR^2 และจาก  \displaystyle \omega = v/R จะได้
                       \displaystyle mv^2 = mgh
          นั่นคือ   \displaystyle v= \sqrt {gh}
          คำตอบ  \displaystyle v = \sqrt {gh} (สังเกตว่าไม่ขึ้นกับมวลและรัศมี)