วิชาการ.คอม-บทเรียนออนไลน์-เงื่อนไขของสมดุล | บทเรียน วิชาการ.คอม
ฟิสิกส์
 

เงื่อนไขของสมดุล

สร้างเมื่อ 30 มิ.ย. 2554 10:11:37
  • ระดับม.4
  • 6,918 view

เงื่อนไขของสมดุล
          เมื่อวัตถุอยู่ในสภาพสมดุลสถิต  ทั้งเงื่อนไขข้อที่ 1  และข้อที่ 2 จะต้องเป็นจริง คือทั้งแรงลัพธ์กระทำต่อวัตถุเป็นศูนย์  และโมเมนต์ลัพธ์คิดรอบแกนหมุนใดๆ เป็นศูนย์ สำหรับสภาพดุลโดยทั่วไปวัตถุอาจมีการเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงตัวซึ่งสอดคล้องกับแรงลัพธ์ที่จุดศูนย์กลางมวลเป็นศูนย์ หรือมีการหมุนรอบจุดศูนย์กลางมวลด้วยความเร็วเชิงมุมคงตัวซึ่งสอดคล้องกับการที่ไม่มีทอร์กกระทำ หรืออาจมีการเคลื่อนที่ทั้งสองอย่างพร้อมกัน  เงื่อนไขก็จะคล้ายคลึงกัน  คือแรงลัพธ์ที่กระทำกับวัตถุเป็นศูนย์และโมเมนต์ลัพธ์รอบจุดศูนย์กลางมวลต้องเป็นศูนย์

กรณีที่มีแรงสองแรงกระทำ
          เมื่อวางหนังสือบนโต๊ะ  หนังสือจะอยู่นิ่งบนโต๊ะโดยมีแรงสองแรงกระทำผ่านศูนย์กลางมวล แรงหนึ่งคือ แรงโน้มถ่วงของโลกหรือน้ำหนัก \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over W} อีกแรงหนึ่งคือ  แรงที่โต๊ะดันหนังสือในแนวตั้งฉากกับพื้นโต๊ะ \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over N}  และแรงทั้งสองมีทิศตรงข้ามกัน ดังรูป 8.1 ข.

 

 
ก. หนังสือวางอยู่บนโต๊ะ  
 


ข. แสดงแรงสองแรงกระทำต่อหนังสือ
รูป 8.1  หนังสือวางนิ่งบนโต๊ะ



          จากกฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 1 ของนิวตัน  แรงลัพธ์ของ \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over W}  และ \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over N}  เป็นศูนย์  แสดงว่าวัตถุที่อยู่ในสมดุลสถิต  แรงลัพธ์กระทำต่อวัตถุเป็นศูนย์
          ดังนั้น \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over W} + \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over N} = 0 หรือ \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over W} = - \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over N}
     เครื่องหมายข้างหน้า  \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over N}  หมายถึงทิศที่ตรงข้ามกัน  \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over W}  โดยขนาดแล้ว  \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over N}
     เมื่อคิดเงื่อนไขที่สองประกอบ โมเมนต์รอบจุดใดๆ จะเป็นศูนย์ได้ก็ต่อเมื่อ \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over N}   และ \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over W} จะต้องอยู่ในแนวเดียวกัน

กรณีที่มีแรง 3 แรงกระทำ
          ในกรณีแรง 3 แรงกระทำต่อวัตถุ แล้ววัตถุอยู่นิ่ง แนวแรงทั้งสามจะเป็นไปได้ 2 กรณีดังนี้
          กรณีที่  1  แนวแรงทั้งสามขนานกัน
          ตัวอย่างกรณีที่ 1  ได้แก่  แท่งคอนกรีตพาดบนหัวเสา 2 ต้น เพื่อทำสะพาน  แท่งคอนกรีตจะมีแรงกระทำ 3 แรง คือ น้ำหนัก \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} <br />
\over W}      \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} <br />
\over N} _1  และ \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} <br />
\over N} _2เป็นแรงที่เสาดังแท่งคอนกรีตในทิศตั้งฉาก ดังรูป 8.2  จากกฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 1 ของนิวตัน แรงลัพธ์ของแรงทั้งสามเป็นศูนย์
 


รูป 8.2  แสดงแท่งคอนกรีตอยู่นิ่งด้วยแรง 3 แรง



                    ดังนั้น \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over N} _1 + \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over N} _2 + \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over W} = 0 และสามารถแสดงว่าแรงลัพธ์ของแรงทั้งสามเป็นศูนย์ได้ด้วยการนำแรงทั้งสามมาเขียนหางต่อหัวเวกเตอร์ ซึ่งมีวิธีการดังนี้


 
ก. แรง 3 แรงที่กระทำต่อแท่งคอนกรีต 
 
  ข. หาแรงลัพธ์โดยเขียนหางต่อหัวเวกเตอร์
รูป 8.3 แสดงวิธีหาแรงลัพธ์


          กำหนดจุดเริ่มต้นแล้วเขียนเวกเตอร์ \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over W}  จากนั้นนำหางเวกเตอร์  \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over N} _1 มาต่อหัวเวกเตอร์ \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over W}  และนำหางเวกเตอร์\displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} <br />
\over N} _2มาต่อหัวเวกเตอร์\displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over N} _1 ดังรูป  8.3  จะเห็นว่า หัวเวกเตอร์ \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over N} _2พบหางของเวกเตอร์\displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over W} พอดี จะได้เวกเตอร์ลัพธ์เท่ากับศูนย์  ซึ่งแสดงว่า โดยขนาดของแรงแล้ว \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over N} _1&nbsp; + \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over N} _2 จะต้องเท่ากับ \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over W}  การที่จะหาค่า \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over N} _1และ\displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over N} 21ได้ จะต้องทราบว่า ระยะห่างระหว่าง \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over W} กับ \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over N} _1 และ\displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over N} _2เป็นเท่าใด แล้วใช้เงื่อนไขที่สองของสมดุล เช่นเมื่อคิดโมเมนต์ของแรงรอบจุดที่ \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over W} กระทำจะได้ว่า \displaystyle N_1 x_1= N_2 x_2 (โมเมนต์มีทิศตรงกันข้าม) เมื่อ \displaystyle x_1  และ\displaystyle x_2  เป็นระยะที่\displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over N} _1และ \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over N} _2ห่างจากจุดกระทำของ \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over W} ตามลำดับ

กรณีที่ 2  แนวแรงทั้งสามไม่ขนานกัน


 
รูป 8.4  แสดงแนวแรงดึงในเส้นด้ายที่ผูกกับวัตถุ



          หากทำการทดลองการดึงเครื่องชั่งสปริงที่ต่อกับปลายด้าย ซึ่งผูกกับวัตถุที่อยู่นิ่งดังการทดลอง  8.1 แสดงว่าแรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุมีค่าเป็นศูนย์ ถ้าให้ \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _1  ,  \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _2 และ\displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _3 เป็นแรงกระทำต่อวัตถุที่อ่านค่าได้จากเครื่องชั่งสปริง 1,2 และ 3 ตามลำดับ จะเขียนได้ว่า
            \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _1 + \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _2 + \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _3 = 0
          ถ้านำเวกเตอร์แทนแรงทั้งสามมาเขียนต่อกัน ให้ความยาวของเวกเตอร์เป็นไปตามมาตราส่วนที่กำหนดไว้ และให้หางของเวกเตอร์หนึ่งต่อกับหัวของอีกเวกเตอร์หนึ่งจนครบ หัวเวกเตอร์สุดท้ายจะมาพบหางของเวกเตอร์แรกพอดี  ซึ่งได้เป็นรูปสามเหลี่ยมปิด หมายถึงเวกเตอร์ลัพธ์เป็นศูนย์  และเนื่องจากโมเมนต์รวมของแรงทั้งสามรอบจุดใดจุดหนึ่งจะต้องเป็นศูนย์ด้วย แนวของแรงทั้งสามจะต้องพบกันที่จุดๆ หนึ่ง  ซึ่งโมเมนต์ของแรงรอบจุดที่แรงพบกันย่อมเป็นศูนย์  และอาจพิสูจน์ได้ว่า โมเมนต์ของแรงคิดรอบที่จุดอื่นๆ รวมกันก็จะเป็นศูนย์ด้วย
 


รูป 8.5  การนำเวกเตอร์แทนแรง \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _1  , \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _2และ\displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _3มาเขียนต่อกัน


          ถ้าผูกเชือกสามเส้นเข้ากับรูบนแผ่นกระดาษแข็งสามรู เอาเครื่องชั่งสปริงทั้งสามคล้องเข้ากับห่วงเชือกที่ผูกอยู่กับรูบนกระดาษแข็ง  ดังรูป 8.6 ออกแรงดึงเครื่องชั่งสปริงทั้งสามพร้อมๆ กัน ปรับค่าแรงดึงเพื่อนให้กระดาษหยุดนิ่งแล้ว ให้ต่อแนวแรงดึงที่เส้นด้ายดึงกระดาษทั้งสามแรง  ไปบนแผ่นกระดาษ จะพบว่า แนวแรงดึงทั้งสามพบกันที่จุดๆ หนึ่ง สรุปได้ว่า เมื่อมีแรง 3 แรงกระทำต่อวัตถุที่ตำแหน่งต่างๆ โดยแรงทั้งสามไม่ขนานกันและวัตถุอยู่นิ่ง แนวแรงทั้งสามต้องพบกันที่จุดๆ หนึ่ง เนื่องจากโมเมนต์ลัพธ์ต้องเป็นศูนย์ด้วย
 


รูป 8.6  เครื่องชั่งสปริงดึงกระดาษแข็ง



          ถ้ามีแรงหลายแรง \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _1  , \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _2  , \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _3  , \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _4\displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _nกระทำต่อวัตถุและวัตถุอยู่นิ่ง เราสามารถนำวิธีการที่ใช้ศึกษาแรง 3 แรง มาใช้ศึกษากับแรงหลายแรง  และสรุปได้เช่นเดียวกันว่าแรงลัพธ์ของแรงหลายแรงนั้นเป็นศูนย์
                            \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _1 + \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _2 + \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _3 + \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _4 + ... + \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _n = 0
                     หรือ  \displaystyle \sum\limits_{i = 1}^n {\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _i } = 0     (8.3)
          ถ้านำแรงเหล่านี้สมมุติว่าเป็น \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _1  , \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _2  , \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _3และ\displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _4 มาหาแรงลัพธ์ด้วยวิธีหางต่อหัวเวกเตอร์  โดยใช้ความยาวตามมาตราส่วน  จะได้เป็นรูปเหลี่ยมปิด  ดังรูป 8.7


 
รูป 8.7  ภาพเวกเตอร์แทนแรงที่อยู่ในสมดุลเป็นรูปเหลี่ยมปิด



            การหาแรงลัพธ์นอกจากใช้วิธีหางต่อหัวเวกเตอร์ ยังสามารถหาแรงลัพธ์โดยการแยกแรงเป็นแรงองค์ประกอบ แล้วรวมองค์ประกอบต่างๆ จะได้องค์ประกอบของแรงลัพธ์ คือ
                         \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _x = \sum\limits_{i = 1}^n {\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _{ix} } และ \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _y = \sum\limits_{i = 1}^n {\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _{iy} }
          เมื่อ \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _ix  และ\displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _iyเป็นแรงองค์ประกอบในแนวแกน x  และ  y  ตามลำดับ  \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _x และ\displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _yที่ได้นี้ นำมาให้หาขนาดและทิศของแรงลัพธ์ได้เช่นเดียวกับ \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _x และ\displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _y ในตัวอย่างข้างต้น
          ในกรณีวัตถุอยู่นิ่ง ผลรวมของแรงที่กระทำต่อวัตถุต้องเท่ากับศูนย์ ดังนั้นผลรวมของแรงองค์ประกอบในแนวแกน  x  และ  y  จะต้องเป็นศูนย์ด้วย นั่นคือ
                        \displaystyle \sum\limits_{i = 1}^n {\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _{ix} } = 0  และ \displaystyle \sum\limits_{i = 1}^n {\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _{iy} } = 0   (8.5)

ตัวอย่าง 8.1     ใช้เชือกผูกวัตถุหนัก  4  นิวตัน  แล้วนำไปแขวนให้วัตถุห้อยอยู่ในแนวดิ่ง ถ้าใช้แรงในแนวระดับขนาด 3 นิวตัน ดึงวัตถุให้อยู่นิ่ง ดังรูป 8.8 จงหาแรงดึงในเส้นเชือกและมุมที่แนวเส้นเชือกทำกับแนวดิ่ง


 
รูป  8.8   แรง 3  N  ดึงวัตถุหนัก  4  N  ให้อยู่นิ่ง


วิธีทำ
          ให้  \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over T} เป็นแรงดึงในเส้นเชือก เนื่องจากวัตถุอยู่ในสภาพสมดุล แรง 3 แรง คือ เป็นแรงดึงในเส้นเชือก เนื่องจากวัตถุอยู่ในสภาพสมดุล แรง 3 แรง คือ \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over T}      \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} = 3N และ\displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over W} = 4N  ต้องพบกันที่จุดหนึ่ง
          ให้แกน  x  อยู่ในแนวแรง 3 N  แกน  y  อยู่ในแนวแรง 4  N  ดังรูป 8.9
         แยกแรง  \displaystyle \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over T} ให้อยู่ในแนวแกน  x   และ แกน  y  และใช้หลักสมดุล


 
รูป 8.9


                               \displaystyle \sum\limits_{i = 1}^n {\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} \over F} _{ix} } = 0
          พิจารณาในแนวแกน x จะได้   \displaystyle T\sin \theta = 3N    (1)
          พิจารณาในแนวแกน y จะได้   \displaystyle T\cos \theta = 4N    (2)
               จากสมการ (1)  และ (2)  จะหาค่า  T และ \displaystyle \theta คือ
                              \displaystyle T^2 (\sin ^2 \theta + \cos ^2 ) = 3^2 + 4^2 = 25                
               จะได้      T = 5 N
                 และจาก (1) \displaystyle \sin \theta = \frac{3}{5} จะได้ \displaystyle \theta = 37^\circ
คำตอบ  แรงดึงในเส้นเชือกมีค่า  5  นิวตัน  และมุมที่แนวเส้นเชือกทำกับแนวดิ่งมีค่า  \displaystyle 37^\circ