วิชาการ.คอม-บทเรียนออนไลน์-ตัวเก็บประจุและความจุ | บทเรียน วิชาการ.คอม
ฟิสิกส์
 

ตัวเก็บประจุและความจุ

สร้างเมื่อ 20 เม.ย. 2555 14:58:25
  • ระดับม.6
  • 5,599 view

 ตัวเก็บประจุและความจุ

            ในการเก็บประจุเพื่อนำไปใช้ประโยชน์ มีการใช้ตัวนำทำหน้าที่เก็บประจุ เรียกว่า ตัวเก็บประจุ (capacitor) ซึ่งได้รับการออกแบบให้มีรูปทรงต่างๆดังรูป 15.40 ก แต่การกำหนดสัญลักษณ์แทนตัวเก็บประจุยังเป็นแบบเดียวกัน คือ เป็นรูปขีดยาวสองขีดขนานกัน ดังรูป 15.40 ข  ความสามารถในการเก็บประจุของตัวเก็บประจุขึ้นกับอะไร พิจารณาดังนี้


 
 รูป 15.40 ตัวเก็บประจุและสัญลักษณ์ของตัวเก็บประจุ 

               พิจารณาตัวนำทรงกลมรัศมี a  ถ้าประจุที่ตัวนำนี้เก็บไว้เท่ากับ Q จะได้ศักย์ไฟฟ้า V ที่ผิวและภายในตัวนำนี้มีค่าเป็น
 V=\frac{KQ}{a}  

              สมการนี้แสดงว่าสำหรับตัวนำทรงกลมศักย์ไฟฟ้าที่ผิวและที่ภายในตัวนำมีค่าแปรผันตรงกับประจุที่ตัวนำเก็บไว้และแปรผกผันกับรัศมีของทรงกลมนั้น

                -  ตัวนำทรงกลมสองลูกรัศมี  a_1และ a_2 ที่ไม่เท่ากัน โดย  a_2มากกว่า a_1
      (ก) ถ้าตัวนำทรงกลมทั้งสองเก็บประจุ Q เท่ากัน ตัวนำใดมีศักย์ไฟฟ้าสูงกว่า และ
      (ข) ถ้าตัวนำทรงกลมทั้งสองมีศักย์ไฟฟ้าเท่ากัน ตัวนำใดเก็บประจุได้มากกว่า

            เมื่อให้ประจุไฟฟ้าเท่ากันแก่ตัวนำทรงกลมขนาดต่างกัน ตัวนำทรงกลมขนาดเล็กจะมีศักย์ไฟฟ้าสูงกว่า และถ้าให้ตัวนำทรงกลมขนาดต่างกันมีศักย์ไฟฟ้าเท่ากัน ประจุบนทรงกลมขนาดใหญ่จะมากกว่าประจุบนทรงกลมขนาดเล็ก ความสามารถในการเก็บประจุ ก็คือ ความจุ (capacitance) ของตัวนำนั่นเอง
           นอกจากความจุขึ้นกับรูปทรงของตัวนำแล้ว ก็หาได้จากอัตราส่วนของประจุต่อศักย์ไฟฟ้า จึงมีการกำหนดให้ค่านี้เป็นความจุ เมื่อให้ C เป็นสัญลักษณ์แทนความจุ ได้ว่า          \displaystyle C = \frac{Q}{V}            (15.10)

          เมื่อ Q  คือประจุซึ่งเก็บไว้ที่ตัวเก็บประจุ และ V คือศักย์ไฟฟ้าของตัวเก็บประจุในระบบเอสไอ ความจุมีหน่วยคูลอมบ์ต่อโวลต์ (C/V) หรือ ฟารัด (F)  หน่วยนี้ในทางปฏิบัติเป็นหน่วยใหญ่มาก และตัวเก็บประจุทั่วไปมีความจุน้อยกว่า 1 ฟารัดมาก จึงนิยมใช้หน่วยไมโครฟารัด (\muF) หรือพิโกฟารัด (pF)  ความจุของตัวเก็บประจุรูปทรงหนึ่งๆ จะมีค่าคงตัวเช่นในกรณีตัวนำทรงกลมที่กล่าวมาแล้ว จะมีความจุ   C=\frac{a}{K}    
              จึงกล่าวได้ว่า ความจุของตัวนำทรงกลมแปรผันตรงกับรัศมีของทรงกลม นั่นคือตัวนำทรงกลมใหญ่จะมีความจุมากกว่าตัวนำทรงกลมเล็ก เมื่อนำสมการนี้มาหาความจุไฟฟ้าของโลก โดยถือว่าโลกเป็นตัวนำทรงกลมขนาดใหญ่ จะได้ว่าโลกมีความจุมากมหาศาล เมื่อโลกให้หรือรับประจุจากวัตถุอื่น ศักย์ไฟฟ้าของโลกจึงเปลี่ยนแปลงน้อยมาก จนถือได้ว่าโลกยังคงเป็นกลางทางไฟฟ้า นั่นคือ โลกมีศักย์ไฟฟ้าเป็นศูนย์ การต่อสายดินจึงต่อกับโลกได้
               นอกจากตัวนำทรงกลมที่พิจารณาข้างต้นยังมีตัวนำรูปแบบอื่นๆอีก ที่นิยมใช้ในวงจรไฟฟ้าจะพบว่า ตัวเก็บประจุส่วนมากประกอบด้วยแผ่นตัวนำขนานวางแยกกันโดยมีฉนวนกั้นกลางเพื่อทำหน้าที่เก็บประจุโดยต่อตัวเก็บประจุกับความต่างศักย์ ให้ตัวนำหนึ่งแผ่นเก็บประจุบวกและอีกแผ่นหนึ่งเก็บประจุลบ ดังรูป 15.41

 
รูป 15.41 ตัวเก็บประจุต่ออยู่กับความต่างศักย์

               เพราะประจุที่เก็บแต่ละแผ่นยังคงเท่ากัน ค่าประจุในตัวเก็บประจุจึงหาได้จาก      Q = CV

             ตัวอย่าง 15.7 ตัวเก็บประจุที่มีความจุ 50 ไมโครฟารัด ต่อกับความต่างศักย์ 12 โวลต์ จงหาประจุบนตัวเก็บประจุนี้
             วิธีทำ  หาประจุบนตัวเก็บประจุจาก Q =     CV
                     ได้    Q=50\muFx12V
                                    =50x10^{-6}Fx12V 
                                    =600x10^{-6} C
             คำตอบ ประจุบนตัวนำเก็บประจุมีค่าเท่ากับ 600 ไมโครคูลอมบ์

             จากความจุของตัวเก็บประจุดังในตัวอย่าง 15.7 ทำให้สามารถกล่าวได้ว่า ถ้าความต่างศักย์ V ที่ต่ออยู่กับตัวเก็บประจุมีค่าเพิ่มขึ้น ประจุ Q บนตัวเก็บประจุก็มีค่าเพิ่มขึ้นด้วย เมื่อนำประจุ Q และความต่างศักย์ V ไปเขียนกราฟ จะได้กราฟดังรูป 15.42

                          รูป 15.42 กราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างประจุ Q บนตัวเก็บประจุกับความต่างศักย์ V ที่ต่อกับตัวเก็บประจุ

               เมื่อตัวเก็บประจุเริ่มเก็บประจุจากเดิมที่ไม่มีประจุจนกระทั่งมีประจุ Q ความสัมพันธ์ระหว่างประจุ Q กับความต่างศักย์ V เป็นไปตามเส้นกราฟดังนั้นถ้าพิจารณาที่ตัวเก็บประจุ ความต่างศักย์ระหว่างปลายของตัวเก็บประจุจะมีค่าเพิ่มขึ้นจากศูนย์ถึง V เมื่อตัวเก็บประจุมีประจุเพิ่มขึ้นจาก 0 ถึง Q โดย V และ Q แปรผันตรงกัน ดังเส้นกราฟในรูป 15.42 ในกรณีนี้งานในการเลื่อนประจุผ่านจุดสองจุดที่มีความต่างศักย์ V มีค่าเท่ากับค่าเฉลี่ยของประจุคูณความต่างศักย์
               ถ้า W คืองานที่ทำ
               ดังนั้น  W=\left({\frac{{0+V}}{2}}\right)Q
                           W=\frac{1}{2}QV
               แสดงว่างานในการเคลื่อนประจุให้แก่ตัวเก็บประจุคือ \frac{1}{2}QV ซึ่งเท่ากับพลังงานสะสมในตัวเก็บประจุ สามารถหาได้จากพื้นที่ใต้กราฟระหว่าง V กับ Q ดังนี้
               พลังงานสะสมในตัวเก็บประจุ U =  พื้นที่\Delta OAB     
                                                               U=\frac{1}{2}OA.AB
                                                               U=\frac{1}{2}QV
 ตรงกับสมการ (15.11) เมื่อแทนค่า Q  =  CV  และ V=\frac{Q}{C} จะได้
                                                                                       U=\frac{1}{2}CV^2
                                                                                             =\frac{1}{2}\frac{{Q^2}}{C}

                 นั่นคือ  พลังงานสะสมในตัวเก็บประจุเท่ากับ  \frac{1}{2}QV     หรือ   \frac{1}{2}CV^2 หรือ   \frac{1}{2}\frac{{Q^2}}{C}
                                                                                                                   

                 ตัวอย่าง 15.8  จากตัวอย่าง 15.7 จงหาประจุและความต่างศักย์ระหว่างแผ่นของตัวเก็บประจุขนาด 50 ไมโครฟารัด เมื่อพลังงานสะสมในตัวเก็บประจุเท่ากับ 1 จูล
                  วิธีทำ  หาประจุบนตัวเก็บประจุจากU=\frac{1}{2}\frac{{Q^2}}{C}
                          ได้   1J=\frac{1}{2}\frac{{Q^2}}{{(50x10^{-6}\F)}}
                                 Q{}^2=1x10^{-4}C^2
                 เพราะฉะนั้น Q=10x10^{-3}C=10mc 
                 หาความต่างศักย์ V ระหว่างแผ่นของตัวเก็บประจุจาก    Q = CV
                         ได้  1x10^{-2}C=(50x10^{-6}F)V
                 เพราะฉะนั้น V=\frac{{1x10^{-2}C}}{{50x10^{-6}F}}=200V
             คำตอบ  ประจุบนตัวเก็บประจุเท่ากับ 10 มิลลิคูลอมบ์  และความต่างศักย์ระหว่างแผ่นของตัวเก็บประจุเท่ากับ 200 โวลต์


 
รูป 15.43 การต่อตัวเก็บประจุแบบอนุกรม


             ถ้าต่อตัวเก็บประจุ 2 ตัว แล้วนำปลายที่ว่างของตัวเก็บประจุแต่ละตัวไปต่อกับจุด 2 จุด ที่มีความต่างศักย์ V ดังรูป 15.43 การต่อแบบนี้เรียกว่า การต่อแบบอนุกรม ถ้าตัวเก็บประจุทั้งสองมีความจุ C_1และ C_2 เมื่อใช้โวลต์มิเตอร์วัดความต่างศักย์ระหว่างปลายของตัวเก็บประจุ แต่ละตัวได้เท่ากับ V_1 และ V_1ตามลำดับ     จะพบว่า   V=V_1+V_2รูป

               ตัวเก็บประจุที่ต่อกับความต่างศักย์ดังกล่าวจะทำให้แผ่นตัวนำแผ่นหนึ่งเก็บประจุบวกอีกแผ่นหนึ่งเก็บประจุลบ ดังรูป 15.44 แสดงว่า เมื่อนำตัวเก็บ     ประจุสองตัว มาต่อกันแบบอนุกรมเพื่อเก็บประจุ Q ตัวเก็บประจุแต่ละตัวจะเก็บประจุ Q ด้วย
 ดังนั้นโดยใช้สมการ  V=V_1+V_2รูป   และ   V=\frac{Q}{C}

            จะเห็นได้ว่า  \frac{Q}{C}=\frac{Q}{C}_1+\frac{Q}{C}_2

            ได้   \frac{1}{C}=\frac{1}{C}_1+\frac{1}{C}_2 (15.12)

             สมการนี้ใช้หาความจุรวมของตัวเก็บประจุสองตัวที่ต่อกันแบบอนุกรม

 
รูป 15.44 ประจุบนตัวเก๊บประจุที่ต่อแบบอนุกรม

                  ตัวเก็บประจุดังกล่าวถ้านำมาต่อกันอีกแบบหนึ่ง คือโดยนำปลายหนึ่งของตัวเก็บประจุ แต่ละตัวต่อเข้าด้วยกันและนำอีกปลายหนึ่งต่อเข้าด้วยกันแล้วนำไปต่อกับความต่างศักย์ V ดังรูป 15.45 การต่อแบบนี้ เรียกว่า การต่อแบบขนาน เมื่อใช้โวลต์มิเตอร์วัดความต่างศักย์ระหว่างปลายของตัวเก็บประจุ C_1 และตัวเก็บประจุ C_1จะพบว่ามีค่าเท่ากัน และเท่ากับ V

 
รูป 15.45 การต่อตัวเก็บประจุแบบขนาน

              นั่นคือ ถ้าให้ V_1 และ  V_2เป็นความต่างศักย์ ระหว่างปลายของตัวเก็บประจุ C_1 และ   C_2 จะได้V=V_1=V_2        การต่อตัวเก็บประจุแบบขนาน ประจุที่สะสมตัวเก็บประจุแต่ละตัวจะมีค่าเป็น     Q_1 = C_1 V     เมื่อ  Q_1เป็นประจุที่เก็บบน  \displaystyle C_1 Q_2 = C_2 V     เมื่อ  Q_2  เป็นประจุที่เก็บบน  C_2

                                                       รูป 15.46 ประจุบนตัวเก็บประจุที่ต่อแบบขนานอาจแสดงได้ดังรูป  15.46
           แสดงว่า ในกรณีตัวเก็บประจุที่ต่อแบบขนานเมื่อต่อกับความต่างศักย์ V จะเก็บประจุทั้งหมด Q และประจุไม่สูญหาย คือ เป็นไปตามกฎการอนุรักษ์ประจุไฟฟ้า ดังนั้น
  Q=Q_1+Q_2
          ถ้า C  เป็นความจุรวมของตัวเก็บประจุที่ต่อแบบขนาน  โดยใช้สมการ Q  =   CV
เขียนสมการ  Q=Q_1+Q_2ได้เป็น
          CV=C_1V+C_2V 
เพราะฉะนั้น  C=C_1+C_2   (15.13)
              สมการนี้ใช้หาความจุรวมของตัวเก็บประจุสองตัวที่ต่อแบบขนานกัน
             ตัวอย่าง 15.9  จงหาความจุรวมของตัวเก็บประจุสองตัวที่มีความจุ 20 ไมโครฟารัด และ 30 ไมโครฟารัด เมื่อตัวเก็บประจุทั้งสองต่อกันแบบอนุกรมและแบบขนาน
              วิธีทำ  เมื่อตัวเก็บประจุทั้งสองต่อกันแบบอนุกรม  หาความจุรวมจาก \frac{1}{C}=\frac{1}{C}_1+\frac{1}{C}_2

            ได้ \frac{1}{C}=\frac{1}{{20\muF}}+\frac{1}{{30\muF}}=\frac{{3+2}}{{60\muF}}    C=12\muF 
            เมื่อตัวเก็บประจุทั้งสองต่อกันแบบขนาน  หาความจุรวมจาก  C=C_1+C_2
            ได้ C=20\muF+30\muF=50\muF
           คำตอบ  เมื่อตัวเก็บประจุทั้งสองต่อกันแบบอนุกรมและแบบขนาน ความจุรวมเท่ากับ 12 ไมโครฟารัด และ 50 ไมโครฟารัด ตามลำดับ