วิชาการ.คอม-บทเรียนออนไลน์-กลศาสตร์ควอนตัม | บทเรียน วิชาการ.คอม
ฟิสิกส์
 

กลศาสตร์ควอนตัม

สร้างเมื่อ 25 เม.ย. 2555 13:59:01
  • ระดับม.6
  • 6,301 view

กลศาสตร์ควอนตัม
           หลังจาก เอด บรอยล์ ได้เสนอสมมติฐานว่า อนุภาคก็สามารถแสดงสมบัติของคลื่นได้ นักฟิสิกส์หลายคนจึงพยายามใช้สมมติฐานนี้สร้างทฤษฎีเพื่ออธิบายปรากฏการณ์ต่างๆ ในอะตอมจนปี พ.ศ. 2468 นักฟิสิกส์ได้สร้างวิชาที่เรียกว่า กลศาสตร์ควอนตัม ขึ้นใช้ศึกษาธรรมชาติในระดับอะตอมได้อย่างถูกต้อง กลศาสตร์ควอนตัมปรากฏขึ้น 2 ลักษณะ เพราะใช้วิธีคณิตศาสตร์ต่างกัน แบบหนึ่งเป็นของนักฟิสิกส์ชาวออสเตรียชื่อ ชเรอดิงเงอร์ (Erwin Schrodinger) และอีกแบบหนึ่งเป็นของนักฟิสิกส์ชาวเยอรมันชื่อ ไฮเซนเบิร์ก ( Werner Karl Heisenberg) ต่อมามีชเรอดิงเงอร์ได้พิสูจน์ว่ารูปแบบทั้งสองนั้นให้ผลเหมือนกันเช่นเดียวกัน วิธีการของชเรอดิงเงอร์มีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับสมมติฐานของ เดอบรอยล์ และเป็นแบบที่เข้าใจง่ายกว่ากลศาสตร์แมทริกซ์ของไฮเซนเบิร์ก อย่างไรก็ตามวิธีคิดของชเรอดิงเงอร์ ยังเกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ชั้นสูงในที่นี้จะกล่าวแต่เพียงผลลัพธ์และสาระสำคัญเท่านั้น

 

รูป 19.48 ชเรดิงเงอร์

 

Erwin Schrodinger พ.ศ. 2430 - 2504 นักฟิสิกส์ชาวออสเตรีย ทำงานเกี่ยวกับการพัฒนากลศาสตร์คลื่น เขาได้รับรางวัลโนเบลสาขาฟิสิกส์ ร่วมกับ P.A.M. Dirac ในพ.ศ. 2476

 

ในกลศาสตร์ควอนตัมแบบชเรอดิงเงอร์ หรือกลศาสตร์คลื่นนั้น ชเรอดิงเงอร์ได้วิเคราะห์ว่า ตามสมมติฐานของเดอบรอยล์ อิเล็กตรอนเป็นอนุภาคแต่สามารถประพฤติตัวเสมือนเป็นคลื่นได้ ดังนั้นสมการการเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอนควรจะคล้ายกับสมการคลื่น ชเรอดิงเงอร์จึงสร้างสมการคลื่นของอิเล็กตรอน โดยแทนอิเล็กตรอนด้วยกลุ่มคลื่น (wave packet) ซึ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร็วกลุ่ม (group velocity) ที่เท่ากับความเร็วของอนุภาค ซึ่งกลศาสตร์ควอนตัมจึงแตกต่างจากกลศาสตร์ของนิวตัน ตรงที่บอกความน่าจะเป็นในการพบอนุภาคในรูปกลุ่มคลื่นในขณะที่กลศาสตร์นิวตันจะบอกการพบอนุภาคตรงๆ

 

ก. กลุ่มคลื่นแคบ บอกตำแหน่งของอนุภาค    (\Delta x)ได้ง่าย

แต่บอกความยาวคลื่น  \lambdaถูกต้องได้ยาก

ข. กลุ่มคลื่นกว้าง บอกตำแหน่งของอนุภาค (\Delta x)ได้ยาก

แต่บอกความยาวคลื่น  \lambda  ถูกต้องได้ง่าย

รูป 19.49 การบอกตำแหน่งของอนุภาคในรูปกลุ่มคลื่น

 

                กลศาสตร์ควอนตัมประสบความสำเร็จในการอธิบายอะตอมไฮโดรเจน การแก้สมการคลื่นชเรอดิงเงอร์ ให้ผลลัพธ์ที่แสดงให้เห็นความไม่ต่อเนื่องของพลังงานและโมเมนตัมเชิงมุมของอิเล็กตรอนตรงกับที่ได้จากสมมติฐานในทฤษฎีอะตอมของโบร์ นอกจากนั้นกลศาสตร์ควอนตัมยังสามารถคำนวณระดับพลังงานชั้นต่างๆ ของอะตอมที่มีอิเล็กตรอนมากกว่าหนึ่งตัวขึ้นไปได้ ซึ่งสอดคล้องกับเส้นสเปกตรัมที่ได้จากอะตอมนั้นๆ จึงสรุปได้ว่า กลศาสตร์ควอนตัมสามารถอธิบายอะตอมได้กว้างขวางกว่าและดีกว่าทฤษฎีอะตอมของโบร์มาก ทฤษฎีนี้จึงเป็นที่ยอมรับกันมาจนถึงปัจจุบัน 

 

 

               หลักความไม่แน่นอน

                วิชากลศาสตร์ควอนตัมมีพื้นฐานมากจากความเป็นทวิภาพของคลื่นและอนุภาค คือคลื่นอาจแสดงสมบัติเสมือนเป็นอนุภาค และอนุภาคอาจแสดงสมบัติเสมือนคลื่นก็ได้เช่นกัน เพราะสิ่งที่เล็กระดับอะตอมไม่สามารถจะเห็นได้ ดังนั้นการบรรยายสมบัติของสิ่งดังกล่าวในรูปคลื่นและอนุภาคจึงเป็นการเทียบกับสิ่งที่เราเห็น ความถูกต้องจึงอยู่ในขอบเขตจำกัดอันหนึ่งเท่านั้น

 

รูป 19.50 ไฮเซนเบิร์ก

 

Wermer Kari Heisenberg พ.ศ. 2444 - 2519 นักฟิสิกส์ชาวเยอรมันเป็นผู้หนึ่งที่มีส่วนในการพัฒนากลศาสตร์ควอนตัมและได้รับการยกย่องว่าเป็นบิดาแห่งกลศาสตร์ควอนตัมเขาเป็นผู้เสนอหลักความไม่แน่นอนและสมมติฐานโปรตอน - นิวตรอน ไฮเซนเบิร์ก ได้รับรางวัลโนเบลสาขาฟิสิกส์ เมื่อ พ.ศ. 2475

เมื่อกล่าวว่าอิเล็กตรอนเป็นอนุภาค เรามักคิดถึงอนุภาคในลักษณะที่มีขนาดแน่นอนและมีขนาดเล็กมาก แต่ถ้าคิดว่าอิเล็กตรอนเป็นคลื่น ขนาดและตำแหน่งของอิเล็กตรอนย่อมกระจายอยู่ในอาณาเขตขนาดหนึ่ง ทำให้ไม่สามารถบอกได้แน่ชัดว่าอิเล็กตรอนอยู่ ณ ที่ใด ปี พ.ศ. 2470 ไฮเซนเบิร์ก (Werner K. Heisenberg) ได้ตั้งหลักความไม่แน่นอนของไฮเซนเบิร์ก (uncertainly principle) ว่าในการวัดปริมาณใดๆ ก็ตาม ปริมาณที่สังยุคกับปริมาณนั้นจะถูกรบกวนเสมอ จนเราไม่อาจรู้ปริมาณทั้งสองได้อย่างถูกต้องพร้อมกัน เช่น ถ้าต้องการรู้ตำแหน่งของอนุภาค เราต้องให้อนุภาคหยุด แต่ถ้าเราต้องการรู้ความเร็ว เราต้องไม่ให้มันหยุด นั่นคือเราจะไม่รู้ตำแหน่งนั้นอย่างแม่นยำอีกต่อไป

จากหลักความไม่แน่นอนของไฮเซนเบิร์กนี้ จึงเห็นได้ว่าในการวัดปริมาณใดๆ จะมีความไม่แน่นอนปรากฏอยู่เสมอในธรรมชาติ นอกเหนือจากความไม่แน่นอนที่เกิดจากผู้วัดเครื่องวัด และวิธีการวัด โดยที่ความไม่แน่นอนทางตำแหน่งและความไม่แน่นอนทางโมเมนตัมมีความสัมพันธ์กันดังนี้

                           d (\Delta x)(\Delta p_x ) \ge \rlap{--} h  (19.31)
เมื่อ                      (\Delta x) คือ ความไม่แน่นอนของตำแหน่ง
                            (\Delta p_x) คือ ความไม่แน่นอนของโมเมนตัม
                         สมการ 19.31 แสดงขอบเขตจำกัดของการวัดในธรรมชาติว่าถึงแม้จะกระทำการวัดตำแหน่งและโมเมนตัมของอนุภาคอย่างสมบูรณ์ที่สุด แต่ผลคูณของความผิดพลาดจะมีค่าอย่างน้อย  \rlap{--} h เสมอ

                         จะเห็นได้ว่า หลักความไม่แน่นอนนอกจากจะมีส่วนสำคัญในการพัฒนาวิชากลศาสตร์ควอนตัมแล้ว ยังทำให้เราเข้าใจธรรมชาติดีขึ้น ว่าเหตุการณ์ต่างๆ มีความน่าจะเป็น (probability) หรือโอกาสที่จะเกิดในรูปแบบของสถิติด้วย

 

ตัวอย่าง 19.16  อนุภาคแอลฟามวล    6.7x10^{-27} กิโลกรัม เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว  6.0x10^6 เมตรต่อวินาที ถ้าความไม่แน่นอนของการวัดความเร็วเป็น  0.5x10^6 เมตรต่อวินาที ความไม่แน่นอนของตำแหน่งอนุภาคแอลฟาเป็นเท่าใด กำหนดให้มวลของอนุภาคแอลฟาคงตัว     

วิธีทำ  จากหลักความไม่แน่นอนของไฮเซนเบิร์ก

                                  \Delta x\Delta p_x  \ge \rlap{--} h
          ในที่นี้  \Delta p_x =  m\Delta v_x
                                         = 6.7x10^{ - 27} kgx0.5x10^6 ms^{ - 1}
                                         = 3.35x10^{ - 21} kg ms^{ - 1}
                                       \rlap{--} h = \frac{h}{{2\pi }} = 1.05x10^{ - 34} Js
           แทนค่า จะได้
                             \Delta x \ge \frac{{1.05x10^{ - 34} Js}}{{3.35x10^{ - 21} kgms^{ - 1} }}
                            \ge 3.1x10^{ - 14} m

คำตอบ   ความไม่แน่นอนของตำแหน่งอนุภาคแอลฟาเป็น     3.1x10^{-14} เมตร

 

               โครงสร้างอะตอมตามแนวคิดกลศาสตร์ควอนตัม

                ตามหลักความไม่แน่นอน เราไม่สามารถระบุได้ว่าอิเล็กตรอนที่เคลื่อนที่รอบนิวเคลียสของอะตอมนั้นอยู่ที่ใดได้แน่นอน หรือเคลื่อนที่ในลักษณะใดได้อีกต่อไป เราบอกได้แต่เพียงโอกาสที่จะพบอิเล็กตรอน ณ ที่ต่างๆ  ว่าเป็นเท่าใดเท่านั้น พฤติกรรมต่างๆ ของอิเล็กตรอนในอะตอมจะหาได้จากการแก้สมการคลื่นของชเรอดิงเงอร์ ซึ่งให้คำตอบที่สมบูรณ์กว่าทฤษฎีอะตอมของโบร์ ทำให้มีการจินตนาการภาพโอกาสการค้นพบอิเล็กตรอนรอบอะตอม เหมือนกลุ่มหมอกห่อหุ้มนิวเคลียสอยู่ หากโอกาสที่จะพบอิเล็กตรอน ณ ที่ใดมากที่นั้นจะมีกลุ่มหมอกหนาแน่น

                ภาพกลุ่มหมอกหรือโอกาสที่จะพบอิเล็กตรอนรอบๆอะตอมเป็นไปได้หลายรูปแบบ อะตอมไฮโดรเจนซึ่งอิเล็กตรอนมีระดับพลังงานต่ำสุด กลุ่มหมอกเป็นกลุ่มทรงกลม คือ โอกาสที่จะพบอิเล็กตรอน ณ ตำแหน่งที่ห่างจากนิวเคลียสในทุกทิศทางเป็นระยะทางเท่ากันจะเท่ากันหมด กรณีที่อิเล็กตรอนมีระดับพลังงานสูงขึ้น กลุ่มหมอกจะจัดตัวแตกต่างจากรูปทรงกลม ดังรูป 19.51

รูป 19.51 ภาพแสดงกลุ่มหมอกของอะตอมไฮโดรเจนที่ระดับพลังงานต่างๆ

 

                ประเด็นสำคัญที่ได้จากกลศาสตร์ควอนตัมคือ การมีเลขควอนตัม  n  =  1, 2, 3 ... และระดับพลังงานของอิเล็กตรอนตรงกับทฤษฎีอะตอมของโบร์คือ     E_n  =  - \frac{1}{2}\frac{{mk^2 e^4 }}{{h^2 }}\left( {\frac{1}{{n^2 }}} \right)
            
ดังนั้นแนวคิดกลศาสตร์ควอนตัมนอกจากจะอธิบายสเปกตรัมของไฮโดรเจนได้เช่นเดียวกับทฤษฎีอะตอมของโบร์ แล้วยังสามารถอธิบายการแยกสเปกตรัมเส้นหนึ่งเป็นหลายเส้น เมื่ออะตอมอยู่ในสนามแม่เหล็กได้อีกด้วย สำหรับกรณีอะตอมที่มีอิเล็กตรอนมากกว่าหนึ่งตัวสมการชเรอดิงเงอร์จะซับซ้อนมาก ซึ่งจะได้ศึกษาในมหาวิทยาลัยต่อไป

                นอกจากจะสามารถอธิบายสมบัติของอะตอมได้แล้วกลศาสตร์ควอนตัมยังสามารถอธิบายสมบัติต่างๆของของแข็ง เช่นสมบัติการนำไฟฟ้าของสารกึ่งตัวนำ สารกึ่งตัวนำ ฉนวนได้ด้วยทำให้เกิดเทคโนโลยีด้านไมโครอิเล็กทรอนิกส์ที่เจริญก้าวหน้าอย่างรวดเร็ว

                - จงเขียนแผนภาพเปรียบเทียบแบบจำลองอะตอมของทอมสัน รัทเทอร์ฟอร์ด, โบร์ และแบบจำลองตามทฤษฎีกลศาสตร์ควอนตัม