วิชาการ.คอม-บทเรียนออนไลน์-การสลายของนิวเคลียสกัมมันตรังสี | บทเรียน วิชาการ.คอม
ฟิสิกส์
 

การสลายของนิวเคลียสกัมมันตรังสี

สร้างเมื่อ 25 เม.ย. 2555 15:46:49
  • ระดับม.6
  • 13,922 view

การสลายของนิวเคลียสกัมมันตรังสี

                   ในการศึกษาการสลายของนิวเคลียสของยูเรเนียม -238 พบว่า นอกจากจะมีทอเรียม -234 และอนุภาคแอลฟาออกมาแล้ว ทอเรียมยังสลายต่อไปเป็นโพรแทกทิเนียม -234 พร้อมทั้งปล่อยอนุภาคบีตาและรังสีแกมมาออกมาด้วย โพรแทกทิเนียม -234 นี้จะสลายต่อไปอีก อาจเขียนลำดับการสลายของนิวเคลียสยูเรเนียม -238 เป็นอนุกรมได้ดังตาราง 20.1 ในตารางนี้สัญลักษณ์  \displaystyle \alpha , \displaystyle \beta , \displaystyle \gamma     ที่เขียนกำกับลูกศรนั้นแสดงชนิดของอนุภาค หรือรังสีที่ได้จากการสลาย สำหรับตะกั่ว -206 ซึ่งเป็นธาตุสุดท้ายในอนุกรมนี้เป็น ธาตุเสถียร จึงไม่มีการสลายอีกต่อไป 

ตาราง 20.1 แสดงลำดับการสลายของธาตุกัมมันตรังสีในอนุกรมของยูเรเนียม -238

                       

                นอกจากอนุกรมการสลายของยูเรเนียม -238 ดังกล่าวมาแล้วนั้น พบว่ามีอีก 2 อนุกรมซึ่งเป็นการสลายของธาตุกัมมันตรังสีธรรมชาติ ได้แก่ อนุกรมที่เริ่มต้นด้วยยูเรเนียม -235 โดยมีตะกั่ว -207 เป็นธาตุสุดท้ายในอนุกรมและอนุกรมที่เริ่มต้นด้วยทอเรยม -232 โดยมีตะกั่ว -208 เป็นธาตุสุดท้ายในอนุกรม

ในการสลายของธาตุกัมมันตรังสีในอนุกรมของยูเรเนียม -238 พบว่า อะตอมของพอโลเนียม -218 จะลดจำนวนลงครึ่งหนึ่งในเวลาเพียง 3.05 นาที ในขณะที่อะตอมของเรเดียม -226 ต้องใช้เวลาถึง 1620 ปี จึงจะลดจำนวนลงครึ่งหนึ่ง จะเห็นได้ว่า ธาตุกัมมันตรังสีแต่ละชนิดมีอัตราการสลายต่างกัน การสลายของธาตุเหล่านี้มีกฎเกณฑ์อย่างไร จะได้ศึกษาต่อไปนี้

ในปี พ.ศ. 2445 รัทเทอร์ฟอร์ด และซอดดี ได้ตั้งสมมติฐานเพื่อใช้อธิบายการสลายของธาตุกัมมันตรังสี ซึ่งอาจกล่าว

โดยสรุปได้ดังนี้

1. ธาตุกัมมันตรังสีจะสลายกลายเป็นธาตุใหม่ด้วย การปล่อยอนุภาคแอลฟา หรืออนุภาคบีตา ธาตุใหม่ที่ได้จากการ

สลายนี้จะมีสมบัติทางเคมีผิดแผกไปจากธาตุเดิมและธาตุใหม่นี้อาจจะเป็นธาตุกัมมันตรังสีก็ได้

2. การสลายของธาตุกัมมันตรังสีไม่ขึ้นกับสภาพแวดล้อมภายนอกนิวเคลียส เช่น อุณหภูมิ ความดัน เป็นต้น แต่การ

สลายนี้จะเป็นไปตามหลักการทางสถิติที่เกี่ยวข้องกับโอกาสและกระบวนการแบบสุ่ม เช่น ถ้ามีธาตุกัมมันตรังสีอยู่จำนวนหนึ่ง เราไม่สามารถบอกได้ว่า นิวเคลียสในธาตุนั้นจะสลายก่อนหรือหลัง เรากล่าวได้แต่เพียงว่า ทุกนิวเคลียสมีโอกาสเท่าๆกันที่จะสลายในช่วงเวลาหนึ่ง และโอกาสเช่นว่านี้จะไม่ขึ้นกับสภาพแวดล้อมและเวลา นอกจากนี้อัตราการสลายของนิวเคลียสของธาตุกัมมันตรังสีขณะใดขณะหนึ่งจะแปรผันตรงกับจำนวนนิวเคลียสของธาตุกัมมันตรังสีนั้นที่มีอยู่ในขณะนั้น

ถ้าให้       N             เป็นจำนวนนิวเคลียสของธาตุกัมมันตรังสีที่มีอยู่ขณะเวลา t

\displaystyle \Delta N    เป็นจำนวนนิวเคลียสที่สลายไปในช่วงเวลาสั้นๆ    \displaystyle \Delta t    นับจากเวลา t

                ดังนั้น  แสดงจำนวนนิวเคลียสที่สลายไปใน 1 หน่วยเวลา ซึ่งปริมาณนี้ก็คืออัตราการสลายของนิวเคลียส ณ เวลา t นั่นเอง ปริมาณนี้เป็นปริมาณที่แปรผันตรงกับจำนวนของนิวเคลียสที่มีในขณะนั้น ดังนั้นจึงอาจเขียนเป็นความสัมพันธ์ได้ว่า

 

\displaystyle \frac{{\Delta N}}{{\Delta t}}\alpha N

หรือ        [/tex]\frac{{\Delta N}}{{\Delta t}} =  - \lambda N[/tex]                                             (20.1)

                                                               

โดยที่      \displaystyle \lambda เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน ซึ่งมีค่าขึ้นอยู่กับชนิดของนิวเคลียสของธาตุกัมมันตรังสี ค่าคงตัวนี้เรียก  ค่าคงตัวการสลาย เครื่องหมายลบแสดงการลดลงของจำนวนนิวเคลียสเมื่อเวลาผ่านไป

ถ้าช่วงเวลา  \displaystyle \Delta t     มีค่าน้อยมาก   \displaystyle (\Delta t \to 0) เราสามารถใช้ความรู้แคลคูลัส เขียนสมการ (20.1) ได้เป็น
\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{\Delta N}}{{\Delta t}} = \frac{{dN}}{{dt}} =  - \lambda N                                 (20.2)
                      หรือ\displaystyle - \frac{{dN}}{{dt}} = \lambda N
                     ปริมาณ \displaystyle - \frac{{dN}}{{dt}} บอกอัตราการลดลงของจำนวนนิวเคลียสของธาตุ
กัมมันตรังสี ซึ่งก็คืออัตรการแผ่รังสีในขณะหนึ่งนั่นเอง เรียกปริมาณนี้ว่า กัมมันตภาพ ของธาตุกัมมันตรังสี นิยมแทนด้วยสัญลักษณ์ Aปริมาณนี้หาได้จากจำนวนนิวเคลียสที่สลายต่อวินาที ในระบบเอสไอ A มีหน่วยเป็นเบ็กเคอเรล ใช้สัญลักษณ์ Bq

ในทางปฏิบัตินิยมวัดกัมมันตภาพเป็นหน่วยคูรี ซึ่งมีสัญลักษณ์เป็น Ci โดยนิยามว่า 1 คูรีมีค่าเท่ากับ \displaystyle 3.7x10^{10}   เบ็กเคอเรล จะเห็นได้ว่ากัมมันตภาพ 1 คูรีนั้นมีค่าสูงมาก จึงนิยมใช้หน่วยที่เล็กกว่า คือ มิลลิคูรี และไมโครคูรี ซึ่งมีสัญลักษณ์เป็น mCi และ \displaystyle \mu Ci  ตามลำดับ

                                และ \displaystyle \mu Ci  ตามลำดับ
                                                        \displaystyle 1mCi = 3.7x10^7 Bq
                                                      \displaystyle 1\mu Ci = 3.7x10^4 Bq

ถ้าธาตุกัมมันตรังสีธาตุหนึ่ง สลายโดยปล่อยรังสีบีตา ขณะที่ธาตุนี้มีกัมมันตภาพ 1 คูรี จะสลายให้อนุภาคบีตา \displaystyle 3.7x10^{10}   ตัวต่อวินาที การหากัมมันตภาพของธาตุกัมมันตรังสีนั้น

 

รูป 20.7 เครื่องวัดรังสีแบบหนึ่ง   

 

อาจทำได้โดยผ่านรังสีไปในแก๊สในเครื่องวัดรังสีให้แก๊สแตกตัวเป็นไอออน อัตราการแตกตัวเป็นไอออนที่วัดได้ขณะหนึ่งจะแปรผันตรงกับกัมมันตภาพของธาตุในขณะนั้น

 

สมการ (20.2) เป็นสมการอนุพันธ์ จะไม่แสดงวิธีหาคำตอบของสมการนี้โดยวิธีการทางคณิตศาสตร์จะเพียงแต่สรุปว่า

สมการแสดงความสัมพันธ์ระหว่าง      N  กับ t  จะอยู่ในรูป

                                \displaystyle N = N_0 e^{ - \lambda t}                                                                              (20.3)

เมื่อ          \displaystyle N_0   เป็นจำนวนนิวเคลียสของธาตุกัมมันตรังสีเมื่อเริ่มพิจารณา (t = 0)

                N             เป็นจำนวนนิวเคลียสของธาตุกัมมันตรังสีที่ยังไม่สลายตัวหรือที่เหลืออยู่เมื่อเวลาผ่านไป t

                e              เป็นค่าคงตัวซึ่งเท่ากับ 2.7182818

                สมการ (20.3) อธิบายการสลายของธาตุกัมมันตรังสีเชิงปริมาณ เมื่อเขียนกราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่าง N กับ t ตามสมการนี้จะได้กราฟดังรูป 20.8 ซึ่งแสดงให้เห็นว่าจำนวนนิวเคลียสกัมมันตรังสีจะเหลือน้อยลงเมื่อเวลาผ่านไป เรียกช่วงเวลาของการสลายที่จำนวนนิวเคลียสลดลงเหลือครึ่งหนึ่งของจำนวนเริ่มต้นว่า ครึ่งชีวิต ของธาตุกัมมันตรังสี นิยมใช้สัญลักษณ์ \displaystyle T_{1/2}  แทนธาตุกัมมันตรังสีชนิดหนึ่งจะมีครึ่งชีวิตคงตัวและมีค่าไม่ซ้ำกับครึ่งชีวิตของธาตุกัมมันตรังสีอื่นๆ ดังตัวอย่างที่แสดงในตาราง 20.1 และ 20.2

 

ตาราง 20.2 แสดงครึ่งชีวิตของธาตุกัมมันตรังสีบางธาตุ

ธาตุกัมมันตรังสี

ครึ่งชีวิต

โซเดียม - 24

15 ชั่วโมง

ไอโอดีน  - 131

8 วัน

ฟอฟฟอรัส - 32

14 วัน

กำมะถัน - 35

87 วัน

โคบอลต์ - 60

5.3 ปี

คาร์บอน - 14

5570 ปี

 

                พิจารณากราฟในรูป (20.8) ในตอนเริ่มต้นมีจำนวนนิวเคลียสกัมมันตรังสีอยู่  \displaystyle N_0    เมื่อเวลาผ่านไปเท่ากับครึ่งชีวิต จำนวนนิวเคลียสกัมมันตรังสีจะลดลงเหลือเพียง \displaystyle \frac{{N_0 }}{2}  และถ้าให้เวลาผ่านต่อไปอีกเท่ากับ \displaystyle T_{1/2}     นั่นคือเวลาผ่านไปเป็น\displaystyle 2T_{1/2}    
                   จากเริ่มต้น จำนวนนิวเคลียสกัมมันตรังสีก็จะลดลงอีกครึ่งหนึ่งของจำนวนที่เหลือ กล่าวคือ จะเหลือเพียง \displaystyle \frac{{N_0 }}{4} ในทำนองเดียวกันถ้าเวลาผ่านไปเป็น\displaystyle 3T_{1/2}, 4T_{1/2}     จากตอนเริ่มต้นก็จะมีจำนวนนิวเคลียสกัมมันตรังสีเหลือเป็น \displaystyle \frac{{N_0 }}{8} , \frac{{N_0 }}{16} ตามลำดับ  นั่นคือถ้าเวลาผ่านไปเป็น \displaystyle n T_1/2     จากตอนเริ่มต้นจำนวนนิวเคลียสของธาตุกัมมันตรังสีจะเหลืออยู่เท่ากับ \displaystyle \frac{{N_0 }}{2}^2 นิวเคลียส

 

 

รูป 20.8 การลดจำนวนนิวเคลียสของธาตุกัมมันตรังสี ณ เวลาต่างๆ

 

                จากสมการ (20.3) ถ้าพิจารณาเวลา \displaystyle T = T_{1/2}       ขณะนั้นมีจำนวนนิวเคลียสกัมมันตรังสี            

N     เท่ากับ         \displaystyle \frac{{N_0 }}{2} เมื่อแทนในสมการจะได้
                           \displaystyle e^{ - \lambda T_{\frac{1}{2}} }  = \frac{1}{2}
             หรือ      \displaystyle e^{ + \lambda T_{\frac{1}{2}} }  = 2
             จากนิยามของ log จะได้ว่า
                          \displaystyle \lambda T_{\frac{1}{2}}  = In2
                                                                                                  = 0.693
           ดังนั้น \displaystyle T_{\frac{1}{2}}  = \frac{{0.693}}{\lambda }                 (20.4)
            สมการ (20.4) แสดงว่า ธาตุกัมมันตรังสีที่มีค่าครึ่งชีวิตมาก จะมีค่าคงตัวการสลายน้อย จึงอาจกล่าวได้ว่าค่าคงตัวของการสลายแสดงถึงโอกาสของการสลาของนิวเคลียสกัมมันตรังสีใน 1 หน่วยเวลา เช่น โพรแทกทิเนียม -234 สลายไปเป็นยูเรเนียม -234 จะมีครึ่งชีวิต 1.18 นาที และค่าคงตัวของการสลายนี้คำนวณหาจากสมการ (20.4) ได้เท่ากับ  เท่ากับ  \lambda  = \frac{{0.693}}{{1.18x60}} = \frac{1}{{100}}     ต่อวินาที  ซึ่งหมายความว่าในเวลา 1 วินาที โอกาสของการสลายของนิวเคลียสกัมมันตรังสีจะเป็น 1 ใน 100

 

อย่างไรก็ตามในทางปฏิบัตินั้น การวัดหาจำนวนนิวเคลียสโดยตรงทำได้ยาก ดังนั้นการศึกษาการสลายของธาตุ

กัมมันตรังสีจากสมการ (20.3) โดยตรงจึงไม่สะดวกในทางปฏิบัติ แต่ถ้าเราแทนสมการนี้ลงในสมการ (20.2) จะพบว่าได้ผลเป็น

                                     \displaystyle \frac{{dN}}{{dt}} =  - \lambda N_0 e^{ - \lambda t}
                     และถ้าให้\displaystyle A_0     เป็นกัมมันตภาพขณะเริ่มต้น (t = 0)
                                         A           เป็นกัมมันตภาพที่เวลา t ใดๆ นับจากเริ่มต้น
                     จะได้ \displaystyle A_0  =  + \lambda N_0  
                     และ \displaystyle A =  - \frac{{dN}}{{dt}}
                    นั่นคือ \displaystyle A = A_0 e^{ - \lambda t}                               (20.5)

                ซึ่งสมการ (20.5) นี้มีรูปสมการเหมือนกับสมการ (20.3) และเนื่องจากปริมาณกัมมันตภาพนี้เป็นปริมาณที่สามารถหาได้จากอัตราการแตกตัวเป็นไอออนของแก๊สในเครื่องวัดรังสีดังที่ได้กล่าวมาแล้ว จึงนิยมศึกษาการสลายของธาตุกัมมันตรังสี โดยอาศัยสมการ (20.5)

                นอกจากนี้เราอาจใช้สมการ (20.3) และ (20.5) บอกถึงการเปลี่ยนแปลงปริมาณของธาตุกัมมันตรังสีที่เวลาขณะใดขณะหนึ่งได้ ทั้งนี้เพราะจำนวนนิวเคลียสแปรผันตรงกับมวลของธาตุดังที่ทราบกันอยู่แล้ว เช่น ถ้ามีเรเดียมอยู่ 20 กรัม โดยเรเดียมมีเวลาครึ่งชีวิต 1620 ปี เราจะบอกไดว่า หลังจากนี้ไปเป็นเวลา 1620 ปี จะมีเรเดียมเหลืออยู่ 10 กรัม เป็นต้น

                ดังนั้น ถ้าให้  \displaystyle m_0    เป็นมวลของธาตุกัมมันตรังสีขณะเริ่มต้นพิจารณาซึ่งเวลานั้นจำนวนนิวเคลียสเป็น \displaystyle N_0   

                                m             เป็นมวลของธาตุกัมมันตรังสีที่เวลา t ใดๆ นับจากเริ่มต้น ซึ่งที่เวลานี้มีจำนวนนิวเคลียสเป็น N 

                จะได้      \displaystyle m = m_0 e^{ - \lambda t}                                                                    (20.6)

 

ตัวอย่าง 20.1 ธาตุกัมมันตรังสีไอโอดีน - 126 มีครึ่งชีวิต 13.3 วัน ถ้าในขณะหนึ่งไอโอดีนนี้มีมวล 10 กรัม จงหาว่า

                ก.  จะต้องใช้เวลานานเท่าใด จึงจะเหลือไอโอดีน - 126 จากการสลายเท่ากับ 2.5 กรัม

                ข.  ถ้าเวลาผ่านไป 20 วัน จะมีไอโอดีน - 126 เหลืออยู่กี่กรัม

วิธีทำ  ก. ระยะเวลาที่ไอโอดีนกัมมันตรังสี 10 กรัม สลายไปบางส่วนและเหลืออยู่ 2.5 กรัม หาได้โดยใช้สมการ (20.6) ซึ่งในที่นี้

                                                m       =        2.5                      กรัม

                   \displaystyle N_0  =  10    กรัม
สำหรับ      \displaystyle \lambda นั้นหาได้จากสมการ (20.4) ซึ่งในที่นี้ครึ่งชีวิตมีค่า 13.3 วัน
                   ดังนั้น \displaystyle \lambda  = \frac{{0.693}}{{13.3}}
                                                      = 0.0521  ต่อวัน
=              26.6   วัน

แทนค่าลงในสมการ (20.6) จะได้
                                    2.5 กรัม                           = (10 กรัม) \displaystyle e^{ - (0.0521_µèÍÇѹ)(t)}
                    หรือ\displaystyle e^{ + (0.0521_µèÍÇѹ)t}  =  4.0
                            และ (0.0521 ต่อวัน)    t          = In  4.0
                                            \displaystyle t = \frac{{1.386}}{{0.0521}} 
 

                                                                          

 ตอบ   นั่นคือ ต้องใช้เวลา 26.6 วัน ไอโอดีน - 126 จึงจะเหลือ 2.5 กรัม

 

ข. การหาปริมาณธาตุกัมมันตรังสีที่เหลืออยู่ขณะเวลา t ใดๆ สามารถหาได้จากสมการ (20.6) ในที่นี้

\displaystyle m_0  =  10      กรัม
                          t                           =          20  วัน
          \displaystyle \lambda  = 0.0521  ต่อวัน
          จะได้ \displaystyle m  = 10e^{ - (0.0521)(20)} กรัม
                       \displaystyle   = 10e^{ - (1.04)}  กรัม
       เนื่องจาก \displaystyle   = e^{ - (1.04)}  =  0.353   
                นั่นคือ    m                   =            3.53   กรัม

 ตอบ    นั่นคือ เมื่อเวลาผ่านไป 20 วัน จะมีปริมาณไอโอดีน - 126 เหลืออยู่จากการสลายเท่ากับ 3.53 กรัม

 

                ตามปกติในการสลายของธาตุกัมมันตรังสีนั้น  การหาโอกาสที่นิวเคลียสจะสลายเป็นไปตามหลักการทางสถิติที่ได้กล่าวมาแล้ว ถ้าเราพิจารณาการทอดลูกเต๋า โอกาสที่ลูกเต๋าจะหงายหน้าใด หน้าหนึ่งขึ้นก็เป็นไปตามหลักการทางสถิติเช่นกัน ดังนั้น เราจึงอาจเปรียบเทียบการสลายของธาตุกัมมันตรังสีได้รับการทอดลูกเต๋าจากกิจกรรม 20.1 ท้ายบท

 

เมื่อเปรียบเทียบกราฟการทอดลูกเต๋ากับการสลายของนิวเคลียสกัมมันตรังสี จะพบว่ากราฟแสดงความสัมพันธ์ของจำนวนลูกเต๋าที่เหลือกับจำนวนครั้งของการทอดมีลักษณะเช่นเดียวกับกราฟแสดงจำนวนนิวเคลียสกัมมันตรังสีที่เหลือจากการสลาย ณ เวลาต่างๆ จึงกล่าวได้ว่า จำนวนลูกเต๋าที่เหลืออยู่จากการทอดแต่ละครั้งเทียบได้กับจำนวนนิวเคลียสที่เหลือจากการสลาย จำนวนครั้งที่ทอดลูกเต๋าเทียบได้กับช่วงเวลาที่เกิดการสลายของนิวเคลียสกัมมันตรังสี และจำนวนครั้งที่ทอดแล้วทำให้มีลูกเต๋าเหลือเพียงครึ่งหนึ่งของจำนวนเริ่มต้นก็เทียบได้กับครึ่งชีวิตนั่นเอง

รูป 20.9 แสดงจำนวนลูกเต๋าที่เหลือจากการทอดแต่ละครั้ง

 

                จากการทดลองนี้จะเห็นว่า ครึ่งชีวิตของการทอดลูกเต๋าที่แต้มสี 1 ห้า และ 2 หน้านั่นมีค่าไม่เท่ากัน โดยมีค่าครึ่งชีวิตของการทอดลูกเต๋าที่แต้มสี 1 หน้ามีค่ามากกว่าด้วยเหตุนี้ค่าคงตัวการสลายจากการทดลองทั้งสองตอนจึงมีค่าไม่เท่ากันด้วย ชุดลูกเต๋าที่มีสีแต้มสี 1หน้า เปรียบได้กับนิวเคลียสกัมมันตรังสีชนิดหนึ่ง ส่วนชุดลูกเต๋าที่สีแต้ม 2 หน้า ก็เปรียบได้กับนิวเคลียสกัมมันตรังสีอีกชนิดหนึ่ง

 

                - ค่าคงตัวการสลายจากการทดลองทั้งสองตอนมีค่าเท่าใด              

 

ค่าคงตัวการสลายในการทอดลูกเต๋าที่แต้มสีเพียงหน้าเดียวเท่านั้น หมายถึง โอกาสที่ลูกเต๋าจะหงายหน้าที่แต้มสีนั่นเอง ซึ่งในกรณีที่ลูกเต๋ามี 6 หน้า โอกาสที่ลูกเต๋าจะหงายหน้าใดหน้าหนึ่งนั้นเท่ากัน ค่าคงตัวการสลายในการทอดลูกเต๋าที่แต้มสี 1 หน้า จึงมีค่าเป็น \displaystyle \frac{1}{6}    ส่วนการทอดลูกเต่าที่แต้มสี 2 หน้านั้น โอกาสที่ลูกเต๋าแต่ละลูกจะหงายหน้าที่แต้มสีจะมีมากขึ้นคือเป็น\displaystyle \frac{2}{6}      เท่ากับ\displaystyle \frac{1}{3}    

                ถ้าใช้ค่าคงตัวการสลายดังกล่าวข้างต้นไปคำนวณหาครึ่งชีวิตโดยอาศัยสมการ (20.4) จะพบว่าครึ่งชีวิตของการทอดลูกเต๋าที่แต้มสี 1 หน้า และ 2 หน้า มีค่าประมาณ 4 และ 2 ตามลำดับ นั่นคือ ถ้าทอดลูกเต๋าที่แต้มสี 1 หน้าไปเพียง 4 ครั้ง จะพบว่ามีลูกเต๋าเหลืออยู่ครึ่งหนึ่งของตอนเริ่มต้น