วิชาการ.คอม-บทเรียนออนไลน์-รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน (The nth Roots of Complex Number) | บทเรียน วิชาการ.คอม
คณิตศาสตร์
 

รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน (The nth Roots of Complex Number)

สร้างเมื่อ 16 พ.ค. 2556 15:42:23
  • ระดับม.5
  • 10,555 view

1.6 รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน (The nth Roots of Complex Number)  

            ประโยชน์ของทฤษฎีบทของเดอมัวร์ คือการหาคำตอบของสมการ   zn = w เมื่อ w เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่กำหนดให้ และ n เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งคำตอบของสมการก็คือรากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน w นั่นเอง   ดังนั้นในหัวข้อนี้จะกล่าวถึงการนำทฤษฎีบทของเดอมัวร์ไปช่วยในการหารากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน ดังตัวอย่างต่อไปนี้

 

ตัวอย่างที่    จงหารากที่ 3 ของ 1

วิธีทำ   เนื่องจาก   1 = 1+0i = 1(cos 0 + isin 0)

                          ถ้าให้       เป็นรากที่สามของ 1

                          โดยทฤษฎีบทของเดอมัวร์ จะได้      

                          ฉะนั้น   r3  = 1  และ     

                           จึงได้ว่า  r = 1   และ      เมื่อ k เป็นจำนวนเต็ม

                            นั่นคือ   

                           ฉะนั้น     

                            เมื่อ   k = 0 จะได้   z1  =  1  

                            เมื่อ  k = 1 จะได้     

                            เมื่อ   k = 2 จะได้      

            เมื่อแทนค่า k ด้วยจำนวนเต็มอื่นๆ จะได้จำนวนเชิงซ้อนที่ซ้ำกับ z1, z2, z3   แสดงว่ารากที่ 3 ของ 1 คือ z1, z2, z3   เท่านั้น

            แผนภาพของรากที่ 3 ของ 1 แสดงได้โดยวงกลมรัศมีหนึ่งหน่วย ดังนี้

            สังเกตว่าเวกเตอร์ที่แทนรากที่ 3 ของ 1 แต่ละคู่ที่อยู่ในลำดับติดกัน ทำมุมขนาด     เท่ากันทุกคู่

 

ตัวอย่างที่  2    จงหารากที่ 6 ของ 64

วิธีทำ   เนื่องจาก      

                           ถ้าให้      เป็นรากที่ 6 ของ  - 64

                           โดยทฤษฎีบทของเดอมัวร์ จะได้     

                           ฉะนั้น      และ     

                            จึงได้ว่า  r = 2 และ       เมื่อ k เป็นจำนวนเต็ม

                            นั่นคือ      

                             ฉะนั้น      

                            เมื่อ k = 0 จะได้     

                            เมื่อ k = 1 จะได้        

                            เมื่อ k = 2 จะได้       

                            เมื่อ k = 3 จะได้      

                            เมื่อ k =  4 จะได้   

                            เมื่อ k = 5 จะได้      

 

            เมื่อแทนค่า k ด้วยจำนวนเต็มอื่นๆ จะได้จำนวนเชิงซ้อนที่ซ้ำกับ z1, z2, …, z6  แสดงว่ารากที่ 6 ของ  - 64 คือ z1, z2, …, z6     เท่านั้น

            แผนภาพของรากที่ 6 ของ  - 64 แสดงได้โดยวงกลมรัศมียาว 2 หน่วย ดังนี้

                                                                                   

ตัวอย่างที่  3  จงหารากที่ 4 ของ     

วิธีทำ   ให้       

                           ดังนั้น      

                           โดยทฤษฎีบทของเดอมัวร์ จะได้

                            

                             ดังนั้น     

                            จึงได้ว่า    

                            ฉะนั้น    

                            เมื่อ k = 0 จะได้ว่า      

                            เมื่อ k = 1 จะได้ว่า      

                            เมื่อ k = 2 จะได้ว่า      

                            เมื่อ k = 3 จะได้ว่า    

 

            แผนภาพของรากที่ 4 ของ    แสดงได้โดยวงกลมรัศมียาว  หน่วย ดังนี้

 

 

จากตัวอย่างทั้งสาม สามารถสรุปเป็นทฤษฎีบทได้ดังนี้

 

 ทฤษฎีบท   ถ้า      แล้วรากที่ n ของ w มีทั้งหมด n ราก   ที่แตกต่างกันคือ 

                                         




จำไว้ตลอด

บทเรียนที่เกี่ยวข้อง
การสร้างจำนวนเชิงซ้อน
แบบฝึกหัดการสร้างจำนวนเชิงซ้อน
สมบัติเชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน
แบบฝึกหัดสมบัติเชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน
รากที่สองของจำนวนเชิงซ้อน (square Roots of Compkex Numbers)
แบบฝึกหัดรากที่สองของจำนวนเชิงซ้อน (square Roots of Compkex Numbers)
กราฟและค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน (Graph and Absolute value of Complex Numbers)
แบบฝึกหัดกราฟและค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน (Graph and Absolute value of Complex Numbers)
จำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว (Pliar From of Complex Numbers)
แบบฝึกหัดจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว (Pliar From of Complex Numbers)
รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน (The nth Roots of Complex Number)
สมการพหุนาม (Polynomial Equations)
แบบฝึกหัดสมการพหุนาม (Polynomial Equations)