วิชาการ.คอม - ผลงานของ MathBat Team (MathBat Team)

MathBat Team (MathBat Team)

โพสต์ล่าสุด

1 December 2007, 2:27 pm จากกระทู้ [ความน่าจะเป็น] ต้องเปิดถุงขนมกี่ถุง จึงจะได้ของเล่นครบ? (ชมแล้ว: 80,405 ครั้ง)

หนทางสู่ General Solution

สมมติว่าของเล่นทั้งหมดมีอยู่ k ชนิดและผมไปซื้อขนมมา n ถุง
ทีนี้ผมจะหาว่าโอกาสที่ผมจะได้ขนมครบทุกชนิดจากการซื้อขนม n ถุงเป็นเท่าไร
ถ้าหาโอกาสนี้ได้เราก็จะรู้ว่าเราจะมั่นใจได้กี่%ว่าจะได้ของเล่นครบทุกชนิดจากการซื้อ n ถุง
อธิบายมาถึงตรงนี้เข้าใจกันบ้างไหมครับ ถ้างงให้กลับขึ้นไปอ่านใหม่ไม่งั้นอ่านต่องงแน่ๆ

ณ ตรงนี้ผมจะแบ่งเป็น 2 กรณีดังนี้ครับ

กรณีที่ 1 n < k
เห็นได้ชัดเลยว่าในกรณีนี้ไม่มีทางเป็นไปได้นะครับที่เราจะได้ของเล่น k ชิ้น
เพราะถุงนึงมีของเล่น 1 ชิ้นแต่ซื้อยังไม่ถึง k ถึงเลยจะได้ครบได้ยังไงกัน

กรณีที่ 2 n >= k
มาตกลงสัญลักษณ์ในการคำนวณของผมกันก่อนนะครับ
ผมจะแทนของเล่นชิ้นที่ 1 ถึง k ด้วย $\displaystyle{x_{1},x_{2},\cdots,x_{k}}$ แทน+ด้วยหรือ แทน*ด้วยและ
ยกตัวอย่างนะครับเพื่อความเข้าใจถ้าผมซื้อขนมมาถุงนึงผมจะได้ของเล่นแบบใดบ้าง
คำตอบก็คือ $\displaystyle{x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{k}}$
แปลเป็นคำพูดได้ว่า ชนิดที่ 1 หรือ ชนิดที่ 2 หรือ...หรือ ชนิดที่ k
ลองอีกสักอันนะครับเพื่อความมั่นใจว่าเข้าใจจริง ๆ ทีนี้เปลี่ยนเป็น 2 ถุง
คำตอบคือ $\displaystyle{\sum_{i=1}^{k}x_{i}^{2}+2\sum_{1\leq i<j\leq k}x_{i}x_{j}}$
จากคำตอบนี้เราได้อะไรบ้างเราได้ว่าโอกาสที่ซื้อขนม 2 ถุงแล้วโอกาสที่
1.ได้ของเล่นเหมือนกัน 2 อันเป็น $\dfrac{n}{n^{2}}=\dfrac{1}{n}$
2.ได้ของเล่นต่างกันเป็น $\dfrac{2\left(\dfrac{n^{2}-n}{2}\right)}{n^{2}}=\dfrac{n-1}{n}$
ลองไปคิดกันต่อดูนะครับถ้าไม่ได้ผมจะมาโพสท์ต่อจนจบ
แต่สูตรที่ผมหาได้มันยุ่งมากครับกำลังพยายามหาเอกลักษณ์สวย ๆ มาแทนอยู่

บทความ โดยสมาชิกท่านนี้

[Blog] Blog ของ MathBat Team (views: 95)
เรื่องราวน่าสนใจ น่่าตื่นเต้น ที่ฉันพบเห็น และอยากบันทึกไว้ และอยากแบ่งปันให้ ทุกคนได้อ่านใน Blog ของ MathBat Team

กระทู้ โดยสมาชิกท่านนี้

โจทย์เรขาคณิต

คณิตศาสตร์ ม.ต้น

ข้อสอบ โดยสมาชิกท่านนี้

ยังไม่มีงานเขียน

นิยาย โดยสมาชิกท่านนี้