คุยกันก่อนเรียน

หมายเหตุ โน๊ตฟิสิกส์ชุดนี้ดัดแปลงมาจากไฟล์ Powerpoint ที่ผู้สอนใช้บรรยายวิชา 2304103 General Physics I ให้กับนิสิตชั้นปีที่ 1 ของคณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เมื่อปี พ.ศ. 2547 โดยได้คัดเนื้อหาที่บรรยายแต่ละครั้งออกมาเป็นโน๊ตย่อยๆ เนื่องจากเป็นการบรรยายที่ใช้เวลาจำกัดเพียงหนึ่งชั่วโมงต่อครั้ง Lecture note ชุดนี้จึงเป็นเพียงแต่การเป็นสรุปเนื้อหาโดยย่อ ผู้อ่านจึงควรใช้เสริมกับหนังสือเรียนที่ได้มาตราฐาน เพื่อความเข้าใจในเนื้อหาวิชาที่ลึกซึ่งยิ่งขึ้น อย่างไรก็ตามผู้เขียนจะพยายามเพิ่มเติมและแก้ไขเปลี่ยนแปลงโน๊ตนี้ ให้มีความถูกต้องและสมบูรณ์ขึ้นเรื่อยๆเมื่อมีโอกาส ผู้เขียนหวังอย่างยิ่งว่าโน๊ตนี้น่าจะเป็นประโยชน์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งกับผู้ที่สนใจวิชาฟิสิกส์

“... a physical theory is just a mathematical model and it is meaningless to ask whether it corresponds to reality.
All that one can ask is that its predictions should be in agreement with observation. ”
Prof. S.W. Hawking

ทำไมจะเรียนฟิสิกส์ถึงต้องใช้คณิตศาสตร์? หลายคนอาจมีนิยามและความหมายของวิชาฟิสิกส์แตกต่างกันไป แต่สำหรับผู้สอนขอให้ความหมายของวิชาที่กำลังจะสอนพวกคุณทั้งหลายนี้ว่า “ฟิสิกส์คือวิชาที่ว่าด้วยการศึกษาธรรมชาติ ทฤษฎีฟิสิกส์คือการอธิบายธรรมชาติด้วยภาษาคณิตศาสตร์ ” สำหรับนักฟิสิกส์คณิตศาสตร์คือภาษาของธรรมชาติ ในทางศิลปศาสตร์ กวีอธิบายธรรมชาติผ่าน กาพย์ โคลง กลอน ศิลปินอธิบายธรรมชาติผ่านภาพวาดจากปลายพู่กันส่วนนักฟิสิกส์อธิบายธรรมชาติผ่านภาษาคณิตศาสตร์ การที่จะซาบซึ้งกับบทกวีของชาติใดๆก็ตาม คุณต้องเข้าใจภาษาที่กวีท่านนั้นๆใช้ก่อน เช่น เดียวกัน คุณจะเข้าใจฟิสิกส์ให้ลึกซึ้งไม่ได้เลย ถ้าพวกคุณไม่เข้าใจภาษาคณิตศาสตร์ และเพราะว่าธรรมชาติมีการเปลี่ยนแปลง ทุกสิ่งในชีวิตประจำวันล้วนเปลี่ยนแปลง เช่น วัตถุเปลี่ยนตำแหน่ง (การเคลื่อนที่) สสารเปลี่ยนสถานะ นักฟิสิกส์จึงต้องอธิบายการเปลี่ยนแปลงนั้นผ่านทฤษฎี(คณิตศาสตร์) โดยทั่วไปการศึกษาการเปลี่ยนแปลงของธรรมชาติแบ่งออกได้เป็นสองระดับคือ 1) Kinematics หรือ จลศาสตร์ ศึกษาปริมาณที่เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลง เช่น ความเร็ว ความเร่ง ทฤษฎีที่อธิบายลักษณะนี้ เช่น กฎของอคีมีดิส 2) Dynamics หรือ พลศาสตร์ ศึกษากลไก หรือกระบวนการ สาเหตุที่ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงนั้น ทฤษฎีที่อธิบายลักษณะนี้ เช่นกฎแรงโน้มถ่วงของนิวตัน และการศึกษาพลศาสตร์ของวัตถุนี่เองที่ทำให้ภาษาคณิตศาสตร์ได้แสดงศักย์ภาพของมันได้อย่างเต็มที่ซึ่งมีส่วนสำคัญในการพัฒนาวิวัฒนาการของโลกเราจนถึงปัจจุบัน อย่างไรก็ตามทฤษฎีที่เราใช้อธิบายธรรมชาตินั้นไม่ได้มีเพียงทฤษฎีเดียว แต่ยังขึ้นกับระบบที่เราสนใจ ตลอดชั้นปีทีหนึ่งนี้คุณจะได้เห็นว่า ระบบที่มีขนาดไม่ใหญ่มากนัก กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน ทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าของแม็กซ์เวลล์สามารถอธิบายเกือบทุกอย่างที่เราพบในชีวิตประจำวันได้ แต่ถ้าคุณสนใจในระบบเล็กๆ เช่น อะตอมของธาตุต่างๆ ธรรมชาติของสิ่งเล็กๆเหล่านี้ทฤษฎีควอนตัมอธิบายได้ดีกว่า ในขณะที่ระบบฟิสิกส์ที่ใหญ่ๆมากๆ เช่น กลุ่มกาเล็กซี่ หรือแม้แต่ทั้งจักรวาล ทฤษฎีสัมพัทธ์ภาพของไอน์สไตน์สามารถอธิบายการเปลี่ยนแปลงต่างๆได้อย่างน่าพอใจในระดับหนึ่ง แต่ละทฤษฎีที่กล่าวถึงล้วนมีการใช้คณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนขึ้นเรื่อยๆ ไม่ว่าจะเป็น แคลคูลัส (Calculus) และ สมการอนุพันธ์ (Differential equation) ที่ใช้ในกลศาสตร์ของนิวตั้น ในวิชาสัมพัทธภาพทั่วไป เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ (Differential geometry) เป็นเครื่องมือสำคัญที่ใช้อธิบายความโค้งของกาลอวกาศ ในวิชาควอนตัม ทฤษฎีกลุ่ม (Group theory) และเครื่องมือคณิตศาสตร์อื่นๆ ถูกนำมาใช้อย่างแพร่หลาย เพราะธรรมชาติมีความซับซ้อนอย่างน่ามหัศจรรย์ ในแต่ละครั้งที่เราศึกษาลึกลงไปคณิตศาสตร์ที่ใช้อธิบายธรรมชาติจึงต้องลึกซึ้งมากขึ้นตามไปด้วย ในแง่นี้นักฟิสิกส์ก็ไม่ต่างอะไรกับนักประพันธ์ที่พยายามหาถ้อยคำที่ไพเราะที่สุดเพื่อมาอธิบายธรรมชาติที่เขาพบเห็น สำหรับในชั้นปีที่หนึ่งนี้ เราจะเริ่มกันด้วย เวกเตอร์ และ แคลคูลัส ซึ่งเป็นเครื่องมือที่เซอร์ไอเซค นิวตัน ใช้บรรยายธรรมชาติ

เวกเตอร์ นิยาม และ การบวก

ปริมาณทางฟิสิกส์ที่ใช้อธิบายธรรมชาติมีหลายชนิด แต่ทั้งหมดแบ่งได้เป็นสองพวกใหญ่ๆ คือ 1) ปริมาณที่เป็น เวกเตอร์ (Vector) ซึ่งเป็นปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง เช่น การกระจัด (Displacement), แรง (Force), ความเร็ว (Velocity) และ ความเร่ง (Acceleration) และ 2) ปริมาณที่เป็น สเกลาร์ (Scalar) ปริมาณประเภทนี้จะมีเพียงขนาดเท่านั้น เช่น ระยะทาง (Distance) มวล(Mass), อัตราเร็ว (Speed) และความหนาแน่น(Density) เนื่องจากเวกเตอร์เป็นที่มีทั้งขนาดและทิศทาง เราอาจใช้เส้นตรงที่มีลูกศร แทนเวกเตอร์ โดยที่ ความยาวของเส้นตรงแทนขนาดของเวกเตอร์ และ ทิศของลูกศรแทนทิศทางของเวกเตอร์ ดังตัวอย่างในรูปข้างล่างนี้ เส้นตรง OP ที่มีลูกศรกำกับ แทนเวกเตอร์อันหนึ่งซึ่งมีขนาดเท่ากับความยาวของ OP และมีทิศจาก O ไปสู่ P ในกรณีที่ใช้สัญลักษณ์ อาจใช้ตัวอักษรที่มีลูกศรกำกับข้างบน เช่น vec{A} แทนเวกเตอร์ A หรือ vec{OP} แทนเว็กเตอร์จาก O ไป P ดังรูปข้างบน ในหนังสือบางเล่มอาจจะใช้สัญลักษณ์ตัวพิมพ์หนา เช่น OP, A, V, a เป็นต้น การเท่ากันของปริมาณเว็กเตอร์ ถ้ามีเวกเตอร์สองอัน A และ B เวกเตอร์ทั้งสองนี้จะเท่ากันก็ต่อเมื่อ เป็นเวกเตอร์ที่มีทั้ง ขนาดเท่ากันและชี้ในทิศทางเดียวกัน (ไม่จำเป็นต้องมีจุดเริ่มต้นเดียวกัน หรืออยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน) อย่างในรูปข้างล่าง vec{A} = vec{B} = vec{C} นิยาม Negative vector เราเรียกเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ vec{A} แต่มีทิศตรงกันข้ามว่า -vec{A} การบวกเวกเตอร์ ให้ vec{A} และ vec{B} เป็นเวกเตอร์ซึ่งทำมุม theta ระหว่างกัน และให้เว็กเตอร์ vec{C} เป็นผลบวกเวกเตอร์ของ vec{A} กับ vec{B} หรือ vec{C} = vec{A} + vec{B} โดยให้ vec{C} ทำมุม alpha กับ vec{A} การบวกแวกเตอร์นี้สามารถแสดงโดยวิธีหางต่อหัว ดังรูปข่างล่างนี้ ขนาดของเวกเตอร์ vec{C} หรือ |C| (หรือบางครั้งอาจเขียน C เฉยๆ) สามารถคำนวณได้จาก |C| = sqrt{|A|^2+|B|^2+2|A||B|costheta} โดยทิศทางของเวกเตอร์ vec{C} จะทำมุมกับเวกเตอร์ vec{A} เป็นมุมเท่ากับ alpha โดย displaystyle{tan alpha = frac{SP}{PS} = frac{|B|sintheta}{|A|+|B|costheta}} การลบเวกเตอร์ การลบเวกเตอร์โดยการเขียนรูปใช้หลักการเดียวกับการบวกเวกเตอร์เพียงแต่กลับทิศเวกเตอร์ด้วยเครื่องหมายลบ ขนาดของเวกเตอร์ vec{D} หรือ |D| สามารถคำนวณได้จาก displaystyle{|D| = sqrt{|A|^2+|B|^2-2|A||B|costheta}} และ displaystyle{tan beta = frac{RS}{PR} = frac{|B|sintheta}{|A|-|B|costheta}} คุณสมบัติของการบวกเวกเตอร์ vec{A} + vec{0} = vec{0} + vec{A} = vec{A} vec{A} + vec{B} = vec{B} + vec{A} vec{A} + (vec{B} + vec{C}) = (vec{A} + vec{B}) + vec{C} mvec{A} = vec{A}m เมื่อ mเป็นปริมาณสเกลาร์ m(vec{A} + vec{B}) = mvec{A} + mvec{B}

องค์ประกอบของเวกเตอร์, scalar และ การเปลี่ยนพิกัด

เวกเตอร์หนึ่งหน่วย (Unit Vector) ถ้า vec{A} เป็นเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ |A| โดยที่ |A| ต้องไม่เป็นศูนย์ เราสามารถนิยามเวกเตอร์ที่มีทิศเดียวกันกับ vec{A} แต่มีขนาดหนึ่งหน่วยได้ นิยาม ถ้ากำหนดให้ hat{a} คือเวกเตอร์หนึ่งหน่วยของ vec{A} แล้วจะได้ว่า displaystyle{hat{a} = frac{vec{A}}{|A|}} หรือ vec{A} = |A|hat{a} เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่สำคัญมากคือ เวกเตอร์ชุด hat{i}, hat{j} และ hat{k} ซึ่งมีคุณสมบัติพิเศษดังนี้ 1. เวกเตอร์หนึ่งหน่วยทั้งสามตั้งฉากกัน 2. โดยทั่วไปถือว่าเวกเตอร์ทั้งสามนี้เป็น เวกเตอร์คงที่ คือนอกจากขนาดจะคงที่แล้วทิศทางยังคงที่ด้วย 3. ในปริภูมิ 3 มิติเวกเตอร์ชุดนี้เรียงลำดับ ตามกฎมือขวา ดังรูปข้างล่างนี้ ส่วนประกอบของเวกเตอร์ เวกเตอร์ใดๆสามารถที่จะเขียนให้อยู่ในรูปผลบวกของเวกเตอร์ย่อยๆ หลายๆอันได้ โดยเราอาจเลือกเวกเตอร์ย่อยเหล่านั้นให้อยู่ในทิศเดียวกัน กับ unit vectors hat{i} , hat{j} และ hat{k} ซึ่งในกรณีนี้เราเรียกเวกเตอร์ย่อยเหล่านี้ว่า “ส่วนประกอบของเวกเตอร์” หรือ Components of vector วิชานี้เราจะพิจารณาส่วนประกอบของเวกเตอร์ในกรณีของ 2 และ 3 มิติ ส่วนประกอบเวกเตอร์ใน 2 มิติ ให้ vec{A} เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิ 2 มิติ ซึ่งมีขนาดเท่ากับ |A| โดยที่ hat{i},hat{j} เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยตามแกน x และ y ตามลำดับ vec{A} = A_xhat{i} + A_yhat{j} นิยาม A_x กับ A_y เป็นส่วนประกอบเวกเตอร์ตามแนว x และ y ถ้า theta เป็นมุมที่เวกเตอร์ vec{A} กระทำกับแกน x เราจะได้ว่า A_x = |A|costheta และ A_y = |A|sintheta และ |A| = sqrt{A_x^2 + A_y^2} ส่วนประกอบเวกเตอร์ใน 3 มิติ ให้ vec{A} เป็นเวกเตอร์ในระบบ 3 มิติ ที่มีขนาด |A| และมี A_x, A_y, A_z เป็นส่วนประกอบเวกเตอร์ ความแตกต่างระหว่างองค์ประกอบของเวกเตอร์กับปริมาณสเกลลาร์ นิสิตบางคนอาจจะสับสนระหว่าง องค์ประกอบของเวกเตอร์กับปริมาณสเกลลาร์ ซึ่งถ้ายึดนิยามที่ว่าปริมาณสเกลลาร์คือปริมาณที่มีแต่ขนาดและไม่มีทิศทางอาจทำให้สับสนว่าองค์ประกอบเวกเตอร์เป็นปริมาณสเกลลาร์ ซึ่งไม่ใช่ ดังนั้นนิยามที่ชัดเจนของปริมาณสเกลลาร์และเวกเตอร์จึงน่าจะเป็นประโยชน์ ซึ่งอาจจะพิจารณาได้จากตัวอย่างต่อไปนี้ พิจารณาวัตถุซึ่งอยู่ที่ตำแหน่ง A เวกเตอร์ซึ่งบอกตำแหน่ง ที่จุด A สามารถเขียนในพิกัดสองมิติบนระนาบ x-yได้เป็น vec{A} = A_xhat{i} + A_yhat{j} + A_zhat{k} = |A|cosphihat{i} + |A|sinphihat{j} เมื่อ |A| คือขนาดของเวกเตอร์ vec{A} และ hat{i},hat{j} , hat{k} คือเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในพิกัด x-y โดยทั่วไปแล้วเราไม่จำเป็นต้องบรรยายปรากฏการณ์ต่างๆด้วยกรอบอ้างอิงเดียว สำหรับผู้สังเกตหลายคนแต่ละคนอาจจะทำการทดลองโดยใช้กรอบอ้างอิงของตัวเอง อย่างไรก็ตามผลทางฟิสิกส์ย่อมจะไม่ขึ้นกับพิกัด หรือกรอบอ้างอิงที่ใช้ นิสิตจะเห็นความสำคัญของหลักการนี้มากขึ้นโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อเราพิจารณาทฤษฎีสัมพัทธภาพ กลับมาที่ตัวอย่างข้างต้น สมมุติว่ามีเพื่อนของเราอีกคนหนึ่งใช้พิกัดที่ต่างกับเรา (พิกัด x’-y’) ซึ่งสัมพันธ์กับพิกัดเดิมโดยการหมุนแกน x-y ไปเป็นมุม beta ดังรูป จะสามารถบรรยายตำแหน่งของจุด A ด้วยเวกเตอร์บอกตำแหน่ง vec{A} เช่นเดิม แต่ในพิกัดใหม่ x’-y’ นี้ vec{A} จะสามารถเขียนได้เป็น vec{A} = A'_{x}hat{i}' + A'_yhat{j}' =
|A|cos(phi-beta)hat{i}' + |A|sin(phi-beta)hat{j}' เมื่อ A'_x และ A'_y คือองค์ประกอบเวกเตอร์ตามแนวแกน x’ และ y’ ส่วน hat{i}' และ hat{j}' คือเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในพิกัดใหม่ จากรูปจะเห็นว่า A _x ne A'_{x} และ A _y ne A'_{y} นี่คือความจริงที่ว่า องค์ประกอบของเวกเตอร์สามารถเปลี่ยนแปลงได้ เมื่อมีการเปลี่ยนพิกัด นิสิตอาจจะพิสูจน์ได้ง่ายๆว่าขนาดของเวกเตอร์ซึ่งเป็นปริมาณสเกลลาร์จะไม่มีการเปลี่ยนแปลง |A| = sqrt{A_x^2 + A_y^2} = sqrt{ A'_{x}^2 + A'_{y}^2} นิยามของปริมาณสเกลลาร์ที่รัดกุมขึ้น คือปริมาณที่มีแต่ขนาดไม่มีทิศทาง และไม่เปลี่ยนแปลง ภายใต้การแปลง coordinates ตัวอย่างเช่น มวลของอนุภาค เป็นปริมาณสเกลาร์ ไม่ว่าจะใช้ Coordinates ใดอธิบายก็มีค่าเท่าเดิม สิ่งที่นิสิตควรจะทราบคือในกลศาสตร์นิวตัน เวลา (t) และ ช่วงเวลา (Delta t) ถือเป็นปริมาณสเกลลาร์ เวลาสำหรับทุกๆผู้สังเกตผ่านไปด้วยอัตราเร็วเท่ากัน นั่นคือเวลาเป็นสิ่งสมบูรณ์ (absolute quantity) แต่ในทฤษฎีสัมพัทธภาพของไอน์สไตน์ซึ่งเราจะได้ศึกษากันต่อไป เหตุการณ์ต่างๆ ซึ่งเป็นจุดหนึ่งใน space-time 4มิติ ช่วงเวลา Delta t กลายเป็นส่วนประกอบของเวกเตอร์ (Four-vectors) ซึ่งขึ้นกับกรอบอ้างอิงของผู้สังเกต และไม่ใช่สิ่งสมบูรณ์อีกต่อไป อย่างไรก็ตาม มวลนิ่ง (rest mass) ของวัตถุ และอัตราเร็วของแสง ยังคงเป็นปริมาณสเกลลาร์ มีค่าไม่เปลี่ยนแปลงไปตามกรอบอ้างอิงของผู้สังเกต

ผลคูณของเวกเตอร์

ในที่นี้หมายถึงผลคูณระหว่างเวกเตอร์ 2 อัน ซึ่งสามารถแบ่งออกได้เป็นสองประเภทคือ 1) ผลคูณเชิงสเกลาร์ (scalar product หรือ dot product) 2) ผลคูณเชิงเวกเตอร์ (vector product หรือ cross product) ผลคูณเชิงสเกลาร์ กำหนดให้ vec{A} และ vec{B} เป็นเวกเตอร์ใดๆ และ theta เป็นมุมระหว่างเวกเตอร์ทั้งสอง ผลคูณเชิงสเกลาร์ของเวกเตอร์ทั้งสองนิยามโดย vec{A}cdotvec{B} equiv |A||B|costheta คุณสมบัติของผลคูณเชิงสเกลาร์ vec{A}cdotvec{B} = vec{B}cdotvec{A} vec{A}cdot(vec{B} + vec{C}) = vec{A}cdotvec{B} +vec{A}cdotvec{C} ผลคูณเชิงสเกลาร์ของเวกเตอร์หนึ่งหน่วย hat{i},hat{j},hat{k} ที่ควรทราบคือ hat{i}cdothat{i} =hat{j}cdothat{j} = hat{k}cdothat{k} = 1 hat{i}cdothat{j} =hat{i}cdothat{k} = hat{j}cdothat{k} = 0 ผลคูณเชิงเวกเตอร์ ให้ vec{A} และ vec{B} เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิ 3 มิติ ผลคูณเชิงเวกเตอร์ของทั้งคู่ จะเป็นเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับระนาบที่สัมผัสกับเวกเตอร์ vec{A} และ vec{B} สมมุติว่าผลลัพธ์ของการคูณคือ vec{C} เราจะหาทิศของ vec{C} ได้โดยอาศัย “กฎมือขวา” ซึ่งมีหลักง่ายๆ คือให้นิ้วทั้งสี่ของมือขวาชี้ตามทิศของเวกเตอร์ vec{A} และวนนิ้วทั้งสี่เข้าหาเวกเตอร์ vec{B} ตามทิศทางที่เวกเตอร์ทั้งสองทำมุมระหว่างกันมีค่าน้อยที่สุด นิ้วหัวแม่มือจะชี้ทิศของเวกเตอร์ลัพธ์ vec{C} ดังแสดงในรูป โดยที่ขนาดของเวกเตอร์ของ vec{C}equiv vec{A}timesvec{B} สามารถหาได้จาก |C| equiv |A||B|sintheta เมื่อ theta เป็นมุมระหว่าง vec{A} และ vec{B} เพื่อความสะดวกในการคำนวณเรามักจะเขียน vec{A} และ vec{B} ในรูปของส่วนประกอบเวกเตอร์ ตามทิศทางของเวกเตอร์ฐาน hat{i},hat{j},hat{k} vec{A} = A_xhat{i} + A_yhat{j} + A_zhat{k} vec{B} = B_xhat{i} + B_yhat{j} + B_zhat{k} นิสิตอาจจะลองใช้กฎมือขวาพิจารณาผลคูณเชิงเวกเตอร์ของเวกเตอร์ hat{i},hat{j},hat{k} ซึ่งจะพบว่า hat{i}timeshat{j} =hat{i}timeshat{k} = hat{j}timeshat{k} = 0 hat{i}timeshat{j} = -hat{j}timeshat{i} = hat{k} hat{j}timeshat{k} = -hat{k}timeshat{j} = hat{i} hat{k}timeshat{i} = -hat{i}timeshat{k} = hat{j} ข้อดีของคุณสมบัติข้างบนคือ นิสิตสามารถใช้คุณสมบัติข้างบนคำนวณผลคูณเชิงเวกเตอร์ของ vec{A} และ vec{B} ใดๆได้ดังนี้ vec{A}timesvec{B} = (A_xhat{i} + A_yhat{j} + A_zhat{k})times(B_xhat{i} + B_yhat{j} + B_zhat{k}) = (A_yB_z-B_yA_z)hat{i} + (A_zB_x-B_xA_z)hat{j} + (A_xB_y-B_xA_y)hat{k} ซึ่งสามารถคำนวณได้จากดีเทอร์มิแนนท์ 
vec{A}timesvec{B} =
begin{vmatrix}
hat{imath} & hat{jmath} & hat{k} 
A_{x} & A_{y} & A_{z} 
B_{x} & B_{y} & B_{z}
end{vmatrix}
= (A_yB_z-B_yA_z)hat{i} + (A_zB_x-B_xA_z)hat{j} + (A_xB_y-B_xA_y)hat{k} คุณสมบัติทั่วไปของผลคูณเชิงเวกเตอร์ ที่เป็นประโยชน์คือ vec{A}timesvec{B}=-vec{B}timesvec{A} mleft(vec{A}timesvec{B}right)=left(mvec{A}right)timesvec{B}=vec{A}timesleft(mvec{B}right) vec{A}timesleft(vec{B}+vec{C}right)=left(vec{A}timesvec{B}right)+left(vec{A}timesvec{C}right) vec{A}timesleft(vec{B}timesvec{C}right)=left(vec{A}cdotvec{C}right)vec{B}+left(vec{A}cdotvec{B}right)vec{C} left(vec{A}timesvec{B}right)timesvec{C}=left(vec{A}cdotvec{C}right)vec{B}+left(vec{B}cdotvec{C}right)vec{A} vec{A}cdotleft(vec{B}timesvec{C}right)=left(vec{C}timesvec{A}right)cdotvec{B}=left(vec{A}cdotvec{B}right)cdotvec{C} เมื่อ m เป็นปริมาณสเกลลาร์ ตัวอย่าง เวกเตอร์ vec{A} = 3hat{i} + 4hat{j} และ เวกเตอร์ vec{B} = -5hat{j} + 12hat{k} จงหา ก) ขนาดของ vec{A} และ vec{B} |A| = sqrt{3^2 + 4^2}=5 |B| = sqrt{5^2 + 13^2}=13 ข) ผลคูณเชิงสเกลลาร์ของเวกเตอร์ทั้งสอง vex{A}cdotvec{B} = (3hat{i} + 4hat{j})cdot(vec{B} = -5hat{j} + 12hat{k})=-20 ค) มุมระหว่างเวกเตอร์ทั้งสอง จาก vec{A}cdotvec{B} = |A||B|costheta จะได้ displaystyle{costheta = frac{vec{A}cdorvec{B}}{|A||B|} = -frac{4}{13}} นั่นคือมุมระหว่างเวกเตอร์ทั้งสองจะมีค่า theta = cos^{-1}left(-frac{4}{13}right) ง) ผลคูณเชิงเวกเตอร์ vec{A}timesvec{B} =
begin{vmatrix}
hat{imath} & hat{jmath} & hat{k} 
3 & 4 & 0 
0 & -5 & 12
end{vmatrix}= 48hat{i} - 36hat{j} -15hat{k}

การหาองค์ประกอบของเวกเตอร์ในทิศทางใดๆ

ในหลายๆกรณีเราอาจจะไม่ได้พิจารณาองค์ประกอบของเวกเตอร์ตามแนวแกน x, y, z แต่อาจจะต้องพิจารณาองค์ประกอบของเวกเตอร์ที่ขนานกับเวกเตอร์ใดๆ กำหนดให้เวกเตอร์ vec{a} = a_xhat{i} + a_yhat{j} + a_zhat{k} ถ้านิสิตต้องการหาขนาดขององค์ประกอบของเวกเตอร์ vec{a} ในแนวที่ขนาน และในแนวที่ตั้งฉากกับ ทิศทางของเวกเตอร์ vec{P} ใดๆ สามารถทำได้ดังนี้ สมมุติว่าเวกเตอร์ vec{P} เขียนได้ในรูป vec{P} = P_xhat{i} + P_yhat{j} + P_zhat{k} เราสามารถนิยามเวกเตอร์หนึ่งที่ขนานกับเวกเตอร์ vec{P} ได้โดย displaystyle{hat{P} = frac{vec{P}}{|P|}=frac{1}{|P|}(P_xhat{i} + P_yhat{j} + P_zhat{k})} พิจารณาจากรูปข้างบน จะเห็นว่า ส่วนประกอบของเวกเตอร์ vec{a} ในแนวที่ขนานกับ vec{P} สามารถเขียนได้เป็น a_{|}= acostheta = vec{a}cdothat{P} และส่วนประกอบของเวกเตอร์ vec{a} ในแนวที่ขนานกับ vec{P} สามารถเขียนได้เป็น a_{bot}= asintheta = |vec{a}timeshat{P}| ตัวอย่าง เวกเตอร์ vec{A} = 3hat{i} + 4hat{j} และ เวกเตอร์ vec{B} = -5hat{j} + 12hat{k} จงหาส่วนประกอบของเวกเตอร์ vec{B} ที่อยู่ในทิศเดียวกันกับ vec{A} และตั้งฉากกับ vec{A} จากตัวอย่างที่แล้วเราทราบว่า |A|=5 เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางขนานกับ vec{A} คือ displaystyle{hat{A} =frac{vec{A}}{|A|} = frac{1}{5}(3hat{i} + 4hat{j})} ส่วนประกอบของเวกเตอร์ vec{B} ที่อยู่ในทิศเดียวกันกับ vec{A} คือ displaystyle{B_{|}= vec{B}cdothat{A} = (-5hat{j} + 12hat{k})cdot frac{1}{5}(3hat{i} + 4hat{j}) = -4} ส่วนประกอบของเวกเตอร์ vec{B} ที่อยู่ในทิศตั้งฉากกับ vec{A} คือ  B_{bot}= |vec{B}timeshat{A}| = left|48hat{i} - 36hat{j} -
15hat{k}right| = sqrt{48^{2}+36^{2}+15^{2}}

สำหรับการค้นคว้าเพิ่มเติม นิสิตสามารถศึกษาได้จากหนังสือเรียนฟิสิกส์พื้นฐานทั่วไป สำหรับหนังสือภาษาไทย เช่น - หนังสือ ฟิสิกส์ 1 โดย คณาจารย์ภาควิชาฟิสิกส์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย - ฟิสิกส์ (กลศาสตร์) :โครงการตำราวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์มูลนิธิ สอวน. โดย รศ.ดร.วุทธิพันธุ์ ปรัชญพฤทธิ์ - ฟิสิกส์มหาวิทยาลัย 1 โดย รศ. สมพงษ์ ใจดี แต่จะเป็นการดีถ้านิสิตจะฝึกค้นคว้าจากนี้หนังสือ General Physics ภาษาอังกฤษ ซึ่งจะเป็นประโยชน์ในการศึกษาระดับสูงขึ้นไป