วิชาการ.คอม - Lecture note วิชา General Physics 1 - ชุดที่ 1 : เว็กเตอร์และการเคลื่อนที่ (องค์ประกอบของเวกเตอร์, scalar และ การเปลี่ยนพิกัด)

คุณยังไม่ได้ Log in | สมัครสมาชิก ฟรี

กลับหน้าแรก วิชาการ.คอม

Lecture note วิชา General Physics 1 - ชุดที่ 1 : เว็กเตอร์และการเคลื่อนที่

Lecture note อย่างย่อๆ สรุปความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับเวกเตอร์และการเคลื่อนที่

ผู้เขียน: ดร.อรรถกฤต ฉัตรภูติ ชมแล้ว: 37,366 ครั้ง

post ครั้งแรก: Fri 13 April 2007, 5:21 am ปรับปรุงล่าสุด: Thu 3 May 2007, 4:07 am

อยู่ในส่วน: ฟิสิกส์, บทเรียนเสริม

สารบัญ

หน้า : 1 คุยกันก่อนเรียน
หน้า : 2 เวกเตอร์ นิยาม และ การบวก
หน้า : 3 องค์ประกอบของเวกเตอร์, scalar และ การเปลี่ยนพิกัด
หน้า : 4 ผลคูณของเวกเตอร์
หน้า : 5 การหาองค์ประกอบของเวกเตอร์ในทิศทางใดๆ

หน้าที่ 3 - องค์ประกอบของเวกเตอร์, scalar และ การเปลี่ยนพิกัด

เวกเตอร์หนึ่งหน่วย (Unit Vector)

ถ้า $\vec{A}$ เป็นเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ |A|

โดยที่

ต้องไม่เป็นศูนย์ เราสามารถนิยามเวกเตอร์ที่มีทิศเดียวกันกับ $\vec{A}$ แต่มีขนาดหนึ่งหน่วยได้

นิยาม
ถ้ากำหนดให้ $\hat{a}$ คือเวกเตอร์หนึ่งหน่วยของ $\vec{A}$ แล้วจะได้ว่า $\displaystyle{\hat{a} = \frac{\vec{A}}{|A|}}$ หรือ $\vec{A} = |A|\hat{a}$
6809

เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่สำคัญมากคือ เวกเตอร์ชุด $\hat{i}$ , $\hat{j}$ และ $\hat{k}$ ซึ่งมีคุณสมบัติพิเศษดังนี้
1. เวกเตอร์หนึ่งหน่วยทั้งสามตั้งฉากกัน
2. โดยทั่วไปถือว่าเวกเตอร์ทั้งสามนี้เป็น เวกเตอร์คงที่ คือนอกจากขนาดจะคงที่แล้วทิศทางยังคงที่ด้วย
3. ในปริภูมิ 3 มิติเวกเตอร์ชุดนี้เรียงลำดับ ตามกฎมือขวา ดังรูปข้างล่างนี้
6810

ส่วนประกอบของเวกเตอร์

เวกเตอร์ใดๆสามารถที่จะเขียนให้อยู่ในรูปผลบวกของเวกเตอร์ย่อยๆ หลายๆอันได้ โดยเราอาจเลือกเวกเตอร์ย่อยเหล่านั้นให้อยู่ในทิศเดียวกัน กับ unit vectors $\hat{i}$ , $\hat{j}$ และ $\hat{k}$ ซึ่งในกรณีนี้เราเรียกเวกเตอร์ย่อยเหล่านี้ว่า “ส่วนประกอบของเวกเตอร์” หรือ Components of vector วิชานี้เราจะพิจารณาส่วนประกอบของเวกเตอร์ในกรณีของ 2 และ 3 มิติ

ส่วนประกอบเวกเตอร์ใน 2 มิติ

ให้ $\vec{A}$ เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิ 2 มิติ ซึ่งมีขนาดเท่ากับ |A|

โดยที่ $\hat{i}$ , $\hat{j}$ เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยตามแกน x และ y ตามลำดับ

$\vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j}$
6811

นิยาม

กับ

เป็นส่วนประกอบเวกเตอร์ตามแนว x และ y

ถ้า $\theta$ เป็นมุมที่เวกเตอร์ $\vec{A}$ กระทำกับแกน x เราจะได้ว่า

$A_x = |A|\cos\theta$ และ $A_y = |A|\sin\theta$ และ $|A| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}$

ส่วนประกอบเวกเตอร์ใน 3 มิติ

ให้ $\vec{A}$ เป็นเวกเตอร์ในระบบ 3 มิติ ที่มีขนาด |A|

และมี

เป็นส่วนประกอบเวกเตอร์
6812

ความแตกต่างระหว่างองค์ประกอบของเวกเตอร์กับปริมาณสเกลลาร์

นิสิตบางคนอาจจะสับสนระหว่าง องค์ประกอบของเวกเตอร์กับปริมาณสเกลลาร์ ซึ่งถ้ายึดนิยามที่ว่าปริมาณสเกลลาร์คือปริมาณที่มีแต่ขนาดและไม่มีทิศทางอาจทำให้สับสนว่าองค์ประกอบเวกเตอร์เป็นปริมาณสเกลลาร์ ซึ่งไม่ใช่ ดังนั้นนิยามที่ชัดเจนของปริมาณสเกลลาร์และเวกเตอร์จึงน่าจะเป็นประโยชน์ ซึ่งอาจจะพิจารณาได้จากตัวอย่างต่อไปนี้
6848

พิจารณาวัตถุซึ่งอยู่ที่ตำแหน่ง A เวกเตอร์ซึ่งบอกตำแหน่ง ที่จุด A สามารถเขียนในพิกัดสองมิติบนระนาบ x-yได้เป็น
$\vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j} + A_z\hat{k} = |A|\cos\phi\hat{i} + |A|\sin\phi\hat{j}$

เมื่อ |A|

คือขนาดของเวกเตอร์ $\vec{A}$ และ $\hat{i}$ , $\hat{j}$ , $\hat{k}$ คือเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในพิกัด x-y

โดยทั่วไปแล้วเราไม่จำเป็นต้องบรรยายปรากฏการณ์ต่างๆด้วยกรอบอ้างอิงเดียว สำหรับผู้สังเกตหลายคนแต่ละคนอาจจะทำการทดลองโดยใช้กรอบอ้างอิงของตัวเอง อย่างไรก็ตามผลทางฟิสิกส์ย่อมจะไม่ขึ้นกับพิกัด หรือกรอบอ้างอิงที่ใช้ นิสิตจะเห็นความสำคัญของหลักการนี้มากขึ้นโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อเราพิจารณาทฤษฎีสัมพัทธภาพ
6849

กลับมาที่ตัวอย่างข้างต้น สมมุติว่ามีเพื่อนของเราอีกคนหนึ่งใช้พิกัดที่ต่างกับเรา (พิกัด x’-y’) ซึ่งสัมพันธ์กับพิกัดเดิมโดยการหมุนแกน x-y ไปเป็นมุม $\beta$ ดังรูป จะสามารถบรรยายตำแหน่งของจุด A ด้วยเวกเตอร์บอกตำแหน่ง $\vec{A}$ เช่นเดิม แต่ในพิกัดใหม่ x’-y’ นี้ $\vec{A}$ จะสามารถเขียนได้เป็น

$\vec{A} = A'_{x}\hat{i}' + A'_y\hat{j}' = |A|\cos(\phi-\beta)\hat{i}' + |A|\sin(\phi-\beta)\hat{j}'$

เมื่อ A'_x

และ

คือองค์ประกอบเวกเตอร์ตามแนวแกน x’ และ y’ ส่วน $\hat{i}'$ และ $\hat{j}'$ คือเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในพิกัดใหม่

จากรูปจะเห็นว่า $A _x \ne A'_{x}$ และ $A _y \ne A'_{y}$ นี่คือความจริงที่ว่า องค์ประกอบของเวกเตอร์สามารถเปลี่ยนแปลงได้ เมื่อมีการเปลี่ยนพิกัด นิสิตอาจจะพิสูจน์ได้ง่ายๆว่าขนาดของเวกเตอร์ซึ่งเป็นปริมาณสเกลลาร์จะไม่มีการเปลี่ยนแปลง

$|A| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2} = \sqrt{ A'_{x}^2 + A'_{y}^2}$

นิยามของปริมาณสเกลลาร์ที่รัดกุมขึ้น คือปริมาณที่มีแต่ขนาดไม่มีทิศทาง และไม่เปลี่ยนแปลง ภายใต้การแปลง coordinates ตัวอย่างเช่น มวลของอนุภาค เป็นปริมาณสเกลาร์ ไม่ว่าจะใช้ Coordinates ใดอธิบายก็มีค่าเท่าเดิม
6850

สิ่งที่นิสิตควรจะทราบคือในกลศาสตร์นิวตัน เวลา (

) และ ช่วงเวลา ( $\Delta t$ ) ถือเป็นปริมาณสเกลลาร์ เวลาสำหรับทุกๆผู้สังเกตผ่านไปด้วยอัตราเร็วเท่ากัน นั่นคือเวลาเป็นสิ่งสมบูรณ์ (absolute quantity) แต่ในทฤษฎีสัมพัทธภาพของไอน์สไตน์ซึ่งเราจะได้ศึกษากันต่อไป เหตุการณ์ต่างๆ ซึ่งเป็นจุดหนึ่งใน space-time 4มิติ ช่วงเวลา $\Delta t$ กลายเป็นส่วนประกอบของเวกเตอร์ (Four-vectors) ซึ่งขึ้นกับกรอบอ้างอิงของผู้สังเกต และไม่ใช่สิ่งสมบูรณ์อีกต่อไป อย่างไรก็ตาม มวลนิ่ง (rest mass) ของวัตถุ และอัตราเร็วของแสง ยังคงเป็นปริมาณสเกลลาร์ มีค่าไม่เปลี่ยนแปลงไปตามกรอบอ้างอิงของผู้สังเกต

<<< หน้าก่อนนี้ (หน้า 2)

หน้าถัดไป (หน้า 4) >>>

^*หมายเหตุ งานเขียนชิ้นนี้ ได้รับการคุ้มครองสิทธิตามพระราชบัญญัติคุ้มครองสิทธิทางปัญญา โดยลิขสิทธิเป็นของผู้เขียน ที่ให้เกียรตินำเผยแพร่ผ่าน วิชาการ.คอม เรามีความยินดีและอนุญาตให้ทำซ้ำหรือเผยแพร่ต่อเพื่อประโยชน์ทางการศึกษาเท่านั้น กรุณาให้เกียรติผู้เขียน โดยอ้างชื่อผู้เขียนและ วิชาการ.คอม (www.vcharkarn.com) ทุกครั้งที่ทำการเผยแพร่ต่อ ห้ามนำส่วนหนึ่งส่วนใดไปเผยแพร่ต่อในสื่อที่เอื้อประโยชน์ทางธุรกิจก่อนได้รับอนุญาต ขอขอบคุณที่ร่วมกันช่วยสร้างให้สังคมไทยเป็นสังคมแห่งปัญญา

จำนวน 4 ความเห็น, หน้า่ | -1-

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 1 15 เม.ย. 2550 (18:07)
เขียน determinant สำหรับผลคูณเชิงเวกเตอร์ ใช้ "vmatrix" ดีกว่าครับ
$\vec{A}\times\vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k} \\ A_{x} & A_{y} & A_{z} \\ B_{x} & B_{y} & B_{z} \end{vmatrix}$

Siranan

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 10 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 151 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 2 15 เม.ย. 2550 (18:22)
ผมคิดว่าในปัจจุบัน แนวคิดเกี่ยวกับ "มวลนิ่ง" (rest mass) กับ "มวลสัมพัทธภาพ" (relativistic mass) น่าจะล้าสมัยแล้วนะครับ... ในตำราของ Halliday, Resnick & Walker, Fundamentals of Physics ก็เลิกใช้ไปแล้ว...

สิ่งที่ขึ้นอยู่กับความเร็วควรจะเป็นพลังงานกับโมเมนตัม ไม่จำเป็นต้องนิยามมวลที่ขึ้นกับความเร็วเลย
$E=\frac{mc^{2}}{\sqrt{1-(v/c)^{2}}} \qquad\text{and}\qquad{} \vec{p}=\frac{m\vec{v}}{\sqrt{1-(v/c)^{2}}}$

REF: Does mass change with speed?
http://math.ucr.edu/home/baez/physics/Relativity/SR/mass.html

Siranan

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 3 15 เม.ย. 2550 (22:44)
ขอบคุณคุณ Siranan สำหรับความเห็นและข้อแนะนำครับ

ผมเห็นด้วยอย่างยิ่งว่าใน Relativistic mass ไม่มีความจำเป็นที่จะต้องนิยาม และหลายๆกรณีอาจจะนำมาซึ่งความสับสนได้ และที่จริงก็ยังไม่จำเป็นต้องกล่าวถึงในบทนี้เสียด้วยซ้ำไป เหตุผลที่กล่าวถึงในตอนบรรยายครั้งกระนู้น เพราะต้องการจะสร้างแรงจูงใจคิดว่าน่าจะช่วยให้ผู้เรียนเห็นภาพได้ง่ายและกว้างขึ้น แต่แน่นอนว่าอาจจะไม่ใช่วิธีที่ดีที่สุดในการสอน ผมจะนำไปพิจารณาเวลาที่จะปรับปรุงเล็กเชอร์โน๊ตในครั้งต่อไปครับ

จ้อ

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 1410 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 239 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 4 30 เม.ย. 2550 (11:49)
แนวคิดที่ว่าด้วย พลังงาน และ โมเมนตัม นั้น เป็นการนิยามเชิงสนามโดยหลักของแฮมิลตันใช่ป่าวคับ เห็นเขาว่าสามารถนำเอามาใช้ในการวิเคราะห์กลศาสตร์จุลภาคได้เป็นอย่างดีใช่ไหมครับ

pachelbel

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 151 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 153 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

กรุณา login เพื่อ comment งานเขียนนี้

???? สมัครสมาชิก ฟรี ตลอดชีพ