วิชาการ.คอม - Lecture note วิชา General Physics 1 - ชุดที่ 1 : เว็กเตอร์และการเคลื่อนที่ (ผลคูณของเวกเตอร์)

คุณยังไม่ได้ Log in | สมัครสมาชิก ฟรี

กลับหน้าแรก วิชาการ.คอม

Lecture note วิชา General Physics 1 - ชุดที่ 1 : เว็กเตอร์และการเคลื่อนที่

Lecture note อย่างย่อๆ สรุปความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับเวกเตอร์และการเคลื่อนที่

ผู้เขียน: ดร.อรรถกฤต ฉัตรภูติ ชมแล้ว: 37,363 ครั้ง

post ครั้งแรก: Fri 13 April 2007, 5:21 am ปรับปรุงล่าสุด: Thu 3 May 2007, 4:07 am

อยู่ในส่วน: ฟิสิกส์, บทเรียนเสริม

สารบัญ

หน้า : 1 คุยกันก่อนเรียน
หน้า : 2 เวกเตอร์ นิยาม และ การบวก
หน้า : 3 องค์ประกอบของเวกเตอร์, scalar และ การเปลี่ยนพิกัด
หน้า : 4 ผลคูณของเวกเตอร์
หน้า : 5 การหาองค์ประกอบของเวกเตอร์ในทิศทางใดๆ

หน้าที่ 4 - ผลคูณของเวกเตอร์

ในที่นี้หมายถึงผลคูณระหว่างเวกเตอร์ 2 อัน ซึ่งสามารถแบ่งออกได้เป็นสองประเภทคือ
1) ผลคูณเชิงสเกลาร์ (scalar product หรือ dot product)
2) ผลคูณเชิงเวกเตอร์ (vector product หรือ cross product)

ผลคูณเชิงสเกลาร์

กำหนดให้ $\vec{A}$ และ $\vec{B}$ เป็นเวกเตอร์ใดๆ และ $\theta$ เป็นมุมระหว่างเวกเตอร์ทั้งสอง ผลคูณเชิงสเกลาร์ของเวกเตอร์ทั้งสองนิยามโดย

$\vec{A}\cdot\vec{B} \equiv |A||B|\cos\theta$

คุณสมบัติของผลคูณเชิงสเกลาร์

$\vec{A}\cdot\vec{B} = \vec{B}\cdot\vec{A}$

$\vec{A}\cdot(\vec{B} + \vec{C}) = \vec{A}\cdot\vec{B} +\vec{A}\cdot\vec{C}$

ผลคูณเชิงสเกลาร์ของเวกเตอร์หนึ่งหน่วย $\hat{i}$ , $\hat{j}$ , $\hat{k}$ ที่ควรทราบคือ

$\hat{i}\cdot\hat{i} =\hat{j}\cdot\hat{j} = \hat{k}\cdot\hat{k} = 1$

$\hat{i}\cdot\hat{j} =\hat{i}\cdot\hat{k} = \hat{j}\cdot\hat{k} = 0$

ผลคูณเชิงเวกเตอร์

ให้ $\vec{A}$ และ $\vec{B}$ เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิ 3 มิติ ผลคูณเชิงเวกเตอร์ของทั้งคู่ จะเป็นเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับระนาบที่สัมผัสกับเวกเตอร์ $\vec{A}$ และ $\vec{B}$

6862

สมมุติว่าผลลัพธ์ของการคูณคือ $\vec{C}$ เราจะหาทิศของ $\vec{C}$ ได้โดยอาศัย “กฎมือขวา” ซึ่งมีหลักง่ายๆ คือให้นิ้วทั้งสี่ของมือขวาชี้ตามทิศของเวกเตอร์ $\vec{A}$ และวนนิ้วทั้งสี่เข้าหาเวกเตอร์ $\vec{B}$ ตามทิศทางที่เวกเตอร์ทั้งสองทำมุมระหว่างกันมีค่าน้อยที่สุด นิ้วหัวแม่มือจะชี้ทิศของเวกเตอร์ลัพธ์ $\vec{C}$ ดังแสดงในรูป

6863

โดยที่ขนาดของเวกเตอร์ของ $\vec{C}\equiv \vec{A}\times\vec{B}$ สามารถหาได้จาก

$|C| \equiv |A||B|\sin\theta$

เมื่อ $\theta$ เป็นมุมระหว่าง $\vec{A}$ และ $\vec{B}$

เพื่อความสะดวกในการคำนวณเรามักจะเขียน $\vec{A}$ และ $\vec{B}$ ในรูปของส่วนประกอบเวกเตอร์ ตามทิศทางของเวกเตอร์ฐาน $\hat{i}$ , $\hat{j}$ , $\hat{k}$

$\vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j} + A_z\hat{k}$

$\vec{B} = B_x\hat{i} + B_y\hat{j} + B_z\hat{k}$

นิสิตอาจจะลองใช้กฎมือขวาพิจารณาผลคูณเชิงเวกเตอร์ของเวกเตอร์ $\hat{i}$ , $\hat{j}$ , $\hat{k}$ ซึ่งจะพบว่า

$\hat{i}\times\hat{j} =\hat{i}\times\hat{k} = \hat{j}\times\hat{k} = 0$

$\hat{i}\times\hat{j} = -\hat{j}\times\hat{i} = \hat{k}$

$\hat{j}\times\hat{k} = -\hat{k}\times\hat{j} = \hat{i}$

$\hat{k}\times\hat{i} = -\hat{i}\times\hat{k} = \hat{j}$

ข้อดีของคุณสมบัติข้างบนคือ นิสิตสามารถใช้คุณสมบัติข้างบนคำนวณผลคูณเชิงเวกเตอร์ของ $\vec{A}$ และ $\vec{B}$ ใดๆได้ดังนี้

$\vec{A}\times\vec{B} = (A_x\hat{i} + A_y\hat{j} + A_z\hat{k})\times(B_x\hat{i} + B_y\hat{j} + B_z\hat{k})$ $= (A_yB_z-B_yA_z)\hat{i} + (A_zB_x-B_xA_z)\hat{j} + (A_xB_y-B_xA_y)\hat{k}$

ซึ่งสามารถคำนวณได้จากดีเทอร์มิแนนท์

$<br /> \vec{A}\times\vec{B} =<br /> \begin{vmatrix}<br /> \hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k} \<br /> A_{x} & A_{y} & A_{z} \<br /> B_{x} & B_{y} & B_{z}<br /> \end{vmatrix}<br />$ $= (A_yB_z-B_yA_z)\hat{i} + (A_zB_x-B_xA_z)\hat{j} + (A_xB_y-B_xA_y)\hat{k}$

คุณสมบัติทั่วไปของผลคูณเชิงเวกเตอร์ ที่เป็นประโยชน์คือ

$\vec{A}\times\vec{B}=-\vec{B}\times\vec{A}$

$m\left(\vec{A}\times\vec{B}\right)=\left(m\vec{A}\right)\times\vec{B}=\vec{A}\times\left(m\vec{B}\right)$

$\vec{A}\times\left(\vec{B}+\vec{C}\right)=\left(\vec{A}\times\vec{B}\right)+\left(\vec{A}\times\vec{C}\right)$

$\vec{A}\times\left(\vec{B}\times\vec{C}\right)=\left(\vec{A}\cdot\vec{C}\right)\vec{B}+\left(\vec{A}\cdot\vec{B}\right)\vec{C}$

$\left(\vec{A}\times\vec{B}\right)\times\vec{C}=\left(\vec{A}\cdot\vec{C}\right)\vec{B}+\left(\vec{B}\cdot\vec{C}\right)\vec{A}$

$\vec{A}\cdot\left(\vec{B}\times\vec{C}\right)=\left(\vec{C}\times\vec{A}\right)\cdot\vec{B}=\left(\vec{A}\cdot\vec{B}\right)\cdot\vec{C}$

เมื่อ

เป็นปริมาณสเกลลาร์

ตัวอย่าง
เวกเตอร์ $\vec{A} = 3\hat{i} + 4\hat{j}$ และ เวกเตอร์ $\vec{B} = -5\hat{j} + 12\hat{k}$
จงหา

ก) ขนาดของ $\vec{A}$ และ $\vec{B}$

$|A| = \sqrt{3^2 + 4^2}=5$
$|B| = \sqrt{5^2 + 13^2}=13$

ข) ผลคูณเชิงสเกลลาร์ของเวกเตอร์ทั้งสอง

$\vex{A}\cdot\vec{B} = (3\hat{i} + 4\hat{j})\cdot(\vec{B} = -5\hat{j} + 12\hat{k})=-20$

ค) มุมระหว่างเวกเตอร์ทั้งสอง
จาก
$\vec{A}\cdot\vec{B} = |A||B|\cos\theta$

จะได้ $\displaystyle{\cos\theta = \frac{\vec{A}\cdor\vec{B}}{|A||B|} = -\frac{4}{13}}$

นั่นคือมุมระหว่างเวกเตอร์ทั้งสองจะมีค่า $\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{4}{13}\right)$

ง) ผลคูณเชิงเวกเตอร์

$\vec{A}\times\vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k} \ 3 & 4 & 0 \ 0 & -5 & 12 \end{vmatrix}$ $= 48\hat{i} - 36\hat{j} -15\hat{k}$

<<< หน้าก่อนนี้ (หน้า 3)

หน้าถัดไป (หน้า 5) >>>

^*หมายเหตุ งานเขียนชิ้นนี้ ได้รับการคุ้มครองสิทธิตามพระราชบัญญัติคุ้มครองสิทธิทางปัญญา โดยลิขสิทธิเป็นของผู้เขียน ที่ให้เกียรตินำเผยแพร่ผ่าน วิชาการ.คอม เรามีความยินดีและอนุญาตให้ทำซ้ำหรือเผยแพร่ต่อเพื่อประโยชน์ทางการศึกษาเท่านั้น กรุณาให้เกียรติผู้เขียน โดยอ้างชื่อผู้เขียนและ วิชาการ.คอม (www.vcharkarn.com) ทุกครั้งที่ทำการเผยแพร่ต่อ ห้ามนำส่วนหนึ่งส่วนใดไปเผยแพร่ต่อในสื่อที่เอื้อประโยชน์ทางธุรกิจก่อนได้รับอนุญาต ขอขอบคุณที่ร่วมกันช่วยสร้างให้สังคมไทยเป็นสังคมแห่งปัญญา

จำนวน 4 ความเห็น, หน้า่ | -1-

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 1 15 เม.ย. 2550 (18:07)
เขียน determinant สำหรับผลคูณเชิงเวกเตอร์ ใช้ "vmatrix" ดีกว่าครับ
$\vec{A}\times\vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k} \\ A_{x} & A_{y} & A_{z} \\ B_{x} & B_{y} & B_{z} \end{vmatrix}$

Siranan

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 10 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 151 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 2 15 เม.ย. 2550 (18:22)
ผมคิดว่าในปัจจุบัน แนวคิดเกี่ยวกับ "มวลนิ่ง" (rest mass) กับ "มวลสัมพัทธภาพ" (relativistic mass) น่าจะล้าสมัยแล้วนะครับ... ในตำราของ Halliday, Resnick & Walker, Fundamentals of Physics ก็เลิกใช้ไปแล้ว...

สิ่งที่ขึ้นอยู่กับความเร็วควรจะเป็นพลังงานกับโมเมนตัม ไม่จำเป็นต้องนิยามมวลที่ขึ้นกับความเร็วเลย
$E=\frac{mc^{2}}{\sqrt{1-(v/c)^{2}}} \qquad\text{and}\qquad{} \vec{p}=\frac{m\vec{v}}{\sqrt{1-(v/c)^{2}}}$

REF: Does mass change with speed?
http://math.ucr.edu/home/baez/physics/Relativity/SR/mass.html

Siranan

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 3 15 เม.ย. 2550 (22:44)
ขอบคุณคุณ Siranan สำหรับความเห็นและข้อแนะนำครับ

ผมเห็นด้วยอย่างยิ่งว่าใน Relativistic mass ไม่มีความจำเป็นที่จะต้องนิยาม และหลายๆกรณีอาจจะนำมาซึ่งความสับสนได้ และที่จริงก็ยังไม่จำเป็นต้องกล่าวถึงในบทนี้เสียด้วยซ้ำไป เหตุผลที่กล่าวถึงในตอนบรรยายครั้งกระนู้น เพราะต้องการจะสร้างแรงจูงใจคิดว่าน่าจะช่วยให้ผู้เรียนเห็นภาพได้ง่ายและกว้างขึ้น แต่แน่นอนว่าอาจจะไม่ใช่วิธีที่ดีที่สุดในการสอน ผมจะนำไปพิจารณาเวลาที่จะปรับปรุงเล็กเชอร์โน๊ตในครั้งต่อไปครับ

จ้อ

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 1410 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 239 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 4 30 เม.ย. 2550 (11:49)
แนวคิดที่ว่าด้วย พลังงาน และ โมเมนตัม นั้น เป็นการนิยามเชิงสนามโดยหลักของแฮมิลตันใช่ป่าวคับ เห็นเขาว่าสามารถนำเอามาใช้ในการวิเคราะห์กลศาสตร์จุลภาคได้เป็นอย่างดีใช่ไหมครับ

pachelbel

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 151 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 153 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

กรุณา login เพื่อ comment งานเขียนนี้

???? สมัครสมาชิก ฟรี ตลอดชีพ