จำนวนจริง

จำนวนจริงคืออะไร?

ทุกคนเคยสงสัยบ้างไหมคะว่า ตัวเลข หรือ จำนวนนั้น กำเนิดเกิดขึ้นมาจากอะไร ใครเป็นผู้คิดค้น แล้วทำไมในชีวิตประจำวันของพวกเราในสมัยนี้ทั้ง การเรียน การงาน หรือกระทั่งการดำเนินชีวิตส่วนใหญ่แล้วจึงเกี่ยวข้องกับคำว่า “จำนวน” จำนวนคืออะไร? ปัจจุบันหากพวกเราเลี้ยงสัตว์เพื่อจุดประสงค์เพื่อการค้าขาย หรือเลี้ยงไว้เพื่อครัวเรือนเองนั้น เราก็จะต้องมีการดูแลและคอยนับจำนวนสัตว์เลี้ยงที่อยู่ในความดูแลของพวกเราเสมอ อาจจะเพื่อการสำรองอาหารให้พอดีกับจำนวนสิ่งมีชีวิตที่เลี้ยงไว้ หรือ ป้องกันการลักลอบขโมยก็ได้ แล้วพวกเราเคยคิดกลับกันไหมว่า หากว่าเป็นในสมัยยุคดึกดำบรรพ์แล้วนั้น พวกเขาจะทำกันอย่างไร ในเมื่อในสมัยนั้นยังไม่มีการค้นพบตัวเลขใดๆทั้งสิ้น ในสมัยโบราณนั้นถึงแม้ว่าจะยังไม่มีตัวเลขเกิดขึ้น แต่พวกเขาก็สามารถที่จะคอยนับจำนวนสัตว์เลี้ยงทีละตัวได้ด้วยการแทนก้อนหินหนึ่งก้อนเท่ากับจำนวนสัตว์หนึ่งตัว นั่นหมายถึงว่า ปริมาณของก้อนหินของพวกเขาจะต้องมีปริมาณเท่ากันทุกวัน น่าทึ่งไหมคะ ดังนั้นเราจึงเห็นว่า มนุษย์มีการคิดเรื่องจำนวนมาตั้งแต่สมัยดึกดำบรรพ์ และ จำนวนที่มนุษย์คิดขึ้นได้เป็นครั้งแรกนั้นก็คือ “จำนวนนับ” หรือ ยกตัวอย่างได้ง่ายๆก็คือ 1,2,3,4,5. . . ซึ่งเราจะกล่าวถึงในหัวข้อต่อไปคะ มารู้จักความหมายที่แท้จริงของจำนวนจริงกันเถอะ!

จากแผนภาพข้างต้น คือองค์ประกอบที่สำคัญของจำนวนจริง ทีนี้เรามาดูกันดีกว่านะคะว่านิยามของแต่ละตัวภายในระบบจำนวนจริงนั้น มีอะไรบ้าง จำนวนเต็ม จากหัวข้อที่แล้ว ที่เคยเกริ่นไว้ตั้งแต่แรกไว้ว่า จำนวนที่มนุษย์ค้นพบได้เป็นครั้งแรกก็คือ จำนวนนับ นั่นก็คือ 1 2 3 4 5 ก็ถือได้ว่าเป็นจำนวนนับ (ในที่นี้จะหมายถึงเซตของจำนวนนับ) แทนสัญลักษณ์ไว้ด้วย mathbb{N} หากแต่ก็มีชื่อเรียกจำนวนนับดังข้างต้นได้อีกอย่างว่า “เซตของจำนวนเต็มบวก” ซึ่งแทนด้วย mathbb{I}^+ นั่นก็คือ จำนวนดังกล่าวก็ถือได้ว่าเป็นจำนวนเต็มด้วยเช่นกัน แทนสัญลักษณ์จำนวนเต็มด้วย mathbb{I}ซึ่งจำนวนเต็มนี้ อาจจะเป็นจำนวนเต็มบวก จำนวนเต็มลบ ก็ได้ แล้วแต่ว่าจะกำหนดมาให้ ตัวอย่าง mathcal{I} = {0,1-,1,2,-2,3,-3, cdots} mathcal{I}^+ = {1,2,3,4,5, cdots} mathcal{I}^- = {cdots ,-5,-4,-3,-2,-1}
0 ไม่ถือว่าเป็นทั้งจำนวนเต็มบวก หรือ จำนวนเต็มลบ แต่จะถือว่าเป็นเพียงแค่นวนเต็มศูนย์
จำนวนเศษส่วน คงจะเป็นคำที่ชินชูชินตากันมาบ้างแล้วนะคะ สำหรับเรื่องเศษส่วนจำนวนเต็ม ซึ่งเป็นไปได้โดยง่ายเลยที่เราจะสามารถมองเห็นความแตกต่างระหว่างเศษส่วนและจำนวนเต็มได้เป็นอย่างดี ตัวอย่าง เศษส่วน : displaystyle{frac{1}{2} , frac{22}{7} , -frac{131}{54}}
จำนวนที่เป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มนั้น ตัวส่วนจะต้องไม่เป็นศูนย์ มิฉะนั้นแล้ว ค่าขอจำนวนจะกลายเป็นสิ่งที่ไม่สามารถหาค่าได้ หรือเป็น อินฟินิตี้
จำนวนตรรกยะ (rational number) มาแล้วสำหรับคำแปลกๆในระบบจำนวนจริง แต่ไม่ต้องตกใจไปคะ จำนวนตรรกยะนั้นไม่ยากเกินกว่าที่พวกเราจะสามารถเข้าใจได้ จากแผนภาพทางข้างต้นที่กำหนดมาให้นั้น เราจะพบว่า ทั้งจำนวนเต็ม และจำนวนเศษส่วนนั้น ล้วนแล้วแต่เป็นองค์ประกอบของ จำนวนตรรกยะทั้งสิ้น แล้วมันเกี่ยวเนื่องกันอย่างไรละ ดังนั้น เราลองมาดูนิยามง่ายๆเกี่ยวกับความหมายของมันเลยดีกว่าคะ
จำนวนตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนอยู่ในรูปเศษส่วน frac{a}{b}โดยที่ a และ b เป็นจำนวนเต็ม และ b neq 0
จากนิยามทางข้างต้น ถ้าเราพบว่า a เป็นจำนวนเต็มใดๆ และ displaystyle{a = frac{a}{1}} แล้วละก็ เราก็จะสามารถเขียน a ให้อยู่ในรูปของเศษส่วน ของจำนวนเต็มได้เสมอ เช่น displaystyle{5= frac{5}{1} , 3= frac{3}{1} , 0= frac{0}{1} ,-4= -frac{4}{1}} ดังนั้น เราจะเห็นได้ชัดๆ เลยนะว่า จำนวนเต็มทุกจำนวน เป็นจำนวนตรรกยะ และตอนนี้เราจะให้ mathcal{Q} แทนด้วยเซตของจำนวนตรรกยะ และเรามีนิยามสำหรับตัวมันเองด้วยก็คือ displaystyle{mathcal{Q} = {x | x =frac{a}{b}} เมื่อ displaystyle{a in mathcal{I}}, displaystyle{b in mathcal{I}} และ b neq 0} จากทั้งหมดที่กล่าวถึงมานั้น ล้วนแล้วแต่เป็นความหมายที่เกี่ยวเนื่องกับจำนวนตรรกยะทั้งสิ้น ดังนั้น เราจะมาสรุปให้ชัดๆกันไปเลยว่า จำนวนตรรกยะนั้น ได้แก่จำนวนชนิดใดบ้าง ซึ่งจะแสดงให้ดูดังต่อไปนี้คะ 1. จำนวนเต็ม 2. จำนวนที่เป็นเศษส่วนของจำนวนเต็ม โดยที่ตัวส่วนจะไม่เป็นศูนย์ 3.จำนวนที่เป็นทศนิยมรู้จบ 4.จำนวนที่เป็นทศนิยมซ้ำๆ เรื่องสุดท้ายในหัวข้อนี้ เราจะรู้จักจำนวนนับ จำนวนเต็มศูนย์ จำนวนเต็มลบ และจำนวนตรรกยะ จากที่กำหนดให้ว่า mathcal{Q} แทนเซตของจำนวนตรรกยะ mathcal{I} แทนเซตของจำนวนเต็ม mathcal{N} แทนเซตของจำนวนนับ mathcal{I}^0 แทนเซตของจำนวนเต็มศูนย์ mathcal{I^+} แทนเซตของจำนวนเต็มบวก mathcal{I^-} แทนเซตของจำนวนเต็มลบ
เซตของจำนวนตรรกยะ เป็นเซตที่มีขอบเขตเพียงแค่ การบวก การลบ การคูณ และการหาร นอกจากนั้น เราพบว่า ผลบวกของจำนวนตรรกยะ เป็นจำนวนตรรกยะ ผลลบของจำนวนตรรกยะ เป็นจำนวนตรรกยะ ผลคูณของจำนวนตรรกยะ เป็นจำนวนตรรกยะ แสดงว่าเซตของจำนวนตรรกยะ มีคุณสมปิดของการบวก การลบ และการคูณ
จำนวนอตรรกยะ (irrational number) เอ่ยกันมาน้านนาน สำหรับจำนวนตรรกยะ ถึงตอนนี้ เรามาดูองค์ประกอบอีกตัวหนึ่งของจำนวนจริงกันบ้าง นั่นก็คือ “จำนวนอตรรกยะ”
จำนวนอตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่ไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มโดยที่ตัวส่วนไม่เท่ากับศูนย์ แต่สามารถเขียนเป็นทศนิยมไม่รู้จบแบบไม่ซ้ำได้
เอ่ยแค่นิยาม ทุกคนก็คงจะทราบกันดีแล้วนะคะว่ามีความแตกต่างกันอย่างมากระหว่างจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ จำเป็นต้องอยู่ในรูปของทศนิยมแบบรู้จบ และสามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้ ง่ายๆเลยใช่ไหมคะ ยกตัวอย่างให้เห็นง่ายเลยคือ ในจำนวนอตรรกยะนั้นอย่างเช่น sqrt{2} หรือ จำนวนในรูปที่ติดอยู่ในฟอร์มทศนิยมไม่ซ้ำ 2.449897. . ., 3.9681187. . . หรือกระทั่งจำนวนที่ติดอยู่ในรูปลักษณะพิเศษ เช่น pi, c (c = 2.718 เป็นค่าประมาณ) เอ้า จบซักทีสำหรับองค์ประกอบที่สำคัญๆของจำนวนจริง หลังจากนี้จะต้องมีคนงุนงงสงสัยอย่างแน่นอนว่า แล้วความสัมพันธ์ระหว่างจำนวน ตรรกยะ และจำนวนอตรรกยะนั้น มันเกี่ยวเนื่องกันอย่างไร ทำไมถึงได้กลายมาเป็นจำนวนจริงได้ สงสัยกันนัก ก็จะบอกคะ ซึ่งก็คือ เมื่อเรานำเซตของจำนวนตรรกยะ มายูเนียนกับจำนวนอตรรกยะ เราก็จะได้เซตที่เรียกว่า “เซตของจำนวนจริง” ซึงในที่นี้เราเขียนแทนสัญลักษณ์ด้วย mathcal{R} และเรามีนิยามเล็กๆเพื่อให้ง่ายต่อความเข้าใจด้วยว่า mathcal{R} = {x| x เป็นจำนวนตรรกยะ หรือ x เป็นจำนวนอตรรกยะ} เอ่ยไปแล้ว ก็หวังว่าเพื่อนๆยังคงจำเนื้อหาเดิมๆเกี่ยวกับเรื่องเซตได้นะคะ และส่วนประกอบหลักๆของระบบจำนวนจริง ก็คงจะมีเพียงเท่านี้คะ หวังว่าเพื่อนๆ คงจะสนุกสนานกับแบบฝึกหัดท้ายบทกันนะคะ
ด้วยเหตุที่เซตของจำนวนตรรกยะ mathcal{Q} และเซตของจำนวนอตรรกยะ mathcal{Q}' เป็นเซตต่างสมาชิก และเมื่อนำมายูเนียนกันแล้ว จะได้เซต mathcal{R} ดังนั้น เซตของจำนวนอตรรกยะ mathcal{Q}'= mathcal{R}-mathcal{Q}
แบบฝึกหัด1 1. จงพิจารณาจำนวนที่กำหนดให้ต่อไปนี้ว่าเป็นจำนวนชนิดใด และทำเครื่องหมายในตาราง
ข้อ
จำนวน
mathcal{N}
mathcal{I}
mathcal{Q}
mathcal{Q}'
mathcal{R}
ไม่ใช่ mathcal{R}
1
- sqrt{81}= - 9
           
2
sqrt{18}
           
3
displaystyle{frac{10}{3}}
           
4
-1.255
           
5
3pi
           
6
7.3434cdots
           
7
sqrt{-25}
           
8
9-sqrt{4}
           
9
displaystyle{frac{sqrt{27}}{-sqrt{3}}}
           
10
3-sqrt{-1}
           
(เลือกได้มากกว่าหนึ่งช่อง) 2. จงบอกว่าประโยคต่อไปนี้ ข้อใดเป็นจริง และข้อใดเป็นเท็จ 1. จำนวนตรรกยะทุกจำนวนเป็นจำนวนเต็ม 2. จำนวนตรรกยะทุกจำนวนเป็นจำนวนจริง 3. ผลหารของจำนวนเต็ม 2 จำนวน เป็นจำนวนเต็มเสมอ 4. ผลคูณของจำนวนตรรกยะกับจำนวนอตรรกยะต้องเป็นจำนวนอตรรกยะ 5. จำนวนเต็มทุกจำนวนเป็นจำนวนตรรกยะ
สมบัติของจำนวนจริง ถึงตอนนี้ พวกเราก็มาทำความรู้จักกับคุณสมบัติต่างๆของระบบจำนวนจริงกันบ้างดีกว่านะคะ โดยที่เราทราบกันมาก่อนแล้วใช่ไหมคะว่า ระบบจำนวนนั้นหมายถึง เซตของจำนวนนั่นเอง ซึ่งอาจจะนำมากระทำกันให้อยู่ในรูปของ การบวก การลบ การคูณ การหาร หรืออะไรอื่นๆอีกเยอะแยะ แต่ว่าในระบบจำนวนจริง ที่เราจะกล่าวถึงในตอนนี้ จะต้องประกอบด้วยเซตของจำนวนจริง และการกระทำซึ่งจะมีแค่การบวก กับการคูณ เท่านั้นนะคะ ซึ่งมีคุณสมบัติดังตารางทางด้านล่างนี้นะคะ
คุณสมบัติ
การบวก
การคูณ
ปิด
a+b in mathcal{R}
ab in mathcal{R}
การสลับที่
a+b = b + a
ab = ba
การเปลี่ยนกลุ่ม
(a+b)+c  = a+(b+c)
(ab)c  = a(bc)
การมีเอกลักษณ์
0 เป็นเอกลักษณ์ของการบวก a+0 =  0+a = a
1 เป็นเอกลักษณ์ของการคูณ a.1 =  1.a = a
การมีอินเวอร์ส
อินเวอร์สการบวกของจำนวนจริงคือ a คือ –a โดยที่ a+(-a)=(-a)+a  = 0
อินเวอร์สการคูณของจำนวนจริง a คือ displaystyle{frac{1}{a}} และ aneq 0 โดยที่ displaystyle{a(frac{1}{a})=1}
การกระจาย
a(b+c)  = ac+bd
ในเมื่อพวกเรารู้จักคุณสมบัติต่างๆกันแล้วละก็ นำความรู้ที่ได้มาทดสอบตัวเองกันเถอะ
แบบฝึกหัด 2 1. จงใส่คำตอบของโจทย์แต่ละข้อลงในตารางที่กำหนดให้
  มีอินเวอร์สการบวก มีอินเวอร์สการคูณ
1. displaystyle{-frac{1}{8}}    
2. displaystyle{frac{1}{5}}    
3. displaystyle{frac{1}{a}}    
4. displaystyle{-frac{sqrt{3}}{3}}    
5. displaystyle{frac{1-sqrt{5}}{2}}    
6. displaystyle{sqrt{5}}    
ก่อนจะมากล่าวถึงกันในหัวข้อต่อไปที่น่าสนใจมากๆนี้นะคะ เราก็คงจะเรียนรู้มามากพอแล้วสำหรับความหมายของคำว่า จำนวนจริง รวมถึง คุณสมบัติต่างๆของระบบจำนวนจริงกันอีกด้วยนะคะ ดังนั้น ในตอนนี้ เราจะมาดูกันว่าคุณสมบัติของจำนวนจริงนี่ละ ที่มีความสำคัญมากสำหรับการนำไปใช้แก้ปัญหาโจทย์บางอย่าง ในที่นี้ก็คือ การนำคุณสมบัติของระบบจำนวนจริง มาทำการแก้สมการพหุนาม ที่อาจจะมีดีกรีมากกว่า หรือเท่ากับหนึ่งก็ได้ แล้วเพื่อนๆยังจำเรื่องนี้กันได้อยู่หรือเปล่าคะ เพราะพวกเราเคยเรียนผ่านกันมาแล้วทั้งนั้นเลยคะ แต่เอาเป็นว่า เรามาทบทวนกันอย่างง่ายๆก่อนเข้าสู่เนื้อหากันก่อนก็แล้วกันนะคะ

การแก้สมการพหุนามตัวแปรเดียว

สมการพหุนาม(Polynomial equation) ที่มีตัวแปรเดียว หมายถึง สมการที่อยู่ในรูปของ a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ . . . +a_1x+a_0 = 0 โดยที่ a_n, a_{n-1}, cdots ,a_1, a_0 เป็นค่าคงตัว x เป็นตัวแปรและ n เป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ แล้วถ้า a_nneq 0 เราจะเรียกสมการพหุนามนี้ว่าเป็นสมการพหุนามดีกรี(degree) n ตัวอย่างเช่น 2x+1 = 0 เป็นสมการพหุนามดีกรี 1 2x^2+3x+1 = 0 เป็นสมการพหุนามดีกรี 2 3x^3+2x^2-12x-8 = 0 เป็นสมการพหุนามดีกรี 3 โดยที่นอกจาก การนำคุณสมบัติของระบบจำนวนจริง มาแก้ปัญหาสมการพหุนามดีกรี มากกว่าหรือเท่าหนึ่งแล้ว เราก็สามารถนำวิธีการอื่นมาใช้ได้อีกมากมายหลายวิธี เช่น การใช้สูตรการทำให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์ การแยกตัวประกอบ ตัวนี้ละคะที่สำคัญมากๆ ในการที่จะนำมาใช้ เราอาจแยกตัวประกอบอย่างง่ายๆ โดยการทำให้อยู่ในรูปผลต่างกำลังสอง ผลบวกของกำลังสาม หรือ ผลต่างของกำลังสามก็ได้คะ โดยอาศัยจากสูตรข้างล่างนี้คะ

a^2+b^2 = (a+b) (a-b) a^3+b^3 = (a+b) (a^2-ab+b^2) a^3-b^3 = (a-b) (a2+ab+b2)
อธิบายอย่างเดียวก็เดี๋ยวจะง่วงกันเสียก่อน ดังนั้นเรามาลองทบทวนวิธีการแก้ปัญหาสมการพหุนามอย่างง่ายๆกันดีกว่านะคะ แต่ก่อนอื่นต้องขอบอกไว้ก่อนว่าวิธีการแยกตัวประกอบมีมากกว่าสามวิธีทางข้างต้นนะคะ รายละเอียดทั้งหมดจะแสดงอยู่ด้านล่างดังนี้คะ การแก้สมการดีกรีสูงกว่าสอง โดยการแยกตัวประกอบ 1. การเอาตัวร่วมออก ax^2+bx-x = x(ax+b-1) 2. ผลต่างกำลังสอง a^2-b^2  = (a-b) (a+b) 3. ผลบวกกำลังสาม a^3+b^3  = (a+b) (a^2-ab+b^2) 4. ผลต่างกำลังสาม a^3-b^3   = (a-b) (a^2+ab+b^2) 5. กำลังสามของผลบวก (a+b)^3 = (a^3+3a^2b+ab^2+b^3) 6. กำลังสามของผลต่าง (a-b)^3  = (a^3-3a^2b+ab^2-b^3) 7. กำลังสองสมบูรณ์ (a+b)^2 = (a^2+2ab+b^2) 8. การแยก สามพจน์เป็นสองวงเล็บ 9. การแยกตัวประกอบโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ
แบบฝึกหัด 3 จงแยกตัวประกอบพหุนามต่อไปนี้ 1. 6x-10x^2 2. 2x^2+15x+7 3. x^2+16x+61 4. 9x^2-16 5. x^3-8 6. x^3+5x^2-7x 7. 36-y^2 8. x^2-5x-14 9. x^2-11x+30 10. 27+64y^3
จากเนื้อหาดังข้างต้น เราจะพบได้ว่า วิธีการอย่างหนึ่งที่กันอย่างมากในเรื่องของการแก้อสมการ นั้นก็คือ การแยกตัวประกอบ ซึ่งการแยกตัวประกอบจะง่ายหรือยากนั้นขึ้นอยู่กับ พหุนามที่กำหนดให้ และทฤษฎีบทที่มีประโยชน์มากในเรื่องของการแยกตัวประกอบ นั้นก็คือ ทฤษฎีบทเศษเหลือ ซึ่งเราจะกล่าวถึงต่อไป การหารสังเคราะห์ (Synthetic division) การหารสังเคราะห์ เป็นเรื่องที่ว่าด้วยการหารพหุนาม ที่มีดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ 1 ด้วยพหุนามที่อยู่ในรูป x-a เมื่อ aneq 0 เช่น 2x^3-x^2-8x+15 =? วิธีการหาคำตอบ เราอาจใช้การหารยาว ซึ่งจะเสียเวลาและใช้เนื้อที่ในการเขียนมาก ดังนั้นการหารสังเคราะห์ เป็นวิธีลัดในการหาผลหาร และเศษจากการหาร จากตัวอย่างโจทย์ข้างต้น เราสามารถแสดงให้อยู่ในรูปของการหารสังเคราะห์ได้ดังนี้
2 -1 -8 15
แถวที่ 1
-4 -6  4
แถวที่ 2
2  3 -2 11
แถวที่ 3
ดังนั้น เราจึงสามารถสรุปขั้นตอนสำหรับการหารสังเคราะห์ได้ดังนี้ สมมุติให้ P(x) เป็นพหุนามที่มีดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ 1 ถ้าต้องการหาร P(x) ด้วย x-c เมื่อ cneq 0 ด้วยวิธีการหารสังเคราะห์ จะมีวิธีการดังนี้ 1. เขียนสัมประสิทธิ์ของพจน์ต่างๆ ของ P(x) เมื่อเรียงดีกรีจากมากไปน้อยแล้ว ถ้าบางพจน์ไม่มีให้ถือ สัมประสิทธิ์นั้นเป็น 0 2. เขียน c เป็นตัวหาร 3. จำนวนแรกในแถวสาม จะเท่ากับจำนวนแรกในแถวหนึ่ง 4. นำ c ไปคูณกับจำนวนแรกของแถว 3 นำผลคูณไปใส่ในตำแหน่งที่สองของแถวสอง 5. บวกจำนวนในแถวที่หนึ่งและแถวที่สองในตำแหน่งที่สอง นำผลบวกใส่ในตำแหน่งเดียวกันของแถวที่สาม 6. นำ c คูณกับจำนวนใดตำแหน่งที่สองของแถวที่ สาม นำผลคูณไปใส่ในตำแหน่งที่สามของแถวที่สอง 7. บวกจำนวนในแถวที่หนึ่ง และแถวที่สองในตำแหน่งที่สาม นำผลไปใส่ในตำแหน่งเดียวกัน ของแถว ที่สามทำเช่นนี้ไปเรื่อยๆจนหมดทุกตำแหน่ง จะได้ว่า * จำนวนทุกจำนวนในแถวที่สาม(ยกเว้นจำนวนสุดท้าย) เป็นสัมประสิทธิ์ของผลหาร ซึ่งเป็นพหุนามที่มีดีกรีน้อยกว่า P(x) อยู่ 1 ** จำนวนสุดท้ายในแถวที่สามเป็นเศษจากการหาร *** ถ้าเศษเป็น 0 จะเรียกตัวหาร x-c ว่าตัวประกอบ P(x)
แบบฝึกหัด 4 จงใช้วิธีการหารสังเคราะห์เพื่อหาคำตอบจากคำถามต่อไปนี้ 1. displaystyle{frac{x^3+x^2-18x+18}{(x-3)}} 2. displaystyle{frac{2x^2+9x-5}{(x+2)}} 3. displaystyle{frac{3x^3+13x^2-11x+5}{(x+3)}} 4. displaystyle{frac{x^3-x^2+2x+7}{(x+2)}} 5. displaystyle{frac{-2x^3-5x^2+7}{(x+3)}} 6. displaystyle{frac{5x^3-11x^2-14x-10}{(x-3)}} 7. displaystyle{frac{3x^4 - 2 x^3+x^2-x+7}{(x-2)}} 8. displaystyle{frac{x^2+5x+6}{(x+2)}} 9. displaystyle{frac{x^2+4x+7}{(x+3)}}

ช่วง

เพื่อนๆทุกคนคงจะรู้จักมักคุ้นไม่น้อยเลยใช่ไหมคะสำหรับความหมายของคำว่า ช่วง ซึ่ง แท้ที่จริงแล้ว ช่วงนั้นก็คือ ชื่อที่เราใช้เรียกสับเซตของเซต mathcal{R} (จำนวนจริง) ซึ่งมีลักษณะหรือเงื่อนไขของเซตเป็นการเฉพาะ โดยที่ช่วงนั้น มีอยู่หลายประเภททีเดียว และแต่ละประเภทนั้น จะมีความแตกต่างกันและสามารถเห็นได้ชัดเจนทั้งความหมายและสัญลักษณ์ด้วย เราจะมาดูกันนะคะว่า ประเภทของช่วงนั้น มีอะไรบ้าง และแต่ละประเภทนั้นแตกต่างกันอย่างไร มาดูความหมายและตัวอย่างง่ายๆของแต่ละประเภทกันเลยค่ะ ช่วงเปิด (Open interval) ช่วงเปิด เป็นประเภทของช่วงประเภทแรกที่เราจะกล่าวถึงกัน ซึ่งช่วงประเภทนี้เป็นแบบอย่างแบบง่ายๆ ที่เราสามารถเข้าใจได้อย่างรวดเร็ว เรามาดูนิยามของช่วงประเภทนี้กันเลยค่ะ ช่วงเปิด (Open interval) หมายถึง เซตของจำนวนจริง ที่อยู่ระหว่าง a และ b และเราสามารถเขียน a,b ให้อยู่ในรูปของสัญลักษณ์แทนช่วงเปิดได้คือ (a,b) และเราสามารถแสดงให้อยู่ในรูปของเซตได้ดังนี้ (a,b) = {x in mathcal{R} | a < x < b} และสามารถนำเซตที่ได้ มาเขียนให้อยู่ในรูปของเส้นจำนวน เพื่อที่เราจะสามารถเห็นภาพได้ชัดเจนยิ่งขึ้น ได้ดังนี้

สัญลักษณ์ ( ) นี้ใช้แทนสำหรับช่วงเปิด และบนเส้นจำนวนจะแสดงอยู่ในรูปของวงกลมแบบโปร่งแสง หากทึบ นั่นจะหมายถึงช่วงปิดทันที โดยที่ช่วงเปิดนี้จะไม่นับรวมค่าที่อยู่แรกสุดและหลังสุด แต่จะนับเพียงค่าที่อยู่ระหว่างช่วงเท่านั้น
ช่วงปิด (Closed interval) ช่วงปิด คืออีกประเภทหนึ่งที่สำคัญ และสามารถเข้าใจได้ง่ายเช่นเดียวกับ ช่วงเปิด เรามาดูนิยามของช่วงประเภทนี้กันดีกว่าค่ะ ช่วงปิด (Closed interval) หมายถึง เซตของจำนวนจริง ที่อยู่ตั้งแต่ a ถึง b และเราสามารถเขียน a,b ให้อยู่ในรูปของสัญลักษณ์แทนช่วงปิดได้คือ [a,b] ซึ่งเราสามารถแสดงให้อยู่ในรูปของเซตได้ดังนี้ [a,b] = {x in mathcal{R} | a leq x leq b} และสามารถนำเซตที่ได้ มาเขียนให้อยู่ในรูปของเส้นจำนวน เพื่อที่เราจะสามารถเห็นภาพได้ชัดเจนยิ่งขึ้น ได้ดังนี้
ช่วงครึ่งเปิด (Half-open interval) ช่วงครึ่งเปิดเป็นชนิดที่เกิดการผสมผสานระหว่าง ช่วงเปิดและช่วงปิด ซึ่งช่วงครึ่งเปิดนี้ เราสามารถที่จะเขียนสัญลักษณ์และลักษณะของเซตจำนวนได้เป็นสองกรณีคือ 1. ช่วงครึ่งเปิดของ (a, b] คือ เซตของจำนวนจริงที่มากกว่า a แต่น้อยกว่า หรือเท่ากับ b 2. ช่วงครึ่งเปิดของ [a, b) คือ เซตของจำนวนจริงที่มากกว่าหรือเท่ากับ a แต่น้อยกว่า b โดยที่ทั้งสองกรณีนี้สามารถที่จะแสดงตัวอย่างให้อยู่ในรูปของเซตได้ดังนี้คือ 1. (a, b] = {x in mathcal{R} | a < x leq b} 2. [a, b) = {x in mathcal{R} | a leq x < b} และเราสามารถแสดงให้อยู่ในรูปของเส้นจำนวนได้ดังนี้ค่ะ
ช่วงอนันต์ (Infinite interval) ช่วงอนันต์ คือ ช่วงที่เราไม่สามารถรู้จุดสิ้นสุดได้ว่าจะสิ้นสุด ณ ที่จุดไหน ซึ่งเราจะแทนสัญลักษณ์อนันต์ด้วย infty โดยที่ infty นั้น มีทั้งช่วงบวกและช่วงลบ เช่นเดียวกับจำนวนเต็ม ซึ่งเราสามารถแบ่งกรณีของช่วงอนันต์ได้ถึง 5 กรณีด้วยกันคือ 1. ช่วงอนันต์ (a,infty) หมายถึง เซตของจำนวนจริงที่มากกว่า a (a, infty) = {x in mathcal{R} | x > a} 2. ช่วงอนันต์ [a, infty) หมายถึง เซตของจำนวนจริงที่มากกว่าหรือเท่ากับ a [a, infty) = {x in mathcal{R} | x geq a} 3. ช่วงอนันต์ (-infty, a) หมายถึง เซตของจำนวนจริงที่น้อยกว่า a (-infty, a) = {x in mathcal{R} | x < a} 4. ช่วงอนันต์ (-infty, a] หมายถึง เซตของจำนวนจริงที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ a (-infty, a] = {x in mathcal{R} | x leq a} 5. ช่วงอนันต์ (-infty, infty) หมายถึง เซตของจำนวนจริง (-infty, infty) = mathcal{R} ถึงตอนนี้เพื่อนๆคงจะทราบถึงประเภทของช่วงกันแล้วนะคะ ว่าช่วงนั้นมีหลายชนิดด้วยกัน และใช้ในกรณีที่แตกต่างกันอีกด้วย ดังนั้น ตอนนี้เพื่อนๆก็สามารถที่จะนำความรู้ที่ได้จากหัวข้อข้างต้น เพื่อนำมาใช้ประโยชน์ในการแก้โจทย์ปัญหาได้อย่างรวดเร็วค่ะ
แบบฝึกหัด5 1. จงเขียนเซตต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปของช่วง 1. {x in mathcal{R} | x > 3} 2. {x in mathcal{R} | -2 le x < 5} 3. {x in mathcal{R}| x le 10} 4. {x in mathcal{R}| -7 < x < 1} 5. {x in mathcal{R}| x ge 4} 2. จงเขียนกราฟต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปสับเซต 3. จงเติมสัญลักษณ์ in หรือ ในช่องว่างดังนี้ 1. 4	ldotsldots	[4, 9) 2. -2	ldotsldots	(-2, 0) 3. -5	ldotsldots	(-infty, -7) 4. 4.2	ldotsldots	(4, 9) 5. 6	ldotsldots	[-9, 6) 4. กำหนดให้ A = [-4, 2) B=(-1, 6) C=(-infty,1] จงหา set ต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปช่วง 1. A cup B 2. A cap B 3. A - B 4. B - A 5. A cup C 6. A cap C 7. A - C 8. C - A 9. B cup C 10. B cap C

การแก้อสมการ

จากที่เพื่อนๆเคยเรียนผ่านกันมาเกี่ยวกับเรื่องการแก้สมการตัวแปรเดียว หรือว่าหลายตัวแปรนั้น มีความเกี่ยวเนื่องบางประการสำหรับการที่จะนำความรู้ของเรื่องสมการนั้นเพื่อนำมาใช้ในบทนี้ สำหรับหัวข้อนี้นั้น เราจะพูดถึงวิธีการแก้อสมการในรูปแบบต่างๆได้อย่างไร โดยที่คุณสัมบัติหลักที่ใช้มากในการแก้อสมการนั้น คือ คุณสมบัติการไม่เท่ากัน ได้แก่ 1. คุณสมบัติการบวกด้วยจำนวนเท่ากัน 2. คุณสมบัติการลบด้วยจำนวนเท่ากัน 3. คุณสมบัติการคูณด้วยจำนวนจริงบวก 4. คุณสมบัติการคูณด้วยจำนวนจริงลบ โดยการที่เราจะทำการแก้อสมการนั้น เราจะแยกตามประเภทของอสมการในแต่ละประเภทดังนี้คือ การแก้อสมการกำลังหนึ่ง อสมการกำลังหนึ่งนั้น เป็นอสมการที่มีตัวแปรยกกำลังหนึ่งเท่านั้น และสามารถที่จะจัดอสมการในรูปของ ax le b ax < b ax ge b ax > b โดยที่เราจะกำหนดให้ x เป็นตัวแปร และ a,b เป็นค่าคงที่ และจากคุณสมบัติดังกล่าวนี้นั้น เราสามารถที่จะนำมาใช้ในการแก้ปัญหาอสมการประเภทนี้ โดยที่คุณสมบัติข้อ 1 และข้อ 2 นั้นจะถือว่าเป็น คุณสมบัติที่ช่วยในการจัดอสมการกำลังหนึ่งให้อยู่ในรูปที่แสดงดังอสมการข้างต้น และพวกเราสามารถที่นำความรู้นี้มาใช้ในการแก้ปัญหาจากโจทย์แบบฝึกหัดได้คะ

แบบฝึกหัด 6 1. x -  le  5x-1 2. x-8  le 7-3x และ 7-3x < 1 3. 3 le 2x+4 < 7 4. 3-x le 2x+4 < 7 5. 3x < 4x+2 le x+11
การแก้อสมการกำลังสอง หัวข้อที่แล้วเรากล่าวถึงสมการยกกำลังหนึ่ง ซึ่งสามารถแก้ปัญหาได้โดยง่าย เพราะจะยังไม่มีความซับซ้อนมากเท่าไหร่นัก ซึ่งจากแบบฝึกหัดที่พวกเราได้ทำกันไปแล้วนั้น จะช่วยให้เราสามารถเข้าใจ รับรู้ถึงเทคนิคหรือวิธีบางอย่างในการคำนวณได้ดีมากขึ้น สำหรับในหัวข้อนี้ เป็นอีกหนึ่งวิธีสำหรับการแก้อสมการ แต่จะเพิ่มระดับความยุ่งยากขึ้นมามากกว่าเล็กน้อย นั่นคือ การแก้โจทย์ปัญหาอสมการกำลังสอง โดยที่การแก้อสมการประเภทนี้นั้น เราสามารถทำได้หลายวิธีด้วยกัน เช่น การแยกตัวประกอบ หรือ การแก้โจทย์โดยที่ใช้วิธีกำลังสองสมบูรณ์ การแก้อสมการกำลังสองนั้น มีนิยามที่แสดงได้อย่างง่ายๆคือ อสมการกำลังสอง ใน x หมายถึง อสมการที่อยู่ในรูปของ Ax+bx+c  <  0 Ax+bx+c  le  0 Ax+bx+c  >  0 Ax+bx+c   ge   0 โดยกำหนดให้ x เป็นตัวแปร และ a,b,c เป็นค่าคงที่ ที่ aneq 0 ซึ่งอย่างที่บอกไปแล้วนั้นว่า วิธีการแก้อสมการกำลังสองนั้นมีวิธีได้หลายวิธี เรามาดูวิธีการแก้ปัญหาของแต่ละประเภทกันดีกว่านะคะ 1. การแก้สมการสมการกำลังสองโดยการแยกตัวประกอบ และสิ่งที่จะเอ่ยดังต่อไปนี้ จะเป็นวิธีการแก้ปัญหาเกี่ยวกับอสมการอย่างง่ายๆ โดยที่เราจะสรุปเป็นข้อๆ เพื่อให้ง่ายต่อการเข้าใจมากขึ้นนะคะ โดยขั้นตอนในการแก้ปัญหานั้นมีขั้นตอนดังนี้ การแก้อสมการกำลัง 2 อ้างโดยนิยามที่กล่าวไปดังก่อนหน้านี้ เราสามารถที่จะแสดงวิธีในการแก้อสมการได้ดังนี้ 1. จัดอสมการเปรียบเทียบกับ 0 2. แยกตัวประกอบ 3. พิจารณาเครื่องหมาย +,- 4. หาคำตอบจากสมการกำลัง 1 จากทั้ง 2 กรณีแล้วนำมายูเนี่ยนกัน ซึ่งพวกเราสามารถที่จะนำขั้นตอนดังกล่าวมาใช้ได้โดยที่จะสามารถแก้ปัญหาได้อย่างรวดเร็วและถูกต้อง เช่นตัวอย่างดังต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 1 จงหาเซตคำตอบของสมการ 3x^2+10x ge 8 วิธีทำ 3x^2+10x ge 8 3x^2+10x-8 ge 0 : จัดสมการเปรียบเทียบกับ 0  (x+4)(3x-2) ge 0 : แยกตัวประกอบ ซึ่งเราจะต้องแบ่งเครื่องหมายในการพิจารณา โดยมีกรณีดังนี้ 1. (+)(+) หรือ 2. (-)(-) หรือ อีกกรณีหนึ่งที่มีเครื่องหมายต่างกัน เราสามารถที่จะแบ่งได้เป็นสองกรณีเช่นกัน แล้วสุดท้ายจะนำคำตอบที่ได้มายูเนี่ยนกัน 1. x+4 ge 0 และ 3x-2 ge 0 x ge -4 และ x ge frac{2}{3} 2.  x+4 le 0 และ 3x-2 le 0  x le -4 และ x le frac{2}{3} เมื่อเรานำค่าที่แยกตัวประกอบนำมาแบ่งเป็นสองกรณีแล้วนั้น ให้นำคำตอบจากสมการกำลัง 1 จากทั้งสองกรณีแล้วนำมายูเนี่ยนกันเพื่อหาคำตอบสุดท้ายออกมาได้ดังนี้ ดังนั้น คำตอบสุดท้ายที่ได้ออกมาก็คือ (-infty,4]bigcup [frac{2}{3}, infty) วิธีการดังที่กล่าวมาคือสำหรับอสมการกำลังสอง โดยใช้วิธีการแยกตัวประกอบเป็นหลัก หากแต่เพื่อนๆจะทำอย่างไร หากว่า เพื่อนๆ ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้
การแก้อสมการกำลังสองโดยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในสำหรับกรณีที่เพื่อนๆแก้อสมการกำลังสอง โดยที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ หรือ อาจสามารถทำได้แต่ยากและใช้เวลานาน การแก้อสมการกำลังสองนี้อาจใช้วิธีการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ได้คะ ซึ่งมีขั้นตอนง่ายๆดังนี้คะ ขั้นตอนที่ 1 ทำให้อสมการกำลังสองใน x มีสัมประสิทธิ์ของพจน์ x^2 เท่ากับ 1 ax^2+bx+c ge  0 ax^2+bx+c >  0 ax^2+bx+c  le  0 ax^2+bx+c  <  0 ขั้นตอนที่ 2 ทำให้อยู่ในรูปของ displaystyle{[x^2+bx+(frac{b}{2})^2]+c-(frac{b}{2})^2  ge  0} displaystyle{[x^2+bx+(frac{b}{2})^2]+c-(frac{b}{2})^2  >  0} displaystyle{[x^2+bx+(frac{b}{2})^2]+c-(frac{b}{2})^2  le  0} displaystyle{[x^2+bx+(frac{b}{2})^2]+c-(frac{b}{2})^2  <  0} ขั้นตอนที่ 3 แทนค่าให้อยู่ในรูปของ displaystyle{(x+frac{b}{2})^2+c-(frac{b}{2})^2  ge  0} displaystyle{(x+frac{b}{2})^2+c-(frac{b}{2})^2  >  0} displaystyle{(x+frac{b}{2})^2+c-(frac{b}{2})^2  le 0} displaystyle{(x+frac{b}{2})^2+c-(frac{b}{2})^2  <  0} เพื่อนๆสามารถทำตามขั้นตอนที่กำหนดให้ดังข้างต้น เรียงลงมาได้เลยนะคะ โดยที่เซตคำตอบของอสมการนั้นจะอยู่ที่ขั้นตอนที่ 3 เรามาดูตัวอย่างง่ายๆกันก่อนที่จะเริ่มทำแบบฝึกหัดกันดีกว่านะคะ เพื่อที่เพื่อนๆจะได้เห็นแนวทางในการตอบคำถามได้ถูกต้องตรงกันคะ
ตัวอย่างที่ 1 จงแก้อสมการ 3x^2-6x-4 le 0 วิธีทำ นำ frac{1}{3} คูณอสมการที่กำหนดให้ displaystyle{x^2-2x-frac{4}{3} le  0} displaystyle{(x^2-2x+1) -frac{4}{3} - 1  le  0} displaystyle{(x-1)^2-frac{7}{3} le  0} ดังนั้น displaystyle{ - frac{7}{3} le x-1 le frac{7}{3}} displaystyle{1-frac{7}{3} le x le 1 +frac{7}{3}} เพราะฉะนั้น เซตคำตอบของอสมการที่ได้จะเท่ากับdisplaystyle{(1-frac{7}{3}, 1+frac{7}{3})}
ในกรณีที่สัมประสิทธิ์ด้านหน้าของ x^2ไม่เท่ากับ 1 ให้ทำให้เป็น 1 เสียก่อน
แบบฝึกหัด 7 จงแก้อสมการดังต่อไปนี้ 1. x^2-10x+25 ge 0 2. x^2-18x+81 ge 0 3. x^2-4x-5 ge 0 4. x^2-14x+49 ge 0 5.  (2x+1) ge 9 6. x^2+x-42 ge 0 7. x^2+4x+4 ge 0 8. x^2+6x+7 ge 0 9. 2x^2+5x+1 ge 0 10. 2x^2+4x-1 ge 0 11. 3x^2+5x+9 ge 0 12. 3x^2+6x-5 ge 0

สัจพจน์ความบริบูรณ์ (The axiom of completeness)

สมบัติความบริบูรณ์ เป็นสมบัติสุดท้ายของระบบจำนวนจริงคะ ซึ่งทางบทแรกๆของจำนวนจริงนั้นได้เคยพูดถึงคุณสมบัติต่างๆของจำนวนจริงไปแล้วนะคะ ซึ่งสมบัติความบริบูรณ์นี้ จะเป็นสมบัติสุดท้ายของระบบจำนวนจริงที่จำนวนอื่นไม่มี และเรามีชื่อเรียกชื่ออีกอย่างหนึ่งว่า สัจพจน์การมีค่าขอบเขตบนน้อยที่สุด (lest upper bound axiom) ซึ่งก่อนอื่น พวกเราก็ต้องมาทำความรู้จักกับคำว่า “ค่าขอบเขตบท” กันเสียก่อนนะคะ เพราะมันมีความสำคัญมากสำหรับในเรื่องนี้ โดยจากนิยามที่ได้กล่าวเอาไว้ว่า

บทนิยาม ให้ S subset mathcal{R} กล่าวว่า จำนวนจริง u จะเป็นค่าขอบเขตบนของ S ก็ต่อเมื่อ u มีค่าไม่น้อยกว่าสมาชิกใดๆของ S ในกรณีนี้เราเรียกว่า S มีขอบเขตบน
นั่นก็คือว่า: u เป็นค่าขอบเขตบนของ S ก็ต่อเมื่อ x le u สำหรับทุกๆ x in S โดยที่ สัจพจน์ของระบบจำนวนจริงนั้นก็คือ ข้อความที่เป็นจริงได้โดยที่ไม่ต้องพิสูจน์ ซึ่งมีทั้งหมด 15 สัจพจน์ด้วยกัน ดังที่แสดงให้เห็นดังนี้ สัจพจน์ที่ 1 ถ้า a,b in mathcal{R} จะได้ a+b in mathcal{R} สัจพจน์ที่ 2 ถ้า a,b,c in mathcal{R} จะได้  (a+b)+c=a+(b+c) สัจพจน์ที่ 3 มี 0 in mathcal{R} โดยที่ a+0 = a สำหรับทุก a in mathcal{R} สัจพจน์ที่ 4 ถ้า a in mathcal{R} จะมี -a in mathcal{R} ซึ่ง a+(-a)=(-a)+a=0 สัจพจน์ที่ 5 ถ้า a,b in mathcal{R} จะได้ a+b = b+a สัจพจน์ที่ 6 ถ้า a,b in mathcal{R} จะได้ ab in mathcal{R} สัจพจน์ที่ 7 ถ้า a,b,c in mathcal{R} จะได้ (ab)c = a(bc) สัจพจน์ที่ 8 มี 1 in mathcal{R},1neq 0 ซึ่ง a1 = 1a = a สำหรับทุก a in mathcal{R} สัจพจน์ที่ 9 ถ้า a in mathcal{R},a neq 0 จะมี  a^{-1} in mathcal{R} ซึ่ง a^{-1}a=1 สัจพจน์ที่ 10 ถ้า a,b in mathcal{R} จะได้ ab=ba สัจพจน์ที่ 11 ถ้า a,b,c in mathcal{R} แล้ว a(b+c)=ab+ac สัจพจน์ที่ 12 มีสับเซต  mathcal{R}^{+} ของ  mathcal{R} ซึ่ง0neq in mathcal{R}^{+} และ ถ้า a in mathcal{R} และ aneq 0 แล้ว ain mathcal{R}^{+} หรือ -ain mathcal{R}^{+} ประการใดประการหนึ่ง สัจพจน์ที่ 13 ถ้า a,bin mathcal{R}^{+} แล้ว a+bin mathcal{R}^{+} สัจพจน์ที่ 14 ถ้า a,bin mathcal{R}^{+} แล้ว abin mathcal{R}^{+} สัจพจน์ที่ 15 ถ้า Sneq emptyset, Ssubsetmathcal{R} และ S มีขอบเขตบนแล้ว S จะมีขอบเขตบนน้อยที่สุด
ตัวอย่างที่ 1 ให้ S = [2,8] จะได้ว่า 8 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 8 เป็นขอบเขตบนของ 8 และขอบเขตบนที่น้อยที่สุดคือ 8 ตัวอย่างที่ 2 ให้ S = (3,5) จะได้ว่า 5 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 5 เป็นขอบเขตบนของ 8 และ ขอบเขตบนที่น้อยที่สุด คือ 5 ตัวอย่างที่ 3 ให้ S = {0,7,3,5} จะได้ว่า 7 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 7 เป็นขอบเขตบนของ 5 และขอบเขตบนที่น้อยที่สุดคือ 7 ตัวอย่างที่ 4 ให้ S = [-1, infty) จะได้ว่า S ไม่มีขอบเขตบน ตัวอย่างที่ 5 ให้ S = emptyset จะได้ว่า จำนวนจริงทุกจำนวนเป็นขอบเขตบนของ S และ S ไม่มีขอบเขตบนที่น้อยที่สุด
จากตัวอย่าง แสดงให้พวกเราทุกคนเห็นถึงความหมายของขอบเขตบนได้ชัดเจนมากขึ้น และสามารถนำความรู้นี้มาใช้ในการตอบคำถามได้อย่างถูกต้องแม่นยำคะ
แบบฝึกหัด8 จงบอกว่าข้อความต่อไปนี้ ถูก หรือผิด 1. 32.7 เป็นขอบเขตบนของ [-40, 7.5) 2. pi เป็นขอบเขตบนของ  {1,3,pi} 3. เซตของขอบเขตบนของ [-15, -3] คือ [-3, infty) 4.  (-infty, 100) มีของเขตบน 5.  (-7, infty) มีขอบเขตบน 6. ขอบเขตบนของ S จะต้องเป็นสมาชิกของ S 7. ขอบเขตบนของ S ต้องไม่เป็นสมาชิกของ S 8. สับเซตของ R ทุกสับเซต จะต้องมีขอบเขตบน 9. เซตของจำนวนนับไม่มีขอบเขตบน
เฉลย สามารถ Download เฉลยแบบฝึกหัดได้ที่นี่

tags :

บทความอื่นๆ

หลักการใช้ in, on, at ในภาษาอังกฤษอย่างไรไม่ให้พลาด

หลักการใช้ in, on, at ในภาษาอังกฤษอย่างไรไม่ให้พลาด

ช็อตเด็ด!!! เสวนาทะลุมิติวิทยาศาสตร์กับ Interstellar ตอน สัมพัทธภาพพิเศษ กับ มายาคติของ อดีต ปัจจุบัน และอนาคต

ช็อตเด็ด!!! เสวนาทะลุมิติวิทยาศาสตร์กับ Interstellar ตอน สัมพัทธภาพพิเศษ กับ มายาคติของ อดีต ปัจจุบัน และอนาคต

ช็อตเด็ด!!! เสวนาทะลุมิติวิทยาศาสตร์กับ Interstellar ตอน กาลอวกาศและขนมปังลูกเกด

ช็อตเด็ด!!! เสวนาทะลุมิติวิทยาศาสตร์กับ Interstellar ตอน กาลอวกาศและขนมปังลูกเกด

ช็อตเด็ด!!! เสวนาทะลุมิติวิทยาศาสตร์กับ Interstellar ตอน เวลาคือมิติที่สี่

ช็อตเด็ด!!! เสวนาทะลุมิติวิทยาศาสตร์กับ Interstellar ตอน เวลาคือมิติที่สี่

เที่ยวสนุกสไตล์ Sci trip on tour:  ฟอสซิลสัตว์ทะเลบนก้อนหินมาจากไหน และ อะไรคือน้องวัว?

เที่ยวสนุกสไตล์ Sci trip on tour: ฟอสซิลสัตว์ทะเลบนก้อนหินมาจากไหน และ อะไรคือน้องวัว?