จำนวนจริง

Written by admin on . Posted in คณิตศาสตร์, ชีววิทยา, ฟิสิกส์




หน้าที่ 1 - จำนวนจริงคืออะไร?
ทุกคนเคยสงสัยบ้างไหมคะว่า ตัวเลข หรือ จำนวนนั้น กำเนิดเกิดขึ้นมาจากอะไร ใครเป็นผู้คิดค้น แล้วทำไมในชีวิตประจำวันของพวกเราในสมัยนี้ทั้ง การเรียน การงาน หรือกระทั่งการดำเนินชีวิตส่วนใหญ่แล้วจึงเกี่ยวข้องกับคำว่า “จำนวน” จำนวนคืออะไร? ปัจจุบันหากพวกเราเลี้ยงสัตว์เพื่อจุดประสงค์เพื่อการค้าขาย หรือเลี้ยงไว้เพื่อครัวเรือนเองนั้น เราก็จะต้องมีการดูแลและคอยนับจำนวนสัตว์เลี้ยงที่อยู่ในความดูแลของพวกเราเสมอ อาจจะเพื่อการสำรองอาหารให้พอดีกับจำนวนสิ่งมีชีวิตที่เลี้ยงไว้ หรือ ป้องกันการลักลอบขโมยก็ได้ แล้วพวกเราเคยคิดกลับกันไหมว่า หากว่าเป็นในสมัยยุคดึกดำบรรพ์แล้วนั้น พวกเขาจะทำกันอย่างไร ในเมื่อในสมัยนั้นยังไม่มีการค้นพบตัวเลขใดๆทั้งสิ้น ในสมัยโบราณนั้นถึงแม้ว่าจะยังไม่มีตัวเลขเกิดขึ้น แต่พวกเขาก็สามารถที่จะคอยนับจำนวนสัตว์เลี้ยงทีละตัวได้ด้วยการแทนก้อนหินหนึ่งก้อนเท่ากับจำนวนสัตว์หนึ่งตัว นั่นหมายถึงว่า ปริมาณของก้อนหินของพวกเขาจะต้องมีปริมาณเท่ากันทุกวัน น่าทึ่งไหมคะ ดังนั้นเราจึงเห็นว่า มนุษย์มีการคิดเรื่องจำนวนมาตั้งแต่สมัยดึกดำบรรพ์ และ จำนวนที่มนุษย์คิดขึ้นได้เป็นครั้งแรกนั้นก็คือ “จำนวนนับ” หรือ ยกตัวอย่างได้ง่ายๆก็คือ 1,2,3,4,5. . . ซึ่งเราจะกล่าวถึงในหัวข้อต่อไปคะ มารู้จักความหมายที่แท้จริงของจำนวนจริงกันเถอะ!
[[9330]]
จากแผนภาพข้างต้น คือองค์ประกอบที่สำคัญของจำนวนจริง ทีนี้เรามาดูกันดีกว่านะคะว่านิยามของแต่ละตัวภายในระบบจำนวนจริงนั้น มีอะไรบ้าง จำนวนเต็ม จากหัวข้อที่แล้ว ที่เคยเกริ่นไว้ตั้งแต่แรกไว้ว่า จำนวนที่มนุษย์ค้นพบได้เป็นครั้งแรกก็คือ จำนวนนับ นั่นก็คือ 1 2 3 4 5 ก็ถือได้ว่าเป็นจำนวนนับ (ในที่นี้จะหมายถึงเซตของจำนวนนับ) แทนสัญลักษณ์ไว้ด้วย mathbb{N} หากแต่ก็มีชื่อเรียกจำนวนนับดังข้างต้นได้อีกอย่างว่า “เซตของจำนวนเต็มบวก” ซึ่งแทนด้วย mathbb{I}^+ นั่นก็คือ จำนวนดังกล่าวก็ถือได้ว่าเป็นจำนวนเต็มด้วยเช่นกัน แทนสัญลักษณ์จำนวนเต็มด้วย mathbb{I}ซึ่งจำนวนเต็มนี้ อาจจะเป็นจำนวนเต็มบวก จำนวนเต็มลบ ก็ได้ แล้วแต่ว่าจะกำหนดมาให้ ตัวอย่าง mathcal{I} = {0,1-,1,2,-2,3,-3, cdots} mathcal{I}^+ = {1,2,3,4,5, cdots} mathcal{I}^- = {cdots ,-5,-4,-3,-2,-1}
[[9329]]0 ไม่ถือว่าเป็นทั้งจำนวนเต็มบวก หรือ จำนวนเต็มลบ แต่จะถือว่าเป็นเพียงแค่นวนเต็มศูนย์
จำนวนเศษส่วน คงจะเป็นคำที่ชินชูชินตากันมาบ้างแล้วนะคะ สำหรับเรื่องเศษส่วนจำนวนเต็ม ซึ่งเป็นไปได้โดยง่ายเลยที่เราจะสามารถมองเห็นความแตกต่างระหว่างเศษส่วนและจำนวนเต็มได้เป็นอย่างดี ตัวอย่าง เศษส่วน : displaystyle{frac{1}{2} , frac{22}{7} , -frac{131}{54}}
[[9329]]จำนวนที่เป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มนั้น ตัวส่วนจะต้องไม่เป็นศูนย์ มิฉะนั้นแล้ว ค่าขอจำนวนจะกลายเป็นสิ่งที่ไม่สามารถหาค่าได้ หรือเป็น อินฟินิตี้
จำนวนตรรกยะ (rational number) มาแล้วสำหรับคำแปลกๆในระบบจำนวนจริง แต่ไม่ต้องตกใจไปคะ จำนวนตรรกยะนั้นไม่ยากเกินกว่าที่พวกเราจะสามารถเข้าใจได้ จากแผนภาพทางข้างต้นที่กำหนดมาให้นั้น เราจะพบว่า ทั้งจำนวนเต็ม และจำนวนเศษส่วนนั้น ล้วนแล้วแต่เป็นองค์ประกอบของ จำนวนตรรกยะทั้งสิ้น แล้วมันเกี่ยวเนื่องกันอย่างไรละ ดังนั้น เราลองมาดูนิยามง่ายๆเกี่ยวกับความหมายของมันเลยดีกว่าคะ
จำนวนตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนอยู่ในรูปเศษส่วน frac{a}{b}โดยที่ a และ b เป็นจำนวนเต็ม และ b neq 0
จากนิยามทางข้างต้น ถ้าเราพบว่า a เป็นจำนวนเต็มใดๆ และ displaystyle{a = frac{a}{1}} แล้วละก็ เราก็จะสามารถเขียน a ให้อยู่ในรูปของเศษส่วน ของจำนวนเต็มได้เสมอ เช่น displaystyle{5= frac{5}{1} , 3= frac{3}{1} , 0= frac{0}{1} ,-4= -frac{4}{1}} ดังนั้น เราจะเห็นได้ชัดๆ เลยนะว่า จำนวนเต็มทุกจำนวน เป็นจำนวนตรรกยะ และตอนนี้เราจะให้ mathcal{Q} แทนด้วยเซตของจำนวนตรรกยะ และเรามีนิยามสำหรับตัวมันเองด้วยก็คือ displaystyle{mathcal{Q} = {x | x =frac{a}{b}} เมื่อ displaystyle{a in mathcal{I}}, displaystyle{b in mathcal{I}} และ b neq 0} จากทั้งหมดที่กล่าวถึงมานั้น ล้วนแล้วแต่เป็นความหมายที่เกี่ยวเนื่องกับจำนวนตรรกยะทั้งสิ้น ดังนั้น เราจะมาสรุปให้ชัดๆกันไปเลยว่า จำนวนตรรกยะนั้น ได้แก่จำนวนชนิดใดบ้าง ซึ่งจะแสดงให้ดูดังต่อไปนี้คะ 1. จำนวนเต็ม 2. จำนวนที่เป็นเศษส่วนของจำนวนเต็ม โดยที่ตัวส่วนจะไม่เป็นศูนย์ 3.จำนวนที่เป็นทศนิยมรู้จบ 4.จำนวนที่เป็นทศนิยมซ้ำๆ เรื่องสุดท้ายในหัวข้อนี้ เราจะรู้จักจำนวนนับ จำนวนเต็มศูนย์ จำนวนเต็มลบ และจำนวนตรรกยะ จากที่กำหนดให้ว่า mathcal{Q} แทนเซตของจำนวนตรรกยะ mathcal{I} แทนเซตของจำนวนเต็ม mathcal{N} แทนเซตของจำนวนนับ mathcal{I}^0 แทนเซตของจำนวนเต็มศูนย์ mathcal{I^+} แทนเซตของจำนวนเต็มบวก mathcal{I^-} แทนเซตของจำนวนเต็มลบ
[[9336]] เซตของจำนวนตรรกยะ เป็นเซตที่มีขอบเขตเพียงแค่ การบวก การลบ การคูณ และการหาร นอกจากนั้น เราพบว่า ผลบวกของจำนวนตรรกยะ เป็นจำนวนตรรกยะ ผลลบของจำนวนตรรกยะ เป็นจำนวนตรรกยะ ผลคูณของจำนวนตรรกยะ เป็นจำนวนตรรกยะ แสดงว่าเซตของจำนวนตรรกยะ มีคุณสมปิดของการบวก การลบ และการคูณ
จำนวนอตรรกยะ (irrational number) เอ่ยกันมาน้านนาน สำหรับจำนวนตรรกยะ ถึงตอนนี้ เรามาดูองค์ประกอบอีกตัวหนึ่งของจำนวนจริงกันบ้าง นั่นก็คือ “จำนวนอตรรกยะ”
จำนวนอตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่ไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มโดยที่ตัวส่วนไม่เท่ากับศูนย์ แต่สามารถเขียนเป็นทศนิยมไม่รู้จบแบบไม่ซ้ำได้
เอ่ยแค่นิยาม ทุกคนก็คงจะทราบกันดีแล้วนะคะว่ามีความแตกต่างกันอย่างมากระหว่างจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ จำเป็นต้องอยู่ในรูปของทศนิยมแบบรู้จบ และสามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้ ง่ายๆเลยใช่ไหมคะ ยกตัวอย่างให้เห็นง่ายเลยคือ ในจำนวนอตรรกยะนั้นอย่างเช่น sqrt{2} หรือ จำนวนในรูปที่ติดอยู่ในฟอร์มทศนิยมไม่ซ้ำ 2.449897. . ., 3.9681187. . . หรือกระทั่งจำนวนที่ติดอยู่ในรูปลักษณะพิเศษ เช่น pi, c (c = 2.718 เป็นค่าประมาณ) เอ้า จบซักทีสำหรับองค์ประกอบที่สำคัญๆของจำนวนจริง หลังจากนี้จะต้องมีคนงุนงงสงสัยอย่างแน่นอนว่า แล้วความสัมพันธ์ระหว่างจำนวน ตรรกยะ และจำนวนอตรรกยะนั้น มันเกี่ยวเนื่องกันอย่างไร ทำไมถึงได้กลายมาเป็นจำนวนจริงได้ สงสัยกันนัก ก็จะบอกคะ ซึ่งก็คือ เมื่อเรานำเซตของจำนวนตรรกยะ มายูเนียนกับจำนวนอตรรกยะ เราก็จะได้เซตที่เรียกว่า “เซตของจำนวนจริง” ซึงในที่นี้เราเขียนแทนสัญลักษณ์ด้วย mathcal{R} และเรามีนิยามเล็กๆเพื่อให้ง่ายต่อความเข้าใจด้วยว่า mathcal{R} = {x| x เป็นจำนวนตรรกยะ หรือ x เป็นจำนวนอตรรกยะ} เอ่ยไปแล้ว ก็หวังว่าเพื่อนๆยังคงจำเนื้อหาเดิมๆเกี่ยวกับเรื่องเซตได้นะคะ และส่วนประกอบหลักๆของระบบจำนวนจริง ก็คงจะมีเพียงเท่านี้คะ หวังว่าเพื่อนๆ คงจะสนุกสนานกับแบบฝึกหัดท้ายบทกันนะคะ
[[9336]]ด้วยเหตุที่เซตของจำนวนตรรกยะ mathcal{Q} และเซตของจำนวนอตรรกยะ mathcal{Q}' เป็นเซตต่างสมาชิก และเมื่อนำมายูเนียนกันแล้ว จะได้เซต mathcal{R} ดังนั้น เซตของจำนวนอตรรกยะ mathcal{Q}'= mathcal{R}-mathcal{Q}
แบบฝึกหัด1 1. จงพิจารณาจำนวนที่กำหนดให้ต่อไปนี้ว่าเป็นจำนวนชนิดใด และทำเครื่องหมายในตาราง
ข้อ
จำนวน
mathcal{N}
mathcal{I}
mathcal{Q}
mathcal{Q}'
mathcal{R}
ไม่ใช่ mathcal{R}
1
- sqrt{81}= - 9
           
2
sqrt{18}
           
3
displaystyle{frac{10}{3}}
           
4
-1.255
           
5
3pi
           
6
7.3434cdots
           
7
sqrt{-25}
           
8
9-sqrt{4}
           
9
displaystyle{frac{sqrt{27}}{-sqrt{3}}}
           
10
3-sqrt{-1}
           
(เลือกได้มากกว่าหนึ่งช่อง) 2. จงบอกว่าประโยคต่อไปนี้ ข้อใดเป็นจริง และข้อใดเป็นเท็จ 1. จำนวนตรรกยะทุกจำนวนเป็นจำนวนเต็ม 2. จำนวนตรรกยะทุกจำนวนเป็นจำนวนจริง 3. ผลหารของจำนวนเต็ม 2 จำนวน เป็นจำนวนเต็มเสมอ 4. ผลคูณของจำนวนตรรกยะกับจำนวนอตรรกยะต้องเป็นจำนวนอตรรกยะ 5. จำนวนเต็มทุกจำนวนเป็นจำนวนตรรกยะ
สมบัติของจำนวนจริง ถึงตอนนี้ พวกเราก็มาทำความรู้จักกับคุณสมบัติต่างๆของระบบจำนวนจริงกันบ้างดีกว่านะคะ โดยที่เราทราบกันมาก่อนแล้วใช่ไหมคะว่า ระบบจำนวนนั้นหมายถึง เซตของจำนวนนั่นเอง ซึ่งอาจจะนำมากระทำกันให้อยู่ในรูปของ การบวก การลบ การคูณ การหาร หรืออะไรอื่นๆอีกเยอะแยะ แต่ว่าในระบบจำนวนจริง ที่เราจะกล่าวถึงในตอนนี้ จะต้องประกอบด้วยเซตของจำนวนจริง และการกระทำซึ่งจะมีแค่การบวก กับการคูณ เท่านั้นนะคะ ซึ่งมีคุณสมบัติดังตารางทางด้านล่างนี้นะคะ
คุณสมบัติ
การบวก
การคูณ
ปิด
a+b in mathcal{R}
ab in mathcal{R}
การสลับที่
a+b = b + a
ab = ba
การเปลี่ยนกลุ่ม
(a+b)+c  = a+(b+c)
(ab)c  = a(bc)
การมีเอกลักษณ์
0 เป็นเอกลักษณ์ของการบวก a+0 =  0+a = a
1 เป็นเอกลักษณ์ของการคูณ a.1 =  1.a = a
การมีอินเวอร์ส
อินเวอร์สการบวกของจำนวนจริงคือ a คือ –a โดยที่ a+(-a)=(-a)+a  = 0
อินเวอร์สการคูณของจำนวนจริง a คือ displaystyle{frac{1}{a}} และ aneq 0 โดยที่ displaystyle{a(frac{1}{a})=1}
การกระจาย
a(b+c)  = ac+bd
ในเมื่อพวกเรารู้จักคุณสมบัติต่างๆกันแล้วละก็ นำความรู้ที่ได้มาทดสอบตัวเองกันเถอะ
แบบฝึกหัด 2 1. จงใส่คำตอบของโจทย์แต่ละข้อลงในตารางที่กำหนดให้
  มีอินเวอร์สการบวก มีอินเวอร์สการคูณ
1. displaystyle{-frac{1}{8}}    
2. displaystyle{frac{1}{5}}    
3. displaystyle{frac{1}{a}}    
4. displaystyle{-frac{sqrt{3}}{3}}    
5. displaystyle{frac{1-sqrt{5}}{2}}    
6. displaystyle{sqrt{5}}    
ก่อนจะมากล่าวถึงกันในหัวข้อต่อไปที่น่าสนใจมากๆนี้นะคะ เราก็คงจะเรียนรู้มามากพอแล้วสำหรับความหมายของคำว่า จำนวนจริง รวมถึง คุณสมบัติต่างๆของระบบจำนวนจริงกันอีกด้วยนะคะ ดังนั้น ในตอนนี้ เราจะมาดูกันว่าคุณสมบัติของจำนวนจริงนี่ละ ที่มีความสำคัญมากสำหรับการนำไปใช้แก้ปัญหาโจทย์บางอย่าง ในที่นี้ก็คือ การนำคุณสมบัติของระบบจำนวนจริง มาทำการแก้สมการพหุนาม ที่อาจจะมีดีกรีมากกว่า หรือเท่ากับหนึ่งก็ได้ แล้วเพื่อนๆยังจำเรื่องนี้กันได้อยู่หรือเปล่าคะ เพราะพวกเราเคยเรียนผ่านกันมาแล้วทั้งนั้นเลยคะ แต่เอาเป็นว่า เรามาทบทวนกันอย่างง่ายๆก่อนเข้าสู่เนื้อหากันก่อนก็แล้วกันนะคะ

หน้าที่ 2 - การแก้สมการพหุนามตัวแปรเดียว
สมการพหุนาม(Polynomial equation) ที่มีตัวแปรเดียว หมายถึง สมการที่อยู่ในรูปของ a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ . . . +a_1x+a_0 = 0 โดยที่ a_n, a_{n-1}, cdots ,a_1, a_0 เป็นค่าคงตัว x เป็นตัวแปรและ n เป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ แล้วถ้า a_nneq 0 เราจะเรียกสมการพหุนามนี้ว่าเป็นสมการพหุนามดีกรี(degree) n ตัวอย่างเช่น 2x+1 = 0 เป็นสมการพหุนามดีกรี 1 2x^2+3x+1 = 0 เป็นสมการพหุนามดีกรี 2 3x^3+2x^2-12x-8 = 0 เป็นสมการพหุนามดีกรี 3 โดยที่นอกจาก การนำคุณสมบัติของระบบจำนวนจริง มาแก้ปัญหาสมการพหุนามดีกรี มากกว่าหรือเท่าหนึ่งแล้ว เราก็สามารถนำวิธีการอื่นมาใช้ได้อีกมากมายหลายวิธี เช่น การใช้สูตรการทำให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์ การแยกตัวประกอบ ตัวนี้ละคะที่สำคัญมากๆ ในการที่จะนำมาใช้ เราอาจแยกตัวประกอบอย่างง่ายๆ โดยการทำให้อยู่ในรูปผลต่างกำลังสอง ผลบวกของกำลังสาม หรือ ผลต่างของกำลังสามก็ได้คะ โดยอาศัยจากสูตรข้างล่างนี้คะ
a^2+b^2 = (a+b) (a-b) a^3+b^3 = (a+b) (a^2-ab+b^2) a^3-b^3 = (a-b) (a2+ab+b2)
อธิบายอย่างเดียวก็เดี๋ยวจะง่วงกันเสียก่อน ดังนั้นเรามาลองทบทวนวิธีการแก้ปัญหาสมการพหุนามอย่างง่ายๆกันดีกว่านะคะ แต่ก่อนอื่นต้องขอบอกไว้ก่อนว่าวิธีการแยกตัวประกอบมีมากกว่าสามวิธีทางข้างต้นนะคะ รายละเอียดทั้งหมดจะแสดงอยู่ด้านล่างดังนี้คะ การแก้สมการดีกรีสูงกว่าสอง โดยการแยกตัวประกอบ 1. การเอาตัวร่วมออก ax^2+bx-x = x(ax+b-1) 2. ผลต่างกำลังสอง a^2-b^2  = (a-b) (a+b) 3. ผลบวกกำลังสาม a^3+b^3  = (a+b) (a^2-ab+b^2) 4. ผลต่างกำลังสาม a^3-b^3   = (a-b) (a^2+ab+b^2) 5. กำลังสามของผลบวก (a+b)^3 = (a^3+3a^2b+ab^2+b^3) 6. กำลังสามของผลต่าง (a-b)^3  = (a^3-3a^2b+ab^2-b^3) 7. กำลังสองสมบูรณ์ (a+b)^2 = (a^2+2ab+b^2) 8. การแยก สามพจน์เป็นสองวงเล็บ 9. การแยกตัวประกอบโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ
แบบฝึกหัด 3 จงแยกตัวประกอบพหุนามต่อไปนี้ 1. 6x-10x^2 2. 2x^2+15x+7 3. x^2+16x+61 4. 9x^2-16 5. x^3-8 6. x^3+5x^2-7x 7. 36-y^2 8. x^2-5x-14 9. x^2-11x+30 10. 27+64y^3
จากเนื้อหาดังข้างต้น เราจะพบได้ว่า วิธีการอย่างหนึ่งที่กันอย่างมากในเรื่องของการแก้อสมการ นั้นก็คือ การแยกตัวประกอบ ซึ่งการแยกตัวประกอบจะง่ายหรือยากนั้นขึ้นอยู่กับ พหุนามที่กำหนดให้ และทฤษฎีบทที่มีประโยชน์มากในเรื่องของการแยกตัวประกอบ นั้นก็คือ ทฤษฎีบทเศษเหลือ ซึ่งเราจะกล่าวถึงต่อไป การหารสังเคราะห์ (Synthetic division) การหารสังเคราะห์ เป็นเรื่องที่ว่าด้วยการหารพหุนาม ที่มีดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ 1 ด้วยพหุนามที่อยู่ในรูป x-a เมื่อ aneq 0 เช่น 2x^3-x^2-8x+15 =? วิธีการหาคำตอบ เราอาจใช้การหารยาว ซึ่งจะเสียเวลาและใช้เนื้อที่ในการเขียนมาก ดังนั้นการหารสังเคราะห์ เป็นวิธีลัดในการหาผลหาร และเศษจากการหาร จากตัวอย่างโจทย์ข้างต้น เราสามารถแสดงให้อยู่ในรูปของการหารสังเคราะห์ได้ดังนี้
2 -1 -8 15
แถวที่ 1
-4 -6  4
แถวที่ 2
2  3 -2 11
แถวที่ 3
ดังนั้น เราจึงสามารถสรุปขั้นตอนสำหรับการหารสังเคราะห์ได้ดังนี้ สมมุติให้ P(x) เป็นพหุนามที่มีดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ 1 ถ้าต้องการหาร P(x) ด้วย x-c เมื่อ cneq 0 ด้วยวิธีการหารสังเคราะห์ จะมีวิธีการดังนี้ 1. เขียนสัมประสิทธิ์ของพจน์ต่างๆ ของ P(x) เมื่อเรียงดีกรีจากมากไปน้อยแล้ว ถ้าบางพจน์ไม่มีให้ถือ สัมประสิทธิ์นั้นเป็น 0 2. เขียน c เป็นตัวหาร 3. จำนวนแรกในแถวสาม จะเท่ากับจำนวนแรกในแถวหนึ่ง 4. นำ c ไปคูณกับจำนวนแรกของแถว 3 นำผลคูณไปใส่ในตำแหน่งที่สองของแถวสอง 5. บวกจำนวนในแถวที่หนึ่งและแถวที่สองในตำแหน่งที่สอง นำผลบวกใส่ในตำแหน่งเดียวกันของแถวที่สาม 6. นำ c คูณกับจำนวนใดตำแหน่งที่สองของแถวที่ สาม นำผลคูณไปใส่ในตำแหน่งที่สามของแถวที่สอง 7. บวกจำนวนในแถวที่หนึ่ง และแถวที่สองในตำแหน่งที่สาม นำผลไปใส่ในตำแหน่งเดียวกัน ของแถว ที่สามทำเช่นนี้ไปเรื่อยๆจนหมดทุกตำแหน่ง จะได้ว่า * จำนวนทุกจำนวนในแถวที่สาม(ยกเว้นจำนวนสุดท้าย) เป็นสัมประสิทธิ์ของผลหาร ซึ่งเป็นพหุนามที่มีดีกรีน้อยกว่า P(x) อยู่ 1 ** จำนวนสุดท้ายในแถวที่สามเป็นเศษจากการหาร *** ถ้าเศษเป็น 0 จะเรียกตัวหาร x-c ว่าตัวประกอบ P(x)
แบบฝึกหัด 4 จงใช้วิธีการหารสังเคราะห์เพื่อหาคำตอบจากคำถามต่อไปนี้ 1. displaystyle{frac{x^3+x^2-18x+18}{(x-3)}} 2. displaystyle{frac{2x^2+9x-5}{(x+2)}} 3. displaystyle{frac{3x^3+13x^2-11x+5}{(x+3)}} 4. displaystyle{frac{x^3-x^2+2x+7}{(x+2)}} 5. displaystyle{frac{-2x^3-5x^2+7}{(x+3)}} 6. displaystyle{frac{5x^3-11x^2-14x-10}{(x-3)}} 7. displaystyle{frac{3x^4 - 2 x^3+x^2-x+7}{(x-2)}} 8. displaystyle{frac{x^2+5x+6}{(x+2)}} 9. displaystyle{frac{x^2+4x+7}{(x+3)}}


หน้าที่ 3 - ช่วง
เพื่อนๆทุกคนคงจะรู้จักมักคุ้นไม่น้อยเลยใช่ไหมคะสำหรับความหมายของคำว่า ช่วง ซึ่ง แท้ที่จริงแล้ว ช่วงนั้นก็คือ ชื่อที่เราใช้เรียกสับเซตของเซต mathcal{R} (จำนวนจริง) ซึ่งมีลักษณะหรือเงื่อนไขของเซตเป็นการเฉพาะ โดยที่ช่วงนั้น มีอยู่หลายประเภททีเดียว และแต่ละประเภทนั้น จะมีความแตกต่างกันและสามารถเห็นได้ชัดเจนทั้งความหมายและสัญลักษณ์ด้วย เราจะมาดูกันนะคะว่า ประเภทของช่วงนั้น มีอะไรบ้าง และแต่ละประเภทนั้นแตกต่างกันอย่างไร มาดูความหมายและตัวอย่างง่ายๆของแต่ละประเภทกันเลยค่ะ ช่วงเปิด (Open interval) ช่วงเปิด เป็นประเภทของช่วงประเภทแรกที่เราจะกล่าวถึงกัน ซึ่งช่วงประเภทนี้เป็นแบบอย่างแบบง่ายๆ ที่เราสามารถเข้าใจได้อย่างรวดเร็ว เรามาดูนิยามของช่วงประเภทนี้กันเลยค่ะ ช่วงเปิด (Open interval) หมายถึง เซตของจำนวนจริง ที่อยู่ระหว่าง a และ b และเราสามารถเขียน a,b ให้อยู่ในรูปของสัญลักษณ์แทนช่วงเปิดได้คือ (a,b) และเราสามารถแสดงให้อยู่ในรูปของเซตได้ดังนี้ (a,b) = {x in mathcal{R} | a < x < b} และสามารถนำเซตที่ได้ มาเขียนให้อยู่ในรูปของเส้นจำนวน เพื่อที่เราจะสามารถเห็นภาพได้ชัดเจนยิ่งขึ้น ได้ดังนี้
[[9521]]
[[9520]]สัญลักษณ์ ( ) นี้ใช้แทนสำหรับช่วงเปิด และบนเส้นจำนวนจะแสดงอยู่ในรูปของวงกลมแบบโปร่งแสง หากทึบ นั่นจะหมายถึงช่วงปิดทันที โดยที่ช่วงเปิดนี้จะไม่นับรวมค่าที่อยู่แรกสุดและหลังสุด แต่จะนับเพียงค่าที่อยู่ระหว่างช่วงเท่านั้น
ช่วงปิด (Closed interval) ช่วงปิด คืออีกประเภทหนึ่งที่สำคัญ และสามารถเข้าใจได้ง่ายเช่นเดียวกับ ช่วงเปิด เรามาดูนิยามของช่วงประเภทนี้กันดีกว่าค่ะ ช่วงปิด (Closed interval) หมายถึง เซตของจำนวนจริง ที่อยู่ตั้งแต่ a ถึง b และเราสามารถเขียน a,b ให้อยู่ในรูปของสัญลักษณ์แทนช่วงปิดได้คือ [a,b] ซึ่งเราสามารถแสดงให้อยู่ในรูปของเซตได้ดังนี้ [a,b] = {x in mathcal{R} | a leq x leq b} และสามารถนำเซตที่ได้ มาเขียนให้อยู่ในรูปของเส้นจำนวน เพื่อที่เราจะสามารถเห็นภาพได้ชัดเจนยิ่งขึ้น ได้ดังนี้
[[9522]]
ช่วงครึ่งเปิด (Half-open interval) ช่วงครึ่งเปิดเป็นชนิดที่เกิดการผสมผสานระหว่าง ช่วงเปิดและช่วงปิด ซึ่งช่วงครึ่งเปิดนี้ เราสามารถที่จะเขียนสัญลักษณ์และลักษณะของเซตจำนวนได้เป็นสองกรณีคือ 1. ช่วงครึ่งเปิดของ (a, b] คือ เซตของจำนวนจริงที่มากกว่า a แต่น้อยกว่า หรือเท่ากับ b 2. ช่วงครึ่งเปิดของ [a, b) คือ เซตของจำนวนจริงที่มากกว่าหรือเท่ากับ a แต่น้อยกว่า b โดยที่ทั้งสองกรณีนี้สามารถที่จะแสดงตัวอย่างให้อยู่ในรูปของเซตได้ดังนี้คือ 1. (a, b] = {x in mathcal{R} | a < x leq b} 2. [a, b) = {x in mathcal{R} | a leq x < b} และเราสามารถแสดงให้อยู่ในรูปของเส้นจำนวนได้ดังนี้ค่ะ
[[9527]]
ช่วงอนันต์ (Infinite interval) ช่วงอนันต์ คือ ช่วงที่เราไม่สามารถรู้จุดสิ้นสุดได้ว่าจะสิ้นสุด ณ ที่จุดไหน ซึ่งเราจะแทนสัญลักษณ์อนันต์ด้วย infty โดยที่ infty นั้น มีทั้งช่วงบวกและช่วงลบ เช่นเดียวกับจำนวนเต็ม ซึ่งเราสามารถแบ่งกรณีของช่วงอนันต์ได้ถึง 5 กรณีด้วยกันคือ 1. ช่วงอนันต์ (a,infty) หมายถึง เซตของจำนวนจริงที่มากกว่า a (a, infty) = {x in mathcal{R} | x > a} 2. ช่วงอนันต์ [a, infty) หมายถึง เซตของจำนวนจริงที่มากกว่าหรือเท่ากับ a [a, infty) = {x in mathcal{R} | x geq a} 3. ช่วงอนันต์ (-infty, a) หมายถึง เซตของจำนวนจริงที่น้อยกว่า a (-infty, a) = {x in mathcal{R} | x < a} 4. ช่วงอนันต์ (-infty, a] หมายถึง เซตของจำนวนจริงที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ a (-infty, a] = {x in mathcal{R} | x leq a} 5. ช่วงอนันต์ (-infty, infty) หมายถึง เซตของจำนวนจริง (-infty, infty) = mathcal{R} ถึงตอนนี้เพื่อนๆคงจะทราบถึงประเภทของช่วงกันแล้วนะคะ ว่าช่วงนั้นมีหลายชนิดด้วยกัน และใช้ในกรณีที่แตกต่างกันอีกด้วย ดังนั้น ตอนนี้เพื่อนๆก็สามารถที่จะนำความรู้ที่ได้จากหัวข้อข้างต้น เพื่อนำมาใช้ประโยชน์ในการแก้โจทย์ปัญหาได้อย่างรวดเร็วค่ะ
แบบฝึกหัด5 1. จงเขียนเซตต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปของช่วง 1. {x in mathcal{R} | x > 3} 2. {x in mathcal{R} | -2 le x < 5} 3. {x in mathcal{R}| x le 10} 4. {x in mathcal{R}| -7 < x < 1} 5. {x in mathcal{R}| x ge 4} 2. จงเขียนกราฟต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปสับเซต [[9534]] 3. จงเติมสัญลักษณ์ in หรือ [[9548]] ในช่องว่างดังนี้ 1. 4	ldotsldots	[4, 9) 2. -2	ldotsldots	(-2, 0) 3. -5	ldotsldots	(-infty, -7) 4. 4.2	ldotsldots	(4, 9) 5. 6	ldotsldots	[-9, 6) 4. กำหนดให้ A = [-4, 2) B=(-1, 6) C=(-infty,1] จงหา set ต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปช่วง 1. A cup B 2. A cap B 3. A - B 4. B - A 5. A cup C 6. A cap C 7. A - C 8. C - A 9. B cup C 10. B cap C


หน้าที่ 4 - การแก้อสมการ
จากที่เพื่อนๆเคยเรียนผ่านกันมาเกี่ยวกับเรื่องการแก้สมการตัวแปรเดียว หรือว่าหลายตัวแปรนั้น มีความเกี่ยวเนื่องบางประการสำหรับการที่จะนำความรู้ของเรื่องสมการนั้นเพื่อนำมาใช้ในบทนี้ สำหรับหัวข้อนี้นั้น เราจะพูดถึงวิธีการแก้อสมการในรูปแบบต่างๆได้อย่างไร โดยที่คุณสัมบัติหลักที่ใช้มากในการแก้อสมการนั้น คือ คุณสมบัติการไม่เท่ากัน ได้แก่ 1. คุณสมบัติการบวกด้วยจำนวนเท่ากัน 2. คุณสมบัติการลบด้วยจำนวนเท่ากัน 3. คุณสมบัติการคูณด้วยจำนวนจริงบวก 4. คุณสมบัติการคูณด้วยจำนวนจริงลบ โดยการที่เราจะทำการแก้อสมการนั้น เราจะแยกตามประเภทของอสมการในแต่ละประเภทดังนี้คือ การแก้อสมการกำลังหนึ่ง อสมการกำลังหนึ่งนั้น เป็นอสมการที่มีตัวแปรยกกำลังหนึ่งเท่านั้น และสามารถที่จะจัดอสมการในรูปของ ax le b ax < b ax ge b ax > b โดยที่เราจะกำหนดให้ x เป็นตัวแปร และ a,b เป็นค่าคงที่ และจากคุณสมบัติดังกล่าวนี้นั้น เราสามารถที่จะนำมาใช้ในการแก้ปัญหาอสมการประเภทนี้ โดยที่คุณสมบัติข้อ 1 และข้อ 2 นั้นจะถือว่าเป็น คุณสมบัติที่ช่วยในการจัดอสมการกำลังหนึ่งให้อยู่ในรูปที่แสดงดังอสมการข้างต้น และพวกเราสามารถที่นำความรู้นี้มาใช้ในการแก้ปัญหาจากโจทย์แบบฝึกหัดได้คะ
แบบฝึกหัด 6 1. x -  le  5x-1 2. x-8  le 7-3x และ 7-3x < 1 3. 3 le 2x+4 < 7 4. 3-x le 2x+4 < 7 5. 3x < 4x+2 le x+11
การแก้อสมการกำลังสอง หัวข้อที่แล้วเรากล่าวถึงสมการยกกำลังหนึ่ง ซึ่งสามารถแก้ปัญหาได้โดยง่าย เพราะจะยังไม่มีความซับซ้อนมากเท่าไหร่นัก ซึ่งจากแบบฝึกหัดที่พวกเราได้ทำกันไปแล้วนั้น จะช่วยให้เราสามารถเข้าใจ รับรู้ถึงเทคนิคหรือวิธีบางอย่างในการคำนวณได้ดีมากขึ้น สำหรับในหัวข้อนี้ เป็นอีกหนึ่งวิธีสำหรับการแก้อสมการ แต่จะเพิ่มระดับความยุ่งยากขึ้นมามากกว่าเล็กน้อย นั่นคือ การแก้โจทย์ปัญหาอสมการกำลังสอง โดยที่การแก้อสมการประเภทนี้นั้น เราสามารถทำได้หลายวิธีด้วยกัน เช่น การแยกตัวประกอบ หรือ การแก้โจทย์โดยที่ใช้วิธีกำลังสองสมบูรณ์ การแก้อสมการกำลังสองนั้น มีนิยามที่แสดงได้อย่างง่ายๆคือ อสมการกำลังสอง ใน x หมายถึง อสมการที่อยู่ในรูปของ Ax+bx+c  <  0 Ax+bx+c  le  0 Ax+bx+c  >  0 Ax+bx+c   ge   0 โดยกำหนดให้ x เป็นตัวแปร และ a,b,c เป็นค่าคงที่ ที่ aneq 0 ซึ่งอย่างที่บอกไปแล้วนั้นว่า วิธีการแก้อสมการกำลังสองนั้นมีวิธีได้หลายวิธี เรามาดูวิธีการแก้ปัญหาของแต่ละประเภทกันดีกว่านะคะ 1. การแก้สมการสมการกำลังสองโดยการแยกตัวประกอบ และสิ่งที่จะเอ่ยดังต่อไปนี้ จะเป็นวิธีการแก้ปัญหาเกี่ยวกับอสมการอย่างง่ายๆ โดยที่เราจะสรุปเป็นข้อๆ เพื่อให้ง่ายต่อการเข้าใจมากขึ้นนะคะ โดยขั้นตอนในการแก้ปัญหานั้นมีขั้นตอนดังนี้ การแก้อสมการกำลัง 2 อ้างโดยนิยามที่กล่าวไปดังก่อนหน้านี้ เราสามารถที่จะแสดงวิธีในการแก้อสมการได้ดังนี้ 1. จัดอสมการเปรียบเทียบกับ 0 2. แยกตัวประกอบ 3. พิจารณาเครื่องหมาย +,- 4. หาคำตอบจากสมการกำลัง 1 จากทั้ง 2 กรณีแล้วนำมายูเนี่ยนกัน ซึ่งพวกเราสามารถที่จะนำขั้นตอนดังกล่าวมาใช้ได้โดยที่จะสามารถแก้ปัญหาได้อย่างรวดเร็วและถูกต้อง เช่นตัวอย่างดังต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 1 จงหาเซตคำตอบของสมการ 3x^2+10x ge 8 วิธีทำ 3x^2+10x ge 8 3x^2+10x-8 ge 0 : จัดสมการเปรียบเทียบกับ 0  (x+4)(3x-2) ge 0 : แยกตัวประกอบ ซึ่งเราจะต้องแบ่งเครื่องหมายในการพิจารณา โดยมีกรณีดังนี้ 1. (+)(+) หรือ 2. (-)(-) หรือ อีกกรณีหนึ่งที่มีเครื่องหมายต่างกัน เราสามารถที่จะแบ่งได้เป็นสองกรณีเช่นกัน แล้วสุดท้ายจะนำคำตอบที่ได้มายูเนี่ยนกัน 1. x+4 ge 0 และ 3x-2 ge 0 x ge -4 และ x ge frac{2}{3} [[9866]] 2.  x+4 le 0 และ 3x-2 le 0  x le -4 และ x le frac{2}{3} [[9867]] เมื่อเรานำค่าที่แยกตัวประกอบนำมาแบ่งเป็นสองกรณีแล้วนั้น ให้นำคำตอบจากสมการกำลัง 1 จากทั้งสองกรณีแล้วนำมายูเนี่ยนกันเพื่อหาคำตอบสุดท้ายออกมาได้ดังนี้ [[9868]] ดังนั้น คำตอบสุดท้ายที่ได้ออกมาก็คือ (-infty,4]bigcup [frac{2}{3}, infty) วิธีการดังที่กล่าวมาคือสำหรับอสมการกำลังสอง โดยใช้วิธีการแยกตัวประกอบเป็นหลัก หากแต่เพื่อนๆจะทำอย่างไร หากว่า เพื่อนๆ ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้
การแก้อสมการกำลังสองโดยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในสำหรับกรณีที่เพื่อนๆแก้อสมการกำลังสอง โดยที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ หรือ อาจสามารถทำได้แต่ยากและใช้เวลานาน การแก้อสมการกำลังสองนี้อาจใช้วิธีการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ได้คะ ซึ่งมีขั้นตอนง่ายๆดังนี้คะ ขั้นตอนที่ 1 ทำให้อสมการกำลังสองใน x มีสัมประสิทธิ์ของพจน์ x^2 เท่ากับ 1 ax^2+bx+c ge  0 ax^2+bx+c >  0 ax^2+bx+c  le  0 ax^2+bx+c  <  0 ขั้นตอนที่ 2 ทำให้อยู่ในรูปของ displaystyle{[x^2+bx+(frac{b}{2})^2]+c-(frac{b}{2})^2  ge  0} displaystyle{[x^2+bx+(frac{b}{2})^2]+c-(frac{b}{2})^2  >  0} displaystyle{[x^2+bx+(frac{b}{2})^2]+c-(frac{b}{2})^2  le  0} displaystyle{[x^2+bx+(frac{b}{2})^2]+c-(frac{b}{2})^2  <  0} ขั้นตอนที่ 3 แทนค่าให้อยู่ในรูปของ displaystyle{(x+frac{b}{2})^2+c-(frac{b}{2})^2  ge  0} displaystyle{(x+frac{b}{2})^2+c-(frac{b}{2})^2  >  0} displaystyle{(x+frac{b}{2})^2+c-(frac{b}{2})^2  le 0} displaystyle{(x+frac{b}{2})^2+c-(frac{b}{2})^2  <  0} เพื่อนๆสามารถทำตามขั้นตอนที่กำหนดให้ดังข้างต้น เรียงลงมาได้เลยนะคะ โดยที่เซตคำตอบของอสมการนั้นจะอยู่ที่ขั้นตอนที่ 3 เรามาดูตัวอย่างง่ายๆกันก่อนที่จะเริ่มทำแบบฝึกหัดกันดีกว่านะคะ เพื่อที่เพื่อนๆจะได้เห็นแนวทางในการตอบคำถามได้ถูกต้องตรงกันคะ
ตัวอย่างที่ 1 จงแก้อสมการ 3x^2-6x-4 le 0 วิธีทำ นำ frac{1}{3} คูณอสมการที่กำหนดให้ displaystyle{x^2-2x-frac{4}{3} le  0} displaystyle{(x^2-2x+1) -frac{4}{3} - 1  le  0} displaystyle{(x-1)^2-frac{7}{3} le  0} ดังนั้น displaystyle{ - frac{7}{3} le x-1 le frac{7}{3}} displaystyle{1-frac{7}{3} le x le 1 +frac{7}{3}} เพราะฉะนั้น เซตคำตอบของอสมการที่ได้จะเท่ากับdisplaystyle{(1-frac{7}{3}, 1+frac{7}{3})}
[[9329]]ในกรณีที่สัมประสิทธิ์ด้านหน้าของ x^2ไม่เท่ากับ 1 ให้ทำให้เป็น 1 เสียก่อน
แบบฝึกหัด 7 จงแก้อสมการดังต่อไปนี้ 1. x^2-10x+25 ge 0 2. x^2-18x+81 ge 0 3. x^2-4x-5 ge 0 4. x^2-14x+49 ge 0 5.  (2x+1) ge 9 6. x^2+x-42 ge 0 7. x^2+4x+4 ge 0 8. x^2+6x+7 ge 0 9. 2x^2+5x+1 ge 0 10. 2x^2+4x-1 ge 0 11. 3x^2+5x+9 ge 0 12. 3x^2+6x-5 ge 0


หน้าที่ 5 - สัจพจน์ความบริบูรณ์ (The axiom of completeness)
สมบัติความบริบูรณ์ เป็นสมบัติสุดท้ายของระบบจำนวนจริงคะ ซึ่งทางบทแรกๆของจำนวนจริงนั้นได้เคยพูดถึงคุณสมบัติต่างๆของจำนวนจริงไปแล้วนะคะ ซึ่งสมบัติความบริบูรณ์นี้ จะเป็นสมบัติสุดท้ายของระบบจำนวนจริงที่จำนวนอื่นไม่มี และเรามีชื่อเรียกชื่ออีกอย่างหนึ่งว่า สัจพจน์การมีค่าขอบเขตบนน้อยที่สุด (lest upper bound axiom) ซึ่งก่อนอื่น พวกเราก็ต้องมาทำความรู้จักกับคำว่า “ค่าขอบเขตบท” กันเสียก่อนนะคะ เพราะมันมีความสำคัญมากสำหรับในเรื่องนี้ โดยจากนิยามที่ได้กล่าวเอาไว้ว่า
บทนิยาม ให้ S subset mathcal{R} กล่าวว่า จำนวนจริง u จะเป็นค่าขอบเขตบนของ S ก็ต่อเมื่อ u มีค่าไม่น้อยกว่าสมาชิกใดๆของ S ในกรณีนี้เราเรียกว่า S มีขอบเขตบน
นั่นก็คือว่า: u เป็นค่าขอบเขตบนของ S ก็ต่อเมื่อ x le u สำหรับทุกๆ x in S โดยที่ สัจพจน์ของระบบจำนวนจริงนั้นก็คือ ข้อความที่เป็นจริงได้โดยที่ไม่ต้องพิสูจน์ ซึ่งมีทั้งหมด 15 สัจพจน์ด้วยกัน ดังที่แสดงให้เห็นดังนี้ สัจพจน์ที่ 1 ถ้า a,b in mathcal{R} จะได้ a+b in mathcal{R} สัจพจน์ที่ 2 ถ้า a,b,c in mathcal{R} จะได้  (a+b)+c=a+(b+c) สัจพจน์ที่ 3 มี 0 in mathcal{R} โดยที่ a+0 = a สำหรับทุก a in mathcal{R} สัจพจน์ที่ 4 ถ้า a in mathcal{R} จะมี -a in mathcal{R} ซึ่ง a+(-a)=(-a)+a=0 สัจพจน์ที่ 5 ถ้า a,b in mathcal{R} จะได้ a+b = b+a สัจพจน์ที่ 6 ถ้า a,b in mathcal{R} จะได้ ab in mathcal{R} สัจพจน์ที่ 7 ถ้า a,b,c in mathcal{R} จะได้ (ab)c = a(bc) สัจพจน์ที่ 8 มี 1 in mathcal{R},1neq 0 ซึ่ง a1 = 1a = a สำหรับทุก a in mathcal{R} สัจพจน์ที่ 9 ถ้า a in mathcal{R},a neq 0 จะมี  a^{-1} in mathcal{R} ซึ่ง a^{-1}a=1 สัจพจน์ที่ 10 ถ้า a,b in mathcal{R} จะได้ ab=ba สัจพจน์ที่ 11 ถ้า a,b,c in mathcal{R} แล้ว a(b+c)=ab+ac สัจพจน์ที่ 12 มีสับเซต  mathcal{R}^{+} ของ  mathcal{R} ซึ่ง0neq in mathcal{R}^{+} และ ถ้า a in mathcal{R} และ aneq 0 แล้ว ain mathcal{R}^{+} หรือ -ain mathcal{R}^{+} ประการใดประการหนึ่ง สัจพจน์ที่ 13 ถ้า a,bin mathcal{R}^{+} แล้ว a+bin mathcal{R}^{+} สัจพจน์ที่ 14 ถ้า a,bin mathcal{R}^{+} แล้ว abin mathcal{R}^{+} สัจพจน์ที่ 15 ถ้า Sneq emptyset, Ssubsetmathcal{R} และ S มีขอบเขตบนแล้ว S จะมีขอบเขตบนน้อยที่สุด
ตัวอย่างที่ 1 ให้ S = [2,8] จะได้ว่า 8 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 8 เป็นขอบเขตบนของ 8 และขอบเขตบนที่น้อยที่สุดคือ 8 ตัวอย่างที่ 2 ให้ S = (3,5) จะได้ว่า 5 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 5 เป็นขอบเขตบนของ 8 และ ขอบเขตบนที่น้อยที่สุด คือ 5 ตัวอย่างที่ 3 ให้ S = {0,7,3,5} จะได้ว่า 7 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 7 เป็นขอบเขตบนของ 5 และขอบเขตบนที่น้อยที่สุดคือ 7 ตัวอย่างที่ 4 ให้ S = [-1, infty) จะได้ว่า S ไม่มีขอบเขตบน ตัวอย่างที่ 5 ให้ S = emptyset จะได้ว่า จำนวนจริงทุกจำนวนเป็นขอบเขตบนของ S และ S ไม่มีขอบเขตบนที่น้อยที่สุด
จากตัวอย่าง แสดงให้พวกเราทุกคนเห็นถึงความหมายของขอบเขตบนได้ชัดเจนมากขึ้น และสามารถนำความรู้นี้มาใช้ในการตอบคำถามได้อย่างถูกต้องแม่นยำคะ
แบบฝึกหัด8 จงบอกว่าข้อความต่อไปนี้ ถูก หรือผิด 1. 32.7 เป็นขอบเขตบนของ [-40, 7.5) 2. pi เป็นขอบเขตบนของ  {1,3,pi} 3. เซตของขอบเขตบนของ [-15, -3] คือ [-3, infty) 4.  (-infty, 100) มีของเขตบน 5.  (-7, infty) มีขอบเขตบน 6. ขอบเขตบนของ S จะต้องเป็นสมาชิกของ S 7. ขอบเขตบนของ S ต้องไม่เป็นสมาชิกของ S 8. สับเซตของ R ทุกสับเซต จะต้องมีขอบเขตบน 9. เซตของจำนวนนับไม่มีขอบเขตบน
เฉลย สามารถ Download เฉลยแบบฝึกหัดได้ที่นี่ [[10612]]


แสดงความคิดเห็น