วิชาการ.คอม - จำนวนจริง (จำนวนจริงคืออะไร?)

คุณยังไม่ได้ Log in | สมัครสมาชิก ฟรี

กลับหน้าแรก วิชาการ.คอม

จำนวนจริง

ผู้เขียน: ดร. ภคินี สุวรรณจันทร์ ชมแล้ว: 40,785 ครั้ง

post ครั้งแรก: Sat 19 May 2007, 10:37 pm ปรับปรุงล่าสุด: Wed 30 May 2007, 1:50 pm

อยู่ในส่วน: คณิตศาสตร์

สารบัญ

หน้า : 1 จำนวนจริงคืออะไร?
หน้า : 2 การแก้สมการพหุนามตัวแปรเดียว
หน้า : 3 ช่วง
หน้า : 4 การแก้อสมการ
หน้า : 5 สัจพจน์ความบริบูรณ์ (The axiom of completeness)

หน้าที่ 1 - จำนวนจริงคืออะไร?

ทุกคนเคยสงสัยบ้างไหมคะว่า ตัวเลข หรือ จำนวนนั้น กำเนิดเกิดขึ้นมาจากอะไร ใครเป็นผู้คิดค้น แล้วทำไมในชีวิตประจำวันของพวกเราในสมัยนี้ทั้ง การเรียน การงาน หรือกระทั่งการดำเนินชีวิตส่วนใหญ่แล้วจึงเกี่ยวข้องกับคำว่า “จำนวน”

จำนวนคืออะไร?

ปัจจุบันหากพวกเราเลี้ยงสัตว์เพื่อจุดประสงค์เพื่อการค้าขาย หรือเลี้ยงไว้เพื่อครัวเรือนเองนั้น เราก็จะต้องมีการดูแลและคอยนับจำนวนสัตว์เลี้ยงที่อยู่ในความดูแลของพวกเราเสมอ อาจจะเพื่อการสำรองอาหารให้พอดีกับจำนวนสิ่งมีชีวิตที่เลี้ยงไว้ หรือ ป้องกันการลักลอบขโมยก็ได้ แล้วพวกเราเคยคิดกลับกันไหมว่า หากว่าเป็นในสมัยยุคดึกดำบรรพ์แล้วนั้น พวกเขาจะทำกันอย่างไร ในเมื่อในสมัยนั้นยังไม่มีการค้นพบตัวเลขใดๆทั้งสิ้น

ในสมัยโบราณนั้นถึงแม้ว่าจะยังไม่มีตัวเลขเกิดขึ้น แต่พวกเขาก็สามารถที่จะคอยนับจำนวนสัตว์เลี้ยงทีละตัวได้ด้วยการแทนก้อนหินหนึ่งก้อนเท่ากับจำนวนสัตว์หนึ่งตัว นั่นหมายถึงว่า ปริมาณของก้อนหินของพวกเขาจะต้องมีปริมาณเท่ากันทุกวัน น่าทึ่งไหมคะ

ดังนั้นเราจึงเห็นว่า มนุษย์มีการคิดเรื่องจำนวนมาตั้งแต่สมัยดึกดำบรรพ์ และ จำนวนที่มนุษย์คิดขึ้นได้เป็นครั้งแรกนั้นก็คือ “จำนวนนับ” หรือ ยกตัวอย่างได้ง่ายๆก็คือ 1,2,3,4,5. . . ซึ่งเราจะกล่าวถึงในหัวข้อต่อไปคะ

มารู้จักความหมายที่แท้จริงของจำนวนจริงกันเถอะ!

จากแผนภาพข้างต้น คือองค์ประกอบที่สำคัญของจำนวนจริง ทีนี้เรามาดูกันดีกว่านะคะว่านิยามของแต่ละตัวภายในระบบจำนวนจริงนั้น มีอะไรบ้าง

จำนวนเต็ม

จากหัวข้อที่แล้ว ที่เคยเกริ่นไว้ตั้งแต่แรกไว้ว่า จำนวนที่มนุษย์ค้นพบได้เป็นครั้งแรกก็คือ จำนวนนับ นั่นก็คือ 1 2 3 4 5 ก็ถือได้ว่าเป็นจำนวนนับ (ในที่นี้จะหมายถึงเซตของจำนวนนับ) แทนสัญลักษณ์ไว้ด้วย $\mathbb{N}$ หากแต่ก็มีชื่อเรียกจำนวนนับดังข้างต้นได้อีกอย่างว่า “เซตของจำนวนเต็มบวก” ซึ่งแทนด้วย $\mathbb{I}^+$ นั่นก็คือ จำนวนดังกล่าวก็ถือได้ว่าเป็นจำนวนเต็มด้วยเช่นกัน แทนสัญลักษณ์จำนวนเต็มด้วย $\mathbb{I}$ ซึ่งจำนวนเต็มนี้ อาจจะเป็นจำนวนเต็มบวก จำนวนเต็มลบ ก็ได้ แล้วแต่ว่าจะกำหนดมาให้

ตัวอย่าง

$\mathcal{I} = \{0,1-,1,2,-2,3,-3, \cdots\}$

$\mathcal{I}^+ = \{1,2,3,4,5, \cdots\}$

$\mathcal{I}^- = \{\cdots ,-5,-4,-3,-2,-1\}$

0 ไม่ถือว่าเป็นทั้งจำนวนเต็มบวก หรือ จำนวนเต็มลบ แต่จะถือว่าเป็นเพียงแค่นวนเต็มศูนย์

จำนวนเศษส่วน

คงจะเป็นคำที่ชินชูชินตากันมาบ้างแล้วนะคะ สำหรับเรื่องเศษส่วนจำนวนเต็ม ซึ่งเป็นไปได้โดยง่ายเลยที่เราจะสามารถมองเห็นความแตกต่างระหว่างเศษส่วนและจำนวนเต็มได้เป็นอย่างดี

ตัวอย่าง

เศษส่วน : $\displaystyle{\frac{1}{2} , \frac{22}{7} , -\frac{131}{54}}$

จำนวนที่เป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มนั้น ตัวส่วนจะต้องไม่เป็นศูนย์ มิฉะนั้นแล้ว ค่าขอจำนวนจะกลายเป็นสิ่งที่ไม่สามารถหาค่าได้ หรือเป็น อินฟินิตี้

จำนวนตรรกยะ (rational number)

มาแล้วสำหรับคำแปลกๆในระบบจำนวนจริง แต่ไม่ต้องตกใจไปคะ จำนวนตรรกยะนั้นไม่ยากเกินกว่าที่พวกเราจะสามารถเข้าใจได้ จากแผนภาพทางข้างต้นที่กำหนดมาให้นั้น เราจะพบว่า ทั้งจำนวนเต็ม และจำนวนเศษส่วนนั้น ล้วนแล้วแต่เป็นองค์ประกอบของ จำนวนตรรกยะทั้งสิ้น แล้วมันเกี่ยวเนื่องกันอย่างไรละ ดังนั้น เราลองมาดูนิยามง่ายๆเกี่ยวกับความหมายของมันเลยดีกว่าคะ

จำนวนตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนอยู่ในรูปเศษส่วน $\frac{a}{b}$ โดยที่

และ

เป็นจำนวนเต็ม และ $b \neq 0$

จากนิยามทางข้างต้น ถ้าเราพบว่า

เป็นจำนวนเต็มใดๆ และ $\displaystyle{a = \frac{a}{1}}$ แล้วละก็ เราก็จะสามารถเขียน a ให้อยู่ในรูปของเศษส่วน ของจำนวนเต็มได้เสมอ เช่น $\displaystyle{5= \frac{5}{1} , 3= \frac{3}{1} , 0= \frac{0}{1} ,-4= -\frac{4}{1}}$ ดังนั้น เราจะเห็นได้ชัดๆ เลยนะว่า จำนวนเต็มทุกจำนวน เป็นจำนวนตรรกยะ และตอนนี้เราจะให้ $\mathcal{Q}$ แทนด้วยเซตของจำนวนตรรกยะ และเรามีนิยามสำหรับตัวมันเองด้วยก็คือ

$\displaystyle{\mathcal{Q} = \{x | x =\frac{a}{b}}$ เมื่อ $\displaystyle{a \in \mathcal{I}}$ , $\displaystyle{b \in \mathcal{I}}$ และ $b \neq 0\}$

จากทั้งหมดที่กล่าวถึงมานั้น ล้วนแล้วแต่เป็นความหมายที่เกี่ยวเนื่องกับจำนวนตรรกยะทั้งสิ้น ดังนั้น เราจะมาสรุปให้ชัดๆกันไปเลยว่า จำนวนตรรกยะนั้น ได้แก่จำนวนชนิดใดบ้าง ซึ่งจะแสดงให้ดูดังต่อไปนี้คะ

1. จำนวนเต็ม
2. จำนวนที่เป็นเศษส่วนของจำนวนเต็ม โดยที่ตัวส่วนจะไม่เป็นศูนย์
3.จำนวนที่เป็นทศนิยมรู้จบ
4.จำนวนที่เป็นทศนิยมซ้ำๆ

เรื่องสุดท้ายในหัวข้อนี้ เราจะรู้จักจำนวนนับ จำนวนเต็มศูนย์ จำนวนเต็มลบ และจำนวนตรรกยะ จากที่กำหนดให้ว่า

$\mathcal{Q}$ แทนเซตของจำนวนตรรกยะ
$\mathcal{I}$ แทนเซตของจำนวนเต็ม
$\mathcal{N}$ แทนเซตของจำนวนนับ
$\mathcal{I}^0$ แทนเซตของจำนวนเต็มศูนย์
$\mathcal{I^+}$ แทนเซตของจำนวนเต็มบวก
$\mathcal{I^-}$ แทนเซตของจำนวนเต็มลบ

เซตของจำนวนตรรกยะ เป็นเซตที่มีขอบเขตเพียงแค่ การบวก การลบ การคูณ และการหาร นอกจากนั้น เราพบว่า
ผลบวกของจำนวนตรรกยะ เป็นจำนวนตรรกยะ
ผลลบของจำนวนตรรกยะ เป็นจำนวนตรรกยะ
ผลคูณของจำนวนตรรกยะ เป็นจำนวนตรรกยะ
แสดงว่าเซตของจำนวนตรรกยะ มีคุณสมปิดของการบวก การลบ และการคูณ

จำนวนอตรรกยะ (irrational number)

เอ่ยกันมาน้านนาน สำหรับจำนวนตรรกยะ ถึงตอนนี้ เรามาดูองค์ประกอบอีกตัวหนึ่งของจำนวนจริงกันบ้าง นั่นก็คือ “จำนวนอตรรกยะ”

จำนวนอตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่ไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มโดยที่ตัวส่วนไม่เท่ากับศูนย์ แต่สามารถเขียนเป็นทศนิยมไม่รู้จบแบบไม่ซ้ำได้

เอ่ยแค่นิยาม ทุกคนก็คงจะทราบกันดีแล้วนะคะว่ามีความแตกต่างกันอย่างมากระหว่างจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ จำเป็นต้องอยู่ในรูปของทศนิยมแบบรู้จบ และสามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้ ง่ายๆเลยใช่ไหมคะ ยกตัวอย่างให้เห็นง่ายเลยคือ ในจำนวนอตรรกยะนั้นอย่างเช่น $\sqrt{2}$ หรือ จำนวนในรูปที่ติดอยู่ในฟอร์มทศนิยมไม่ซ้ำ 2.449897. . ., 3.9681187. . . หรือกระทั่งจำนวนที่ติดอยู่ในรูปลักษณะพิเศษ เช่น $\pi$ , c (c = 2.718 เป็นค่าประมาณ)

เอ้า จบซักทีสำหรับองค์ประกอบที่สำคัญๆของจำนวนจริง หลังจากนี้จะต้องมีคนงุนงงสงสัยอย่างแน่นอนว่า แล้วความสัมพันธ์ระหว่างจำนวน ตรรกยะ และจำนวนอตรรกยะนั้น มันเกี่ยวเนื่องกันอย่างไร ทำไมถึงได้กลายมาเป็นจำนวนจริงได้

สงสัยกันนัก ก็จะบอกคะ ซึ่งก็คือ เมื่อเรานำเซตของจำนวนตรรกยะ มายูเนียนกับจำนวนอตรรกยะ เราก็จะได้เซตที่เรียกว่า “เซตของจำนวนจริง” ซึงในที่นี้เราเขียนแทนสัญลักษณ์ด้วย $\mathcal{R}$ และเรามีนิยามเล็กๆเพื่อให้ง่ายต่อความเข้าใจด้วยว่า

$\mathcal{R} = \{x| x$ เป็นจำนวนตรรกยะ หรือ

เป็นจำนวนอตรรกยะ $\}$

เอ่ยไปแล้ว ก็หวังว่าเพื่อนๆยังคงจำเนื้อหาเดิมๆเกี่ยวกับเรื่องเซตได้นะคะ และส่วนประกอบหลักๆของระบบจำนวนจริง ก็คงจะมีเพียงเท่านี้คะ หวังว่าเพื่อนๆ คงจะสนุกสนานกับแบบฝึกหัดท้ายบทกันนะคะ

ด้วยเหตุที่เซตของจำนวนตรรกยะ $\mathcal{Q}$ และเซตของจำนวนอตรรกยะ $\mathcal{Q}'$ เป็นเซตต่างสมาชิก และเมื่อนำมายูเนียนกันแล้ว จะได้เซต $\mathcal{R}$ ดังนั้น เซตของจำนวนอตรรกยะ $\mathcal{Q}'= \mathcal{R}-\mathcal{Q}$

แบบฝึกหัด1

1. จงพิจารณาจำนวนที่กำหนดให้ต่อไปนี้ว่าเป็นจำนวนชนิดใด และทำเครื่องหมายในตาราง

ข้อ	จำนวน	$\mathcal{N}$	$\mathcal{I}$	$\mathcal{Q}$	$\mathcal{Q}'$	$\mathcal{R}$	ไม่ใช่ $\mathcal{R}$
1	$- \sqrt{81}= - 9$
2	$\sqrt{18}$
3	$\displaystyle{\frac{10}{3}}$
4	-1.255
5	$3\pi$
6	$7.3434\cdots$
7	$\sqrt{-25}$
8	$9-\sqrt{4}$
9	$\displaystyle{\frac{\sqrt{27}}{-\sqrt{3}}}$
10	$3-\sqrt{-1}$

(เลือกได้มากกว่าหนึ่งช่อง)

2. จงบอกว่าประโยคต่อไปนี้ ข้อใดเป็นจริง และข้อใดเป็นเท็จ

1. จำนวนตรรกยะทุกจำนวนเป็นจำนวนเต็ม
2. จำนวนตรรกยะทุกจำนวนเป็นจำนวนจริง
3. ผลหารของจำนวนเต็ม 2 จำนวน เป็นจำนวนเต็มเสมอ
4. ผลคูณของจำนวนตรรกยะกับจำนวนอตรรกยะต้องเป็นจำนวนอตรรกยะ
5. จำนวนเต็มทุกจำนวนเป็นจำนวนตรรกยะ

สมบัติของจำนวนจริง

ถึงตอนนี้ พวกเราก็มาทำความรู้จักกับคุณสมบัติต่างๆของระบบจำนวนจริงกันบ้างดีกว่านะคะ โดยที่เราทราบกันมาก่อนแล้วใช่ไหมคะว่า ระบบจำนวนนั้นหมายถึง เซตของจำนวนนั่นเอง ซึ่งอาจจะนำมากระทำกันให้อยู่ในรูปของ การบวก การลบ การคูณ การหาร หรืออะไรอื่นๆอีกเยอะแยะ แต่ว่าในระบบจำนวนจริง ที่เราจะกล่าวถึงในตอนนี้ จะต้องประกอบด้วยเซตของจำนวนจริง และการกระทำซึ่งจะมีแค่การบวก กับการคูณ เท่านั้นนะคะ ซึ่งมีคุณสมบัติดังตารางทางด้านล่างนี้นะคะ

คุณสมบัติ	การบวก	การคูณ
ปิด	$a+b \in \mathcal{R}$	$ab \in \mathcal{R}$
การสลับที่
การเปลี่ยนกลุ่ม
การมีเอกลักษณ์	0 เป็นเอกลักษณ์ของการบวก	1 เป็นเอกลักษณ์ของการคูณ
การมีอินเวอร์ส	อินเวอร์สการบวกของจำนวนจริงคือ คือ โดยที่	อินเวอร์สการคูณของจำนวนจริง คือ $\displaystyle{\frac{1}{a}}$ และ $a\neq 0$ โดยที่ $\displaystyle{a(\frac{1}{a})=1}$
การกระจาย

ในเมื่อพวกเรารู้จักคุณสมบัติต่างๆกันแล้วละก็ นำความรู้ที่ได้มาทดสอบตัวเองกันเถอะ

แบบฝึกหัด 2

1. จงใส่คำตอบของโจทย์แต่ละข้อลงในตารางที่กำหนดให้

	มีอินเวอร์สการบวก	มีอินเวอร์สการคูณ
1. $\displaystyle{-\frac{1}{8}}$
2. $\displaystyle{\frac{1}{5}}$
3. $\displaystyle{\frac{1}{a}}$
4. $\displaystyle{-\frac{\sqrt{3}}{3}}$
5. $\displaystyle{\frac{1-\sqrt{5}}{2}}$
6. $\displaystyle{\sqrt{5}}$

ก่อนจะมากล่าวถึงกันในหัวข้อต่อไปที่น่าสนใจมากๆนี้นะคะ เราก็คงจะเรียนรู้มามากพอแล้วสำหรับความหมายของคำว่า จำนวนจริง รวมถึง คุณสมบัติต่างๆของระบบจำนวนจริงกันอีกด้วยนะคะ

ดังนั้น ในตอนนี้ เราจะมาดูกันว่าคุณสมบัติของจำนวนจริงนี่ละ ที่มีความสำคัญมากสำหรับการนำไปใช้แก้ปัญหาโจทย์บางอย่าง ในที่นี้ก็คือ การนำคุณสมบัติของระบบจำนวนจริง มาทำการแก้สมการพหุนาม ที่อาจจะมีดีกรีมากกว่า หรือเท่ากับหนึ่งก็ได้

แล้วเพื่อนๆยังจำเรื่องนี้กันได้อยู่หรือเปล่าคะ เพราะพวกเราเคยเรียนผ่านกันมาแล้วทั้งนั้นเลยคะ แต่เอาเป็นว่า เรามาทบทวนกันอย่างง่ายๆก่อนเข้าสู่เนื้อหากันก่อนก็แล้วกันนะคะ

หน้าถัดไป (หน้า 2) >>>

^*หมายเหตุ งานเขียนชิ้นนี้ ได้รับการคุ้มครองสิทธิตามพระราชบัญญัติคุ้มครองสิทธิทางปัญญา โดยลิขสิทธิเป็นของผู้เขียน ที่ให้เกียรตินำเผยแพร่ผ่าน วิชาการ.คอม เรามีความยินดีและอนุญาตให้ทำซ้ำหรือเผยแพร่ต่อเพื่อประโยชน์ทางการศึกษาเท่านั้น กรุณาให้เกียรติผู้เขียน โดยอ้างชื่อผู้เขียนและ วิชาการ.คอม (www.vcharkarn.com) ทุกครั้งที่ทำการเผยแพร่ต่อ ห้ามนำส่วนหนึ่งส่วนใดไปเผยแพร่ต่อในสื่อที่เอื้อประโยชน์ทางธุรกิจก่อนได้รับอนุญาต ขอขอบคุณที่ร่วมกันช่วยสร้างให้สังคมไทยเป็นสังคมแห่งปัญญา

จำนวน 19 ความเห็น, หน้า่ | -1-

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 1 20 พ.ค. 2550 (13:34)
เขียนดีมากเลยครับให้ความรู้กับผู้อ่านทุกระดับ

แต่ผมติดอยู่นิดนึงครับตรงประโยคที่บอกว่า

"จำนวนตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่เขียนอยู่ในรูปเศษส่วน $\dfrac{a}{b}$ โดยที่

และ

เป็นจำนวนเต็ม และ $b\neq 0$ "

ผมคิดว่าน่าจะแทนคำว่า"จำนวนที่เขียน"ด้วย"จำนวนที่สามารถเขียน"ครับ

เพราะอย่างเช่น $\dfrac{1.5}{3}$ ก็เป็นจำนวนตรรกยะเหมือนกัน

Timestopper_STG

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 1647 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 199 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 2 20 พ.ค. 2550 (17:18)
ขอบคุณมากๆๆๆๆค่ะ

แต่ก่อนงงๆ

ตอนนี้ก็รู้ขึ้นมาเยอะเลย

jigkajig

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 13 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 150 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 3 20 พ.ค. 2550 (18:03)
งงหน่อยๆ - -กำ

|ด็ก|รีeu

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 2 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 150 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 4 21 พ.ค. 2550 (08:37)
ขอบคุณครับแก้ไขแล้วครับ รู้สึกว่าคนพิมพ์จะพิมพ์ตกไปครับ ถ้าพบข้อผิดพลาดกรุณาแจ้งด้วยนะครับ จะได้แก้ไขให้ถูกต้องต่อไป

จ้อ

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 1406 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 227 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 6 24 พ.ค. 2550 (10:04)
ความเห็นหาย - -

Mastermander

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 3441 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 250 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 7 30 พ.ค. 2550 (10:46)
ตัวอย่างที่ 1,2,3

จะได้ว่า 8 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 8 (เป็นขอบเขตบนของ 8 ควรแก้เป็นขอบเขตบนของเซต S) และขอบเขตบนที่น้อยที่สุดคือ 8

bug

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 20 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 152 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 8 4 มิ.ย. 2550 (19:37)
ไม่ค่อยเรื่องงสักเท่าไร เพราะยังม่ายได้เรื่องพวกนี้เลยอ่ะค่ะ เหอๆๆๆ

minihomo

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 18 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 148 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 9 7 มิ.ย. 2550 (16:43)
ช่วยได้มากเลยครับ ขอบคุณ

ศรา_อีปราส

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 591 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 155 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 10 17 มิ.ย. 2550 (21:01)
เรื่องพวกนี้ก้อยู่ในบทเรียน เรื่อง จำนวนจริง ใช่ป่ะครับ

Kakkiizz

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 7 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 150 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 11 9 ก.ค. 2550 (09:42)
ผลต่ากำลังสอง ผิดค่ะ ที่ถูกต้องเป็น

a^2-b^2 = (a+b)(a-b) 8jt

benjy_BM

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 2 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 151 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 12 9 ก.ค. 2550 (09:45)
ผลต่างกำลังสอง สูตรข้างบนผิดค่ะ ที่ถูกต้องเป็น

a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) ค่ะ

benjy_BM

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 13 13 ก.ค. 2550 (23:19)
เขียนได้เยี่ยมมาก แต่การหารสังเคราะผมไม่เข้าใจช่วยอธิบายเพิ่มเติมหน่อยครับ ตัวอย่างให้มาตัวอย่งเดียว ผมงงครับ

jamesad123

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 2 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 149 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 14 18 ก.ค. 2550 (19:11)
มีไรมาถามงับอาจารย์ถามว่า0.9999... กับ 1 เท่าหรือไม่ ทุกคนในห้องบอกไม่เท่าอาจารย์เลยถามต่อว่า"ถ้าไม่เท่าแล้วห่างกันเท่าไร"ทุกคนตอบไม่ได้ แล้วที่อาจารย์ผมพูดจิงอะเปล่าอะอย่าตอบว่าไม่จิงเพราะห่างกัน0.000....1ละมานไม่มีในโลก

Haaaaaaaaaa

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 4 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 150 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 15 26 ส.ค. 2550 (23:56)

อยากได้ข้อมูลเรื่องวิวัฒนาการของตัวเลขครับ

sodae12

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 1 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 151 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 16 11 พ.ย. 2550 (15:09)
ขอบคุณมากเลยค่ะ กำลังทำรายงานส่งอาจารย์เรื่องอสมการอยู่พอดีเลย

zombigirl

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 3 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 149 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 17 16 ธ.ค. 2550 (16:16)
1. (x-6)(x+3) = 0
2. -y+4 = -3

จะแก้สมการยังไงช่วยตอบทีค่ะ

vatahi

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 1 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 150 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 18 21 ม.ค. 2551 (14:48)

ลองเข้าครับ ....

model

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 3 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 120 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 19 21 ม.ค. 2551 (14:52)
ตอนนี้ผมเรียนอยู่ป.5ครับ งัยก็ลบกวนพี่ๆ้วยนะครับ

model

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 20 21 ม.ค. 2551 (15:03)
ผมไม่เข้าใจเรื่องแกนสมมาตร ช่วยอธิบายให้หน่อยครับ

model

กรุณา login เพื่อ comment งานเขียนนี้

???? สมัครสมาชิก ฟรี ตลอดชีพ

dummy user
(ผู้ใช้ทดสอบ ที่ไม่มีตัวตน)

ผู้ชมข้อมูลนี้แล้ว 33,139 ครั้ง
เป็นสมาชิก: นานกว่า 7 ปี
แบ่งปันความรู้ 37 ครั้ง
ได้รับดาว 237 ดวง

โหวตเพิ่มดาว

บทความอื่น

จำนวนจริง [40,786]

?????? 0 ?????? ?? ??????????????????

บทความแนะนำ

การเกิด สึนามิ [520,256]

GMO พันธุวิศวกรรมศาสตร์ นางฟ้า หรือ ซาตาน [371,472]

Blog แนะนำ

นำชัย ชวนคิด ฝัน และสรรค์สร้างสังคมไทย ด้วยวิทยาศาสตร์ เทคโนโลยี และธรรม [279,398]

Global Warming { English } [116,067]

Hot Links

คลังข้อสอบ | ข่าววิชาการ
เล่นกล/เกม | อ่านนิยาย
ข่าวทุนการศึกษา | ลิงค์

ขอบคุณผู้สนับสนุน

วิชาการ.คอม คือ ใคร? || กฏ กติกา มารยาท || ติดต่อลงโฆษณา || ร่วมงานกับเรา

ติดต่อลงโฆษณา :	คุณอันนา 081 4965363
สำนักงาน :	02 2015735
อีเมล์ :

คลิ๊กเพื่อดูสถิติ

รับรองและสนับสนุนโดย

สสวท.

มูลนิธิ พสวท.

พสวท.

login:
password:

	ล๊อกอินแบบถาวร