วิชาการ.คอม - จำนวนจริง (การแก้สมการพหุนามตัวแปรเดียว)

จำนวนจริง

ทุกคนเคยสงสัยบ้างไหมคะว่า ตัวเลข หรือ จำนวนนั้น กำเนิดเกิดขึ้นมาจากอะไร ใครเป็นผู้คิดค้น แล้วทำไมในชีวิตประจำวันของพวกเราในสมัยนี้ทั้ง การเรียน การงาน หรือกระทั่งการดำเนินชีวิตส่วนใหญ่แล้วจึงเกี่ยวข้องกับคำว่า “จำนวน”

ผู้เขียน: ดร. ภคินี สุวรรณจันทร์ ชมแล้ว: 40,822 ครั้ง

post ครั้งแรก: Sat 19 May 2007, 10:37 pm ปรับปรุงล่าสุด: Wed 30 May 2007, 1:50 pm

อยู่ในส่วน: คณิตศาสตร์

สารบัญ

หน้า : 1 จำนวนจริงคืออะไร?
หน้า : 2 การแก้สมการพหุนามตัวแปรเดียว
หน้า : 3 ช่วง
หน้า : 4 การแก้อสมการ
หน้า : 5 สัจพจน์ความบริบูรณ์ (The axiom of completeness)

หน้าที่ 2 - การแก้สมการพหุนามตัวแปรเดียว

สมการพหุนาม(Polynomial equation) ที่มีตัวแปรเดียว หมายถึง สมการที่อยู่ในรูปของ $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ . . . +a_1x+a_0 = 0$ โดยที่ $a_n, a_{n-1}, \cdots ,a_1, a_0$ เป็นค่าคงตัว

เป็นตัวแปรและ

เป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ แล้วถ้า $a_n\neq 0$ เราจะเรียกสมการพหุนามนี้ว่าเป็นสมการพหุนามดีกรี(degree)

ตัวอย่างเช่น

2x+1 = 0

เป็นสมการพหุนามดีกรี 1
2x^2+3x+1 = 0

เป็นสมการพหุนามดีกรี 2
3x^3+2x^2-12x-8 = 0

เป็นสมการพหุนามดีกรี 3

โดยที่นอกจาก การนำคุณสมบัติของระบบจำนวนจริง มาแก้ปัญหาสมการพหุนามดีกรี มากกว่าหรือเท่าหนึ่งแล้ว เราก็สามารถนำวิธีการอื่นมาใช้ได้อีกมากมายหลายวิธี เช่น การใช้สูตรการทำให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์ การแยกตัวประกอบ ตัวนี้ละคะที่สำคัญมากๆ ในการที่จะนำมาใช้ เราอาจแยกตัวประกอบอย่างง่ายๆ โดยการทำให้อยู่ในรูปผลต่างกำลังสอง ผลบวกของกำลังสาม หรือ ผลต่างของกำลังสามก็ได้คะ โดยอาศัยจากสูตรข้างล่างนี้คะ

อธิบายอย่างเดียวก็เดี๋ยวจะง่วงกันเสียก่อน ดังนั้นเรามาลองทบทวนวิธีการแก้ปัญหาสมการพหุนามอย่างง่ายๆกันดีกว่านะคะ แต่ก่อนอื่นต้องขอบอกไว้ก่อนว่าวิธีการแยกตัวประกอบมีมากกว่าสามวิธีทางข้างต้นนะคะ รายละเอียดทั้งหมดจะแสดงอยู่ด้านล่างดังนี้คะ

การแก้สมการดีกรีสูงกว่าสอง โดยการแยกตัวประกอบ
1. การเอาตัวร่วมออก ax^2+bx-x = x(ax+b-1)

2. ผลต่างกำลังสอง a^2-b^2 = (a-b) (a+b)

3. ผลบวกกำลังสาม a^3+b^3 = (a+b) (a^2-ab+b^2)

4. ผลต่างกำลังสาม a^3-b^3 = (a-b) (a^2+ab+b^2)

5. กำลังสามของผลบวก (a+b)^3 = (a^3+3a^2b+ab^2+b^3)

6. กำลังสามของผลต่าง (a-b)^3 = (a^3-3a^2b+ab^2-b^3)

7. กำลังสองสมบูรณ์ (a+b)^2 = (a^2+2ab+b^2)

8. การแยก สามพจน์เป็นสองวงเล็บ
9. การแยกตัวประกอบโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ

แบบฝึกหัด 3

จงแยกตัวประกอบพหุนามต่อไปนี้
1. 6x-10x^2

10.

จากเนื้อหาดังข้างต้น เราจะพบได้ว่า วิธีการอย่างหนึ่งที่กันอย่างมากในเรื่องของการแก้อสมการ นั้นก็คือ การแยกตัวประกอบ ซึ่งการแยกตัวประกอบจะง่ายหรือยากนั้นขึ้นอยู่กับ พหุนามที่กำหนดให้ และทฤษฎีบทที่มีประโยชน์มากในเรื่องของการแยกตัวประกอบ นั้นก็คือ ทฤษฎีบทเศษเหลือ ซึ่งเราจะกล่าวถึงต่อไป

การหารสังเคราะห์ (Synthetic division)

การหารสังเคราะห์ เป็นเรื่องที่ว่าด้วยการหารพหุนาม ที่มีดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ 1 ด้วยพหุนามที่อยู่ในรูป x-a

เมื่อ $a\neq 0$ เช่น 2x^3-x^2-8x+15 =?

วิธีการหาคำตอบ เราอาจใช้การหารยาว ซึ่งจะเสียเวลาและใช้เนื้อที่ในการเขียนมาก ดังนั้นการหารสังเคราะห์ เป็นวิธีลัดในการหาผลหาร และเศษจากการหาร จากตัวอย่างโจทย์ข้างต้น เราสามารถแสดงให้อยู่ในรูปของการหารสังเคราะห์ได้ดังนี้

2 -1 -8 15	แถวที่ 1
-4 -6 4	แถวที่ 2
2 3 -2 11	แถวที่ 3

ดังนั้น เราจึงสามารถสรุปขั้นตอนสำหรับการหารสังเคราะห์ได้ดังนี้

สมมุติให้ P(x)

เป็นพหุนามที่มีดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ 1 ถ้าต้องการหาร P(x)

ด้วย

เมื่อ $c\neq 0$ ด้วยวิธีการหารสังเคราะห์ จะมีวิธีการดังนี้

1. เขียนสัมประสิทธิ์ของพจน์ต่างๆ ของ P(x)

เมื่อเรียงดีกรีจากมากไปน้อยแล้ว ถ้าบางพจน์ไม่มีให้ถือ สัมประสิทธิ์นั้นเป็น 0
2. เขียน

เป็นตัวหาร
3. จำนวนแรกในแถวสาม จะเท่ากับจำนวนแรกในแถวหนึ่ง
4. นำ

ไปคูณกับจำนวนแรกของแถว 3 นำผลคูณไปใส่ในตำแหน่งที่สองของแถวสอง
5. บวกจำนวนในแถวที่หนึ่งและแถวที่สองในตำแหน่งที่สอง นำผลบวกใส่ในตำแหน่งเดียวกันของแถวที่สาม
6. นำ

คูณกับจำนวนใดตำแหน่งที่สองของแถวที่ สาม นำผลคูณไปใส่ในตำแหน่งที่สามของแถวที่สอง
7. บวกจำนวนในแถวที่หนึ่ง และแถวที่สองในตำแหน่งที่สาม นำผลไปใส่ในตำแหน่งเดียวกัน ของแถว ที่สามทำเช่นนี้ไปเรื่อยๆจนหมดทุกตำแหน่ง จะได้ว่า

* จำนวนทุกจำนวนในแถวที่สาม(ยกเว้นจำนวนสุดท้าย) เป็นสัมประสิทธิ์ของผลหาร ซึ่งเป็นพหุนามที่มีดีกรีน้อยกว่า P(x) อยู่ 1
** จำนวนสุดท้ายในแถวที่สามเป็นเศษจากการหาร
*** ถ้าเศษเป็น 0 จะเรียกตัวหาร x-c ว่าตัวประกอบ P(x)

แบบฝึกหัด 4

จงใช้วิธีการหารสังเคราะห์เพื่อหาคำตอบจากคำถามต่อไปนี้

1. $\displaystyle{\frac{x^3+x^2-18x+18}{(x-3)}}$
2. $\displaystyle{\frac{2x^2+9x-5}{(x+2)}}$
3. $\displaystyle{\frac{3x^3+13x^2-11x+5}{(x+3)}}$
4. $\displaystyle{\frac{x^3-x^2+2x+7}{(x+2)}}$
5. $\displaystyle{\frac{-2x^3-5x^2+7}{(x+3)}}$
6. $\displaystyle{\frac{5x^3-11x^2-14x-10}{(x-3)}}$
7. $\displaystyle{\frac{3x^4 - 2 x^3+x^2-x+7}{(x-2)}}$
8. $\displaystyle{\frac{x^2+5x+6}{(x+2)}}$
9. $\displaystyle{\frac{x^2+4x+7}{(x+3)}}$

<<< หน้าก่อนนี้ (หน้า 1)

หน้าถัดไป (หน้า 3) >>>

^*หมายเหตุ งานเขียนชิ้นนี้ ได้รับการคุ้มครองสิทธิตามพระราชบัญญัติคุ้มครองสิทธิทางปัญญา โดยลิขสิทธิเป็นของผู้เขียน ที่ให้เกียรตินำเผยแพร่ผ่าน วิชาการ.คอม เรามีความยินดีและอนุญาตให้ทำซ้ำหรือเผยแพร่ต่อเพื่อประโยชน์ทางการศึกษาเท่านั้น กรุณาให้เกียรติผู้เขียน โดยอ้างชื่อผู้เขียนและ วิชาการ.คอม (www.vcharkarn.com) ทุกครั้งที่ทำการเผยแพร่ต่อ ห้ามนำส่วนหนึ่งส่วนใดไปเผยแพร่ต่อในสื่อที่เอื้อประโยชน์ทางธุรกิจก่อนได้รับอนุญาต ขอขอบคุณที่ร่วมกันช่วยสร้างให้สังคมไทยเป็นสังคมแห่งปัญญา

จำนวน 19 ความเห็น, หน้า่ | -1-

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 1 20 พ.ค. 2550 (13:34)
เขียนดีมากเลยครับให้ความรู้กับผู้อ่านทุกระดับ

แต่ผมติดอยู่นิดนึงครับตรงประโยคที่บอกว่า

"จำนวนตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่เขียนอยู่ในรูปเศษส่วน $\dfrac{a}{b}$ โดยที่

และ

เป็นจำนวนเต็ม และ $b\neq 0$ "

ผมคิดว่าน่าจะแทนคำว่า"จำนวนที่เขียน"ด้วย"จำนวนที่สามารถเขียน"ครับ

เพราะอย่างเช่น $\dfrac{1.5}{3}$ ก็เป็นจำนวนตรรกยะเหมือนกัน

Timestopper_STG

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 1650 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 199 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 2 20 พ.ค. 2550 (17:18)
ขอบคุณมากๆๆๆๆค่ะ

แต่ก่อนงงๆ

ตอนนี้ก็รู้ขึ้นมาเยอะเลย

jigkajig

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 13 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 150 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 3 20 พ.ค. 2550 (18:03)
งงหน่อยๆ - -กำ

|ด็ก|รีeu

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 2 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 150 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 4 21 พ.ค. 2550 (08:37)
ขอบคุณครับแก้ไขแล้วครับ รู้สึกว่าคนพิมพ์จะพิมพ์ตกไปครับ ถ้าพบข้อผิดพลาดกรุณาแจ้งด้วยนะครับ จะได้แก้ไขให้ถูกต้องต่อไป

จ้อ

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 1406 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 227 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 6 24 พ.ค. 2550 (10:04)
ความเห็นหาย - -

Mastermander

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 3441 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 250 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 7 30 พ.ค. 2550 (10:46)
ตัวอย่างที่ 1,2,3

จะได้ว่า 8 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 8 (เป็นขอบเขตบนของ 8 ควรแก้เป็นขอบเขตบนของเซต S) และขอบเขตบนที่น้อยที่สุดคือ 8

bug

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 20 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 152 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 8 4 มิ.ย. 2550 (19:37)
ไม่ค่อยเรื่องงสักเท่าไร เพราะยังม่ายได้เรื่องพวกนี้เลยอ่ะค่ะ เหอๆๆๆ

minihomo

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 18 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 148 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 9 7 มิ.ย. 2550 (16:43)
ช่วยได้มากเลยครับ ขอบคุณ

ศรา_อีปราส

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 591 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 155 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 10 17 มิ.ย. 2550 (21:01)
เรื่องพวกนี้ก้อยู่ในบทเรียน เรื่อง จำนวนจริง ใช่ป่ะครับ

Kakkiizz

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 7 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 150 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 11 9 ก.ค. 2550 (09:42)
ผลต่ากำลังสอง ผิดค่ะ ที่ถูกต้องเป็น

a^2-b^2 = (a+b)(a-b) 8jt

benjy_BM

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 2 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 151 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 12 9 ก.ค. 2550 (09:45)
ผลต่างกำลังสอง สูตรข้างบนผิดค่ะ ที่ถูกต้องเป็น

a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) ค่ะ

benjy_BM

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 13 13 ก.ค. 2550 (23:19)
เขียนได้เยี่ยมมาก แต่การหารสังเคราะผมไม่เข้าใจช่วยอธิบายเพิ่มเติมหน่อยครับ ตัวอย่างให้มาตัวอย่งเดียว ผมงงครับ

jamesad123

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 2 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 149 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 14 18 ก.ค. 2550 (19:11)
มีไรมาถามงับอาจารย์ถามว่า0.9999... กับ 1 เท่าหรือไม่ ทุกคนในห้องบอกไม่เท่าอาจารย์เลยถามต่อว่า"ถ้าไม่เท่าแล้วห่างกันเท่าไร"ทุกคนตอบไม่ได้ แล้วที่อาจารย์ผมพูดจิงอะเปล่าอะอย่าตอบว่าไม่จิงเพราะห่างกัน0.000....1ละมานไม่มีในโลก

Haaaaaaaaaa

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 4 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 150 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 15 26 ส.ค. 2550 (23:56)

อยากได้ข้อมูลเรื่องวิวัฒนาการของตัวเลขครับ

sodae12

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 1 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 151 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 16 11 พ.ย. 2550 (15:09)
ขอบคุณมากเลยค่ะ กำลังทำรายงานส่งอาจารย์เรื่องอสมการอยู่พอดีเลย

zombigirl

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 3 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 149 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 17 16 ธ.ค. 2550 (16:16)
1. (x-6)(x+3) = 0
2. -y+4 = -3

จะแก้สมการยังไงช่วยตอบทีค่ะ

vatahi

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 1 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 150 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 18 21 ม.ค. 2551 (14:48)

ลองเข้าครับ ....

model

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 3 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 120 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 19 21 ม.ค. 2551 (14:52)
ตอนนี้ผมเรียนอยู่ป.5ครับ งัยก็ลบกวนพี่ๆ้วยนะครับ

model

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 20 21 ม.ค. 2551 (15:03)
ผมไม่เข้าใจเรื่องแกนสมมาตร ช่วยอธิบายให้หน่อยครับ

model

กรุณา login เพื่อ comment งานเขียนนี้

???? สมัครสมาชิก ฟรี ตลอดชีพ

dummy user
(ผู้ใช้ทดสอบ ที่ไม่มีตัวตน)

ผู้ชมข้อมูลนี้แล้ว 33,213 ครั้ง
เป็นสมาชิก: นานกว่า 7 ปี
แบ่งปันความรู้ 37 ครั้ง
ได้รับดาว 237 ดวง

โหวตเพิ่มดาว

บทความอื่น

จำนวนจริง [40,823]

?????? 0 ?????? ?? ??????????????????

บทความแนะนำ

การเกิด สึนามิ [520,364]

GMO พันธุวิศวกรรมศาสตร์ นางฟ้า หรือ ซาตาน [371,627]

Blog แนะนำ

นำชัย ชวนคิด ฝัน และสรรค์สร้างสังคมไทย ด้วยวิทยาศาสตร์ เทคโนโลยี และธรรม [280,621]

Global Warming { English } [116,868]

Hot Links

คลังข้อสอบ | ข่าววิชาการ
เล่นกล/เกม | อ่านนิยาย
ข่าวทุนการศึกษา | ลิงค์

ขอบคุณผู้สนับสนุน

วิชาการ.คอม คือ ใคร? || กฏ กติกา มารยาท || ติดต่อลงโฆษณา || ร่วมงานกับเรา

ติดต่อลงโฆษณา :	คุณอันนา 081 4965363
สำนักงาน :	02 2015735
อีเมล์ :

คลิ๊กเพื่อดูสถิติ

รับรองและสนับสนุนโดย

สสวท.

มูลนิธิ พสวท.

พสวท.

login:
password:

	ล๊อกอินแบบถาวร