วิชาการ.คอม - จำนวนจริง (สัจพจน์ความบริบูรณ์ (The axiom of completeness))

จำนวนจริง

ทุกคนเคยสงสัยบ้างไหมคะว่า ตัวเลข หรือ จำนวนนั้น กำเนิดเกิดขึ้นมาจากอะไร ใครเป็นผู้คิดค้น แล้วทำไมในชีวิตประจำวันของพวกเราในสมัยนี้ทั้ง การเรียน การงาน หรือกระทั่งการดำเนินชีวิตส่วนใหญ่แล้วจึงเกี่ยวข้องกับคำว่า “จำนวน”

ผู้เขียน: ดร. ภคินี สุวรรณจันทร์ ชมแล้ว: 40,787 ครั้ง

post ครั้งแรก: Sat 19 May 2007, 10:37 pm ปรับปรุงล่าสุด: Wed 30 May 2007, 1:50 pm

อยู่ในส่วน: คณิตศาสตร์

สารบัญ

หน้า : 1 จำนวนจริงคืออะไร?
หน้า : 2 การแก้สมการพหุนามตัวแปรเดียว
หน้า : 3 ช่วง
หน้า : 4 การแก้อสมการ
หน้า : 5 สัจพจน์ความบริบูรณ์ (The axiom of completeness)

หน้าที่ 5 - สัจพจน์ความบริบูรณ์ (The axiom of completeness)

สมบัติความบริบูรณ์ เป็นสมบัติสุดท้ายของระบบจำนวนจริงคะ ซึ่งทางบทแรกๆของจำนวนจริงนั้นได้เคยพูดถึงคุณสมบัติต่างๆของจำนวนจริงไปแล้วนะคะ ซึ่งสมบัติความบริบูรณ์นี้ จะเป็นสมบัติสุดท้ายของระบบจำนวนจริงที่จำนวนอื่นไม่มี และเรามีชื่อเรียกชื่ออีกอย่างหนึ่งว่า สัจพจน์การมีค่าขอบเขตบนน้อยที่สุด (lest upper bound axiom)

ซึ่งก่อนอื่น พวกเราก็ต้องมาทำความรู้จักกับคำว่า “ค่าขอบเขตบท” กันเสียก่อนนะคะ เพราะมันมีความสำคัญมากสำหรับในเรื่องนี้ โดยจากนิยามที่ได้กล่าวเอาไว้ว่า

บทนิยาม ให้ $S \subset \mathcal{R}$ กล่าวว่า จำนวนจริง

จะเป็นค่าขอบเขตบนของ

ก็ต่อเมื่อ

มีค่าไม่น้อยกว่าสมาชิกใดๆของ

ในกรณีนี้เราเรียกว่า

มีขอบเขตบน

นั่นก็คือว่า:

เป็นค่าขอบเขตบนของ

ก็ต่อเมื่อ $x \le u$ สำหรับทุกๆ $x \in S$

โดยที่ สัจพจน์ของระบบจำนวนจริงนั้นก็คือ ข้อความที่เป็นจริงได้โดยที่ไม่ต้องพิสูจน์ ซึ่งมีทั้งหมด 15 สัจพจน์ด้วยกัน ดังที่แสดงให้เห็นดังนี้

สัจพจน์ที่ 1 ถ้า $a,b \in \mathcal{R}$ จะได้ $a+b \in \mathcal{R}$
สัจพจน์ที่ 2 ถ้า $a,b,c \in \mathcal{R}$ จะได้ (a+b)+c=a+(b+c)

สัจพจน์ที่ 3 มี $0 \in \mathcal{R}$ โดยที่ a+0 = a

สำหรับทุก $a \in \mathcal{R}$
สัจพจน์ที่ 4 ถ้า $a \in \mathcal{R}$ จะมี $-a \in \mathcal{R}$ ซึ่ง a+(-a)=(-a)+a=0

สัจพจน์ที่ 5 ถ้า $a,b \in \mathcal{R}$ จะได้ a+b = b+a

สัจพจน์ที่ 6 ถ้า $a,b \in \mathcal{R}$ จะได้ $ab \in \mathcal{R}$
สัจพจน์ที่ 7 ถ้า $a,b,c \in \mathcal{R}$ จะได้ (ab)c = a(bc)

สัจพจน์ที่ 8 มี $1 \in \mathcal{R},1\neq 0$ ซึ่ง a1 = 1a = a

สำหรับทุก $a \in \mathcal{R}$
สัจพจน์ที่ 9 ถ้า $a \in \mathcal{R},a \neq 0$ จะมี $a^{-1} \in \mathcal{R}$ ซึ่ง $a^{-1}a=1$
สัจพจน์ที่ 10 ถ้า $a,b \in \mathcal{R}$ จะได้ ab=ba

สัจพจน์ที่ 11 ถ้า $a,b,c \in \mathcal{R}$ แล้ว a(b+c)=ab+ac

สัจพจน์ที่ 12 มีสับเซต $\mathcal{R}^{+}$ ของ $\mathcal{R}$ ซึ่ง $0\neq \in \mathcal{R}^{+}$ และ ถ้า $a \in \mathcal{R}$ และ $a\neq 0$ แล้ว $a\in \mathcal{R}^{+}$ หรือ $-a\in \mathcal{R}^{+}$ ประการใดประการหนึ่ง
สัจพจน์ที่ 13 ถ้า $a,b\in \mathcal{R}^{+}$ แล้ว $a+b\in \mathcal{R}^{+}$
สัจพจน์ที่ 14 ถ้า $a,b\in \mathcal{R}^{+}$ แล้ว $ab\in \mathcal{R}^{+}$
สัจพจน์ที่ 15 ถ้า $S\neq \emptyset, S\subset\mathcal{R}$ และ

มีขอบเขตบนแล้ว

จะมีขอบเขตบนน้อยที่สุด

ตัวอย่างที่ 1 ให้ S = [2,8]

จะได้ว่า 8 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 8 เป็นขอบเขตบนของ 8 และขอบเขตบนที่น้อยที่สุดคือ 8

ตัวอย่างที่ 2 ให้ S = (3,5)

จะได้ว่า 5 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 5 เป็นขอบเขตบนของ 8 และ ขอบเขตบนที่น้อยที่สุด คือ 5

ตัวอย่างที่ 3 ให้ $S = \{0,7,3,5\}$
จะได้ว่า 7 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 7 เป็นขอบเขตบนของ 5 และขอบเขตบนที่น้อยที่สุดคือ 7

ตัวอย่างที่ 4 ให้ $S = [-1, \infty)$
จะได้ว่า

ไม่มีขอบเขตบน

ตัวอย่างที่ 5 ให้ $S = \emptyset$
จะได้ว่า จำนวนจริงทุกจำนวนเป็นขอบเขตบนของ

และ

ไม่มีขอบเขตบนที่น้อยที่สุด

จากตัวอย่าง แสดงให้พวกเราทุกคนเห็นถึงความหมายของขอบเขตบนได้ชัดเจนมากขึ้น และสามารถนำความรู้นี้มาใช้ในการตอบคำถามได้อย่างถูกต้องแม่นยำคะ

แบบฝึกหัด8

จงบอกว่าข้อความต่อไปนี้ ถูก หรือผิด

1. 32.7 เป็นขอบเขตบนของ [-40, 7.5)

2. $\pi$ เป็นขอบเขตบนของ $\{1,3,\pi\}$
3. เซตของขอบเขตบนของ [-15, -3]

คือ $[-3, \infty)$
4. $(-\infty, 100)$ มีของเขตบน
5. $(-7, \infty)$ มีขอบเขตบน
6. ขอบเขตบนของ

จะต้องเป็นสมาชิกของ

7. ขอบเขตบนของ

ต้องไม่เป็นสมาชิกของ

8. สับเซตของ

ทุกสับเซต จะต้องมีขอบเขตบน
9. เซตของจำนวนนับไม่มีขอบเขตบน

เฉลย สามารถ Download เฉลยแบบฝึกหัดได้ที่นี่ Solution.pdf

<<< หน้าก่อนนี้ (หน้า 4)

หน้าถัดไป (หน้า 6) >>>

^*หมายเหตุ งานเขียนชิ้นนี้ ได้รับการคุ้มครองสิทธิตามพระราชบัญญัติคุ้มครองสิทธิทางปัญญา โดยลิขสิทธิเป็นของผู้เขียน ที่ให้เกียรตินำเผยแพร่ผ่าน วิชาการ.คอม เรามีความยินดีและอนุญาตให้ทำซ้ำหรือเผยแพร่ต่อเพื่อประโยชน์ทางการศึกษาเท่านั้น กรุณาให้เกียรติผู้เขียน โดยอ้างชื่อผู้เขียนและ วิชาการ.คอม (www.vcharkarn.com) ทุกครั้งที่ทำการเผยแพร่ต่อ ห้ามนำส่วนหนึ่งส่วนใดไปเผยแพร่ต่อในสื่อที่เอื้อประโยชน์ทางธุรกิจก่อนได้รับอนุญาต ขอขอบคุณที่ร่วมกันช่วยสร้างให้สังคมไทยเป็นสังคมแห่งปัญญา

จำนวน 19 ความเห็น, หน้า่ | -1-

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 1 20 พ.ค. 2550 (13:34)
เขียนดีมากเลยครับให้ความรู้กับผู้อ่านทุกระดับ

แต่ผมติดอยู่นิดนึงครับตรงประโยคที่บอกว่า

"จำนวนตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่เขียนอยู่ในรูปเศษส่วน $\dfrac{a}{b}$ โดยที่

และ

เป็นจำนวนเต็ม และ $b\neq 0$ "

ผมคิดว่าน่าจะแทนคำว่า"จำนวนที่เขียน"ด้วย"จำนวนที่สามารถเขียน"ครับ

เพราะอย่างเช่น $\dfrac{1.5}{3}$ ก็เป็นจำนวนตรรกยะเหมือนกัน

Timestopper_STG

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 1647 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 199 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 2 20 พ.ค. 2550 (17:18)
ขอบคุณมากๆๆๆๆค่ะ

แต่ก่อนงงๆ

ตอนนี้ก็รู้ขึ้นมาเยอะเลย

jigkajig

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 13 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 150 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 3 20 พ.ค. 2550 (18:03)
งงหน่อยๆ - -กำ

|ด็ก|รีeu

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 2 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 150 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 4 21 พ.ค. 2550 (08:37)
ขอบคุณครับแก้ไขแล้วครับ รู้สึกว่าคนพิมพ์จะพิมพ์ตกไปครับ ถ้าพบข้อผิดพลาดกรุณาแจ้งด้วยนะครับ จะได้แก้ไขให้ถูกต้องต่อไป

จ้อ

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 1406 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 227 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 6 24 พ.ค. 2550 (10:04)
ความเห็นหาย - -

Mastermander

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 3441 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 250 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 7 30 พ.ค. 2550 (10:46)
ตัวอย่างที่ 1,2,3

จะได้ว่า 8 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 8 (เป็นขอบเขตบนของ 8 ควรแก้เป็นขอบเขตบนของเซต S) และขอบเขตบนที่น้อยที่สุดคือ 8

bug

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 20 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 152 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 8 4 มิ.ย. 2550 (19:37)
ไม่ค่อยเรื่องงสักเท่าไร เพราะยังม่ายได้เรื่องพวกนี้เลยอ่ะค่ะ เหอๆๆๆ

minihomo

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 18 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 148 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 9 7 มิ.ย. 2550 (16:43)
ช่วยได้มากเลยครับ ขอบคุณ

ศรา_อีปราส

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 591 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 155 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 10 17 มิ.ย. 2550 (21:01)
เรื่องพวกนี้ก้อยู่ในบทเรียน เรื่อง จำนวนจริง ใช่ป่ะครับ

Kakkiizz

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 7 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 150 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 11 9 ก.ค. 2550 (09:42)
ผลต่ากำลังสอง ผิดค่ะ ที่ถูกต้องเป็น

a^2-b^2 = (a+b)(a-b) 8jt

benjy_BM

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 2 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 151 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 12 9 ก.ค. 2550 (09:45)
ผลต่างกำลังสอง สูตรข้างบนผิดค่ะ ที่ถูกต้องเป็น

a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) ค่ะ

benjy_BM

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 13 13 ก.ค. 2550 (23:19)
เขียนได้เยี่ยมมาก แต่การหารสังเคราะผมไม่เข้าใจช่วยอธิบายเพิ่มเติมหน่อยครับ ตัวอย่างให้มาตัวอย่งเดียว ผมงงครับ

jamesad123

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 2 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 149 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 14 18 ก.ค. 2550 (19:11)
มีไรมาถามงับอาจารย์ถามว่า0.9999... กับ 1 เท่าหรือไม่ ทุกคนในห้องบอกไม่เท่าอาจารย์เลยถามต่อว่า"ถ้าไม่เท่าแล้วห่างกันเท่าไร"ทุกคนตอบไม่ได้ แล้วที่อาจารย์ผมพูดจิงอะเปล่าอะอย่าตอบว่าไม่จิงเพราะห่างกัน0.000....1ละมานไม่มีในโลก

Haaaaaaaaaa

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 4 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 150 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 15 26 ส.ค. 2550 (23:56)

อยากได้ข้อมูลเรื่องวิวัฒนาการของตัวเลขครับ

sodae12

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 1 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 151 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 16 11 พ.ย. 2550 (15:09)
ขอบคุณมากเลยค่ะ กำลังทำรายงานส่งอาจารย์เรื่องอสมการอยู่พอดีเลย

zombigirl

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 3 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 149 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 17 16 ธ.ค. 2550 (16:16)
1. (x-6)(x+3) = 0
2. -y+4 = -3

จะแก้สมการยังไงช่วยตอบทีค่ะ

vatahi

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 1 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 150 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 18 21 ม.ค. 2551 (14:48)

ลองเข้าครับ ....

model

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 3 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 120 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 19 21 ม.ค. 2551 (14:52)
ตอนนี้ผมเรียนอยู่ป.5ครับ งัยก็ลบกวนพี่ๆ้วยนะครับ

model

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 20 21 ม.ค. 2551 (15:03)
ผมไม่เข้าใจเรื่องแกนสมมาตร ช่วยอธิบายให้หน่อยครับ

model

กรุณา login เพื่อ comment งานเขียนนี้

???? สมัครสมาชิก ฟรี ตลอดชีพ

dummy user
(ผู้ใช้ทดสอบ ที่ไม่มีตัวตน)

ผู้ชมข้อมูลนี้แล้ว 33,141 ครั้ง
เป็นสมาชิก: นานกว่า 7 ปี
แบ่งปันความรู้ 37 ครั้ง
ได้รับดาว 237 ดวง

โหวตเพิ่มดาว

บทความอื่น

จำนวนจริง [40,788]

?????? 0 ?????? ?? ??????????????????

บทความแนะนำ

การเกิด สึนามิ [520,262]

GMO พันธุวิศวกรรมศาสตร์ นางฟ้า หรือ ซาตาน [371,473]

Blog แนะนำ

นำชัย ชวนคิด ฝัน และสรรค์สร้างสังคมไทย ด้วยวิทยาศาสตร์ เทคโนโลยี และธรรม [279,466]

Global Warming { English } [116,116]

Hot Links

คลังข้อสอบ | ข่าววิชาการ
เล่นกล/เกม | อ่านนิยาย
ข่าวทุนการศึกษา | ลิงค์

ขอบคุณผู้สนับสนุน

วิชาการ.คอม คือ ใคร? || กฏ กติกา มารยาท || ติดต่อลงโฆษณา || ร่วมงานกับเรา

ติดต่อลงโฆษณา :	คุณอันนา 081 4965363
สำนักงาน :	02 2015735
อีเมล์ :

คลิ๊กเพื่อดูสถิติ

รับรองและสนับสนุนโดย

สสวท.

มูลนิธิ พสวท.

พสวท.

login:
password:

	ล๊อกอินแบบถาวร