วิชาการ.คอม - ลำดับและอนุกรม (1.1 ลำดับ (Sequence) คืออะไร ?)

คุณยังไม่ได้ Log in | สมัครสมาชิก ฟรี

กลับหน้าแรก วิชาการ.คอม

ลำดับและอนุกรม

ผู้เขียน: ดร. ธีรเดช เจียรสุขสกุล ชมแล้ว: 74,630 ครั้ง

post ครั้งแรก: Wed 30 May 2007, 2:00 pm ปรับปรุงล่าสุด: Mon 18 June 2007, 4:22 pm

อยู่ในส่วน: คณิตศาสตร์

สารบัญ

หน้า : 1 1.1 ลำดับ (Sequence) คืออะไร ?
หน้า : 2 1.2 กราฟของลำดับ
หน้า : 3 1.3 ลิมิตของลำดับ
หน้า : 4 1.4 ลำดับทางเดียว ( Monotone Sequence )
หน้า : 5 1.5 ลำดับที่มีขอบเขต ( Bounded Sequences )
หน้า : 6 2.1 อนุกรมอนันต์ ( Infinite Series )
หน้า : 7 2.2 อนุกรมชนิดต่าง ๆ ที่สำคัญ
หน้า : 8 2.3 การทดสอบการลู่เข้า และการลู่ออกของอนุกรม
หน้า : 9 2.4 อนุกรมสลับ ( Alternating Series )
หน้า : 10 2.5 การลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ และ แบบมีเงื่อนไข ( Absolute and Conditional Convergence )
หน้า : 11 2.6 อนุกรมกำลัง ( Power Series )
หน้า : 12 2.7 อนุกรมเทย์เลอร์ และอนุกรมแมคคลอรีน ( Taylor and Maclaurin Series )

หน้าที่ 1 - 1.1 ลำดับ (Sequence) คืออะไร ?

ถ้าน้อง ๆ เคยเห็นข้อสอบวัดไอคิว อาจเคยเห็นข้อสอบ ประเภทให้ตัวเลขมา 3-4 ตัว แล้วถามว่า ตัวเลขถัดไปจะเป็นอะไร ตัวอย่างเช่น 1, 2, 4, 7, .... แล้วตัวต่อไปจะเป็นอะไร จากนั้นก็จะมีการพัฒนาข้อสอบเป็น ลำดับรูปภาพต่าง ๆ ให้ได้คิดกัน นอกจากนี้ ในชีวิตประจำวันของ ยังคุ้นเคยกับคำว่า ลำดับ คือ การเรียงกันของสิ่งของ หรือเหตุการณ์ต่าง ๆ

ลำดับตัวเลข คือ ฟังก์ชันที่นิยามบนเซตของจำนวนเต็มบวก ตัวเลขในลำดับแต่ละตัวเรียกว่า “พจน์ (term)” หรือเราสามารถนิยามได้ว่า ลำดับ คือ เซตของจำนวนที่เรียงเป็น $a_1, a_2, a_3, \ldots$ โดยมีการเรียงที่เป็นแบบแผนขั้นตอน เลขที่ห้อยอยู่บอกถึงตำแหน่งของเลขในลำดับนั้น

ตัวอย่างเช่น

$1, 3, 5, 7, \ldots$ และ $2, 4, 8, 16, \ldots$

จากตัวอย่างที่ 1 เลขลำดับที่ 1 คือ 1, ลำดับที่ 2 คือ 3, ลำดับที่ 3 คือ 5, . . ., แล้ว เราสามารถหารูปแบบได้ว่า ลำดับที่ n^th ( a_n

) คือ

ได้อย่างไม่ยาก

ส่วนตัวอย่างที่ 2 เลขลำดับที่ 1 คือ 2, ลำดับที่ 2 คือ 4, ลำดับที่ 3 คือ 8, . . ., แล้ว เราสามารถหารูปแบบได้ว่า ลำดับที่ n^th ( a_n

) คือ

ได้อย่างไม่ยากเช่นกัน

การเขียนแทนลำดับนอกจาก $a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n,\ldots$ หรือ $\{a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n,\ldots\}$ แล้ว เรายังสามารถเขียนได้ในรูป $\{ a_n \}^{\infty}_{n=1}$ หรือ $\{a_n\}$ เรียกว่า “Bracket notation” ซึ่งแทนลำดับที่มีพจน์ทั่วไป เป็น a_n

เรียก

ว่าพจน์ ที่ 1 ของลำดับ
เรียก a_2

ว่าพจน์ ที่ 2 ของลำดับ
เรียก a_3

ว่าพจน์ ที่ 3 ของลำดับ
......................................................
เรียก a_n

ว่าพจน์ ที่ n ของลำดับ

จะเห็นได้ว่าลำดับเป็นเซตของจำนวนที่เรียงลำดับกันภายใต้กฎเกณฑ์ อย่างใดอย่างหนึ่งร่วมกัน ลำดับที่มีพจน์เป็นจำนวนจำกัด เรียกว่า ลำดับจำกัด ( Finite Sequence ) ลำดับที่มีจำนวนพจน์ ไม่จำกัด เรียกว่า ลำดับอนันต์ ( Infinite Sequence )

การกำหนดลำดับหนึ่ง มักจะบอกโดยสูตร สำหรับพจน์ที่ n ในลำดับนั้น เช่น ลำดับ $2,4,6,8,\ldots$ อาจจะบอกโดย $2,4,6,8,\ldots,2n,\ldots$ เมื่อ

เป็นจำนวนเต็มบวกหรือเขียนให้กระชับขึ้นโดยใช้สัญลักษณ์ $\{2n\}^{+\infty}_{n=1}$ ในสัญลักษณ์ นี้ แต่ละพจน์เกิดจากการแทนจำนวนเต็ม $n = 1,2,3,\ldots$ ลงในสูตร

ตัวอย่าง 1 จงเขียน 5 พจน์แรกของลำดับ $\{2^n\}^{+\infty}_{n=1}$
วิธีทำ แทน n=1,2,3,4,5

ลงในสูตร

ได้
$2^1,2^2,2^3,2^4,2^5,\ldots$ หรือ $2,4,8,16,,32,\ldots$

ตัวอย่าง 2 จงเขียนลำดับต่อนี้ในรูป Bracket notation

(ก) $\displaystyle{\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\ldots}$ ตอบ $\displaystyle{\{\frac{n}{n+1}\}}$	(ข) $\displaystyle{\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16},\ldots}$ ตอบ $\displaystyle{\{\frac{1}{2^n}\}}$
(ค) $1,-1,1,-1,\ldots$ ตอบ $\displaystyle{\{(-1)^{n+1}\}}$	(ง) $\displaystyle{\frac{1}{2},-\frac{2}{3},\frac{3}{4},-\frac{4}{5},\ldots}$ ตอบ $\displaystyle{\{(-1)^{n+1}\frac{n}{n+1}\}}$
(จ) $1,3,5,7,\ldots$ ตอบ $\{2n-1\}$

ข้อสังเกต อักษร

และ

อาจจะใช้ตัวอักษร อื่นแทนได้ เช่น a_n

อาจจะแทนด้วย b_k

ก็ได้ จากที่กล่าวมาข้างต้นจะเห็นว่าในการเขียนลำดับ
$2,4,8,16,32,\ldots,2^n,\ldots$ หรือ $\{2^n\}^{+\infty}_{n=1}$ (1)
เป็นการกำหนดความเกี่ยวข้องระหว่างจำนวน 2^n

และจำนวนเต็มบวก

ซึ่งกล่าวได้อีกแบบหนึ่งว่า $\{2^n\}^{+\infty}_{n=1}$ เป็นสูตรสำหรับฟังก์ชันที่มีตัวแปรอิสระคือ

แปรค่าบนจำนวนเต็มบวก ดังนั้น อาจจะเขียน (1) ในรูปฟังก์ชันเป็น f(n) = 2^n

, $n=1,2,3,\ldots$ และ $2,4,8,16,32,\ldots,2^n,\ldots$ แทนฟังก์ชัน $f(1),f(2),f(3),\ldots,f(n),\ldots$

เนื่องจากทุกลำดับมีโดเมน คือ เซตของจำนวนเต็มบวกเหมือนกัน ดังนั้น ต่อไปจะเขียน $\{a_n\}$ แทน $\{a_n\}^{+\infty}_{n=1}$ หรือ $\{f(n)\}$ แทน $\{f(n)\}^{+\infty}_{n=1}$

ลำดับอนันต์ (Infinite Sequence) คือ ลำดับที่ไม่มีจุดจบ เช่น ลำดับของจำนวนนับ 1, 2, 3, ...
ลำดับจำกัด (Finite Sequence) คือ ลำดับที่มีจำนวนพจน์จำกัด ตัวอย่างเช่น ลำดับหน้าของหนังสือเล่มหนึ่ง

ลำดับชนิดพิเศษ

1) ลำดับเลขคณิต (Arithmetic sequence)
ลำดับเลขคณิต เป็น ลำดับเลขที่แต่ละพจน์หลังจากพจน์แรกมีค่าเพิ่มขึ้น หรือลดลง จากพจน์หน้าที่ติดกัน ด้วยค่าต่างคงที่ เรียกว่า ผลต่างร่วมของลำดับ
ตัวอย่างเช่น 3, 6, 9, 12, . . .

เราทราบว่าลำดับนี้เป็นลำดับเลขคณิต เพราะ มีผลต่างร่วม = 3 = 12 -9 = 9 -6 = 6 -3
ถ้าเราแทนพจน์แรกด้วย a_1

, และพจน์ที่

ด้วย

เราจะได้ว่า a_i = a_1 + 3(i-1) = 3+ (3i-3) = 3i

ดังนั้นเราจึงมีสูตรว่า a_i = a_1 + d(i -1)

เมื่อ

แทนผลต่างร่วมของลำดับนี้

2) ลำดับเรขาคณิต (Geometric sequence)
ลำดับเรขาคณิต เป็น ลำดับเลขที่แต่ละพจน์หลังจากพจน์แรกมีค่าเพิ่มขึ้น หรือลดลง โดยการคูณพจน์หน้าที่ติดกัน ด้วยค่าคงที่ เรียกว่า อัตราส่วนร่วมของลำดับ
ตัวอย่างเช่น 2, 4, 8, 16, . . .

เราทราบว่าลำดับนี้เป็นลำดับเรขาคณิต เพราะ มีอัตราส่วนร่วม = 2 = 4 / 2 = 8 / 4 = 16 / 8

ถ้าเราแทนพจน์แรกด้วย a_1

, และพจน์ที่

ด้วย

เราจะได้ว่า $a_i = a_1 2^{(i-1)} = 2(2^{(i-1)}) = 2^{i}$

ดังนั้นเราจึงมีสูตรว่า $a_i = a_1 r^{(i-1)}$ เมื่อ

แทนอัตราส่วนร่วมของลำดับนี้

หน้าถัดไป (หน้า 2) >>>

^*หมายเหตุ งานเขียนชิ้นนี้ ได้รับการคุ้มครองสิทธิตามพระราชบัญญัติคุ้มครองสิทธิทางปัญญา โดยลิขสิทธิเป็นของผู้เขียน ที่ให้เกียรตินำเผยแพร่ผ่าน วิชาการ.คอม เรามีความยินดีและอนุญาตให้ทำซ้ำหรือเผยแพร่ต่อเพื่อประโยชน์ทางการศึกษาเท่านั้น กรุณาให้เกียรติผู้เขียน โดยอ้างชื่อผู้เขียนและ วิชาการ.คอม (www.vcharkarn.com) ทุกครั้งที่ทำการเผยแพร่ต่อ ห้ามนำส่วนหนึ่งส่วนใดไปเผยแพร่ต่อในสื่อที่เอื้อประโยชน์ทางธุรกิจก่อนได้รับอนุญาต ขอขอบคุณที่ร่วมกันช่วยสร้างให้สังคมไทยเป็นสังคมแห่งปัญญา

จำนวน 6 ความเห็น, หน้า่ | -1-

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 3 11 ก.ค. 2550 (21:17)
อยากถามว่า ในลำดับนี้ ค่า n=0 ได้ไหม ถ้าไม่ได้เพราะอะไร
แล้วก็สูตรที่อาจารย์ใช้สอนในการหาค่า 3 พจน์ ของลำดับ เช่น การหาค่า 3 พจน์ของลำดับเลขาคณิตที่มีสูตรว่า a/r,a,ar อะไรประมาณนี้มันขัดกับนิยามหรือไม่ เพราะที่อาจารย์เคยสอน เขาบอกว่าa1 เป็นลำดับแรกสุดของลำดับต่างๆ

Runa-Light

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 3 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 153 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 4 20 ก.ย. 2550 (14:52)
จากความเห็นเพิ่มเติมที่ 3 นะครับ
ผมว่า น่าจะไม่ขัดนะครับ เพราะว่า a/r , a ,ar เป็นการเขียนในรูปของกรณีสมมุติพจน์ใดๆมา 3 พจน์ นั่นหมายความว่า a/r คือพจน์ที่อยู่ก่อนหน้าพจน์ a 1 ลำดับ ซึ่งการเขียนกรณีนี้ได้ต้องครอบคลุม คือพจน์ของ a/r จะเป็นได้ต่ำสุดก็คือพจน์ที่ 1 จึงสามาถนำไปใช้ได้ แต่ข้อจำกัดอื่นๆ จะต้องสอดคล้องกับทฤษฎีด้วยประมานนี้
นี่เป็นความคิดเห็นส่วนตัวนะครับ ผิดพลาดประการใด ก็ขออภัยและโปรดชี้แจงด้วยครับ
^^ O_O @_@

divine_sg

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 3 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 150 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 5 26 ก.ย. 2550 (17:39)
ขอบคุงมากๆครับ

Halo

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 1 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 150 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 6 13 พ.ย. 2550 (17:55)
ขอบคุณมากครับ...

bobs

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 7 28 พ.ย. 2550 (17:43)
จาก ทฤษฎีบท 2.4.1 การทดสอบอนุกรมสลับ
จริงหรอคะที่ถ้าขาดคุณสมบัติข้อใดข้อหนึ่ง สรุปได้ทันทีว่า เป็นอนุกรมลู่ออก
เหมือนเคยอ่านเจอว่า ถ้าขาดข้อ2 สรุปได้ทันที แต่ถ้าขาดข้ออื่นจะสรุปไม่ได้

fon155