ลำดับและอนุกรม

1.1 ลำดับ (Sequence) คืออะไร ?

ถ้าน้อง ๆ เคยเห็นข้อสอบวัดไอคิว อาจเคยเห็นข้อสอบ ประเภทให้ตัวเลขมา 3-4 ตัว แล้วถามว่า ตัวเลขถัดไปจะเป็นอะไร ตัวอย่างเช่น 1, 2, 4, 7, .... แล้วตัวต่อไปจะเป็นอะไร จากนั้นก็จะมีการพัฒนาข้อสอบเป็น ลำดับรูปภาพต่าง ๆ ให้ได้คิดกัน นอกจากนี้ ในชีวิตประจำวันของ ยังคุ้นเคยกับคำว่า ลำดับ คือ การเรียงกันของสิ่งของ หรือเหตุการณ์ต่าง ๆ ลำดับตัวเลข คือ ฟังก์ชันที่นิยามบนเซตของจำนวนเต็มบวก ตัวเลขในลำดับแต่ละตัวเรียกว่า “พจน์ (term)” หรือเราสามารถนิยามได้ว่า ลำดับ คือ เซตของจำนวนที่เรียงเป็น a_1, a_2, a_3, ldots โดยมีการเรียงที่เป็นแบบแผนขั้นตอน เลขที่ห้อยอยู่บอกถึงตำแหน่งของเลขในลำดับนั้น ตัวอย่างเช่น 1, 3, 5, 7, ldots และ 2, 4, 8, 16, ldots จากตัวอย่างที่ 1 เลขลำดับที่ 1 คือ 1, ลำดับที่ 2 คือ 3, ลำดับที่ 3 คือ 5, . . ., แล้ว เราสามารถหารูปแบบได้ว่า ลำดับที่ nth (a_n) คือ 2n -1 ได้อย่างไม่ยาก ส่วนตัวอย่างที่ 2 เลขลำดับที่ 1 คือ 2, ลำดับที่ 2 คือ 4, ลำดับที่ 3 คือ 8, . . ., แล้ว เราสามารถหารูปแบบได้ว่า ลำดับที่ nth (a_n) คือ 2^n ได้อย่างไม่ยากเช่นกัน การเขียนแทนลำดับนอกจาก a_1,a_2,a_3,ldots,a_n,ldots หรือ {a_1,a_2,a_3,ldots,a_n,ldots} แล้ว เรายังสามารถเขียนได้ในรูป { a_n }^{infty}_{n=1} หรือ {a_n} เรียกว่า “Bracket notation” ซึ่งแทนลำดับที่มีพจน์ทั่วไป เป็น a_n เรียก a_1 ว่าพจน์ ที่ 1 ของลำดับ เรียก a_2 ว่าพจน์ ที่ 2 ของลำดับ เรียก a_3 ว่าพจน์ ที่ 3 ของลำดับ ...................................................... เรียก a_n ว่าพจน์ ที่ n ของลำดับ จะเห็นได้ว่าลำดับเป็นเซตของจำนวนที่เรียงลำดับกันภายใต้กฎเกณฑ์ อย่างใดอย่างหนึ่งร่วมกัน ลำดับที่มีพจน์เป็นจำนวนจำกัด เรียกว่า ลำดับจำกัด ( Finite Sequence ) ลำดับที่มีจำนวนพจน์ ไม่จำกัด เรียกว่า ลำดับอนันต์ ( Infinite Sequence ) การกำหนดลำดับหนึ่ง มักจะบอกโดยสูตร สำหรับพจน์ที่ n ในลำดับนั้น เช่น ลำดับ 2,4,6,8,ldots อาจจะบอกโดย 2,4,6,8,ldots,2n,ldots เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกหรือเขียนให้กระชับขึ้นโดยใช้สัญลักษณ์ {2n}^{+infty}_{n=1} ในสัญลักษณ์ นี้ แต่ละพจน์เกิดจากการแทนจำนวนเต็ม n = 1,2,3,ldots ลงในสูตร 2n

ตัวอย่าง 1 จงเขียน 5 พจน์แรกของลำดับ {2^n}^{+infty}_{n=1} วิธีทำ แทน n=1,2,3,4,5 ลงในสูตร 2^n ได้ 2^1,2^2,2^3,2^4,2^5,ldots หรือ 2,4,8,16,,32,ldots ตัวอย่าง 2 จงเขียนลำดับต่อนี้ในรูป Bracket notation
(ก) displaystyle{frac{1}{2},frac{2}{3},frac{3}{4},frac{4}{5},ldots}
ตอบdisplaystyle{{frac{n}{n+1}}}
(ข) displaystyle{frac{1}{2},frac{1}{4},frac{1}{8},frac{1}{16},ldots}
ตอบdisplaystyle{{frac{1}{2^n}}}
(ค) 1,-1,1,-1,ldots
ตอบdisplaystyle{{(-1)^{n+1}}}
(ง) displaystyle{frac{1}{2},-frac{2}{3},frac{3}{4},-frac{4}{5},ldots}
ตอบdisplaystyle{{(-1)^{n+1}frac{n}{n+1}}}
(จ) 1,3,5,7,ldots
ตอบ{2n-1}
ข้อสังเกต อักษร a และ n อาจจะใช้ตัวอักษร อื่นแทนได้ เช่น a_n อาจจะแทนด้วย b_k ก็ได้ จากที่กล่าวมาข้างต้นจะเห็นว่าในการเขียนลำดับ 2,4,8,16,32,ldots,2^n,ldots หรือ {2^n}^{+infty}_{n=1} (1) เป็นการกำหนดความเกี่ยวข้องระหว่างจำนวน 2^n และจำนวนเต็มบวก n ซึ่งกล่าวได้อีกแบบหนึ่งว่า {2^n}^{+infty}_{n=1} เป็นสูตรสำหรับฟังก์ชันที่มีตัวแปรอิสระคือ n แปรค่าบนจำนวนเต็มบวก ดังนั้น อาจจะเขียน (1) ในรูปฟังก์ชันเป็น f(n) = 2^n , n=1,2,3,ldots และ 2,4,8,16,32,ldots,2^n,ldots แทนฟังก์ชัน f(1),f(2),f(3),ldots,f(n),ldots เนื่องจากทุกลำดับมีโดเมน คือ เซตของจำนวนเต็มบวกเหมือนกัน ดังนั้น ต่อไปจะเขียน {a_n} แทน {a_n}^{+infty}_{n=1} หรือ {f(n)} แทน {f(n)}^{+infty}_{n=1} ลำดับอนันต์ (Infinite Sequence) คือ ลำดับที่ไม่มีจุดจบ เช่น ลำดับของจำนวนนับ 1, 2, 3, ... ลำดับจำกัด (Finite Sequence) คือ ลำดับที่มีจำนวนพจน์จำกัด ตัวอย่างเช่น ลำดับหน้าของหนังสือเล่มหนึ่ง ลำดับชนิดพิเศษ 1) ลำดับเลขคณิต (Arithmetic sequence) ลำดับเลขคณิต เป็น ลำดับเลขที่แต่ละพจน์หลังจากพจน์แรกมีค่าเพิ่มขึ้น หรือลดลง จากพจน์หน้าที่ติดกัน ด้วยค่าต่างคงที่ เรียกว่า ผลต่างร่วมของลำดับ ตัวอย่างเช่น 3, 6, 9, 12, . . . เราทราบว่าลำดับนี้เป็นลำดับเลขคณิต เพราะ มีผลต่างร่วม = 3 = 12 -9 = 9 -6 = 6 -3 ถ้าเราแทนพจน์แรกด้วย a_1, และพจน์ที่  i ด้วย a_i เราจะได้ว่า a_i = a_1 + 3(i-1) = 3+ (3i-3) = 3i ดังนั้นเราจึงมีสูตรว่า a_i = a_1 + d(i -1) เมื่อ d แทนผลต่างร่วมของลำดับนี้ 2) ลำดับเรขาคณิต (Geometric sequence) ลำดับเรขาคณิต เป็น ลำดับเลขที่แต่ละพจน์หลังจากพจน์แรกมีค่าเพิ่มขึ้น หรือลดลง โดยการคูณพจน์หน้าที่ติดกัน ด้วยค่าคงที่ เรียกว่า อัตราส่วนร่วมของลำดับ ตัวอย่างเช่น 2, 4, 8, 16, . . . เราทราบว่าลำดับนี้เป็นลำดับเรขาคณิต เพราะ มีอัตราส่วนร่วม = 2 = 4 / 2 = 8 / 4 = 16 / 8 ถ้าเราแทนพจน์แรกด้วย a_1, และพจน์ที่ i ด้วย a_i เราจะได้ว่า a_i = a_1 2^{(i-1)} =  2(2^{(i-1)})  =  2^{i} ดังนั้นเราจึงมีสูตรว่า a_i = a_1 r^{(i-1)} เมื่อ r แทนอัตราส่วนร่วมของลำดับนี้

1.2 กราฟของลำดับ

เนื่องจากลำดับ คือ ฟังก์ชัน เราอาจเขียนกราฟ ของลำดับได้ ดังตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่าง 1.2.1 ลำดับ {displaystyle{frac{n-1}{n}}} มีกราฟดังนี้ ตัวอย่าง 1.2 .2 ลำดับ {displaystyle{frac{(-1)^{n+1}(n-1)}{n}}} มีกราฟดังนี้ ตัวอย่าง 1.2.3 ลำดับ {3,3,3,ldots} มีกราฟดังนี้ จากกราฟทั้งสามของลำดับ ซึ่งเป็น กราฟที่ไม่ต่อเนื่อง ( Discontinuous curve ) ได้ว่า กราฟของ (3.1) และ (3.3) นั้น จะมีค่าลู่เข้าสู่ 1 และ 3 ตามลำดับ ส่วน กราฟของ (3.2) จะมีการแกว่งไปมา ไม่ลู่เข้าสู่ค่าใดเลย

แบบฝึกหัด จงวาดกราฟของลำดับต่อไปนี้ {n+1} , displaystyle{{1+left(frac{-1}{2} right)^n}} และ displaystyle{{nsinleft( frac{npi}{2}right)}}

1.3 ลิมิตของลำดับ

ในการที่จะกล่าวว่า ลำดับ {a_n} เข้าใกล้ลิมิต L เมื่อ n มีค่ามากขึ้น นั่นหมายถึงว่าพจน์ในลำดับนั้นมีค่าเข้าใกล้จำนวน L ดังนั้น ถ้าเราเลือกจำนวนบวก epsilon ใดๆ พจน์ต่างๆ ในลำดับนั้นจะต่างจาก L ไม่เกิน pmepsilon นั่นคือ ถ้าลากเส้น y = L + epsilon และ y = L - epsilon แล้วพจน์ในลำดับนั้นจะถูกกักอยู่ภายในแถบระหว่างเส้นทั้งสอง

นิยาม1.3.1 จะเรียกว่าลำดับ y = L + epsilon มีลิมิต L ถ้ากำหนด epsilon >0 ใดๆ แล้วมีจำนวนเต็มบวก N โดยที่ |a_n-L|<epsilon เมื่อ nleq N
ถ้า ลำดับ y = L + epsilon มีลิมิต L แล้วเรากล่าวว่าลำดับ คอนเวอร์จ หรือลู่เข้า และเขียน เขียน ^{lim}_{nrightarrowinfty} a_n = L และเรียกลำดับที่ไม่มีลิมิตว่า ไดเวอร์จ หรือ ลู่ออก การคำนวณค่าลิมิตของลำดับ ( Calculating limit of Sequence )
ทฤษฎีบท 1.3.2 กำหนดให้ {a_n} และ {b_n} เป็นลำดับของจำนวนจริง และ A, B, k เป็นจำนวนจริง ถ้า ^{lim}_{nrightarrowinfty} a_n = A และ ^{lim}_{nrightarrowinfty} b_n = B แล้วจะได้ว่า 1. ^{lim}_{nrightarrowinfty } (a_n+b_n) = A+B ( Sum Rule ) 2. ^{lim}_{nrightarrowinfty } (a_n-b_n) = A-B ( Difference Rule ) 3. ^{lim}_{nrightarrowinfty } (a_ncdot b_n) = Acdot B ( Product Rule ) 4. displaystyle{^{lim}_{nrightarrowinfty } frac{a_n}{b_n} = frac{A}{B}} , Bneq 0 ( Qutient Rule ) 5. ^{lim}_{nrightarrowinfty } k b_n = k B ( Constant Multiple Rule )
ทฤษฎีบท 1.3.3 ถ้าให้ f(x) เป็นฟังก์ชันที่นิยามสำหรับ x>n_0 และ {a_n} เป็นลำดับของจำนวนจริง ซึ่งทำให้ a_n = f(n) สำหรับ n>n_0 แล้วจะได้ว่า ถ้า ^{lim}_{xrightarrowinfty } f(x) = L แล้ว ^{lim}_{nrightarrowinfty } a_n = L
จาก ท.บ. 1.3.2 ถ้าในการคำนวณ ^{lim}_{xrightarrowinfty } f(x) = L ได้ลิมิตอยู่ในรูป displaystyle{frac{0}{0}} หรือ displaystyle{frac{infty}{infty}} ควรใช้กฎของโลปิตาล หรือ วิธีการแยกตัวประกอบ หรือ แยกแฟกเตอร์ ช่วยในการหาลิมิต ลำดับต่อไปนี้เป็นลำดับลู่เข้าหรือไม่? 1. displaystyle{{frac{1-6n^4}{n^2+8n^3}}} ตอบ ลู่เข้า -6 2. displaystyle{{frac{n^2-2n+1}{n-1}}} ตอบ ลู่ออก 3. displaystyle{{frac{2^{1000}+2^{n-1}+3^{n-2}}{2^n+3^n+5}}} ตอบ ลู่เข้า displaystyle{frac{1}{9}} 4. displaystyle{{n-sqrt{n^2-n}}} ตอบ ลู่เข้า displaystyle{frac{1}{2}} 5. displaystyle{{ln{n}-ln{(2n^3+1)}}} ตอบ ลู่ออก ในการตรวจสอบการลู่เข้าหรือลู่ออกของลำดับที่มีความซับซ้อนนั้นจำเป็นต้องหาลิมิตในรูปแบบไม่กำหนดลักษณะต่างๆ ( pmfrac{infty}{infty}, 0cdot(pminfty), 0^0, pminfty^0, 1^{pminfty}, (pminfty)(pminfty)) ซึ่งลิมิตที่ควรรู้จักมีดังนี้ 1) displaystyle{^{lim}_{nrightarrowinfty } frac{ln n}{n} = 0} 2) displaystyle{^{lim}_{nrightarrowinfty } sqrt[n]{n}= 1} 3) displaystyle{^{lim}_{nrightarrowinfty } frac{sin left(frac{1}{n}right)}{frac{1}{n}} = 1} 4) displaystyle{^{lim}_{nrightarrowinfty } c^{frac{1}{n}} = 1}, c > 0 5) displaystyle{^{lim}_{nrightarrowinfty } c^{n} = 0}, c > 0 6) displaystyle{^{lim}_{nrightarrowinfty } frac{c^{n}}{n!} = 0} 7) displaystyle{^{lim}_{nrightarrowinfty } left( 1+frac{x}{n}right)^{n} = e^x}, c > 0 กรณี 4)-6) c เป็นค่าคงที่
โจทย์ จงทดสอบลำดับอนันต์ displaystyle{left{left(frac{1+n}{n-1}right)^nright}} ตอบ ใส่ ln เข้าไปหน้าฟังก์ชัน displaystyle{left(frac{1+x}{x-1}right)^x} ก่อนใช้กฎโลปิตาล แล้วจะได้ว่า ลำดับนี้ลู่เข้า e^2
ทฤษฎีบท 1.3.4 ( The Sandwich Theorem of Sequence ) ให้ {a_n} และ {b_n} และ {c_n} เป็นลำดับของจำนวนจริง โดยที่ a_nleq b_n leq c_n ทุกๆค่า n ถ้า ^{lim}_{nrightarrowinfty } a_n = ^{lim}_{nrightarrowinfty } c_n = L แล้วจะได้ว่า ^{lim}_{nrightarrowinfty } b_n = L
ตัวอย่าง จงแสดงว่าลำดับ displaystyle{left{frac{sin n}{n}right}} ลู่เข้า วิธีทำ เราทราบว่า displaystyle{-frac{1}{n}leq frac{sin n}{n}leq frac{1}{n}} และเพราะ displaystyle{^{lim}_{nrightarrowinfty } frac{-1}{n} = ^{lim}_{nrightarrowinfty } frac{1}{n} = 0} เราจึงสรุปได้ว่า displaystyle{^{lim}_{nrightarrowinfty } frac{sin n}{n} = 0} ด้วย โดยทฤษฎีบท 1.3.4
ทฤษฎีบท 1.3.5 ( The Continuous Function Theorem for sequence ) ให้ {a_n} เป็นลำดับของจำนวนจริง ซึ่ง ^{lim}_{nrightarrowinfty } a_n = L และ f เป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่อง ที่ นิยาม ที่ a_n ทุกค่า n แล้ว ^{lim}_{nrightarrowinfty } f(a_n) = f(L) หมายเหตุ อาจเขียนได้ว่า a_nrightarrow L แล้ว f(a_n)rightarrow f(L)
ตัวอย่าง ลำดับ displaystyle{left{sin left(frac{npi+2}{2n}right)right}} เป็นลำดับลู่เข้าหรือไม่ วิธีทำ เนื่องจาก displaystyle{^{lim}_{nrightarrowinfty }  frac{npi+2}{2n}  = frac{pi}{2}} จึงได้ว่า displaystyle{^{lim}_{nrightarrowinfty } sin left(frac{npi+2}{2n}right)  = sinleft(frac{pi}{2}right) = 1}

1.4 ลำดับทางเดียว ( Monotone Sequence )

นิยาม 1.4.1 จะเรียกลำดับ {a_n} ว่า - เป็นลำดับเพิ่ม ถ้า a_1<a_2<a_3<ldots<a_n<ldots - เป็นลำดับไม่ลด ถ้า a_1leq a_2 leq a_3leqldotsleq a_nleq ldots - เป็นลำดับลด ถ้า a_1>a_2>a_3>ldots>a_n>ldots - เป็นลำดับไม่เพิ่ม ถ้า a_1geq a_2 geq a_3geqldotsgeq a_ngeq ldots เรียกลำดับที่เป็นลำดับไม่ลด หรือเป็นลำดับไม่เพิ่มว่า ลำดับทางเดียว ( monotone ) และ เรียก ลำดับที่เป็นลำดับเพิ่ม หรือเป็นลำดับลดว่า ลำดับทางเดียวโดยแท้ ( strictly monotone ) นั่นคือ ลำดับทางเดียวโดยแท้ จะเป็นลำดับทางเดียวด้วย ( แต่บทกลับไม่จริง )
ตัวอย่าง 1 displaystyle{frac{1}{2},frac{2}{3},frac{3}{4},ldots,frac{n}{n+1},ldots} เป็นลำดับเพิ่ม (1) displaystyle{1,frac{1}{2},frac{1}{3},ldots,frac{1}{n},ldots} เป็นลำดับลด (2) displaystyle{1,1,2,2,3,3,ldots} เป็นลำดับไม่ลด (3) displaystyle{1,1,frac{1}{2},frac{1}{2},frac{1}{3},frac{1}{3},ldots} เป็นลำดับไม่เพิ่ม (4) ลำดับทั้งสี่เป็นลำดับทางเดียว และลำดับ (1) ,(2) เป็นลำดับทางเดียวโดยแท้ ลำดับที่ไม่เป็นลำดับทางเดียว เช่น displaystyle{1,frac{-1}{2},frac{1}{3},frac{-1}{4},ldots,(-1)^{n+1}frac{1}{n},ldots} การทดสอบการเป็นลำดับทางเดียว การตรวจสอบลำดับว่า เป็นลำดับเพิ่ม หรือลำดับลด อาจทำได้ดังนี้
วิธีที่ 1 พิจารณา a_{n+1}-a_n ถ้าพบว่า a_{n+1}-a_n < 0 แล้ว แสดงว่า {a_n} เป็นลำดับลด (1) และ ถ้าพบว่า a_{n+1}-a_n > 0 แล้ว แสดงว่า {a_n} เป็นลำดับเพิ่ม (2)
วิธีที่ 2 ถ้า {a_n} เป็นลำดับที่ a_n > 0 ทุกๆ n = 1,2,3,ldots แล้ว จะพิจารณาอัตราส่วน displaystyle{frac{a_{n+1}}{a_n}} ถ้า displaystyle{frac{a_{n+1}}{a_n} < 1} ทุกๆ n = 1,2,3,ldots แล้ว {a_n} เป็นลำดับลด (3) และ ถ้า displaystyle{frac{a_{n+1}}{a_n} > 1} ทุกๆ n = 1,2,3,ldots แล้ว {a_n} เป็นลำดับเพิ่ม (4)
หมายเหตุ - ถ้าเครื่องหมายใน (1) หรือ (3) เป็น leq จะเป็นลำดับไม่เพิ่ม - ถ้าเครื่องหมายใน (2) หรือ (4) เป็น geq จะเป็นว่าลำดับไม่ลด ตัวอย่าง 2 จงพิจารณาลำดับต่อไปนี้ว่าเป็นลำดับทางเดียวหรือไม่ ถ้าเป็น เป็นลำดับเพิ่มขึ้น หรือ ลดลง 2.1 displaystyle{left{ frac{n}{2n-1}right}} ตอบ ใช้วิธีที่ 1 จะได้ว่า เป็นลำดับลด 2.2 displaystyle{left{ frac{1.2.3ldots n}{1.3.5ldots(2n-1)}right}} ตอบ ใช้วิธีที่ 2 จะได้ว่า เป็นลำดับลด ตัวอย่าง 3 จงแสดงว่าลำดับ displaystyle{frac{e}{2!},frac{e^2}{3!}, frac{e^3}{4!},ldots,frac{e^n}{(n+1)!},ldots} เป็นลำดับลด วิธีทำ ใช้วิธีตรวจสอบอัตราส่วนของพจน์ที่ติดกัน displaystyle{frac{a_{n+1}}{a_n}=frac{e^{n+1}}{(n+2)!}cdotfrac{(n+1)!}{e^n} = frac{e^n}{n+2} < 1} สำหรับทุกค่า ngeq 1 เสมอ จึงสรุปได้ว่า เป็นลำดับลด

1.5 ลำดับที่มีขอบเขต ( Bounded Sequences )

นิยาม 1.5.1 ให้ {a_n} เป็นลำดับของจำนวนจริง เรียกจำนวนจริง A ว่าขอบเขตบน ( Upper Bound ) ของ {a_n} ก็ต่อเมื่อ a_n leq A สำหรับทุก ๆ n = 1,2 ,3, ldots และเรียก A ว่าขอบเขตบนค่าน้อยสุด ( Least Upper Bound ) ของ {a_n} ก็ต่อเมื่อ A เป็นขอบเขตบนของ {a_n} และ A มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับขอบเขตบนทุกตัวของ {a_n}
นิยาม 1.5.2 ให้ {a_n} เป็นลำดับของจำนวนจริง เรียกจำนวนจริง B ว่าขอบเขตล่าง ( Lower Bound ) ของ{a_n} ก็ต่อเมื่อ B leq a_n สำหรับทุก ๆ n = 1,2 ,3, ldots และเรียก B ว่าขอบเขตล่างค่ามากสุด ( Greatest Lower Bound ) ของ {a_n} ก็ต่อเมื่อB เป็นขอบเขตล่างของ {a_n} และ B มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับขอบเขตล่างทุกตัวของ {a_n}
เราจะเรียก {a_n} ว่ามีขอบเขต ก็ต่อเมื่อ {a_n} มีทั้งขอบเขตบนและขอบเขตล่าง
ตัวอย่าง 1 1.1 ลำดับ {2n} = 2,4,6,8,ldots มี 2 เป็นขอบเขตล่างค่ามากสุด แต่ไม่มีขอบเขตบน ดังนั้นลำดับนี้จึงไม่มีขอบเขต และ เป็นลำดับเพิ่ม 1.2 ลำดับ {(-1)^n} = -1,1,-1,1,ldots มี 1 เป็นขอบเขตล่างค่ามากสุด และ มี -1 เป็นขอบเขตล่างค่ามากสุด ดังนั้นลำดับนี้จึงมีขอบเขต แต่ลู่ออก 1.3 ลำดับ displaystyle{left{frac{(-1)^n}{n}right}=-1,frac{1}{2},-frac{1}{3},frac{1}{4},-frac{1}{5},ldots} มี -1 เป็นขอบเขตล่างค่ามากสุด และ displaystyle{frac{1}{2}} เป็นขอบเขตบนค่าน้อยสุด ดังนั้น displaystyle{left{frac{(-1)^n}{n}right}} เป็นลำดับที่มีขอบเขตและ ไม่เป็นลำดับทางเดียว ตัวอย่าง 2 พิจารณาลำดับ displaystyle{{frac{n}{2n+1}}=frac{1}{3},frac{2}{5}.frac{3}{7},frac{4}{9},ldots} ให้ displaystyle{a_n = frac{n}{2n+1}}, displaystyle{a_n = frac{n+1}{2n+3}} ดังนั้น displaystyle{a_{n+1} -a_n = frac{n+1}{2n+3} - frac{n}{2n+1}} จึงได้ว่า a_{n+1} geq a_n ทุก ๆ n = 1,2,3,ldots นั่นคือ a_1leq a_2 leq a_3 leq ldots หรือ displaystyle{frac{1}{3}leq frac{2}{5} leq frac{3}{7}leq frac{4}{9} leq ldots} และ จะได้ว่า a_n leq frac{1}{3} ทุก ๆ n = 1,2,3, ldots ดังนั้น frac{1}{3} เป็นขอบเขตล่างของ {a_n} นอกจากนี้แล้วยังมีจำนวนจริงอีกมากมายที่เป็นขอบเขตล่างของ {a_n} เช่น 0 , -1 ,-3/2 เป็นต้น แต่ทุกจำนวนที่เป็นขอบเขตล่างของ {a_n} จะมีค่าไม่เกิน 1/3 ดังนั้น 1/3 เป็นขอบเขตล่างที่มีค่ามากที่สุด สำหรับขอบเขตบนของ {a_n}จะพิจารณาจาก displaystyle{a_n = frac{n}{2n+1} < frac{n}{2n} = frac{1}{2}} ทุกๆ n =1,2,3, dots ดังนั้น frac{1}{2} เป็นขอบเขตบนค่าหนึ่งของ {a_n} และทุกจำนวนที่มากกว่าหรือเท่ากับ frac{1}{2} เป็นขอบเขตบน ทั้งหมด การที่จะแสดงว่า frac{1}{2} เป็นขอบเขตบนค่าน้อยสุดทำได้ดังนี้ สมมติว่ามีจำนวนจริง y โดยที่ 0<y<frac{1}{2} และ y เป็นขอบเขตบนของ {a_n} แล้ว จะมีจำนวนเต็มบวก m ตัวหนึ่งซึ่ง displaystyle{m > frac{y}{1-2y}} หรือ ได้ displaystyle{y > frac{m}{2m+1} = a_m} ซึ่งขัดแย้งกับที่ y เป็นขอบเขตบน ดังนั้น จึงไม่มีจำนวนจริง displaysyle{0<y<frac{1}{2}} และ y เป็นขอบเขตบนของ {a_n} นั่นคือ displaystyle{frac{1}{2}} เป็นขอบเขตบนค่าน้อยสุดของ {a_n}
ทฤษฎีบท 1.5.3 ถ้า {a_n} เป็นลำดับที่ลู่เข้าแล้ว {a_n} จะเป็นลำดับที่มีขอบเขต
หมายเหตุ - บทกลับของ 1.7 ได้ว่า ถ้า {a_n} ไม่มีขอบเขต จะเป็นลำดับลู่ออก -ลำดับทางเดียวที่มีค่าขอบเขต จะเป็นลำดับที่ลู่เข้าเสมอ แต่ ลำดับที่มีขอบเขต ไม่จำเป็นต้องลู่เข้า ตัวอย่าง 3 เช่น ลำดับ displaystyle{{frac{(-1)^{n+1}(n-1)}{n}}}ในตัวอย่าง 1.2.2 จากกราฟจะเห็นได้ว่า ลำดับนี้มีขอบเขตที่ -1 ถึง 1 แต่ไม่ลู่เข้า

2.1 อนุกรมอนันต์ ( Infinite Series )

หัวข้อนี้จะศึกษาผลบวกที่มีพจน์เป็นจำนวนมากนับไม่ถ้วน ตัวอย่างของผลบวกที่คุ้นเคยกันมาก เกิดขึ้นในการแทนจำนวนจริงด้วยทศนิยม เช่น เมื่อเขียน displaystyle{frac{1}{3}}ในรูปทศนิยม displaystyle{frac{1}{3}=0.3333ldots} นั้นหมายถึง displaystyle{frac{1}{3}=0.3 + 0.03+ 0.003 + 0.0003 + ldots} แสดงว่าการแทน displaystyle{frac{1}{3}} ด้วย ทศนิยม อาจจะพิจารณาเป็นผลบวกของจำนวนจริงหลายจำนวนนับไม่ถ้วน ผลบวกของอนุกรมอนันต์ ในการนิยามความหมายของผลบวกของจำนวนจริงหลายจำนวนนับไม่ถ้วน จะเริ่มจากนิยามของอนุกรมอนันต์ก่อน ดังนี้

นิยาม 2.1.1 อนุกรมอนันต์ คือ นิพจน์ ( expression ) ที่อยู่ในรูป a_1 + a_2 + a_3 + ldots + a_k + ldots หรือ เขียนในสัญลักษณ์ ได้เป็น a_1 + a_2 + a_3 + ldots + a_k + ldots = displaystylesum_{k=1}^{infty}a_k เรียกจำนวน a_1,a_2,a_3,ldots ว่า พจน์ของอนุกรม และต่อไปจะใช้คำว่า อนุกรม แทนคำว่า อนุกรมอนันต์
เนื่องจากเราไม่สามารถบวกจำนวนที่นับไม่ถ้วนเข้าด้วยกันได้ ดังนั้นจึงต้องนิยามผลบวกของอนุกรมและ คำนวณค่าโดยใช้ลิมิต เพื่อขยายผลจากแนวคิดพื้นฐาน จะพิจารณาทศนิยม 0.333ldots ซึ่งสามารถเขียนเป็นอนุกรม 0.3+0.03+0.003+0.0003+ldots หรือ displaystyle{frac{3}{10}+frac{3}{10^2}+frac{3}{10^3}+frac{3}{10^4} + ldots} ____________ (1) เนื่องจาก displaystyle{frac{1}{3} = 0.3333ldots} ดังนั้น ผลบวกของอนุกรม (1) ควรจะเป็น displaystyle{frac{1}{3}} การหาผลบวกของอนุกรมทำได้โดยการพิจารณาลำดับของผลบวก ดังนี้ displaystyle{S_1 = frac{3}{10} = 0.3} displaystyle{S_2 = frac{3}{10} + frac{3}{10^2} = 0.33} displaystyle{S_3 = frac{3}{10}+frac{3}{10^2}+frac{3}{10^3} = 0.333} displaystyle{S_4 = frac{3}{10}+frac{3}{10^2}+frac{3}{10^3}+frac{3}{10^4} = 0.3333} .............................................................................. ลำดับ S_1,S_2,S_3,S_4,ldots สามารถใช้เป็นการประมาณ ผลบวกของอนุกรมได้ ในลำดับของผลบวกดังกล่าว จะมีการใช้พจน์ของอนุกรมมากขึ้น และการประมาณค่าจะดีขึ้นตามลำดับ และลิมิตของลำดับ ควรเป็น displaystyle{frac{1}{3}} เพื่อให้เห็นว่าลิมิตเป็น displaystyle{frac{1}{3}} จริง จะต้องคำนวณลิมิตของพจน์ทั่วไปในลำดับที่ใช้ประมาณค่า ในที่นี้พจน์ทั่วไปคือ displaystyle{S_n = frac{3}{10}+frac{3}{10^2}+frac{3}{10^3}+frac{3}{10^4} + ldots frac{3}{10^n}} ________ (2) การหา displaystyle{lim_{n rightarrow infty} S_n =  lim_{n rightarrow infty} left[ frac{3}{10}+frac{3}{10^2}+frac{3}{10^3}+frac{3}{10^4} + ldots frac{3}{10^n}right]} ค่อนข้างยุ่งยาก เพราะทั้งพจน์สุดท้ายและจำนวนพจน์เปลี่ยนตามค่า n จึงต้องพยามยามเขียนลิมิตให้อยู่ในรูปที่พจน์ไม่แปรค่า ดังนี้ คูณ (2) ด้วย frac{1}{10} จะได้ displaystyle{frac{1}{10}S_n = frac{3}{10^2}+frac{3}{10^3}+frac{3}{10^4}+ldots+frac{3}{10^{n}}+ frac{3}{10^{n+1}}} ________ (3) นำ (3) ลบออกจาก (2) จะได้ displaystyle{S_n-frac{1}{10}S_n = frac{3}{10}-frac{3}{10^{n+1}}} หรือ displaystyle{S_n = frac{1}{3}(1-frac{1}{10^n})} เนื่องจาก displaystyle{frac{1}{10^n}rightarrow 0} เมื่อ n rightarrow infty จึงได้ displaystyle{lim_{nrightarowinfty} S_n = lim_{nrightarrowinfty} frac{1}{3}(1-frac{1}{10^n}) = frac{1}{3}} ซึ่งอาจจะแทนด้วยการเขียน displaystyle{frac{1}{3} = frac{3}{10}+frac{3}{10^2}+frac{3}{10^3}+frac{3}{10^4} + ldots +frac{3}{10^n}+ldots} จากตัวอย่างที่กล่าวมาข้างต้น จะนิยามแนวคิดของผลบวกของอนุกรม displaystyle{sum_{k=1}^{infty} a_k} ได้ดังนี้ ให้ S_n แทนผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรม S_1 = a_1 S_2 = a_1 + a_2 S_3 = a_1 + a_2 +a_3 ................................. S_n = a_1 + a_2 + a_3 + ldots + a_n = displaystylesum_{k=1}^{n} a_k เรียก S_n ว่า ผลบวกย่อยที่ n ของอนุกรม และ เรียก {S_n} ว่า ลำดับของผลบวกย่อย เมื่อ n มีค่าเพิ่มขึ้น ผลบวกย่อย S_n=a_1+a_2+a_3+ldots+a_n จะรวมพจน์ของอนุกรมมากขึ้นเรื่อยๆ ดังนั้น ถ้า S_n มีค่าเข้าใกล้ลิมิตค่าหนึ่ง ขณะที่ nrightarrowinfty ค่าลิมิตนั้นจะเป็นผลบวกของทุกพจน์ในอนุกรมนั้น เขียนเป็นนิยามได้ดังนี้
นิยาม 2.1.2 ให้ {S_n} เป็นลำดับของผลบวกย่อยของอนุกรม displaystyle{sum_{n=1}^{infty} a_n} ถ้าลำดับ {S_n} ลู่เข้าสู่ลิมิต S แล้วจะเรียกอนุกรมนี้ว่า อนุกรมลู่เข้า และเรียก S ว่า ผลบวกของอนุกรม เขียนแทนด้วย displaystyle{S=sum_{n=1}^{infty} a_n} ถ้าลำดับของผลบวกย่อยลู่ออกแล้ว จะเรียกอนุกรมนี้ว่า อนุกรมลู่ออก และไม่มีผลบวก
ตัวอย่าง 1 จงแสดงว่า displaystyle{sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n(n+1)}} เป็นอนุกรมลู่เข้า พร้อมทั้งหาผลบวกของอนุกรม วิธีทำ เนื่องจาก displaystyle{a_n = frac{1}{n(n+1)}=frac{1}{n}-frac{1}{n+1}} จะได้ displaystyle{S_1 = a_1 = frac{1}{2}} displaystyle{S_2 = a_1+a_2 = frac{1}{2} + frac{1}{2cdot 3} = (1-frac{1}{2}) + (frac{1}{2}-frac{1}{3})} displaystyle{S_3 = a_1+a_2 +a_3 = frac{1}{2} + frac{1}{2cdot 3}+frac{1}{3cdot 4} = (1-frac{1}{2}) + (frac{1}{2}-frac{1}{3}) + (frac{1}{3}-frac{1}{4})} ดังนั้น S_n = a_1 + a_2 +a_3+ldots +a_n displaystyle{= (1-frac{1}{2}) + (frac{1}{2}-frac{1}{3}) + (frac{1}{3}-frac{1}{4}) + ldots +(frac{1}{n}-frac{1}{n+1})} displaystyle{= 1- frac{1}{n+1}} และ displaystyle{lim_{nrightarrowinfty} S_n = lim_{nrightarrow infty}(1-frac{1}{n+1}) = 1} ดังนั้น {S_n} เป็นลำดับลู่เข้า นั้นคือ displaystyle{sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n(n+1)}} เป็นอนุกรมที่ลู่เข้า และมีผลบวกเป็น 1 ต่อไปจะขอเขียนแทนอนุกรมอนันต์ด้วย displaystyle{sum a_n} ซึ่งจะมีทฤษฎีบทที่สำคัญ ดังนี้
ทฤษฎีบท 2.1.3 ถ้า sum a_n เป็นอนุกรมลู่เข้าแล้วจะได้ว่า lim a_n = 0
ทฤษฎีบท 2.1.4 ถ้า lim a_n neq 0 แล้ว จะได้ว่า sum a_n เป็นอนุกรมลู่ออก
ทฤษฎีบท 2.1.5 ถ้า sum a_n และ sum b_n เป็นอนุกรมสองอนุกรมซึ่งมีความแตกต่างกัน เฉพาะ m พจน์แรก แล้ว จะได้ว่า sum a_n และ sum b_n เป็นอนุกรมลู่เข้าทั้งคู่ หรือ อนุกรมลู่ออกทั้งคู่

2.2 อนุกรมชนิดต่าง ๆ ที่สำคัญ

นักศึกษาอาจเคยใช้อนุกรมในการช่วยคำนวณทางคณิตศาสตร์ เช่น displaystyle{sum n = 1 + 2 +3 + ldots + n = frac{n}{2}(n+1)} displaystyle{sum n^2 = 1 + 2^2 +3^2 + ldots + n^2 = frac{n}{6}(2n+1)(n+1)} displaystyle{sum n^3 = 1 + 2^3 +3^3 + ldots + n^3 = left(frac{n}{2}(n+1)right)^2} ซึ่งอนุกรมเหล่านี้ล้วนเป็นอนุกรมจำกัด คือ มีจำนวนพจน์ที่แน่นอน นอกจากนี้ ยังมีอนุกรมอนันต์ ที่สำคัญ ที่ควรทราบ ดังต่อไปนี้

2.2.1 อนุกรมเรขาคณิต ( Geometric Series ) คืออนุกรมที่อยู่ในรูป a + ar +ar^2 + ar^3 + ldots + ar^{n-1} + ldots = displaystylesum_{n=1}^{infty} a r^{n-1} เมื่อ a และ r เป็นจำนวนจริงที่คงที่ และ aneq 0 เรียก r ว่า อัตราส่วนร่วม ( Common Ratio )
ตัวอย่าง1 อนุกรมเรขาคณิต 1) displaystyle{1+frac{1}{2}+frac{1}{2^2} + ldots +frac{1}{2^{n-1}}+ ldots} , a =1, displaystyle{r=frac{1}{2}} 2) displaystyle{frac{5}{9}-frac{5}{9^2}+frac{5}{9^3} - ldots+(-1)^{n+1}frac{5}{9^n} + ldots} , displaystyle{a = frac{5}{9}} , displaystyle{r = -frac{1}{9}} 3) , 1+2+4+ldots+2^{n-1}+ldots, a =1, r = 2
ทฤษฎีบท 2.2.2 กำหนดให้ a + ar + ar^2 + ar^3 + ldots + ar^{n-1}+ ldots เป็นอนุกรมเรขาคณิต 1. ถ้า |r| < 1จะได้ว่าอนุกรมเรขาคณิตลู่เข้า และ มีผลบวกเป็น displaystyle{frac{a}{1-r}} นั่นคือ displaystyle{a + ar + ar^2 + ar^3 + ldots + ar^{n-1}+ ldots = frac{a}{1-r}} 2. ถ้า |r|geq 1 จะได้ว่าอนุกรมเรขาคณิตลู่ออก ( หาผลรวมไม่ได้ )
2.2.3 อนุกรม P ( P’s Series ) นิยาม อนุกรม P จะมีรูปแบบทั่วไปเป็น displaystyle{frac{1}{1^p}+frac{1}{2^p}+frac{1}{3^p}+ldots +frac{1}{n^p}+ldots = sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n^p}} เมื่อ p เป็นจำนวนจริง
ตัวอย่าง 2 displaystyle{frac{1}{1}+frac{1}{2}+frac{1}{3}+ldots +frac{1}{n}+ldots}, p=1 displaystyle{frac{1}{sqrt{1}}+frac{1}{sqrt{2}}+frac{1}{sqrt{3}}+ldots +frac{1}{sqrt{n}}+ldots }, displaystyle{p=frac{1}{2}}
ทฤษฎีบท 2.2.4 กำหนดให้ displaystyle{sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n^p}} เป็นอนุกรม P 1. ถ้า P>1 แล้ว displaystyle{sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n^p}} จะเป็น อนุกรมลู่เข้า 2. ถ้า Pleq 1 แล้ว displaystyle{sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n^p}} จะเป็น อนุกรมลู่ออก

2.3 การทดสอบการลู่เข้า และการลู่ออกของอนุกรม

ในกรณีที่เราต้องการทราบว่าอนุกรมที่กำหนดให้เป็นอนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออก โดยไม่ต้องหาผลบวกย่อยที่ n ในพจน์ของ n หรือไม่สามารถนำทฤษฎีเบื้องต้นที่กล่าวมาใช้ได้ จึงจำเป็นต้องศึกษาถึงทฤษฎีที่ใช้ในการทดสอบการลู่เข้า และการลู่ออกของอนุกรม ซึ่งมีอยู่หลายทฤษฎี ดังต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 2.3.1 การทดสอบโดยอินทิกรัล ( Integral Test ) ให้ displaystyle{sum a_n} เป็นอนุกรมที่มี a_n > 0 และ ให้ f(x) เป็นฟังก์ชันที่เกิดจากการแทน n ใน a_n ด้วย x ถ้า f มีค่าลดลงและมีความต่อเนื่องสำหรับ x geq 1 แล้ว อนุกรม sum a_n กับอินทิกรัลไม่ตรงแบบ displaystyle{int_{1}^{+infty}f(x) dx} จะลู่เข้า หรือลู่ออกเหมือนกัน
ตัวอย่าง 1 จงทดสอบอนุกรมต่อไปนี้ว่าเป็นอนุกรมลู่เข้า หรือ ลู่ออก ก. displaystyle{sum_{n=1}^{infty}n e^{-n}} วิธีทำ กำหนดให้ displaystyle{f(x) = x e^{-x}} จะได้ว่า f เป็นฟังก์ชันลด และต่อเนื่องสำหรับ x geq 1 เราจึงสามารถใช้การทดสอบโดยอินทิกรัลได้ พิจารณา int_1^{infty} x e^{-x}dx ใช้การอินทิกรัลแบบแยกส่วน (by parts) และ improper integral แล้วจะได้ว่า displaystyle{int_1^{infty}x e^{-x}dx = lim_{b rightarrowinfty}(-xe^{-x}-e^{-x})|_1^b=2e^{-1}} เราจึงสรุปได้ว่า อนุกรมนี้ลุ่เข้า ข. displaystyle{sum_{n=1}^{infty}frac{1}{(n+1)sqrt{ln(n+1)}}} วิธีทำ กำหนดให้ displaystyle{f(x) = frac{1}{(x+1)sqrt{ln(x+1)}}}จะได้ว่า f เป็นฟังก์ชันลด และต่อเนื่องสำหรับ xgeq 1 เราจึงสามารถใช้การทดสอบโดยอินทิกรัลได้ พิจารณา displaystyle{int_1^{infty} frac{1}{(x+1)sqrt{ln(x+1)}}dx} ใช้การอินทิกรัลแบบเปลี่ยนตัวแปร (substitution) และ improper integral แล้วจะได้ว่า displaystyle{int_1^{infty} frac{1}{(x+1)sqrt{ln(x+1)}}dx = lim_{brightarrow infty}2sqrt{ln(x+1)}|_1^b} เราจึงสรุปได้ว่า อนุกรมนี้ลุ่ออก
ทฤษฎีบท 2.3.2 การทดสอบแบบเปรียบเทียบ ( Comparison Test ) ให้ sum a_n และ sum b_n เป็นอนุกรมบวก ( a_n geq 0, b_n geq 0 ทุกค่า ngeq 1 ) 1. ถ้า a_n leq b_n และ sum b_n ลู่เข้าแล้ว จะได้ว่า sum a_n ลู่เข้าด้วย 2. ถ้า a_n geq b_n และ sum b_n ลู่ออกแล้ว จะได้ว่า sum a_n ลู่ออกด้วย นอกเหนือจากนี้สรุปไม่ได้
ตัวอย่าง 2 จงทดสอบอนุกรมที่กำหนดให้ต่อไปนี้ว่า เป็นอนุกรมลู่เข้า หรือ ลู่ออก ก. displaystyle{sum_{n=1}^{infty}frac{1}{2^{n-1}+1} วิธีทำ กำหนดให้ displaystyle{a_n = frac{1}{2^{n-1}+1}} เลือก displaystyle{b_n = frac{1}{2^{n-1}}} แล้วเราจะได้ว่า a_nleq b_n แต่เราทราบว่า displaystyle{sum_{n=1}^{infty}b_n} ลู่เข้า เพราะเป็นอนุกรมเรขาคณิต มีอัตราส่วนร่วมเป็น displaystyle{frac{1}{2}<1} ฉะนั้น displaystyle{sum_{n=1}^{infty}frac{1}{2^{n-1}+1} จึงลู่เข้าด้วย ข. displaystyle{sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n^n}} วิธีทำ กำหนดให้ displaystyle{a_n=frac{1}{n^n}} เลือก displaystyle{b_n = frac{1}{n^2}} แล้วเราจะได้ว่า a_nleq b_n แต่เราทราบว่า displaystyle{sum_{n=1}^{infty} b_n} ลู่เข้า เพราะเป็นอนุกรม p โดยที่ p = 2 > 1 ฉะนั้น displaystyle{sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n^n}} จึงลู่เข้าด้วย ค. displaystyle{sum_{n=1}^{infty}frac{1}{3^n-cos n}} วิธีทำ กำหนดให้ displaystyle{a_n = frac{1}{3^n - cos(n)}} เลือก displaystyle{b_n = frac{1}{3^{n-1}}} แล้วเราจะได้ว่า a_nleq b_n แต่เราทราบว่า displaystyle{sum_{n=1}^{infty}b_n} ลู่เข้า เพราะเป็นอนุกรมเรขาคณิต มีอัตราส่วนร่วมเป็น displaystyle{frac{1}{3}<1} ฉะนั้น displaystyle{sum_{n=1}^{infty}frac{1}{3^n-cos n}} จึงลู่เข้าด้วย
ทฤษฎีบท 2.3.3 การทดสอบแบบเปรียบเทียบโดยลิมิต (Limit Comparison Test ) ให้ sum a_n และ sum b_n เป็นอนุกรมบวก ( a_n geq 0, b_n geq 0 ทุกค่า n geq 1 ) 1. ถ้า displaystyle{lim_{nrightarrowinfty}frac{a_n}{b_n}=c > 0} แล้วจะได้ว่า sum a_n และ sum b_n จะลู่เข้า หรือ ลู่ออกเหมือนกัน 2. ถ้า displaystyle{lim_{nrightarrowinfty}frac{a_n}{b_n}=0}และ sum b_n เป็นอนุกรมลู่เข้า แล้วจะได้ว่า sum a_n เป็นอนุกรมลู่เข้า 3. ถ้า displaystyle{lim_{nrightarrowinfty}frac{a_n}{b_n}=+infty} และ sum b_n เป็นอนุกรมลู่ออก แล้วจะได้ว่า sum a_n เป็นอนุกรมลู่ออก
ตัวอย่าง 3 จงทดสอบอนุกรมที่กำหนดให้ต่อไปนี้ว่า เป็นอนุกรมลู่เข้า หรือ ลู่ออก ก. displaystyle{sum_{n=1}^{infty}frac{n}{4n^3-2}} วิธีทำ กำหนดให้ displaystyle{a_n = frac{n}{4n^3-2}} เลือก displaystyle{b_n = frac{1}{n^2}} แล้วเราจะได้ว่า displaystyle{lim_{nrightarrowinfty}frac{a_n}{b_n}=frac{1}{4}} แต่เราทราบว่า displaystyle{sum_{n=1}^{infty}b_n}ลู่เข้า เพราะเป็นอนุกรม p โดยที่ p = 2 > 1 ฉะนั้น displaystyle{sum_{n=1}^{infty}frac{n}{4n^3-2}} จึงลู่เข้าด้วย ข. displaystyle{sum_{n=1}^{infty}frac{ln n}{sqrt{n+1}}} วิธีทำ กำหนดให้ displaystyle{a_n = frac{ln (n)}{sqrt{n+1}}} เลือก displaystyle{b_n = frac{1}{sqrt{n}}} แล้วเราจะได้ว่า displaystyle{lim_{nrightarrowinfty}frac{a_n}{b_n}=+infty} และทราบว่า displaystyle{sum_{n=1}^{infty}b_n} ลู่ออก เพราะเป็นอนุกรม p โดยที่ displaystyle{p = frac{1}{2}<1} ฉะนั้น displaystyle{sum_{n=1}^{infty}frac{ln n}{sqrt{n+1}}} จึงลู่ออกด้วย ค. displaystyle{sum_{n=1}^{infty}frac{ln n}{n^2}} วิธีทำ กำหนดให้ displaystyle{a_n=1frac{ln (n)}{n^2}} เลือก displaystyle{b_n = frac{1}{n^{1.5}}} แล้วเราจะได้ว่า displaystyle{lim_{nrightarrowinfty}frac{a_n}{b_n}=0} แต่เราทราบว่า displaystyle{sum_{n=1}^{infty}b_n} ลู่เข้า เพราะเป็นอนุกรม p โดยที่ p = 1.5 > 1 ฉะนั้น displaystyle{sum_{n=1}^{infty}frac{ln n}{n^2}} จึงลู่เข้าด้วย
ทฤษฎีบท 2.3.4 การทดสอบโดยอัตราส่วน ( Ratio Test ) ให้ sum a_n เป็นอนุกรมที่ต้องการทดสอบ ถ้า displaystyle{lim_{nrightarrowinfty}|frac{a_{n+1}}{a_n}|=L} แล้วได้ว่า (1) ถ้า L<1 อนุกรมจะลู่เข้า (2) ถ้า L>1 อนุกรมจะลู่ออก (3) ถ้า L =1 สรุปไม่ได้
ตัวอย่าง 4 จงทดสอบอนุกรมที่กำหนดให้ต่อไปนี้ว่า เป็นอนุกรมลู่เข้า หรือ ลู่ออก ก. displaystyle{sum_{n=1}^{infty}frac{3^n}{n!}} วิธีทำ กำหนดให้ displaystyle{a_n = frac{3^n}{n!}} แล้วเราจะได้ว่า displaystyle{lim_{nrightarrowinfty}frac{a_{n+1}}{a_n}=lim_{nrightarrowinfty}frac{3^{n+1}}{(n+1)!}cdotfrac{n!}{3^n}=0 <1} เราจึงสรุปได้ว่า displaystyle{sum_{n=1}^{infty}frac{3^n}{n!}} ลู่เข้า ข. displaystyle{sum_{n=1}^{infty}frac{(2n)!}{n!n!}} วิธีทำ กำหนดให้ displaystyle{a_n=frac{(2n)!}{n!n!}} แล้วเราจะได้ว่า displaystyle{lim_{nrightarrowinfty}frac{a_{n+1}}{a_n}=lim_{nrightarrowinfty}frac{(2(n+1))!}{(n+1)!(n+1)!}cdot frac{n!n!}{(2n)!}=4 > 1} เราจึงสรุปได้ว่า displaystyle{sum_{n=1}^{infty}frac{(2n)!}{n!n!}} ลู่ออก
ทฤษฎีบท 2.3.5 การทดสอบโดยใช้รากที่ n ( nth-Root Test ) ให้ sum a_n เป็นอนุกรมที่ต้องการทดสอบ ถ้า displaystyle{lim_{nrightarrowinfty}sqrt[n]{|a_n|}=R} แล้วได้ว่า (1) ถ้า R<1 อนุกรมจะลู่เข้า (2) ถ้า R>1 อนุกรมจะลู่ออก (3) ถ้า R=1 สรุปไม่ได้
ตัวอย่าง 5 อนุกรม displaystyle{sum_{n=1}^{infty}frac{1}{[ln (n+1)]^n}} เป็นอนุกรมลู่เข้า หรือ ลู่ออก วิธีทำ กำหนดให้ displaystyle{a_n = frac{1}{[ln (n+1)]^n}} แล้วเราจะได้ว่า displaystyle{lim_{nrightarrowinfty}sqrt[n]{|a_n|}=lim_{nrightarrowinfty}frac{1}{ln (n+1)}} เราจึงสรุปได้ว่า displaystyle{sum_{n=1}^{infty}frac{1}{[ln (n+1)]^n}} ลู่เข้า

2.4 อนุกรมสลับ ( Alternating Series )

คืออนุกรมที่เขียนได้ในรูป displaystyle{sum_{n=1}^{infty}(-1)^{n+1}a_n = a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + ldots + (-1)^{n+1}a_n + ldots} หรือ displaystyle{sum_{n=1}^{infty}(-1)^{n}a_n = -a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - ldots + (-1)^{n}a_n + ldots}

ทฤษฎีบท 2.4.1 การทดสอบอนุกรมสลับ ถ้า displaystyle{sum_{n=1}^{infty}(-1)^{n+1}a_n} เป็นอนุกรมสลับซึ่งมีคุณสมบัติต่อไปนี้ (1) 0<a_{n+1}<a_n สำหรับ n>1 (2) displaystyle{lim_{nrightarrowinfty}a_n = 0} จะได้ว่า อนุกรมสลับนี้ ลู่เข้า ถ้าขาดข้อใดข้อหนึ่ง สรุปได้ทันทีว่า เป็นอนุกรมลู่ออก
ตัวอย่าง 6 จงทดสอบอนุกรมสลับต่อไปนี้ว่าเป็นอนุกรมลู่เข้า หรือ ลู่ออก ก. displaystyle{sum_{n=1}^{infty}frac{(-1)^{n+1}}{n}} วิธีทำ จากโจทย์ displaystyle{a_n = frac{1}{n}} แล้วเราจะได้ว่า displaystyle{0<frac{1}{n+1}<frac{1}{n}} และ displaystyle{lim_{nrightarrowinfty frac{1}{n}}} เราจึงสรุปได้ว่า displaystyle{sum_{n=1}^{infty}frac{(-1)^{n+1}}{n}} ลู่เข้า ข. displaystyle{sum_{n=1}^{infty}(-1)^{n+1}frac{2^n}{n^2}} วิธีทำ จากโจทย์ displaystyle{a_n = frac{2^n}{n^2}} แล้วเราจะได้ว่า displaystyle{lim_{nrightarrowinfty}frac{2^n}{n^2}neq 0} เราจึงสรุปได้ว่า displaystyle{sum_{n=1}^{infty}(-1)^{n+1}frac{2^n}{n^2}} ลู่ออก

2.5 การลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ และ แบบมีเงื่อนไข ( Absolute and Conditional Convergence )

นิยาม 2.5.1 displaystyle{sum_{n=1}^{infty}a_n} เป็นอนุกรมลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ ถ้า displaystyle{sum_{n=1}^{infty}|a_n|} เป็นอนุกรมลู่เข้า
นิยาม 2.5.2 displaystyle{sum_{n=1}^{infty}a_n} เป็นอนุกรมลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข ถ้า displaystyle{sum_{n=1}^{infty}a_n} เป็นอนุกรมลู่เข้า แต่ displaystyle{sum_{n=1}^{infty}|a_n|} เป็นอนุกรมลู่ออก
ทฤษฎีบท 2.5.3 ถ้า displaystyle{sum_{n=1}^{infty}|a_n|} เป็นอนุกรมลู่เข้าแล้วจะได้ displaystyle{sum_{n=1}^{infty}a_n} เป็นอนุกรมลู่เข้า และมี displaystyle{left|sum_{n=}^{infty} a_n right| leq sum_{n=1}^{infty}|a_n|}
ตัวอย่าง 7 จงทดสอบว่า displaystyle{sum_{n=1}^{infty}frac{cos(frac{npi}{3})}{n^2}} เป็นอนุกรมลู่เข้าหรือไม่ วิธีทำ อนุกรม displaystyle{sum_{n=1}^{infty}frac{cos(frac{npi}{3})}{n^2}=frac{1}{2}-frac{1}{8}-frac{1}{9}-frac{1}{32}+frac{1}{36}+frac{1}{98}-ldots } พิจารณา displaystyle{sum_{n=1}^{infty}left|frac{cos(frac{npi}{3})}{n^2}right|} เนื่องจาก displaystyle{left|frac{cos(frac{npi}{3})}{n^2}right|leqfrac{1}{n^2}} สำหรับ ngeq 1 แต่ displaystyle{sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n^2}} เป็นอนุกรม P ที่ลู่เข้า เพราะ P = 2 >1 จากการทดสอบแบบเปรียบเทียบได้ว่า displaystyle{sum_{n=1}^{infty}left|frac{cos(frac{npi}{3})}{n^2}right|}เป็นอนุกรมลู่เข้า โดยทฤษฎีบท 1.6.3 จะได้ displaystyle{sum_{n=1}^{infty}frac{cos(frac{npi}{3})}{n^2}} เป็นอนุกรมลู่เข้า โดยทั่วไปแล้ว เราสามารถ ใช้การทดสอบแบบอัตราส่วนในการบอกว่าอนุกรมลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ หรือไม่ ดังนี้
ทฤษฎีบท 2.5.4 การทดสอบโดยอัตราส่วน ( Ratio Test ) ให้ sum a_n เป็นอนุกรม ถ้า displaystyle{lim_{nrightarrowinfty} left| frac{a_{n+1}}{a_n}right| = L} แล้วได้ว่า (1) ถ้า L<1 จะได้อนุกรมลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ (2) ถ้า L>1 อนุกรมจะลู่ออก (3) ถ้า L =1 สรุปไม่ได้
ตัวอย่าง 8 จงทดสอบอนุกรมต่อไปนี้ว่าเป็นอนุกรมลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ หรือ ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข หรือ ลู่ออก ก. displaystyle{sum_{n=1}^{infty}frac{(-1)^{n+1}}{n}} วิธีทำ จากโจทย์ displaystyle{a_n=1frac{(-1)^{n+1}}{n}} แล้วเราจะได้ว่า displaystyle{nrightarrowinfty}left|frac{a_{n+1}}{a_n}right| จึงสรุปไม่ได้ แต่จากตัวอย่าง 6 เราทราบว่า displaystyle{sum_{n=1}^{infty}frac{(-1)^{n+1}}{n}} ลู่เข้า แต่ displaystyle{sum_{n=1}^{infty}left|a_nright| = sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n}} ลู่ออก เพราะเป็นอนุกรม pโดยที่ p=1 เราจึงสรุปได้ว่า displaystyle{sum_{n=1}^{infty}frac{(-1)^{n+1}}{n}}ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข ข. displaystyle{sum_{n=1}^{infty}frac{(-1)^{n+1}}{2n^2 +1}} วิธีทำ จากโจทย์ displaystyle{a_n=frac{(-1)^{n+1}}{2n^2 +1}} แล้วเราจะได้ว่า displaystyle{nrightarrowinfty}left|frac{a_{n+1}}{a_n}right| จึงสรุปไม่ได้ แต่ displaystyle{sum_{n=1}^{infty}left|a_nright| = sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n^2 + 1}} ลู่เข้า โดยการทดสอบแบบเปรียบเทียบ กับอนุกรม  p โดยที่ p = 2 เราจึงสรุปได้ว่า displaystyle{sum_{n=1}^{infty}frac{(-1)^{n+1}}{2n^2 +1}} ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์

2.6 อนุกรมกำลัง ( Power Series )

นิยาม 2.6.1อนุกรมกำลัง เป็นอนุกรมอนันต์ของฟังก์ชัน ซึ่งเขียนได้ในรูป displaystyle{sum_{n=0}^infty}c_n(x-a)^n=c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a)^2+ldots+c_n(x-a)^n+ldots} (1) เมื่อ a,c_0,c_1,c_2,ldots,c_n,ldots เป็นค่าคงที่ และ x เป็นตัวแปร, เรียก a ว่าศูนย์กลางของอนุกรมกำลัง และเรียก c_0,c_1,c_2,ldots,c_n,ldotsว่าสัมประสิทธิ์ของอนุกรมกำลัง
ในกรณีที่ a=0 เราจะเรียกอนุกรม (1) ว่า อนุกรมกำลังใน x เช่น displaystyle{sum_{n=0}^inftyfrac{x^n}{n!},sum_{n=0}^infty n!x^n}}, และ displaystyle{sum_{n=0}^infty(-1)^nfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}} เป็นต้น แต่ถ้า aneq0 จะเรียก (1) ว่า อนุกรมกำลังใน x-a เช่น displaystyle{sum_{n=0}^infty frac{(x-1)^n}{n+1}} และ displaystyle{sum_{n=0}^infty(-1)^nfrac{(x+3)^n}{n!}} เป็นต้น เนื่องจาก x มีค่าต่างๆกัน เมื่อแทนลงในอนุกรมกำลัง (1) จะได้อนุกรมที่ลู่เข้า หรือ ลู่ออกก็ได้ เช่น พิจารณาอนุกรมกำลัง displaystyle{sum_{n=0}^infty frac{(x-5)^n}{n^2}} ถ้า x=6 จะได้ อนุกรม sum_{n=0}^infty frac{1}{n^2} ซึ่งเป็นอนุกรม P , P=2 p,p=2 ลู่เข้า ถ้า x=3 จะได้ อนุกรม displaystyle{sum_{n=0}^infty frac{(-2)^n}{n^2}=sum_{n=0}^infty frac{(-1)^n 2^n}{n^2}} ซึ่งเป็นอนุกรมสลับที่ลู่ออก ดังนั้น อนุกรมกำลัง จึงมีจุดบางจุด หรือ ช่วงบางช่วงที่ทำให้อนุกรมลู่เข้า จึงเขียนเป็นนิยามได้ดังนี้
นิยาม 2.6.2 เซตของจุดบนช่วงจำกัด ช่วงหนึ่ง ที่ทำให้อนุกรมกำลังเป็นอนุกรมที่ลู่เข้า เรียกช่วงจำกัดนี้ว่า ช่วงของการลู่เข้า ( Interval of Convergence ) ช่วงจำกัดอาจจะเป็นช่วงเปิด ช่วงปิด หรือ ช่วงครึ่งเปิดครึ่งปิดได้ นั่นคือ (a,b),[a,b],[a,b),(a,b]
นิยาม 2.6.3 ถ้า R เป็นจำนวนที่ทำให้อนุกรมกำลังเป็นอนุกรมที่ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ ทุกๆ x ถ้า |x-a|<R และ a+R เป็นขีดจำกัดบนที่น้อยที่สุด เราเรียก R ว่ารัศมีของการลู่เข้า ( Radius of Convergence )
ขั้นตอนการทดสอบการลู่เข้าของอนุกรมกำลัง ขั้นที่1 ใช้การทดสอบแบบอัตราส่วน ( Ratio Test ) หรือ การทดสอบแบบรากที่ n ( Root Test ) displaystyle{n^{th}} จะทราบว่าอนุกรมกำลังลู่เข้า ในช่วงใด ซึ่งจะได้รูปช่วงเปิด |x-a|<R หรือ x-R<x<a+R ขั้นที่2 จะทำการทดสอบปลายช่วง โดยนำจุดปลายไปแทนในอนุกรมกำลัง จะได้อนุกรมค่าคงตัว ซึ่งจะต้องใช้วิธีการอื่นๆ ในการทดสอบ เช่น การทดสอบแบบเปรียบเทียบ, การทดสอบโดยอินทิกรัล หรือ การทดสอบอนุกรมสลับ เป็นต้น
ตัวอย่าง 1 จงหาค่า x ที่ทำให้อนุกรมต่อไปนี้ลู่เข้า ก. displaystyle{sum_{n=0}^infty frac{x^n}{n!}} วิธีทำ ใช้การทดสอบแบบอัตราส่วน displaystyle{lim _{nrightarrowinfty}left|frac{a_{n+1}}{a_n}right|=
lim _{nrightarrowinfty}left|frac{x^{n+1}}{(n+1)!}cdotfrac{n!}{x^n}right|=
|x|cdotlim _{nrightarrowinfty}left|frac{1}{n+1}right|=0<1 } สำหรับทุกค่า x เพราะฉะนั้น อนุกรมนี้จึงลู่เข้า สำหรับทุกค่า x ข. displaystyle{sum_{n=0}^infty n!x^n} วิธีทำ ใช้การทดสอบแบบอัตราส่วน displaystyle{lim _{nrightarrowinfty}left|frac{a_{n+1}}{a_n}right|=
lim _{nrightarrowinfty}left|frac{(n+1)!x^{n+1}}{n!x^n}right|=
|x|cdotlim _{nrightarrowinfty}|(n+1)|=infty>1} สำหรับทุกค่า xneq 0 เพราะฉะนั้น อนุกรมนี้จึงลู่เข้าที่เดียว เมื่อ x=0 ตัวอย่าง 2 จงหาช่วงและรัศมีของการลู่เข้าของอนุกรมกำลังต่อไปนี้ ก. displaystyle{sum_{n=0}^infty (-1)^nfrac{x^n}{n(n+1)}} วิธีทำ ใช้การทดสอบแบบอัตราส่วน displaystyle{lim _{nrightarrowinfty}left|frac{a_{n+1}}{a_n}right|=
lim _{nrightarrowinfty}left|frac{x^{n+1}}{(n+1)(n+2)}cdotfrac{n(n+1)}{x^n}right|=
|x|cdotlim _{nrightarrowinfty}left|frac{n(n+1)}{(n+1)(n+2)}right|=|x|} เราจึงได้ว่าอนุกรมนี้ลู่เข้า เมื่อ displaystyle{lim _{nrightarrowinfty}left|frac{a_{n+1}}{a_n}right|=|x|<1} จากนั้นต้องเช็คจุดปลาย displaystyle{x=1:sum_{n=1}^{infty}frac{(-1)^n}{n(n+1)}} ลู่เข้า โดยการทดสอบแบบอนุกรมสลับ displaystyle{x=-1:sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n(n+1)}} ลู่เข้า โดยการทดสอบแบบเปรียบเทียบ เพราะฉะนั้นอนุกรมนี้จึงลู่เข้า เมื่อ displaystyle{-1leq xleq1 } และมีรัศมีของการลู่เข้า เป็น displaystyle{1-0=1} ข. displaystyle{sum_{n=1}^{infty}frac{(x-2)^n}{3^n n^2}} วิธีทำ ใช้การทดสอบแบบอัตราส่วน displaystyle{lim _{nrightarrowinfty}left|frac{a_{n+1}}{a_n}right|=
lim _{nrightarrowinfty}left|frac{(x-2)^{n+1}}{3^{n+1}(n+1)^2}cdotfrac{3^n n^2}{(x-2)^n}right|= |x-2|cdotlim _{nrightarrowinfty} left|frac{n^2}{3(n+1)^2}right|=left|frac{x-2}{3}right|} เราจึงได้ว่าอนุกรมนี้ลู่เข้า เมื่อ displaystyle{lim _{nrightarrowinfty}left|frac{a_{n+1}}{a_n}right|= left|frac{x-2}{3}right|<1} นั่นก็คือ -1<x<5 จากนั้นต้องเช็คจุดปลาย displaystyle{x=5:sum_{n=1}^{infty}frac{(5-2)^n}{3^n n^2}
=sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n^2} } ลู่เข้า เพราะเป็นอนุกรม P , P=2 displaystyle{x-1:sum_{n=1}^{infty}frac{(-1-2)^n}{3^n n^2}
=sum_{n=1}^{infty}frac{(-1)^n}{n^2} } ลู่เข้า เพราะเป็นอนุกรมลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ เพราะฉะนั้นอนุกรมนี้จึงลู่เข้า เมื่อ -1leq xleq 5 และมีรัศมีของการลู่เข้าเป็น 5-2=3

2.7 อนุกรมเทย์เลอร์ และอนุกรมแมคคลอรีน ( Taylor and Maclaurin Series )

เป็นอนุกรมกำลังใน x ชนิดหนึ่ง ซึ่งใช้ประมาณค่าฟังก์ชันพื้นฐานต่างๆ กำหนดได้ดังนี้

ทฤษฎีบท 2.7.1 Taylor’s Series ถ้า fเป็นฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกอันดับที่ a จะกำหนด Taylor Series สำหรับ fรอบจุด x=a ได้เป็น displaystyle{f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)frac{(x-a)^2}{2!}+ldots+f^{(n)}(a)frac{(x-a)^n}{n!}+ldots qquad (1)}
นิยาม 2.7.2 ถ้า f เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ถึงอันดับ n ที่ a จะกำหนด displaystyle{n^{th}} Taylor’s Series สำหรับ f รอบจุด ได้เป็น x=a displaystyle{f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)frac{(x-a)^2}{2!}+ldots+f^{(n)}(a)frac{(x-a)^n}{n!}qquad (2)} จะเห็นว่าอนุกรมที่ได้สามารถเขียนในรูปพหุนามอันดับที่ n ได้
displaystyle{P_n(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)frac{(x-a)^2}{2!}+ldots+f^{(n)}(a)frac{(x-a)^n}{n!}} สำหรับอนุกรมเทย์เลอร์ในกรณีที่กระจายรอบจุด a=0 จะเรียกว่า อนุกรมแมคคลอริน ตัวอย่าง 8 กำหนดฟังก์ชัน displaystyle{f(x)=e^x} จงหาอนุกรมแมคคลอริน วิธีทำ ให้ displaystyle{f(x)=e^x} จะได้ displaystyle{f’(x)=f’’(x)=f’’’(x)=ldots=f^{(n)}(x)=e^x} และ displaystyle{f’(0)=f’’(0)=f’’’(0)=ldots=f^{(n)}(0)=e^0=1} ดังนั้น displaystyle{P_0(x)=f(0)=1} displaystyle{P_1(x)=f(0)+f’(0)=1+x} displaystyle{P_2(x)=f(0)+f’(0)+frac{f’’(0)}{2!}x^2=1+x+frac{1}{2}x^2} displaystyle{begin{array}{rcl}P_3(x)&=&f(0)+f’(0)+frac{f’’(0)}{2!}x^2+frac{f’’’(0)}{3!}x^3
&=&1+x+frac{x^2}{2} +frac{ x^3}{3}=1+x+frac{1}{2}x^2+frac{1}{6}x^3}end{array}} displaystyle{begin{array}{rcl}P_n(x)&=&f(0)+f’(0)+frac{f’’(0)}{2!}x^2+frac{f’’’(0)}{3!}x^3+ldots+frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n&=&1+x+frac{x^2}{2}+frac{x^3}{3}+ldots+frac{x^n}{n!}end{array}}

รูป 1
จากรูป 1 จะเห็นว่า เมื่อเราใช้อนุกรมแมคลลอรินอันดับสูง หรือใช้พจน์ของอนุกรมจำนวนมากขึ้นเท่าใด ค่าประมาณที่ได้ ก็จะใกล้เคียงกับ ฟังก์ชัน e^x มากขึ้นเท่านั้น นั่นคือ ในการคำนวณ nพจน์ ค่าที่ได้ จะไม่เป็นค่าที่แท้จริงของ ฟังก์ชัน เพราะเราจะมีการตัดส่วนปลายทิ้งไป จึงเกิดเป็นความคลาดเคลื่อนที่เรียกว่า ความคลาดเคลื่อนจากการตัดปลาย ( truncation error ) และจากรูป พบว่า อนุกรมแมคลอริน จะมีความถูกต้องมาก เมื่อ x=0หรือ ใกล้เคียงศูนย์ แต่ถ้า x เป็นจุดอื่นๆ ที่ไกลจากศูนย์ จะพบว่ามีความคลาดเคลื่อนค่อนข้างมาก ดังนั้นการประมาณ ในลักษณะนี้จะอาศัยอนุกรมเทย์เลอร์ ตัวอย่าง 9 จงหาอนุกรมเทย์เลอร์ f(x)=sin x รอบจุด displaystyle{x=frac{pi}{3}} โดยกระจาย 4 พจน์แรกของอนุกรม วิธีทำ ถ้า f(x)=sin x จะได้ว่า displaystyle{f(x)=sin x, fleft (frac{pi}{3}right)=sin frac{pi}{3}=frac{sqrt{3}}{2}}, displaystyle{f'(x)=cos x, f'left (frac{pi}{3}right)=cos frac{pi}{3}=frac{1}{2}}, displaystyle{f''(x)=-sin x, f''left (frac{pi}{3}right)=-sin frac{pi}{3}=
-frac{sqrt{3}}{2}}, displaystyle{f'''(x)=-cos x,f'''left (frac{pi}{3}right)=-cos frac{pi}{3}=
-frac{1}{2}} แทนลงใน (17) ได้ displaystyle{begin{array}{rcl}P_3(x)&=&fleft(frac{pi}{3}right)+f'left(frac{pi}{3}right)left(x-frac{pi}{3}right)+frac{f''left(frac{pi}{3}right)}{2!}left(x-frac{pi}{3}right)^2 +frac{f'''left(frac{pi}{3}right)}{3!}left(x-frac{pi}{3}right)^3 
&=&frac{sqrt{3}}{2}+frac{1}{2}left(x-frac{pi}{3}right)-frac{sqrt{3}}{2cdot2!}left(x-frac{pi}{3}right)^2-frac{1}{2cdot3!} left(x-frac{pi}{3}right)^3end{array}} สูตรของ เทย์เลอร์ และ การลู่เข้าของอนุกรมเทย์เลอร์ ( Taylor Formula with Remainder and Convergence of Taylor series ) เนื่องจากอนุกรมเทย์เลอร์ เป็นอนุกรมอนันต์ เราสามารถเลือกกระจายอนุกรมถึงอันดับที่ต้องการแล้ววิเคราะห์ว่าพจน์ที่ตัดทิ้งไปนั้น ทำให้เกิดความแม่นยำในระดับที่พึงพอใจหรือไม่ ถ้า ไม่เราอาจสามารถเพิ่มจำนวนพจน์ของอนุกรมให้มากขึ้น จึงจะได้ผลรวมแม่นยำตามที่ต้องการ
ทฤษฎีบท 1 ถ้า f(x) สามารถหาอนุพันธ์ได้ถึงอันดับ n+1 และอนุพันธ์ทุกอันดับของ f(x)เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง และให้ displaystyle{P_n(x)=f(a)+ f'(a)(x-a)+ f''(a)frac{(x-a)^2}{2!} + ldots + f^{(n)}(a)frac{(x-a)^n}{n!}qquad(18)} เป็นอนุกรมเทย์เลอร์อันดับ n โดยกระจายรอบจุด x=a จะมีจุด c ที่อยู่ระหว่าง a และ x อย่างน้อยหนึ่งจุด ที่ displaystyle{R_n(x)=f(x)-P_n(x) = frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}qquad(18)}
เราจะเรียก displaystyle{R_n(x)} นี้ว่า displaystyle{n^{th}} remainder หรือ ความคลาดเคลื่อนจากการตัดปลาย และ สามารถเขียน Taylor Formula with Remainder ได้ดังนี้
Taylor Formula with Remainder displaystyle{f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)frac{(x-a)^2}{2!}+ldots}displaystyle{+f^{(n)}(a)frac{(x-a)^n}{n!}+f^{(n+1)}(c)frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}qquad(20)}
นอกจากนี้เราสามารถหาขอบเขตความคลาดเคลื่อนจากการตัดปลายได้จาก displaystyle{left|R_n(x)right|leqfrac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}max_{aleq cleq x}left|f^{(n+1)}(c)right|} จะเห็นว่าอนุกรมเทย์เลอร์ หรืออนุกรมแมคลอริน จะลู่เข้าสู่ f(x) เมื่อ displaystyle{nrightarrow infty} นั่นคือ displaystyle{lim_{nrightarrow infty}R_n(x)=0} ตัวอย่าง 10 จงประมาณ sqrt{e} และบอกด้วยว่าได้ความแม่นยำเท่าใด วิธีทำ จากสูตร displaystyle{f(x)=f(0)+f'(0)(x)+f''(0)frac{x^2}{2!}+ldots+f^{(n)}(0)frac{x^n}{n!}+R_n(x)} จะได้ว่า e^x คือ อนุกรมแมคคลอริน displaystyle{e^x=1+x+frac{x^2}{2!}+frac{x^3}{3!}+ldots} ถ้าเราใช้อนุกรมนี้คำนวณค่าของ sqrt{e} เราจะแทน x=0.5 และใช้เพียงสี่พจน์แรกของอนุกรม จะได้ displaystyle{e^{0.5}=1+0.5+frac{(0.5)^2}{2!} +frac{(0.5)^3}{3!}qquad(21)} โดยที่ขอบเขต ความคลาดเคลื่อน displaystyle{left|R_3(0.5)right|leqfrac{(0.5)^{4}}{4!} max_{0leq cleq 0.5} left|f^{(4)}(c)right|} ซึ่ง e^c ในช่วง [0,0.5] มีค่ามากสุดที่ c=0.5 ดังนั้น displaystyle{left|R_3(0.5)right|leqfrac{(0.5)^{4}}{4!}e^{0.5}
approx4.2935times10^{-3}} นั่นคือ displaystyle{left|R_3(0.5)right|<5times10^{-3}=0.5times10^{-2}} เราจะได้ว่า (21) เป็นค่าของ sqrt{e}โดยมีความแม่นยำทศนิยม 2 ตำแหน่ง ตัวอย่าง 11 อนุกรมแมคคลอรินของ sin x คือ displaystyle{sin x=x-frac{x^3}{3!}+frac{x^5}{5!}-frac{x^7}{7!}+ldots} ถ้าต้องการหาค่า sin x เมื่อ|x|leq 0.5 ให้ได้ผลลัพธ์ถูกต้องทศนิยม 5 ตำแหน่ง ต้องใช้พจน์ทั้งหมดกี่พจน์ วิธีทำ ถ้าต้องการผลลัพธ์ถูกต้องทศนิยม 5 ตำแหน่ง จะได้ขอบเขตความคลาดเคลื่อนคือ displaystyle{|R_n(x)|<0.5times10^{-5}} เราอาจจะใช้วิธีประมาณค่าสูงสุดของแต่ละพจน์ของอนุกรมเมื่อ |x|leq 0.5 พจน์ที่ 3 displaystyle{frac{x^5}{5!}} มีค่าสูงสุดเมื่อ x=0.5 จะได้ displaystyle{R_n(0.5)approx0.0002>0.5times10^{-5}} พจน์ที่ 4 displaystyle{frac{x^7}{7!}} มีค่าสูงสุดเมื่อ x=0.5 ได้ displaystyle{R_n(0.5)approx0.0002<0.5times10^{-5}} ดังนั้นในการคำนวณ จึงต้องเก็บพจน์ที่สามไว้ เพราะยังมีขนาดใหญ่กว่าค่าขอบเขตของความคลาดเคลื่อน แต่พจน์ที่สี่ปัดทิ้งได้ โดยใช้ displaystyle{sin x=x-frac{x^3}{3!}+frac{x^5}{5!}} สำหรับ |x|leq 0.5 จะได้ค่าของ sin x แม่นยำถูกต้องทศนิยม 5 ตำแหน่ง การลู่เข้าของอนุกรมเทย์เลอร์ และแมคคลอริน
ทฤษฎีบท อนุกรมเทย์เลอร์ และแมคคลอริน สำหรับ f ลู่เข้าสู่ f(x) คือ displaystyle{f(x)=sum_{n=0}^inftyfrac{f^(n)(a)}{n!}(x-a)^n } ก็ต่อเมื่อ displaystyle{lim_ {nrightarrow infty}R_n=0}
ตัวอย่าง 12 จงแสดงการลู่เข้าของอนุกรมแมคคลอรินสำหรับ f(x)=e^x วิธีทำ เราทราบว่า displaystyle{e^x}=1+x+frac{x^2}{2!} +frac{x^3}{3!}+ldot+frac{n^3}{n!}+ldots} displaystyle{left|R_n(x)right|leqfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}e^c} จึงได้ว่า displaystyle{lim_ {nrightarrow infty}R_n=0} การหาอนุพันธ์ และปริพันธ์ของอนุกรมกำลัง (Differentiation and Integration of Power Series) เราหาได้ทีละพจน์ในอนุกรม ตามทฤษฎีบทข้างล่างนี้
กำหนดให้ displaystyle{f(x)=sum_{n=1}^{infty} a_n x^n} เป็นอนุกรมกำลัง โดยมีรัศมีของการลู่เข้าเป็น R>0 เราจะได้ว่า 1. f(x)เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง เมื่อ |x|<R 2. displaystyle{int f(x)dx=frac{a_nx^{n+1}}{n+1}+c;|x|<R} 3. displaystyle{ f’(x)=a_n nx^{n-1};|x|<R}
อ้างอิงจาก - http://www.mathcomplete.com/tutorial/sequence/ - แคลคูลัส II อังสนา และ วิภาวรรณ

tags :

บทความอื่นๆ

หลักการใช้ in, on, at ในภาษาอังกฤษอย่างไรไม่ให้พลาด

หลักการใช้ in, on, at ในภาษาอังกฤษอย่างไรไม่ให้พลาด new post

ช็อตเด็ด!!! เสวนาทะลุมิติวิทยาศาสตร์กับ Interstellar ตอน สัมพัทธภาพพิเศษ กับ มายาคติของ อดีต ปัจจุบัน และอนาคต

ช็อตเด็ด!!! เสวนาทะลุมิติวิทยาศาสตร์กับ Interstellar ตอน สัมพัทธภาพพิเศษ กับ มายาคติของ อดีต ปัจจุบัน และอนาคต

ช็อตเด็ด!!! เสวนาทะลุมิติวิทยาศาสตร์กับ Interstellar ตอน กาลอวกาศและขนมปังลูกเกด

ช็อตเด็ด!!! เสวนาทะลุมิติวิทยาศาสตร์กับ Interstellar ตอน กาลอวกาศและขนมปังลูกเกด

ช็อตเด็ด!!! เสวนาทะลุมิติวิทยาศาสตร์กับ Interstellar ตอน เวลาคือมิติที่สี่

ช็อตเด็ด!!! เสวนาทะลุมิติวิทยาศาสตร์กับ Interstellar ตอน เวลาคือมิติที่สี่

เที่ยวสนุกสไตล์ Sci trip on tour:  ฟอสซิลสัตว์ทะเลบนก้อนหินมาจากไหน และ อะไรคือน้องวัว?

เที่ยวสนุกสไตล์ Sci trip on tour: ฟอสซิลสัตว์ทะเลบนก้อนหินมาจากไหน และ อะไรคือน้องวัว?