วิชาการ.คอม - ลำดับและอนุกรม (2.5 การลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ และ แบบมีเงื่อนไข ( Absolute and Conditional Convergence ))

ลำดับและอนุกรม

ถ้าน้อง ๆ เคยเห็นข้อสอบวัดไอคิว อาจเคยเห็นข้อสอบ ประเภทให้ตัวเลขมา 3-4 ตัว แล้วถามว่า ตัวเลขถัดไปจะเป็นอะไร ตัวอย่างเช่น 1, 2, 4, 7, .... แล้วตัวต่อไปจะเป็นอะไร จากนั้นก็จะมีการพัฒนาข้อสอบเป็น ลำดับรูปภาพต่าง ๆ ให้ได้คิดกัน นอกจากนี้ ในชีวิตประจำ

ผู้เขียน: ดร. ธีรเดช เจียรสุขสกุล ชมแล้ว: 75,963 ครั้ง

post ครั้งแรก: Wed 30 May 2007, 2:00 pm ปรับปรุงล่าสุด: Mon 18 June 2007, 4:22 pm

อยู่ในส่วน: คณิตศาสตร์

สารบัญ

หน้า : 1 1.1 ลำดับ (Sequence) คืออะไร ?
หน้า : 2 1.2 กราฟของลำดับ
หน้า : 3 1.3 ลิมิตของลำดับ
หน้า : 4 1.4 ลำดับทางเดียว ( Monotone Sequence )
หน้า : 5 1.5 ลำดับที่มีขอบเขต ( Bounded Sequences )
หน้า : 6 2.1 อนุกรมอนันต์ ( Infinite Series )
หน้า : 7 2.2 อนุกรมชนิดต่าง ๆ ที่สำคัญ
หน้า : 8 2.3 การทดสอบการลู่เข้า และการลู่ออกของอนุกรม
หน้า : 9 2.4 อนุกรมสลับ ( Alternating Series )
หน้า : 10 2.5 การลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ และ แบบมีเงื่อนไข ( Absolute and Conditional Convergence )
หน้า : 11 2.6 อนุกรมกำลัง ( Power Series )
หน้า : 12 2.7 อนุกรมเทย์เลอร์ และอนุกรมแมคคลอรีน ( Taylor and Maclaurin Series )

หน้าที่ 10 - 2.5 การลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ และ แบบมีเงื่อนไข ( Absolute and Conditional Convergence )

นิยาม 2.5.1 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n}$ เป็นอนุกรมลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ ถ้า $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|}$ เป็นอนุกรมลู่เข้า

นิยาม 2.5.2 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n}$ เป็นอนุกรมลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข ถ้า $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n}$ เป็นอนุกรมลู่เข้า แต่ $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|}$ เป็นอนุกรมลู่ออก

ทฤษฎีบท 2.5.3 ถ้า $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|}$ เป็นอนุกรมลู่เข้าแล้วจะได้ $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n}$ เป็นอนุกรมลู่เข้า และมี $\displaystyle{\left|\sum_{n=}^{\infty} a_n \right| \leq \sum_{n=1}^{\infty}|a_n|}$

ตัวอย่าง 7 จงทดสอบว่า $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(\frac{n\pi}{3})}{n^2}}$ เป็นอนุกรมลู่เข้าหรือไม่
วิธีทำ
อนุกรม
$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(\frac{n\pi}{3})}{n^2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{8}-\frac{1}{9}-\frac{1}{32}+\frac{1}{36}+\frac{1}{98}-\ldots }$

พิจารณา $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{\cos(\frac{n\pi}{3})}{n^2}\right|}$ เนื่องจาก $\displaystyle{\left|\frac{\cos(\frac{n\pi}{3})}{n^2}\right|\leq\frac{1}{n^2}}$ สำหรับ $n\geq 1$

แต่ $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}}$ เป็นอนุกรม P ที่ลู่เข้า เพราะ P = 2 >1

จากการทดสอบแบบเปรียบเทียบได้ว่า $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{\cos(\frac{n\pi}{3})}{n^2}\right|}$ เป็นอนุกรมลู่เข้า
โดยทฤษฎีบท 1.6.3 จะได้ $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(\frac{n\pi}{3})}{n^2}}$ เป็นอนุกรมลู่เข้า

โดยทั่วไปแล้ว เราสามารถ ใช้การทดสอบแบบอัตราส่วนในการบอกว่าอนุกรมลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ หรือไม่ ดังนี้

ทฤษฎีบท 2.5.4 การทดสอบโดยอัตราส่วน ( Ratio Test )
ให้ $\sum a_n$ เป็นอนุกรม ถ้า $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = L}$ แล้วได้ว่า
(1) ถ้า L<1

จะได้อนุกรมลู่เข้าแบบสัมบูรณ์
(2) ถ้า L>1

อนุกรมจะลู่ออก
(3) ถ้า L =1

สรุปไม่ได้

ตัวอย่าง 8 จงทดสอบอนุกรมต่อไปนี้ว่าเป็นอนุกรมลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ หรือ ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข หรือ ลู่ออก

ก. $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}}$
วิธีทำ จากโจทย์ $\displaystyle{a_n=1\frac{(-1)^{n+1}}{n}}$ แล้วเราจะได้ว่า $\displaystyle{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ จึงสรุปไม่ได้

แต่จากตัวอย่าง 6 เราทราบว่า $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}}$ ลู่เข้า แต่ $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_n\right| = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}}$ ลู่ออก เพราะเป็นอนุกรม

โดยที่

เราจึงสรุปได้ว่า $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}}$ ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข

ข. $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{2n^2 +1}}$
วิธีทำ จากโจทย์ $\displaystyle{a_n=\frac{(-1)^{n+1}}{2n^2 +1}}$ แล้วเราจะได้ว่า $\displaystyle{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ จึงสรุปไม่ได้
แต่ $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_n\right| = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2 + 1}}$ ลู่เข้า โดยการทดสอบแบบเปรียบเทียบ กับอนุกรม

โดยที่

เราจึงสรุปได้ว่า $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{2n^2 +1}}$ ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์

<<< หน้าก่อนนี้ (หน้า 9)

หน้าถัดไป (หน้า 11) >>>

^*หมายเหตุ งานเขียนชิ้นนี้ ได้รับการคุ้มครองสิทธิตามพระราชบัญญัติคุ้มครองสิทธิทางปัญญา โดยลิขสิทธิเป็นของผู้เขียน ที่ให้เกียรตินำเผยแพร่ผ่าน วิชาการ.คอม เรามีความยินดีและอนุญาตให้ทำซ้ำหรือเผยแพร่ต่อเพื่อประโยชน์ทางการศึกษาเท่านั้น กรุณาให้เกียรติผู้เขียน โดยอ้างชื่อผู้เขียนและ วิชาการ.คอม (www.vcharkarn.com) ทุกครั้งที่ทำการเผยแพร่ต่อ ห้ามนำส่วนหนึ่งส่วนใดไปเผยแพร่ต่อในสื่อที่เอื้อประโยชน์ทางธุรกิจก่อนได้รับอนุญาต ขอขอบคุณที่ร่วมกันช่วยสร้างให้สังคมไทยเป็นสังคมแห่งปัญญา

จำนวน 6 ความเห็น, หน้า่ | -1-

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 3 11 ก.ค. 2550 (21:17)
อยากถามว่า ในลำดับนี้ ค่า n=0 ได้ไหม ถ้าไม่ได้เพราะอะไร
แล้วก็สูตรที่อาจารย์ใช้สอนในการหาค่า 3 พจน์ ของลำดับ เช่น การหาค่า 3 พจน์ของลำดับเลขาคณิตที่มีสูตรว่า a/r,a,ar อะไรประมาณนี้มันขัดกับนิยามหรือไม่ เพราะที่อาจารย์เคยสอน เขาบอกว่าa1 เป็นลำดับแรกสุดของลำดับต่างๆ

Runa-Light

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 3 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 153 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 4 20 ก.ย. 2550 (14:52)
จากความเห็นเพิ่มเติมที่ 3 นะครับ
ผมว่า น่าจะไม่ขัดนะครับ เพราะว่า a/r , a ,ar เป็นการเขียนในรูปของกรณีสมมุติพจน์ใดๆมา 3 พจน์ นั่นหมายความว่า a/r คือพจน์ที่อยู่ก่อนหน้าพจน์ a 1 ลำดับ ซึ่งการเขียนกรณีนี้ได้ต้องครอบคลุม คือพจน์ของ a/r จะเป็นได้ต่ำสุดก็คือพจน์ที่ 1 จึงสามาถนำไปใช้ได้ แต่ข้อจำกัดอื่นๆ จะต้องสอดคล้องกับทฤษฎีด้วยประมานนี้
นี่เป็นความคิดเห็นส่วนตัวนะครับ ผิดพลาดประการใด ก็ขออภัยและโปรดชี้แจงด้วยครับ
^^ O_O @_@

divine_sg

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 3 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 150 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 5 26 ก.ย. 2550 (17:39)
ขอบคุงมากๆครับ

Halo

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 1 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 150 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 6 13 พ.ย. 2550 (17:55)
ขอบคุณมากครับ...

bobs

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 7 28 พ.ย. 2550 (17:43)
จาก ทฤษฎีบท 2.4.1 การทดสอบอนุกรมสลับ
จริงหรอคะที่ถ้าขาดคุณสมบัติข้อใดข้อหนึ่ง สรุปได้ทันทีว่า เป็นอนุกรมลู่ออก
เหมือนเคยอ่านเจอว่า ถ้าขาดข้อ2 สรุปได้ทันที แต่ถ้าขาดข้ออื่นจะสรุปไม่ได้

fon155