วิชาการ.คอม - ลำดับและอนุกรม (2.6 อนุกรมกำลัง ( Power Series ))

ลำดับและอนุกรม

ถ้าน้อง ๆ เคยเห็นข้อสอบวัดไอคิว อาจเคยเห็นข้อสอบ ประเภทให้ตัวเลขมา 3-4 ตัว แล้วถามว่า ตัวเลขถัดไปจะเป็นอะไร ตัวอย่างเช่น 1, 2, 4, 7, .... แล้วตัวต่อไปจะเป็นอะไร จากนั้นก็จะมีการพัฒนาข้อสอบเป็น ลำดับรูปภาพต่าง ๆ ให้ได้คิดกัน นอกจากนี้ ในชีวิตประจำ

ผู้เขียน: ดร. ธีรเดช เจียรสุขสกุล ชมแล้ว: 75,960 ครั้ง

post ครั้งแรก: Wed 30 May 2007, 2:00 pm ปรับปรุงล่าสุด: Mon 18 June 2007, 4:22 pm

อยู่ในส่วน: คณิตศาสตร์

สารบัญ

หน้า : 1 1.1 ลำดับ (Sequence) คืออะไร ?
หน้า : 2 1.2 กราฟของลำดับ
หน้า : 3 1.3 ลิมิตของลำดับ
หน้า : 4 1.4 ลำดับทางเดียว ( Monotone Sequence )
หน้า : 5 1.5 ลำดับที่มีขอบเขต ( Bounded Sequences )
หน้า : 6 2.1 อนุกรมอนันต์ ( Infinite Series )
หน้า : 7 2.2 อนุกรมชนิดต่าง ๆ ที่สำคัญ
หน้า : 8 2.3 การทดสอบการลู่เข้า และการลู่ออกของอนุกรม
หน้า : 9 2.4 อนุกรมสลับ ( Alternating Series )
หน้า : 10 2.5 การลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ และ แบบมีเงื่อนไข ( Absolute and Conditional Convergence )
หน้า : 11 2.6 อนุกรมกำลัง ( Power Series )
หน้า : 12 2.7 อนุกรมเทย์เลอร์ และอนุกรมแมคคลอรีน ( Taylor and Maclaurin Series )

หน้าที่ 11 - 2.6 อนุกรมกำลัง ( Power Series )

นิยาม 2.6.1อนุกรมกำลัง เป็นอนุกรมอนันต์ของฟังก์ชัน ซึ่งเขียนได้ในรูป

$\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty}c_n(x-a)^n=c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a)^2+\ldots+c_n(x-a)^n+\ldots}$ (1)
เมื่อ $a,c_0,c_1,c_2,\ldots,c_n,\ldots$ เป็นค่าคงที่ และ

เป็นตัวแปร, เรียก

ว่าศูนย์กลางของอนุกรมกำลัง และเรียก $c_0,c_1,c_2,\ldots,c_n,\ldots$ ว่าสัมประสิทธิ์ของอนุกรมกำลัง

ในกรณีที่

เราจะเรียกอนุกรม (1) ว่า อนุกรมกำลังใน

เช่น $\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!},\sum_{n=0}^\infty n!x^n}}$ , และ $\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$ เป็นต้น

แต่ถ้า $a\neq0$ จะเรียก (1) ว่า อนุกรมกำลังใน x-a

เช่น $\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty \frac{(x-1)^n}{n+1}}$ และ $\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{(x+3)^n}{n!}}$ เป็นต้น

เนื่องจาก

มีค่าต่างๆกัน เมื่อแทนลงในอนุกรมกำลัง (1) จะได้อนุกรมที่ลู่เข้า หรือ ลู่ออกก็ได้ เช่น

พิจารณาอนุกรมกำลัง $\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty \frac{(x-5)^n}{n^2}}$

ถ้า x=6

จะได้ อนุกรม $\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n^2}$ ซึ่งเป็นอนุกรม P , P=2 p,p=2

ลู่เข้า

ถ้า x=3

จะได้ อนุกรม $\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty \frac{(-2)^n}{n^2}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^n}{n^2}}$ ซึ่งเป็นอนุกรมสลับที่ลู่ออก

ดังนั้น อนุกรมกำลัง จึงมีจุดบางจุด หรือ ช่วงบางช่วงที่ทำให้อนุกรมลู่เข้า จึงเขียนเป็นนิยามได้ดังนี้

นิยาม 2.6.2 เซตของจุดบนช่วงจำกัด ช่วงหนึ่ง ที่ทำให้อนุกรมกำลังเป็นอนุกรมที่ลู่เข้า เรียกช่วงจำกัดนี้ว่า ช่วงของการลู่เข้า ( Interval of Convergence ) ช่วงจำกัดอาจจะเป็นช่วงเปิด ช่วงปิด หรือ ช่วงครึ่งเปิดครึ่งปิดได้ นั่นคือ (a,b),[a,b],[a,b),(a,b]

นิยาม 2.6.3 ถ้า

เป็นจำนวนที่ทำให้อนุกรมกำลังเป็นอนุกรมที่ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ ทุกๆ

ถ้า

และ

เป็นขีดจำกัดบนที่น้อยที่สุด เราเรียก

ว่ารัศมีของการลู่เข้า ( Radius of Convergence )

ขั้นตอนการทดสอบการลู่เข้าของอนุกรมกำลัง

ขั้นที่1 ใช้การทดสอบแบบอัตราส่วน ( Ratio Test ) หรือ การทดสอบแบบรากที่

( Root Test ) $\displaystyle{n^{th}}$ จะทราบว่าอนุกรมกำลังลู่เข้า ในช่วงใด ซึ่งจะได้รูปช่วงเปิด |x-a|<R

หรือ

ขั้นที่2 จะทำการทดสอบปลายช่วง โดยนำจุดปลายไปแทนในอนุกรมกำลัง จะได้อนุกรมค่าคงตัว ซึ่งจะต้องใช้วิธีการอื่นๆ ในการทดสอบ เช่น การทดสอบแบบเปรียบเทียบ, การทดสอบโดยอินทิกรัล หรือ การทดสอบอนุกรมสลับ เป็นต้น

ตัวอย่าง 1 จงหาค่า

ที่ทำให้อนุกรมต่อไปนี้ลู่เข้า

ก. $\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}}$
วิธีทำ ใช้การทดสอบแบบอัตราส่วน
$\displaystyle{\lim _{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|= \lim _{n\rightarrow\infty}\left|\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{x^n}\right|= |x|\cdot\lim _{n\rightarrow\infty}\left|\frac{1}{n+1}\right|=0<1 }$
สำหรับทุกค่า

เพราะฉะนั้น อนุกรมนี้จึงลู่เข้า สำหรับทุกค่า

ข. $\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty n!x^n}$
วิธีทำ ใช้การทดสอบแบบอัตราส่วน
$\displaystyle{\lim _{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|= \lim _{n\rightarrow\infty}\left|\frac{(n+1)!x^{n+1}}{n!x^n}\right|= |x|\cdot\lim _{n\rightarrow\infty}|(n+1)|=\infty>1}$
สำหรับทุกค่า $x\neq 0$ เพราะฉะนั้น อนุกรมนี้จึงลู่เข้าที่เดียว เมื่อ x=0

ตัวอย่าง 2 จงหาช่วงและรัศมีของการลู่เข้าของอนุกรมกำลังต่อไปนี้

ก. $\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^n}{n(n+1)}}$
วิธีทำ ใช้การทดสอบแบบอัตราส่วน
$\displaystyle{\lim _{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|= \lim _{n\rightarrow\infty}\left|\frac{x^{n+1}}{(n+1)(n+2)}\cdot\frac{n(n+1)}{x^n}\right|= |x|\cdot\lim _{n\rightarrow\infty}\left|\frac{n(n+1)}{(n+1)(n+2)}\right|=|x|}$

เราจึงได้ว่าอนุกรมนี้ลู่เข้า เมื่อ $\displaystyle{\lim _{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x|<1}$ จากนั้นต้องเช็คจุดปลาย

$\displaystyle{x=1:\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n(n+1)}}$ ลู่เข้า โดยการทดสอบแบบอนุกรมสลับ

$\displaystyle{x=-1:\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}}$ ลู่เข้า โดยการทดสอบแบบเปรียบเทียบ

เพราะฉะนั้นอนุกรมนี้จึงลู่เข้า เมื่อ $\displaystyle{-1\leq x\leq1 }$ และมีรัศมีของการลู่เข้า เป็น $\displaystyle{1-0=1}$

ข. $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-2)^n}{3^n n^2}}$
วิธีทำ ใช้การทดสอบแบบอัตราส่วน
$\displaystyle{\lim _{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|= \lim _{n\rightarrow\infty}\left|\frac{(x-2)^{n+1}}{3^{n+1}(n+1)^2}\cdot\frac{3^n n^2}{(x-2)^n}\right|= |x-2|\cdot\lim _{n\rightarrow\infty} \left|\frac{n^2}{3(n+1)^2}\right|=\left|\frac{x-2}{3}\right|}$

เราจึงได้ว่าอนุกรมนี้ลู่เข้า เมื่อ $\displaystyle{\lim _{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|= \left|\frac{x-2}{3}\right|<1}$ นั่นก็คือ -1<x<5

จากนั้นต้องเช็คจุดปลาย

$\displaystyle{x=5:\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(5-2)^n}{3^n n^2} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} }$ ลู่เข้า เพราะเป็นอนุกรม P , P=2

$\displaystyle{x-1:\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1-2)^n}{3^n n^2} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2} }$ ลู่เข้า เพราะเป็นอนุกรมลู่เข้าแบบสัมบูรณ์

เพราะฉะนั้นอนุกรมนี้จึงลู่เข้า เมื่อ $-1\leq x\leq 5$ และมีรัศมีของการลู่เข้าเป็น 5-2=3

<<< หน้าก่อนนี้ (หน้า 10)

หน้าถัดไป (หน้า 12) >>>

^*หมายเหตุ งานเขียนชิ้นนี้ ได้รับการคุ้มครองสิทธิตามพระราชบัญญัติคุ้มครองสิทธิทางปัญญา โดยลิขสิทธิเป็นของผู้เขียน ที่ให้เกียรตินำเผยแพร่ผ่าน วิชาการ.คอม เรามีความยินดีและอนุญาตให้ทำซ้ำหรือเผยแพร่ต่อเพื่อประโยชน์ทางการศึกษาเท่านั้น กรุณาให้เกียรติผู้เขียน โดยอ้างชื่อผู้เขียนและ วิชาการ.คอม (www.vcharkarn.com) ทุกครั้งที่ทำการเผยแพร่ต่อ ห้ามนำส่วนหนึ่งส่วนใดไปเผยแพร่ต่อในสื่อที่เอื้อประโยชน์ทางธุรกิจก่อนได้รับอนุญาต ขอขอบคุณที่ร่วมกันช่วยสร้างให้สังคมไทยเป็นสังคมแห่งปัญญา

จำนวน 6 ความเห็น, หน้า่ | -1-

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 3 11 ก.ค. 2550 (21:17)
อยากถามว่า ในลำดับนี้ ค่า n=0 ได้ไหม ถ้าไม่ได้เพราะอะไร
แล้วก็สูตรที่อาจารย์ใช้สอนในการหาค่า 3 พจน์ ของลำดับ เช่น การหาค่า 3 พจน์ของลำดับเลขาคณิตที่มีสูตรว่า a/r,a,ar อะไรประมาณนี้มันขัดกับนิยามหรือไม่ เพราะที่อาจารย์เคยสอน เขาบอกว่าa1 เป็นลำดับแรกสุดของลำดับต่างๆ

Runa-Light

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 3 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 153 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 4 20 ก.ย. 2550 (14:52)
จากความเห็นเพิ่มเติมที่ 3 นะครับ
ผมว่า น่าจะไม่ขัดนะครับ เพราะว่า a/r , a ,ar เป็นการเขียนในรูปของกรณีสมมุติพจน์ใดๆมา 3 พจน์ นั่นหมายความว่า a/r คือพจน์ที่อยู่ก่อนหน้าพจน์ a 1 ลำดับ ซึ่งการเขียนกรณีนี้ได้ต้องครอบคลุม คือพจน์ของ a/r จะเป็นได้ต่ำสุดก็คือพจน์ที่ 1 จึงสามาถนำไปใช้ได้ แต่ข้อจำกัดอื่นๆ จะต้องสอดคล้องกับทฤษฎีด้วยประมานนี้
นี่เป็นความคิดเห็นส่วนตัวนะครับ ผิดพลาดประการใด ก็ขออภัยและโปรดชี้แจงด้วยครับ
^^ O_O @_@

divine_sg

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 3 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 150 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 5 26 ก.ย. 2550 (17:39)
ขอบคุงมากๆครับ

Halo

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 1 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 150 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 6 13 พ.ย. 2550 (17:55)
ขอบคุณมากครับ...

bobs

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 7 28 พ.ย. 2550 (17:43)
จาก ทฤษฎีบท 2.4.1 การทดสอบอนุกรมสลับ
จริงหรอคะที่ถ้าขาดคุณสมบัติข้อใดข้อหนึ่ง สรุปได้ทันทีว่า เป็นอนุกรมลู่ออก
เหมือนเคยอ่านเจอว่า ถ้าขาดข้อ2 สรุปได้ทันที แต่ถ้าขาดข้ออื่นจะสรุปไม่ได้

fon155