วิชาการ.คอม - ลำดับและอนุกรม (2.7 อนุกรมเทย์เลอร์ และอนุกรมแมคคลอรีน ( Taylor and Maclaurin Series ))

ลำดับและอนุกรม

ถ้าน้อง ๆ เคยเห็นข้อสอบวัดไอคิว อาจเคยเห็นข้อสอบ ประเภทให้ตัวเลขมา 3-4 ตัว แล้วถามว่า ตัวเลขถัดไปจะเป็นอะไร ตัวอย่างเช่น 1, 2, 4, 7, .... แล้วตัวต่อไปจะเป็นอะไร จากนั้นก็จะมีการพัฒนาข้อสอบเป็น ลำดับรูปภาพต่าง ๆ ให้ได้คิดกัน นอกจากนี้ ในชีวิตประจำ

ผู้เขียน: ดร. ธีรเดช เจียรสุขสกุล ชมแล้ว: 75,974 ครั้ง

post ครั้งแรก: Wed 30 May 2007, 2:00 pm ปรับปรุงล่าสุด: Mon 18 June 2007, 4:22 pm

อยู่ในส่วน: คณิตศาสตร์

สารบัญ

หน้า : 1 1.1 ลำดับ (Sequence) คืออะไร ?
หน้า : 2 1.2 กราฟของลำดับ
หน้า : 3 1.3 ลิมิตของลำดับ
หน้า : 4 1.4 ลำดับทางเดียว ( Monotone Sequence )
หน้า : 5 1.5 ลำดับที่มีขอบเขต ( Bounded Sequences )
หน้า : 6 2.1 อนุกรมอนันต์ ( Infinite Series )
หน้า : 7 2.2 อนุกรมชนิดต่าง ๆ ที่สำคัญ
หน้า : 8 2.3 การทดสอบการลู่เข้า และการลู่ออกของอนุกรม
หน้า : 9 2.4 อนุกรมสลับ ( Alternating Series )
หน้า : 10 2.5 การลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ และ แบบมีเงื่อนไข ( Absolute and Conditional Convergence )
หน้า : 11 2.6 อนุกรมกำลัง ( Power Series )
หน้า : 12 2.7 อนุกรมเทย์เลอร์ และอนุกรมแมคคลอรีน ( Taylor and Maclaurin Series )

หน้าที่ 12 - 2.7 อนุกรมเทย์เลอร์ และอนุกรมแมคคลอรีน ( Taylor and Maclaurin Series )

เป็นอนุกรมกำลังใน

ชนิดหนึ่ง ซึ่งใช้ประมาณค่าฟังก์ชันพื้นฐานต่างๆ กำหนดได้ดังนี้

ทฤษฎีบท 2.7.1 Taylor’s Series
ถ้า

เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกอันดับที่

จะกำหนด Taylor Series สำหรับ

รอบจุด

ได้เป็น

$\displaystyle{f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)\frac{(x-a)^2}{2!}+\ldots+f^{(n)}(a)\frac{(x-a)^n}{n!}+\ldots \qquad (1)}$

นิยาม 2.7.2 ถ้า

เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ถึงอันดับ

ที่

จะกำหนด $\displaystyle{n^{th}}$ Taylor’s Series สำหรับ

รอบจุด ได้เป็น x=a

$\displaystyle{f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)\frac{(x-a)^2}{2!}+\ldots+f^{(n)}(a)\frac{(x-a)^n}{n!}\qquad (2)}$

จะเห็นว่าอนุกรมที่ได้สามารถเขียนในรูปพหุนามอันดับที่

ได้

$\displaystyle{P_n(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)\frac{(x-a)^2}{2!}+\ldots+f^{(n)}(a)\frac{(x-a)^n}{n!}}$

สำหรับอนุกรมเทย์เลอร์ในกรณีที่กระจายรอบจุด a=0

จะเรียกว่า อนุกรมแมคคลอริน

ตัวอย่าง 8 กำหนดฟังก์ชัน $\displaystyle{f(x)=e^x}$ จงหาอนุกรมแมคคลอริน
วิธีทำ ให้ $\displaystyle{f(x)=e^x}$ จะได้ $\displaystyle{f’(x)=f’’(x)=f’’’(x)=\ldots=f^{(n)}(x)=e^x}$ และ $\displaystyle{f’(0)=f’’(0)=f’’’(0)=\ldots=f^{(n)}(0)=e^0=1}$
ดังนั้น
$\displaystyle{P_0(x)=f(0)=1}$
$\displaystyle{P_1(x)=f(0)+f’(0)=1+x}$
$\displaystyle{P_2(x)=f(0)+f’(0)+\frac{f’’(0)}{2!}x^2=1+x+\frac{1}{2}x^2}$
$\displaystyle{\begin{array}{rcl}P_3(x)&=&f(0)+f’(0)+\frac{f’’(0)}{2!}x^2+\frac{f’’’(0)}{3!}x^3\ &=&1+x+\frac{x^2}{2} +\frac{ x^3}{3}=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3}\end{array}}$
$\displaystyle{\begin{array}{rcl}P_n(x)&=&f(0)+f’(0)+\frac{f’’(0)}{2!}x^2+\frac{f’’’(0)}{3!}x^3+\ldots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\&=&1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\ldots+\frac{x^n}{n!}\end{array}}$

รูป 1

จากรูป 1 จะเห็นว่า เมื่อเราใช้อนุกรมแมคลลอรินอันดับสูง หรือใช้พจน์ของอนุกรมจำนวนมากขึ้นเท่าใด ค่าประมาณที่ได้ ก็จะใกล้เคียงกับ ฟังก์ชัน e^x

มากขึ้นเท่านั้น นั่นคือ ในการคำนวณ

พจน์ ค่าที่ได้ จะไม่เป็นค่าที่แท้จริงของ ฟังก์ชัน เพราะเราจะมีการตัดส่วนปลายทิ้งไป จึงเกิดเป็นความคลาดเคลื่อนที่เรียกว่า ความคลาดเคลื่อนจากการตัดปลาย ( truncation error ) และจากรูป พบว่า อนุกรมแมคลอริน จะมีความถูกต้องมาก เมื่อ x=0

หรือ ใกล้เคียงศูนย์ แต่ถ้า

เป็นจุดอื่นๆ ที่ไกลจากศูนย์ จะพบว่ามีความคลาดเคลื่อนค่อนข้างมาก ดังนั้นการประมาณ ในลักษณะนี้จะอาศัยอนุกรมเทย์เลอร์

ตัวอย่าง 9 จงหาอนุกรมเทย์เลอร์ $f(x)=\sin x$ รอบจุด $\displaystyle{x=\frac{\pi}{3}}$ โดยกระจาย 4 พจน์แรกของอนุกรม
วิธีทำ
ถ้า $f(x)=\sin x$ จะได้ว่า
$\displaystyle{f(x)=\sin x, f\left (\frac{\pi}{3}\right)=\sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}}$ ,
$\displaystyle{f'(x)=\cos x, f'\left (\frac{\pi}{3}\right)=\cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}}$ ,
$\displaystyle{f''(x)=-\sin x, f''\left (\frac{\pi}{3}\right)=-\sin \frac{\pi}{3}= -\frac{\sqrt{3}}{2}}$ ,
$\displaystyle{f'''(x)=-\cos x,f'''\left (\frac{\pi}{3}\right)=-\cos \frac{\pi}{3}= -\frac{1}{2}}$

แทนลงใน (17) ได้

$\displaystyle{\begin{array}{rcl}P_3(x)&=&f\left(\frac{\pi}{3}\right)+f'\left(\frac{\pi}{3}\right)\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+\frac{f''\left(\frac{\pi}{3}\right)}{2!}\left(x-\frac{\pi}{3}\right)^2 +\frac{f'''\left(\frac{\pi}{3}\right)}{3!}\left(x-\frac{\pi}{3}\right)^3\ &=&\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\left(x-\frac{\pi}{3}\right)-\frac{\sqrt{3}}{2\cdot2!}\left(x-\frac{\pi}{3}\right)^2-\frac{1}{2\cdot3!} \left(x-\frac{\pi}{3}\right)^3\end{array}}$

สูตรของ เทย์เลอร์ และ การลู่เข้าของอนุกรมเทย์เลอร์ ( Taylor Formula with Remainder and Convergence of Taylor series )

เนื่องจากอนุกรมเทย์เลอร์ เป็นอนุกรมอนันต์ เราสามารถเลือกกระจายอนุกรมถึงอันดับที่ต้องการแล้ววิเคราะห์ว่าพจน์ที่ตัดทิ้งไปนั้น ทำให้เกิดความแม่นยำในระดับที่พึงพอใจหรือไม่ ถ้า ไม่เราอาจสามารถเพิ่มจำนวนพจน์ของอนุกรมให้มากขึ้น จึงจะได้ผลรวมแม่นยำตามที่ต้องการ

ทฤษฎีบท 1 ถ้า f(x)

สามารถหาอนุพันธ์ได้ถึงอันดับ n+1

และอนุพันธ์ทุกอันดับของ f(x)

เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง และให้

$\displaystyle{P_n(x)=f(a)+ f'(a)(x-a)+ f''(a)\frac{(x-a)^2}{2!} + \ldots + f^{(n)}(a)\frac{(x-a)^n}{n!}\qquad(18)}$

เป็นอนุกรมเทย์เลอร์อันดับ

โดยกระจายรอบจุด x=a

จะมีจุด

ที่อยู่ระหว่าง

และ

อย่างน้อยหนึ่งจุด ที่

$\displaystyle{R_n(x)=f(x)-P_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\qquad(18)}$

เราจะเรียก $\displaystyle{R_n(x)}$ นี้ว่า $\displaystyle{n^{th}}$ remainder หรือ ความคลาดเคลื่อนจากการตัดปลาย และ สามารถเขียน Taylor Formula with Remainder ได้ดังนี้

Taylor Formula with Remainder
$\displaystyle{f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)\frac{(x-a)^2}{2!}+\ldots}$ $\displaystyle{+f^{(n)}(a)\frac{(x-a)^n}{n!}+f^{(n+1)}(c)\frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}\qquad(20)}$

นอกจากนี้เราสามารถหาขอบเขตความคลาดเคลื่อนจากการตัดปลายได้จาก

$\displaystyle{\left|R_n(x)\right|\leq\frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}\max_{a\leq c\leq x}\left|f^{(n+1)}(c)\right|}$

จะเห็นว่าอนุกรมเทย์เลอร์ หรืออนุกรมแมคลอริน จะลู่เข้าสู่ f(x)

เมื่อ $\displaystyle{n\rightarrow \infty}$ นั่นคือ $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}R_n(x)=0}$

ตัวอย่าง 10 จงประมาณ $\sqrt{e}$ และบอกด้วยว่าได้ความแม่นยำเท่าใด
วิธีทำ จากสูตร $\displaystyle{f(x)=f(0)+f'(0)(x)+f''(0)\frac{x^2}{2!}+\ldots+f^{(n)}(0)\frac{x^n}{n!}+R_n(x)}$ จะได้ว่า e^x

คือ อนุกรมแมคคลอริน

$\displaystyle{e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\ldots}$

ถ้าเราใช้อนุกรมนี้คำนวณค่าของ $\sqrt{e}$ เราจะแทน x=0.5

และใช้เพียงสี่พจน์แรกของอนุกรม จะได้

$\displaystyle{e^{0.5}=1+0.5+\frac{(0.5)^2}{2!} +\frac{(0.5)^3}{3!}\qquad(21)}$

โดยที่ขอบเขต ความคลาดเคลื่อน $\displaystyle{\left|R_3(0.5)\right|\leq\frac{(0.5)^{4}}{4!} \max_{0\leq c\leq 0.5} \left|f^{(4)}(c)\right|}$

ซึ่ง e^c

ในช่วง

มีค่ามากสุดที่ c=0.5

ดังนั้น $\displaystyle{\left|R_3(0.5)\right|\leq\frac{(0.5)^{4}}{4!}e^{0.5} \approx4.2935\times10^{-3}}$
นั่นคือ

$\displaystyle{\left|R_3(0.5)\right|<5\times10^{-3}=0.5\times10^{-2}}$

เราจะได้ว่า (21) เป็นค่าของ $\sqrt{e}$ โดยมีความแม่นยำทศนิยม 2 ตำแหน่ง

ตัวอย่าง 11 อนุกรมแมคคลอรินของ $\sin x$ คือ
$\displaystyle{\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-frac{x^7}{7!}+ldots}$ ถ้าต้องการหาค่า $\sin x$ เมื่อ $|x|\leq 0.5$ ให้ได้ผลลัพธ์ถูกต้องทศนิยม 5 ตำแหน่ง ต้องใช้พจน์ทั้งหมดกี่พจน์
วิธีทำ ถ้าต้องการผลลัพธ์ถูกต้องทศนิยม 5 ตำแหน่ง จะได้ขอบเขตความคลาดเคลื่อนคือ $\displaystyle{|R_n(x)|<0.5\times10^{-5}}$
เราอาจจะใช้วิธีประมาณค่าสูงสุดของแต่ละพจน์ของอนุกรมเมื่อ $|x|\leq 0.5$

พจน์ที่ 3 $\displaystyle{\frac{x^5}{5!}}$ มีค่าสูงสุดเมื่อ x=0.5

จะได้ $\displaystyle{R_n(0.5)\approx0.0002>0.5\times10^{-5}}$

พจน์ที่ 4 $\displaystyle{\frac{x^7}{7!}}$ มีค่าสูงสุดเมื่อ x=0.5

ได้ $\displaystyle{R_n(0.5)\approx0.0002<0.5\times10^{-5}}$

ดังนั้นในการคำนวณ จึงต้องเก็บพจน์ที่สามไว้ เพราะยังมีขนาดใหญ่กว่าค่าขอบเขตของความคลาดเคลื่อน แต่พจน์ที่สี่ปัดทิ้งได้ โดยใช้ $\displaystyle{\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}}$ สำหรับ $|x|\leq 0.5$ จะได้ค่าของ $\sin x$ แม่นยำถูกต้องทศนิยม 5 ตำแหน่ง

การลู่เข้าของอนุกรมเทย์เลอร์ และแมคคลอริน

ทฤษฎีบท อนุกรมเทย์เลอร์ และแมคคลอริน สำหรับ

ลู่เข้าสู่ f(x)

คือ $\displaystyle{f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^(n)(a)}{n!}(x-a)^n }$ ก็ต่อเมื่อ $\displaystyle{\lim_ {n\rightarrow \infty}R_n=0}$

ตัวอย่าง 12 จงแสดงการลู่เข้าของอนุกรมแมคคลอรินสำหรับ f(x)=e^x

วิธีทำ เราทราบว่า $\displaystyle{e^x}=1+x+\frac{x^2}{2!} +\frac{x^3}{3!}+\ldot+\frac{n^3}{n!}+\ldots}$
$\displaystyle{\left|R_n(x)\right|\leq\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}e^c}$ จึงได้ว่า $\displaystyle{\lim_ {n\rightarrow \infty}R_n=0}$

การหาอนุพันธ์ และปริพันธ์ของอนุกรมกำลัง (Differentiation and Integration of Power Series)

เราหาได้ทีละพจน์ในอนุกรม ตามทฤษฎีบทข้างล่างนี้

กำหนดให้ $\displaystyle{f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n}$ เป็นอนุกรมกำลัง โดยมีรัศมีของการลู่เข้าเป็น R>0

เราจะได้ว่า
1. f(x)

เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง เมื่อ |x|<R

2. $\displaystyle{\int f(x)dx=\frac{a_nx^{n+1}}{n+1}+c;|x|<R}$
3. $\displaystyle{ f’(x)=a_n nx^{n-1};|x|<R}$

อ้างอิงจาก
- http://www.mathcomplete.com/tutorial/sequence/
- แคลคูลัส II อังสนา และ วิภาวรรณ

<<< หน้าก่อนนี้ (หน้า 11)

หน้าถัดไป (หน้า 13) >>>

^*หมายเหตุ งานเขียนชิ้นนี้ ได้รับการคุ้มครองสิทธิตามพระราชบัญญัติคุ้มครองสิทธิทางปัญญา โดยลิขสิทธิเป็นของผู้เขียน ที่ให้เกียรตินำเผยแพร่ผ่าน วิชาการ.คอม เรามีความยินดีและอนุญาตให้ทำซ้ำหรือเผยแพร่ต่อเพื่อประโยชน์ทางการศึกษาเท่านั้น กรุณาให้เกียรติผู้เขียน โดยอ้างชื่อผู้เขียนและ วิชาการ.คอม (www.vcharkarn.com) ทุกครั้งที่ทำการเผยแพร่ต่อ ห้ามนำส่วนหนึ่งส่วนใดไปเผยแพร่ต่อในสื่อที่เอื้อประโยชน์ทางธุรกิจก่อนได้รับอนุญาต ขอขอบคุณที่ร่วมกันช่วยสร้างให้สังคมไทยเป็นสังคมแห่งปัญญา

จำนวน 6 ความเห็น, หน้า่ | -1-

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 3 11 ก.ค. 2550 (21:17)
อยากถามว่า ในลำดับนี้ ค่า n=0 ได้ไหม ถ้าไม่ได้เพราะอะไร
แล้วก็สูตรที่อาจารย์ใช้สอนในการหาค่า 3 พจน์ ของลำดับ เช่น การหาค่า 3 พจน์ของลำดับเลขาคณิตที่มีสูตรว่า a/r,a,ar อะไรประมาณนี้มันขัดกับนิยามหรือไม่ เพราะที่อาจารย์เคยสอน เขาบอกว่าa1 เป็นลำดับแรกสุดของลำดับต่างๆ

Runa-Light

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 3 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 153 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 4 20 ก.ย. 2550 (14:52)
จากความเห็นเพิ่มเติมที่ 3 นะครับ
ผมว่า น่าจะไม่ขัดนะครับ เพราะว่า a/r , a ,ar เป็นการเขียนในรูปของกรณีสมมุติพจน์ใดๆมา 3 พจน์ นั่นหมายความว่า a/r คือพจน์ที่อยู่ก่อนหน้าพจน์ a 1 ลำดับ ซึ่งการเขียนกรณีนี้ได้ต้องครอบคลุม คือพจน์ของ a/r จะเป็นได้ต่ำสุดก็คือพจน์ที่ 1 จึงสามาถนำไปใช้ได้ แต่ข้อจำกัดอื่นๆ จะต้องสอดคล้องกับทฤษฎีด้วยประมานนี้
นี่เป็นความคิดเห็นส่วนตัวนะครับ ผิดพลาดประการใด ก็ขออภัยและโปรดชี้แจงด้วยครับ
^^ O_O @_@

divine_sg

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 3 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 150 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 5 26 ก.ย. 2550 (17:39)
ขอบคุงมากๆครับ

Halo

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 1 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 150 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 6 13 พ.ย. 2550 (17:55)
ขอบคุณมากครับ...

bobs

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 7 28 พ.ย. 2550 (17:43)
จาก ทฤษฎีบท 2.4.1 การทดสอบอนุกรมสลับ
จริงหรอคะที่ถ้าขาดคุณสมบัติข้อใดข้อหนึ่ง สรุปได้ทันทีว่า เป็นอนุกรมลู่ออก
เหมือนเคยอ่านเจอว่า ถ้าขาดข้อ2 สรุปได้ทันที แต่ถ้าขาดข้ออื่นจะสรุปไม่ได้

fon155