วิชาการ.คอม - ลำดับและอนุกรม (1.3 ลิมิตของลำดับ)

ลำดับและอนุกรม

ถ้าน้อง ๆ เคยเห็นข้อสอบวัดไอคิว อาจเคยเห็นข้อสอบ ประเภทให้ตัวเลขมา 3-4 ตัว แล้วถามว่า ตัวเลขถัดไปจะเป็นอะไร ตัวอย่างเช่น 1, 2, 4, 7, .... แล้วตัวต่อไปจะเป็นอะไร จากนั้นก็จะมีการพัฒนาข้อสอบเป็น ลำดับรูปภาพต่าง ๆ ให้ได้คิดกัน นอกจากนี้ ในชีวิตประจำ

ผู้เขียน: ดร. ธีรเดช เจียรสุขสกุล ชมแล้ว: 75,964 ครั้ง

post ครั้งแรก: Wed 30 May 2007, 2:00 pm ปรับปรุงล่าสุด: Mon 18 June 2007, 4:22 pm

อยู่ในส่วน: คณิตศาสตร์

สารบัญ

หน้า : 1 1.1 ลำดับ (Sequence) คืออะไร ?
หน้า : 2 1.2 กราฟของลำดับ
หน้า : 3 1.3 ลิมิตของลำดับ
หน้า : 4 1.4 ลำดับทางเดียว ( Monotone Sequence )
หน้า : 5 1.5 ลำดับที่มีขอบเขต ( Bounded Sequences )
หน้า : 6 2.1 อนุกรมอนันต์ ( Infinite Series )
หน้า : 7 2.2 อนุกรมชนิดต่าง ๆ ที่สำคัญ
หน้า : 8 2.3 การทดสอบการลู่เข้า และการลู่ออกของอนุกรม
หน้า : 9 2.4 อนุกรมสลับ ( Alternating Series )
หน้า : 10 2.5 การลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ และ แบบมีเงื่อนไข ( Absolute and Conditional Convergence )
หน้า : 11 2.6 อนุกรมกำลัง ( Power Series )
หน้า : 12 2.7 อนุกรมเทย์เลอร์ และอนุกรมแมคคลอรีน ( Taylor and Maclaurin Series )

หน้าที่ 3 - 1.3 ลิมิตของลำดับ

ในการที่จะกล่าวว่า ลำดับ $\{a_n\}$ เข้าใกล้ลิมิต

เมื่อ

มีค่ามากขึ้น นั่นหมายถึงว่าพจน์ในลำดับนั้นมีค่าเข้าใกล้จำนวน

ดังนั้น ถ้าเราเลือกจำนวนบวก $\epsilon$ ใดๆ พจน์ต่างๆ ในลำดับนั้นจะต่างจาก

ไม่เกิน $\pm\epsilon$ นั่นคือ ถ้าลากเส้น $y = L + \epsilon$ และ $y = L - \epsilon$ แล้วพจน์ในลำดับนั้นจะถูกกักอยู่ภายในแถบระหว่างเส้นทั้งสอง

นิยาม1.3.1 จะเรียกว่าลำดับ $y = L + \epsilon$ มีลิมิต

ถ้ากำหนด $\epsilon >0$ ใดๆ แล้วมีจำนวนเต็มบวก

โดยที่ $|a_n-L|<\epsilon$ เมื่อ $n\leq N$

ถ้า ลำดับ $y = L + \epsilon$ มีลิมิต

แล้วเรากล่าวว่าลำดับ คอนเวอร์จ หรือลู่เข้า และเขียน เขียน $^{\lim}_{n\rightarrow\infty} a_n = L$ และเรียกลำดับที่ไม่มีลิมิตว่า ไดเวอร์จ หรือ ลู่ออก

การคำนวณค่าลิมิตของลำดับ ( Calculating limit of Sequence )

ทฤษฎีบท 1.3.2 กำหนดให้ $\{a_n\}$ และ $\{b_n\}$ เป็นลำดับของจำนวนจริง และ A, B, k

เป็นจำนวนจริง ถ้า $^{\lim}_{n\rightarrow\infty} a_n = A$ และ $^{\lim}_{n\rightarrow\infty} b_n = B$ แล้วจะได้ว่า

1. $^{\lim}_{n\rightarrow\infty } (a_n+b_n) = A+B$ ( Sum Rule )
2. $^{\lim}_{n\rightarrow\infty } (a_n-b_n) = A-B$ ( Difference Rule )
3. $^{\lim}_{n\rightarrow\infty } (a_n\cdot b_n) = A\cdot B$ ( Product Rule )
4. $\displaystyle{^{\lim}_{n\rightarrow\infty } \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}}$ , $B\neq 0$ ( Qutient Rule )
5. $^{\lim}_{n\rightarrow\infty } k b_n = k B$ ( Constant Multiple Rule )

ทฤษฎีบท 1.3.3 ถ้าให้ f(x)

เป็นฟังก์ชันที่นิยามสำหรับ x>n_0

และ $\{a_n\}$ เป็นลำดับของจำนวนจริง ซึ่งทำให้ a_n = f(n)

สำหรับ

แล้วจะได้ว่า
ถ้า $^{\lim}_{x\rightarrow\infty } f(x) = L$ แล้ว $^{\lim}_{n\rightarrow\infty } a_n = L$

จาก ท.บ. 1.3.2 ถ้าในการคำนวณ $^{\lim}_{x\rightarrow\infty } f(x) = L$ ได้ลิมิตอยู่ในรูป $\displaystyle{\frac{0}{0}}$ หรือ $\displaystyle{\frac{\infty}{\infty}}$ ควรใช้กฎของโลปิตาล หรือ วิธีการแยกตัวประกอบ หรือ แยกแฟกเตอร์ ช่วยในการหาลิมิต

ลำดับต่อไปนี้เป็นลำดับลู่เข้าหรือไม่?

1. $\displaystyle{\{\frac{1-6n^4}{n^2+8n^3}\}}$
ตอบ ลู่เข้า -6

2. $\displaystyle{\{\frac{n^2-2n+1}{n-1}\}}$
ตอบ ลู่ออก

3. $\displaystyle{\{\frac{2^{1000}+2^{n-1}+3^{n-2}}{2^n+3^n+5}\}}$
ตอบ ลู่เข้า $\displaystyle{\frac{1}{9}}$

4. $\displaystyle{\{n-\sqrt{n^2-n}\}}$
ตอบ ลู่เข้า $\displaystyle{\frac{1}{2}}$

5. $\displaystyle{\{\ln{n}-\ln{(2n^3+1)}\}}$
ตอบ ลู่ออก

ในการตรวจสอบการลู่เข้าหรือลู่ออกของลำดับที่มีความซับซ้อนนั้นจำเป็นต้องหาลิมิตในรูปแบบไม่กำหนดลักษณะต่างๆ ( $\pm\frac{\infty}{\infty}$ , $0\cdot(\pm\infty)$ , 0^0

, $\pm\infty^0$ , $1^{\pm\infty}$ , $(\pm\infty)(\pm\infty)$ )

ซึ่งลิมิตที่ควรรู้จักมีดังนี้

1) $\displaystyle{^{\lim}_{n\rightarrow\infty } \frac{\ln n}{n} = 0}$

2) $\displaystyle{^{\lim}_{n\rightarrow\infty } \sqrt[n]{n}= 1}$

3) $\displaystyle{^{\lim}_{n\rightarrow\infty } \frac{\sin \left(\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}} = 1}$

4) $\displaystyle{^{\lim}_{n\rightarrow\infty } c^{\frac{1}{n}} = 1}$ , c > 0

5) $\displaystyle{^{\lim}_{n\rightarrow\infty } c^{n} = 0}$ , c > 0

6) $\displaystyle{^{\lim}_{n\rightarrow\infty } \frac{c^{n}}{n!} = 0}$

7) $\displaystyle{^{\lim}_{n\rightarrow\infty } \left( 1+\frac{x}{n}\right)^{n} = e^x}$ , c > 0

กรณี 4)-6)

เป็นค่าคงที่

โจทย์ จงทดสอบลำดับอนันต์ $\displaystyle{\left\{\left(\frac{1+n}{n-1}\right)^n\right\}}$

ตอบ ใส่ $\ln$ เข้าไปหน้าฟังก์ชัน $\displaystyle{\left(\frac{1+x}{x-1}\right)^x}$ ก่อนใช้กฎโลปิตาล แล้วจะได้ว่า ลำดับนี้ลู่เข้า e^2

ทฤษฎีบท 1.3.4 ( The Sandwich Theorem of Sequence )
ให้ $\{a_n\}$ และ $\{b_n\}$ และ $\{c_n\}$ เป็นลำดับของจำนวนจริง โดยที่ $a_n\leq b_n \leq c_n$ ทุกๆค่า

ถ้า $^{\lim}_{n\rightarrow\infty } a_n = ^{\lim}_{n\rightarrow\infty } c_n = L$ แล้วจะได้ว่า $^{\lim}_{n\rightarrow\infty } b_n = L$

ตัวอย่าง จงแสดงว่าลำดับ $\displaystyle{\left\{\frac{\sin n}{n}\right\}}$ ลู่เข้า

วิธีทำ เราทราบว่า $\displaystyle{-\frac{1}{n}\leq \frac{\sin n}{n}\leq \frac{1}{n}}$ และเพราะ $\displaystyle{^{\lim}_{n\rightarrow\infty } \frac{-1}{n} = ^{\lim}_{n\rightarrow\infty } \frac{1}{n} = 0}$

เราจึงสรุปได้ว่า $\displaystyle{^{\lim}_{n\rightarrow\infty } \frac{\sin n}{n} = 0}$ ด้วย โดยทฤษฎีบท 1.3.4

ทฤษฎีบท 1.3.5 ( The Continuous Function Theorem for sequence )
ให้ $\{a_n\}$ เป็นลำดับของจำนวนจริง ซึ่ง $^{\lim}_{n\rightarrow\infty } a_n = L$ และ

เป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่อง ที่ นิยาม ที่ a_n

ทุกค่า

แล้ว $^{\lim}_{n\rightarrow\infty } f(a_n) = f(L)$
หมายเหตุ อาจเขียนได้ว่า $a_n\rightarrow L$ แล้ว $f(a_n)\rightarrow f(L)$

ตัวอย่าง ลำดับ $\displaystyle{\left\{\sin \left(\frac{n\pi+2}{2n}\right)\right\}}$ เป็นลำดับลู่เข้าหรือไม่

วิธีทำ เนื่องจาก $\displaystyle{^{\lim}_{n\rightarrow\infty } \frac{n\pi+2}{2n} = \frac{\pi}{2}}$ จึงได้ว่า $\displaystyle{^{\lim}_{n\rightarrow\infty } \sin \left(\frac{n\pi+2}{2n}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1}$

<<< หน้าก่อนนี้ (หน้า 2)

หน้าถัดไป (หน้า 4) >>>

^*หมายเหตุ งานเขียนชิ้นนี้ ได้รับการคุ้มครองสิทธิตามพระราชบัญญัติคุ้มครองสิทธิทางปัญญา โดยลิขสิทธิเป็นของผู้เขียน ที่ให้เกียรตินำเผยแพร่ผ่าน วิชาการ.คอม เรามีความยินดีและอนุญาตให้ทำซ้ำหรือเผยแพร่ต่อเพื่อประโยชน์ทางการศึกษาเท่านั้น กรุณาให้เกียรติผู้เขียน โดยอ้างชื่อผู้เขียนและ วิชาการ.คอม (www.vcharkarn.com) ทุกครั้งที่ทำการเผยแพร่ต่อ ห้ามนำส่วนหนึ่งส่วนใดไปเผยแพร่ต่อในสื่อที่เอื้อประโยชน์ทางธุรกิจก่อนได้รับอนุญาต ขอขอบคุณที่ร่วมกันช่วยสร้างให้สังคมไทยเป็นสังคมแห่งปัญญา

จำนวน 6 ความเห็น, หน้า่ | -1-

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 3 11 ก.ค. 2550 (21:17)
อยากถามว่า ในลำดับนี้ ค่า n=0 ได้ไหม ถ้าไม่ได้เพราะอะไร
แล้วก็สูตรที่อาจารย์ใช้สอนในการหาค่า 3 พจน์ ของลำดับ เช่น การหาค่า 3 พจน์ของลำดับเลขาคณิตที่มีสูตรว่า a/r,a,ar อะไรประมาณนี้มันขัดกับนิยามหรือไม่ เพราะที่อาจารย์เคยสอน เขาบอกว่าa1 เป็นลำดับแรกสุดของลำดับต่างๆ

Runa-Light

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 3 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 153 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 4 20 ก.ย. 2550 (14:52)
จากความเห็นเพิ่มเติมที่ 3 นะครับ
ผมว่า น่าจะไม่ขัดนะครับ เพราะว่า a/r , a ,ar เป็นการเขียนในรูปของกรณีสมมุติพจน์ใดๆมา 3 พจน์ นั่นหมายความว่า a/r คือพจน์ที่อยู่ก่อนหน้าพจน์ a 1 ลำดับ ซึ่งการเขียนกรณีนี้ได้ต้องครอบคลุม คือพจน์ของ a/r จะเป็นได้ต่ำสุดก็คือพจน์ที่ 1 จึงสามาถนำไปใช้ได้ แต่ข้อจำกัดอื่นๆ จะต้องสอดคล้องกับทฤษฎีด้วยประมานนี้
นี่เป็นความคิดเห็นส่วนตัวนะครับ ผิดพลาดประการใด ก็ขออภัยและโปรดชี้แจงด้วยครับ
^^ O_O @_@

divine_sg

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 3 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 150 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 5 26 ก.ย. 2550 (17:39)
ขอบคุงมากๆครับ

Halo

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 1 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 150 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 6 13 พ.ย. 2550 (17:55)
ขอบคุณมากครับ...

bobs

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 7 28 พ.ย. 2550 (17:43)
จาก ทฤษฎีบท 2.4.1 การทดสอบอนุกรมสลับ
จริงหรอคะที่ถ้าขาดคุณสมบัติข้อใดข้อหนึ่ง สรุปได้ทันทีว่า เป็นอนุกรมลู่ออก
เหมือนเคยอ่านเจอว่า ถ้าขาดข้อ2 สรุปได้ทันที แต่ถ้าขาดข้ออื่นจะสรุปไม่ได้

fon155