วิชาการ.คอม - ลำดับและอนุกรม (1.4 ลำดับทางเดียว ( Monotone Sequence ))

ลำดับและอนุกรม

ถ้าน้อง ๆ เคยเห็นข้อสอบวัดไอคิว อาจเคยเห็นข้อสอบ ประเภทให้ตัวเลขมา 3-4 ตัว แล้วถามว่า ตัวเลขถัดไปจะเป็นอะไร ตัวอย่างเช่น 1, 2, 4, 7, .... แล้วตัวต่อไปจะเป็นอะไร จากนั้นก็จะมีการพัฒนาข้อสอบเป็น ลำดับรูปภาพต่าง ๆ ให้ได้คิดกัน นอกจากนี้ ในชีวิตประจำ

ผู้เขียน: ดร. ธีรเดช เจียรสุขสกุล ชมแล้ว: 75,968 ครั้ง

post ครั้งแรก: Wed 30 May 2007, 2:00 pm ปรับปรุงล่าสุด: Mon 18 June 2007, 4:22 pm

อยู่ในส่วน: คณิตศาสตร์

สารบัญ

หน้า : 1 1.1 ลำดับ (Sequence) คืออะไร ?
หน้า : 2 1.2 กราฟของลำดับ
หน้า : 3 1.3 ลิมิตของลำดับ
หน้า : 4 1.4 ลำดับทางเดียว ( Monotone Sequence )
หน้า : 5 1.5 ลำดับที่มีขอบเขต ( Bounded Sequences )
หน้า : 6 2.1 อนุกรมอนันต์ ( Infinite Series )
หน้า : 7 2.2 อนุกรมชนิดต่าง ๆ ที่สำคัญ
หน้า : 8 2.3 การทดสอบการลู่เข้า และการลู่ออกของอนุกรม
หน้า : 9 2.4 อนุกรมสลับ ( Alternating Series )
หน้า : 10 2.5 การลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ และ แบบมีเงื่อนไข ( Absolute and Conditional Convergence )
หน้า : 11 2.6 อนุกรมกำลัง ( Power Series )
หน้า : 12 2.7 อนุกรมเทย์เลอร์ และอนุกรมแมคคลอรีน ( Taylor and Maclaurin Series )

หน้าที่ 4 - 1.4 ลำดับทางเดียว ( Monotone Sequence )

นิยาม 1.4.1 จะเรียกลำดับ $\{a_n\}$ ว่า

- เป็นลำดับเพิ่ม ถ้า $a_1<a_2<a_3<\ldots<a_n<\ldots$
- เป็นลำดับไม่ลด ถ้า $a_1\leq a_2 \leq a_3\leq\ldots\leq a_n\leq \ldots$
- เป็นลำดับลด ถ้า $a_1>a_2>a_3>\ldots>a_n>\ldots$
- เป็นลำดับไม่เพิ่ม ถ้า $a_1\geq a_2 \geq a_3\geq\ldots\geq a_n\geq \ldots$

เรียกลำดับที่เป็นลำดับไม่ลด หรือเป็นลำดับไม่เพิ่มว่า ลำดับทางเดียว ( monotone ) และ เรียก ลำดับที่เป็นลำดับเพิ่ม หรือเป็นลำดับลดว่า ลำดับทางเดียวโดยแท้ ( strictly monotone ) นั่นคือ ลำดับทางเดียวโดยแท้ จะเป็นลำดับทางเดียวด้วย ( แต่บทกลับไม่จริง )

ตัวอย่าง 1

$\displaystyle{\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\ldots,\frac{n}{n+1},\ldots}$ เป็นลำดับเพิ่ม (1)

$\displaystyle{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\ldots,\frac{1}{n},\ldots}$ เป็นลำดับลด (2)

$\displaystyle{1,1,2,2,3,3,\ldots}$ เป็นลำดับไม่ลด (3)

$\displaystyle{1,1,\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{3},\ldots}$ เป็นลำดับไม่เพิ่ม (4)

ลำดับทั้งสี่เป็นลำดับทางเดียว และลำดับ (1) ,(2) เป็นลำดับทางเดียวโดยแท้

ลำดับที่ไม่เป็นลำดับทางเดียว เช่น $\displaystyle{1,\frac{-1}{2},\frac{1}{3},\frac{-1}{4},\ldots,(-1)^{n+1}\frac{1}{n},\ldots}$

การทดสอบการเป็นลำดับทางเดียว

การตรวจสอบลำดับว่า เป็นลำดับเพิ่ม หรือลำดับลด อาจทำได้ดังนี้

วิธีที่ 1 พิจารณา $a_{n+1}-a_n$
ถ้าพบว่า $a_{n+1}-a_n < 0$ แล้ว แสดงว่า $\{a_n\}$ เป็นลำดับลด (1)
และ ถ้าพบว่า $a_{n+1}-a_n > 0$ แล้ว แสดงว่า $\{a_n\}$ เป็นลำดับเพิ่ม (2)

วิธีที่ 2 ถ้า $\{a_n\}$ เป็นลำดับที่ a_n > 0

ทุกๆ $n = 1,2,3,\ldots$ แล้ว จะพิจารณาอัตราส่วน $\displaystyle{\frac{a_{n+1}}{a_n}}$
ถ้า $\displaystyle{\frac{a_{n+1}}{a_n} < 1}$ ทุกๆ $n = 1,2,3,\ldots$ แล้ว $\{a_n\}$ เป็นลำดับลด (3)
และ ถ้า $\displaystyle{\frac{a_{n+1}}{a_n} > 1}$ ทุกๆ $n = 1,2,3,\ldots$ แล้ว $\{a_n\}$ เป็นลำดับเพิ่ม (4)

หมายเหตุ
- ถ้าเครื่องหมายใน (1) หรือ (3) เป็น $\leq$ จะเป็นลำดับไม่เพิ่ม
- ถ้าเครื่องหมายใน (2) หรือ (4) เป็น $\geq$ จะเป็นว่าลำดับไม่ลด

ตัวอย่าง 2 จงพิจารณาลำดับต่อไปนี้ว่าเป็นลำดับทางเดียวหรือไม่ ถ้าเป็น เป็นลำดับเพิ่มขึ้น หรือ ลดลง

2.1 $\displaystyle{\left\{ \frac{n}{2n-1}\right\}}$
ตอบ ใช้วิธีที่ 1 จะได้ว่า เป็นลำดับลด

2.2 $\displaystyle{\left\{ \frac{1.2.3\ldots n}{1.3.5\ldots(2n-1)}\right\}}$
ตอบ ใช้วิธีที่ 2 จะได้ว่า เป็นลำดับลด

ตัวอย่าง 3 จงแสดงว่าลำดับ $\displaystyle{\frac{e}{2!},\frac{e^2}{3!}, \frac{e^3}{4!},\ldots,\frac{e^n}{(n+1)!},\ldots}$ เป็นลำดับลด

วิธีทำ ใช้วิธีตรวจสอบอัตราส่วนของพจน์ที่ติดกัน

$\displaystyle{\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{e^{n+1}}{(n+2)!}\cdot\frac{(n+1)!}{e^n} = \frac{e^n}{n+2} < 1}$ สำหรับทุกค่า $n\geq 1$ เสมอ

จึงสรุปได้ว่า เป็นลำดับลด

<<< หน้าก่อนนี้ (หน้า 3)

หน้าถัดไป (หน้า 5) >>>

^*หมายเหตุ งานเขียนชิ้นนี้ ได้รับการคุ้มครองสิทธิตามพระราชบัญญัติคุ้มครองสิทธิทางปัญญา โดยลิขสิทธิเป็นของผู้เขียน ที่ให้เกียรตินำเผยแพร่ผ่าน วิชาการ.คอม เรามีความยินดีและอนุญาตให้ทำซ้ำหรือเผยแพร่ต่อเพื่อประโยชน์ทางการศึกษาเท่านั้น กรุณาให้เกียรติผู้เขียน โดยอ้างชื่อผู้เขียนและ วิชาการ.คอม (www.vcharkarn.com) ทุกครั้งที่ทำการเผยแพร่ต่อ ห้ามนำส่วนหนึ่งส่วนใดไปเผยแพร่ต่อในสื่อที่เอื้อประโยชน์ทางธุรกิจก่อนได้รับอนุญาต ขอขอบคุณที่ร่วมกันช่วยสร้างให้สังคมไทยเป็นสังคมแห่งปัญญา

จำนวน 6 ความเห็น, หน้า่ | -1-

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 3 11 ก.ค. 2550 (21:17)
อยากถามว่า ในลำดับนี้ ค่า n=0 ได้ไหม ถ้าไม่ได้เพราะอะไร
แล้วก็สูตรที่อาจารย์ใช้สอนในการหาค่า 3 พจน์ ของลำดับ เช่น การหาค่า 3 พจน์ของลำดับเลขาคณิตที่มีสูตรว่า a/r,a,ar อะไรประมาณนี้มันขัดกับนิยามหรือไม่ เพราะที่อาจารย์เคยสอน เขาบอกว่าa1 เป็นลำดับแรกสุดของลำดับต่างๆ

Runa-Light

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 3 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 153 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 4 20 ก.ย. 2550 (14:52)
จากความเห็นเพิ่มเติมที่ 3 นะครับ
ผมว่า น่าจะไม่ขัดนะครับ เพราะว่า a/r , a ,ar เป็นการเขียนในรูปของกรณีสมมุติพจน์ใดๆมา 3 พจน์ นั่นหมายความว่า a/r คือพจน์ที่อยู่ก่อนหน้าพจน์ a 1 ลำดับ ซึ่งการเขียนกรณีนี้ได้ต้องครอบคลุม คือพจน์ของ a/r จะเป็นได้ต่ำสุดก็คือพจน์ที่ 1 จึงสามาถนำไปใช้ได้ แต่ข้อจำกัดอื่นๆ จะต้องสอดคล้องกับทฤษฎีด้วยประมานนี้
นี่เป็นความคิดเห็นส่วนตัวนะครับ ผิดพลาดประการใด ก็ขออภัยและโปรดชี้แจงด้วยครับ
^^ O_O @_@

divine_sg

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 3 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 150 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 5 26 ก.ย. 2550 (17:39)
ขอบคุงมากๆครับ

Halo

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 1 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 150 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 6 13 พ.ย. 2550 (17:55)
ขอบคุณมากครับ...

bobs

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 7 28 พ.ย. 2550 (17:43)
จาก ทฤษฎีบท 2.4.1 การทดสอบอนุกรมสลับ
จริงหรอคะที่ถ้าขาดคุณสมบัติข้อใดข้อหนึ่ง สรุปได้ทันทีว่า เป็นอนุกรมลู่ออก
เหมือนเคยอ่านเจอว่า ถ้าขาดข้อ2 สรุปได้ทันที แต่ถ้าขาดข้ออื่นจะสรุปไม่ได้

fon155