วิชาการ.คอม - ลำดับและอนุกรม (1.5 ลำดับที่มีขอบเขต ( Bounded Sequences ))

ลำดับและอนุกรม

ถ้าน้อง ๆ เคยเห็นข้อสอบวัดไอคิว อาจเคยเห็นข้อสอบ ประเภทให้ตัวเลขมา 3-4 ตัว แล้วถามว่า ตัวเลขถัดไปจะเป็นอะไร ตัวอย่างเช่น 1, 2, 4, 7, .... แล้วตัวต่อไปจะเป็นอะไร จากนั้นก็จะมีการพัฒนาข้อสอบเป็น ลำดับรูปภาพต่าง ๆ ให้ได้คิดกัน นอกจากนี้ ในชีวิตประจำ

ผู้เขียน: ดร. ธีรเดช เจียรสุขสกุล ชมแล้ว: 75,956 ครั้ง

post ครั้งแรก: Wed 30 May 2007, 2:00 pm ปรับปรุงล่าสุด: Mon 18 June 2007, 4:22 pm

อยู่ในส่วน: คณิตศาสตร์

สารบัญ

หน้า : 1 1.1 ลำดับ (Sequence) คืออะไร ?
หน้า : 2 1.2 กราฟของลำดับ
หน้า : 3 1.3 ลิมิตของลำดับ
หน้า : 4 1.4 ลำดับทางเดียว ( Monotone Sequence )
หน้า : 5 1.5 ลำดับที่มีขอบเขต ( Bounded Sequences )
หน้า : 6 2.1 อนุกรมอนันต์ ( Infinite Series )
หน้า : 7 2.2 อนุกรมชนิดต่าง ๆ ที่สำคัญ
หน้า : 8 2.3 การทดสอบการลู่เข้า และการลู่ออกของอนุกรม
หน้า : 9 2.4 อนุกรมสลับ ( Alternating Series )
หน้า : 10 2.5 การลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ และ แบบมีเงื่อนไข ( Absolute and Conditional Convergence )
หน้า : 11 2.6 อนุกรมกำลัง ( Power Series )
หน้า : 12 2.7 อนุกรมเทย์เลอร์ และอนุกรมแมคคลอรีน ( Taylor and Maclaurin Series )

หน้าที่ 5 - 1.5 ลำดับที่มีขอบเขต ( Bounded Sequences )

นิยาม 1.5.1 ให้ $\{a_n\}$ เป็นลำดับของจำนวนจริง เรียกจำนวนจริง

ว่าขอบเขตบน ( Upper Bound ) ของ $\{a_n\}$ ก็ต่อเมื่อ $a_n \leq A$ สำหรับทุก ๆ $n = 1,2 ,3, \ldots$
และเรียก

ว่าขอบเขตบนค่าน้อยสุด ( Least Upper Bound ) ของ $\{a_n\}$ ก็ต่อเมื่อ

เป็นขอบเขตบนของ $\{a_n\}$ และ

มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับขอบเขตบนทุกตัวของ $\{a_n\}$

นิยาม 1.5.2 ให้ $\{a_n\}$ เป็นลำดับของจำนวนจริง เรียกจำนวนจริง

ว่าขอบเขตล่าง ( Lower Bound ) ของ $\{a_n\}$ ก็ต่อเมื่อ $B \leq a_n$ สำหรับทุก ๆ $n = 1,2 ,3, \ldots$
และเรียก

ว่าขอบเขตล่างค่ามากสุด ( Greatest Lower Bound ) ของ $\{a_n\}$ ก็ต่อเมื่อ

เป็นขอบเขตล่างของ $\{a_n\}$ และ

มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับขอบเขตล่างทุกตัวของ $\{a_n\}$

เราจะเรียก $\{a_n\}$ ว่ามีขอบเขต ก็ต่อเมื่อ $\{a_n\}$ มีทั้งขอบเขตบนและขอบเขตล่าง

ตัวอย่าง 1
1.1 ลำดับ $\{2n\} = 2,4,6,8,\ldots$ มี 2 เป็นขอบเขตล่างค่ามากสุด แต่ไม่มีขอบเขตบน ดังนั้นลำดับนี้จึงไม่มีขอบเขต และ เป็นลำดับเพิ่ม

1.2 ลำดับ $\{(-1)^n\} = -1,1,-1,1,\ldots$ มี 1 เป็นขอบเขตล่างค่ามากสุด และ มี -1 เป็นขอบเขตล่างค่ามากสุด ดังนั้นลำดับนี้จึงมีขอบเขต แต่ลู่ออก

1.3 ลำดับ $\displaystyle{\left\{\frac{(-1)^n}{n}\right\}=-1,\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\frac{1}{4},-\frac{1}{5},\ldots}$ มี

เป็นขอบเขตล่างค่ามากสุด และ $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ เป็นขอบเขตบนค่าน้อยสุด ดังนั้น $\displaystyle{\left\{\frac{(-1)^n}{n}\right\}}$ เป็นลำดับที่มีขอบเขตและ ไม่เป็นลำดับทางเดียว

ตัวอย่าง 2
พิจารณาลำดับ $\displaystyle{\{\frac{n}{2n+1}\}=\frac{1}{3},\frac{2}{5}.\frac{3}{7},\frac{4}{9},\ldots}$
ให้ $\displaystyle{a_n = \frac{n}{2n+1}}$ , $\displaystyle{a_n = \frac{n+1}{2n+3}}$
ดังนั้น $\displaystyle{a_{n+1} -a_n = \frac{n+1}{2n+3} - \frac{n}{2n+1}}$
จึงได้ว่า $a_{n+1} \geq a_n$ ทุก ๆ $n = 1,2,3,\ldots$ นั่นคือ $a_1\leq a_2 \leq a_3 \leq \ldots$
หรือ $\displaystyle{\frac{1}{3}\leq \frac{2}{5} \leq \frac{3}{7}\leq \frac{4}{9} \leq \ldots}$ และ จะได้ว่า $a_n \leq \frac{1}{3}$ ทุก ๆ $n = 1,2,3, \ldots$

ดังนั้น $\frac{1}{3}$ เป็นขอบเขตล่างของ $\{a_n\}$ นอกจากนี้แล้วยังมีจำนวนจริงอีกมากมายที่เป็นขอบเขตล่างของ $\{a_n\}$ เช่น 0 , -1 ,-3/2 เป็นต้น แต่ทุกจำนวนที่เป็นขอบเขตล่างของ $\{a_n\}$ จะมีค่าไม่เกิน 1/3 ดังนั้น 1/3 เป็นขอบเขตล่างที่มีค่ามากที่สุด

สำหรับขอบเขตบนของ $\{a_n\}$ จะพิจารณาจาก $\displaystyle{a_n = \frac{n}{2n+1} < \frac{n}{2n} = \frac{1}{2}}$ ทุกๆ $n =1,2,3, \dots$

ดังนั้น $\frac{1}{2}$ เป็นขอบเขตบนค่าหนึ่งของ $\{a_n\}$ และทุกจำนวนที่มากกว่าหรือเท่ากับ $\frac{1}{2}$ เป็นขอบเขตบน ทั้งหมด

การที่จะแสดงว่า $\frac{1}{2}$ เป็นขอบเขตบนค่าน้อยสุดทำได้ดังนี้
สมมติว่ามีจำนวนจริง

โดยที่ $0<y<\frac{1}{2}$ และ

เป็นขอบเขตบนของ $\{a_n\}$ แล้ว จะมีจำนวนเต็มบวก

ตัวหนึ่งซึ่ง $\displaystyle{m > \frac{y}{1-2y}}$ หรือ ได้ $\displaystyle{y > \frac{m}{2m+1} = a_m}$ ซึ่งขัดแย้งกับที่

เป็นขอบเขตบน

ดังนั้น จึงไม่มีจำนวนจริง $\displaysyle{0<y<\frac{1}{2}}$ และ

เป็นขอบเขตบนของ $\{a_n\}$ นั่นคือ $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ เป็นขอบเขตบนค่าน้อยสุดของ $\{a_n\}$

ทฤษฎีบท 1.5.3 ถ้า $\{a_n\}$ เป็นลำดับที่ลู่เข้าแล้ว $\{a_n\}$ จะเป็นลำดับที่มีขอบเขต

หมายเหตุ
- บทกลับของ 1.7 ได้ว่า ถ้า $\{a_n\}$ ไม่มีขอบเขต จะเป็นลำดับลู่ออก
-ลำดับทางเดียวที่มีค่าขอบเขต จะเป็นลำดับที่ลู่เข้าเสมอ แต่ ลำดับที่มีขอบเขต ไม่จำเป็นต้องลู่เข้า

ตัวอย่าง 3
เช่น ลำดับ $\displaystyle{\{\frac{(-1)^{n+1}(n-1)}{n}\}}$ ในตัวอย่าง 1.2.2 จากกราฟจะเห็นได้ว่า ลำดับนี้มีขอบเขตที่ -1 ถึง 1 แต่ไม่ลู่เข้า

<<< หน้าก่อนนี้ (หน้า 4)

หน้าถัดไป (หน้า 6) >>>

^*หมายเหตุ งานเขียนชิ้นนี้ ได้รับการคุ้มครองสิทธิตามพระราชบัญญัติคุ้มครองสิทธิทางปัญญา โดยลิขสิทธิเป็นของผู้เขียน ที่ให้เกียรตินำเผยแพร่ผ่าน วิชาการ.คอม เรามีความยินดีและอนุญาตให้ทำซ้ำหรือเผยแพร่ต่อเพื่อประโยชน์ทางการศึกษาเท่านั้น กรุณาให้เกียรติผู้เขียน โดยอ้างชื่อผู้เขียนและ วิชาการ.คอม (www.vcharkarn.com) ทุกครั้งที่ทำการเผยแพร่ต่อ ห้ามนำส่วนหนึ่งส่วนใดไปเผยแพร่ต่อในสื่อที่เอื้อประโยชน์ทางธุรกิจก่อนได้รับอนุญาต ขอขอบคุณที่ร่วมกันช่วยสร้างให้สังคมไทยเป็นสังคมแห่งปัญญา

จำนวน 6 ความเห็น, หน้า่ | -1-

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 3 11 ก.ค. 2550 (21:17)
อยากถามว่า ในลำดับนี้ ค่า n=0 ได้ไหม ถ้าไม่ได้เพราะอะไร
แล้วก็สูตรที่อาจารย์ใช้สอนในการหาค่า 3 พจน์ ของลำดับ เช่น การหาค่า 3 พจน์ของลำดับเลขาคณิตที่มีสูตรว่า a/r,a,ar อะไรประมาณนี้มันขัดกับนิยามหรือไม่ เพราะที่อาจารย์เคยสอน เขาบอกว่าa1 เป็นลำดับแรกสุดของลำดับต่างๆ

Runa-Light

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 3 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 153 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 4 20 ก.ย. 2550 (14:52)
จากความเห็นเพิ่มเติมที่ 3 นะครับ
ผมว่า น่าจะไม่ขัดนะครับ เพราะว่า a/r , a ,ar เป็นการเขียนในรูปของกรณีสมมุติพจน์ใดๆมา 3 พจน์ นั่นหมายความว่า a/r คือพจน์ที่อยู่ก่อนหน้าพจน์ a 1 ลำดับ ซึ่งการเขียนกรณีนี้ได้ต้องครอบคลุม คือพจน์ของ a/r จะเป็นได้ต่ำสุดก็คือพจน์ที่ 1 จึงสามาถนำไปใช้ได้ แต่ข้อจำกัดอื่นๆ จะต้องสอดคล้องกับทฤษฎีด้วยประมานนี้
นี่เป็นความคิดเห็นส่วนตัวนะครับ ผิดพลาดประการใด ก็ขออภัยและโปรดชี้แจงด้วยครับ
^^ O_O @_@

divine_sg

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 3 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 150 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 5 26 ก.ย. 2550 (17:39)
ขอบคุงมากๆครับ

Halo

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 1 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 150 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 6 13 พ.ย. 2550 (17:55)
ขอบคุณมากครับ...

bobs

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 7 28 พ.ย. 2550 (17:43)
จาก ทฤษฎีบท 2.4.1 การทดสอบอนุกรมสลับ
จริงหรอคะที่ถ้าขาดคุณสมบัติข้อใดข้อหนึ่ง สรุปได้ทันทีว่า เป็นอนุกรมลู่ออก
เหมือนเคยอ่านเจอว่า ถ้าขาดข้อ2 สรุปได้ทันที แต่ถ้าขาดข้ออื่นจะสรุปไม่ได้

fon155