วิชาการ.คอม - ลำดับและอนุกรม (2.1 อนุกรมอนันต์ ( Infinite Series ))

ลำดับและอนุกรม

ถ้าน้อง ๆ เคยเห็นข้อสอบวัดไอคิว อาจเคยเห็นข้อสอบ ประเภทให้ตัวเลขมา 3-4 ตัว แล้วถามว่า ตัวเลขถัดไปจะเป็นอะไร ตัวอย่างเช่น 1, 2, 4, 7, .... แล้วตัวต่อไปจะเป็นอะไร จากนั้นก็จะมีการพัฒนาข้อสอบเป็น ลำดับรูปภาพต่าง ๆ ให้ได้คิดกัน นอกจากนี้ ในชีวิตประจำ

ผู้เขียน: ดร. ธีรเดช เจียรสุขสกุล ชมแล้ว: 75,966 ครั้ง

post ครั้งแรก: Wed 30 May 2007, 2:00 pm ปรับปรุงล่าสุด: Mon 18 June 2007, 4:22 pm

อยู่ในส่วน: คณิตศาสตร์

สารบัญ

หน้า : 1 1.1 ลำดับ (Sequence) คืออะไร ?
หน้า : 2 1.2 กราฟของลำดับ
หน้า : 3 1.3 ลิมิตของลำดับ
หน้า : 4 1.4 ลำดับทางเดียว ( Monotone Sequence )
หน้า : 5 1.5 ลำดับที่มีขอบเขต ( Bounded Sequences )
หน้า : 6 2.1 อนุกรมอนันต์ ( Infinite Series )
หน้า : 7 2.2 อนุกรมชนิดต่าง ๆ ที่สำคัญ
หน้า : 8 2.3 การทดสอบการลู่เข้า และการลู่ออกของอนุกรม
หน้า : 9 2.4 อนุกรมสลับ ( Alternating Series )
หน้า : 10 2.5 การลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ และ แบบมีเงื่อนไข ( Absolute and Conditional Convergence )
หน้า : 11 2.6 อนุกรมกำลัง ( Power Series )
หน้า : 12 2.7 อนุกรมเทย์เลอร์ และอนุกรมแมคคลอรีน ( Taylor and Maclaurin Series )

หน้าที่ 6 - 2.1 อนุกรมอนันต์ ( Infinite Series )

หัวข้อนี้จะศึกษาผลบวกที่มีพจน์เป็นจำนวนมากนับไม่ถ้วน ตัวอย่างของผลบวกที่คุ้นเคยกันมาก เกิดขึ้นในการแทนจำนวนจริงด้วยทศนิยม

เช่น เมื่อเขียน $\displaystyle{\frac{1}{3}}$ ในรูปทศนิยม
$\displaystyle{\frac{1}{3}=0.3333\ldots}$ นั้นหมายถึง
$\displaystyle{\frac{1}{3}=0.3 + 0.03+ 0.003 + 0.0003 + \ldots}$
แสดงว่าการแทน $\displaystyle{\frac{1}{3}}$ ด้วย ทศนิยม อาจจะพิจารณาเป็นผลบวกของจำนวนจริงหลายจำนวนนับไม่ถ้วน

ผลบวกของอนุกรมอนันต์

ในการนิยามความหมายของผลบวกของจำนวนจริงหลายจำนวนนับไม่ถ้วน จะเริ่มจากนิยามของอนุกรมอนันต์ก่อน ดังนี้

นิยาม 2.1.1 อนุกรมอนันต์ คือ นิพจน์ ( expression ) ที่อยู่ในรูป $a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_k + \ldots$ หรือ เขียนในสัญลักษณ์ ได้เป็น
$a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_k + \ldots = \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}a_k$

เรียกจำนวน $a_1,a_2,a_3,\ldots$ ว่า พจน์ของอนุกรม และต่อไปจะใช้คำว่า อนุกรม แทนคำว่า อนุกรมอนันต์

เนื่องจากเราไม่สามารถบวกจำนวนที่นับไม่ถ้วนเข้าด้วยกันได้ ดังนั้นจึงต้องนิยามผลบวกของอนุกรมและ คำนวณค่าโดยใช้ลิมิต

เพื่อขยายผลจากแนวคิดพื้นฐาน จะพิจารณาทศนิยม $0.333\ldots$ ซึ่งสามารถเขียนเป็นอนุกรม

$0.3+0.03+0.003+0.0003+\ldots$ หรือ $\displaystyle{\frac{3}{10}+\frac{3}{10^2}+\frac{3}{10^3}+\frac{3}{10^4} + \ldots}$ ____________ (1)

เนื่องจาก $\displaystyle{\frac{1}{3} = 0.3333\ldots}$ ดังนั้น ผลบวกของอนุกรม (1) ควรจะเป็น $\displaystyle{\frac{1}{3}}$ การหาผลบวกของอนุกรมทำได้โดยการพิจารณาลำดับของผลบวก ดังนี้

$\displaystyle{S_1 = \frac{3}{10} = 0.3}$
$\displaystyle{S_2 = \frac{3}{10} + \frac{3}{10^2} = 0.33}$
$\displaystyle{S_3 = \frac{3}{10}+\frac{3}{10^2}+\frac{3}{10^3} = 0.333}$
$\displaystyle{S_4 = \frac{3}{10}+\frac{3}{10^2}+\frac{3}{10^3}+\frac{3}{10^4} = 0.3333}$
..............................................................................

ลำดับ $S_1,S_2,S_3,S_4,\ldots$ สามารถใช้เป็นการประมาณ ผลบวกของอนุกรมได้ ในลำดับของผลบวกดังกล่าว จะมีการใช้พจน์ของอนุกรมมากขึ้น และการประมาณค่าจะดีขึ้นตามลำดับ และลิมิตของลำดับ ควรเป็น $\displaystyle{\frac{1}{3}}$

เพื่อให้เห็นว่าลิมิตเป็น $\displaystyle{\frac{1}{3}}$ จริง จะต้องคำนวณลิมิตของพจน์ทั่วไปในลำดับที่ใช้ประมาณค่า ในที่นี้พจน์ทั่วไปคือ

$\displaystyle{S_n = \frac{3}{10}+\frac{3}{10^2}+\frac{3}{10^3}+\frac{3}{10^4} + \ldots \frac{3}{10^n}}$ ________ (2)

การหา $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty} S_n = \lim_{n \rightarrow \infty} \left[ \frac{3}{10}+\frac{3}{10^2}+\frac{3}{10^3}+\frac{3}{10^4} + \ldots \frac{3}{10^n}\right]}$ ค่อนข้างยุ่งยาก เพราะทั้งพจน์สุดท้ายและจำนวนพจน์เปลี่ยนตามค่า

จึงต้องพยามยามเขียนลิมิตให้อยู่ในรูปที่พจน์ไม่แปรค่า ดังนี้

คูณ (2) ด้วย $\frac{1}{10}$ จะได้

$\displaystyle{\frac{1}{10}S_n = \frac{3}{10^2}+\frac{3}{10^3}+\frac{3}{10^4}+\ldots+\frac{3}{10^{n}}+ \frac{3}{10^{n+1}}}$ ________ (3)

นำ (3) ลบออกจาก (2) จะได้

$\displaystyle{S_n-\frac{1}{10}S_n = \frac{3}{10}-\frac{3}{10^{n+1}}}$ หรือ $\displaystyle{S_n = \frac{1}{3}(1-\frac{1}{10^n})}$

เนื่องจาก $\displaystyle{\frac{1}{10^n}\rightarrow 0}$ เมื่อ $n \rightarrow \infty$ จึงได้

$\displaystyle{\lim_{n\rightarow\infty} S_n = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{3}(1-\frac{1}{10^n}) = \frac{1}{3}}$

ซึ่งอาจจะแทนด้วยการเขียน

$\displaystyle{\frac{1}{3} = \frac{3}{10}+\frac{3}{10^2}+\frac{3}{10^3}+\frac{3}{10^4} + \ldots +\frac{3}{10^n}+\ldots}$

จากตัวอย่างที่กล่าวมาข้างต้น จะนิยามแนวคิดของผลบวกของอนุกรม $\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty} a_k}$ ได้ดังนี้ ให้ S_n

แทนผลบวกของ

พจน์แรกของอนุกรม

S_1 = a_1

.................................
$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k$

เรียก S_n

ว่า ผลบวกย่อยที่

ของอนุกรม และ เรียก $\{S_n\}$ ว่า ลำดับของผลบวกย่อย เมื่อ

มีค่าเพิ่มขึ้น ผลบวกย่อย $S_n=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n$ จะรวมพจน์ของอนุกรมมากขึ้นเรื่อยๆ ดังนั้น ถ้า S_n

มีค่าเข้าใกล้ลิมิตค่าหนึ่ง ขณะที่ $n\rightarrow\infty$ ค่าลิมิตนั้นจะเป็นผลบวกของทุกพจน์ในอนุกรมนั้น เขียนเป็นนิยามได้ดังนี้

นิยาม 2.1.2 ให้ $\{S_n\}$ เป็นลำดับของผลบวกย่อยของอนุกรม $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}$ ถ้าลำดับ $\{S_n\}$ ลู่เข้าสู่ลิมิต

แล้วจะเรียกอนุกรมนี้ว่า อนุกรมลู่เข้า และเรียก

ว่า ผลบวกของอนุกรม เขียนแทนด้วย $\displaystyle{S=\sum_{n=1}^{\infty} a_n}$ ถ้าลำดับของผลบวกย่อยลู่ออกแล้ว จะเรียกอนุกรมนี้ว่า อนุกรมลู่ออก และไม่มีผลบวก

ตัวอย่าง 1 จงแสดงว่า $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}}$ เป็นอนุกรมลู่เข้า พร้อมทั้งหาผลบวกของอนุกรม

วิธีทำ เนื่องจาก $\displaystyle{a_n = \frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}$ จะได้

$\displaystyle{S_1 = a_1 = \frac{1}{2}}$
$\displaystyle{S_2 = a_1+a_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2\cdot 3} = (1-\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2}-\frac{1}{3})}$
$\displaystyle{S_3 = a_1+a_2 +a_3 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4} = (1-\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2}-\frac{1}{3}) + (\frac{1}{3}-\frac{1}{4})}$

ดังนั้น
$S_n = a_1 + a_2 +a_3+\ldots +a_n$
$\displaystyle{= (1-\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2}-\frac{1}{3}) + (\frac{1}{3}-\frac{1}{4}) + \ldots +(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}$
$\displaystyle{= 1- \frac{1}{n+1}}$

และ $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty} S_n = \lim_{n\rightarrow \infty}(1-\frac{1}{n+1}) = 1}$ ดังนั้น $\{S_n\}$ เป็นลำดับลู่เข้า นั้นคือ $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}}$ เป็นอนุกรมที่ลู่เข้า และมีผลบวกเป็น 1

ต่อไปจะขอเขียนแทนอนุกรมอนันต์ด้วย $\displaystyle{\sum a_n}$ ซึ่งจะมีทฤษฎีบทที่สำคัญ ดังนี้

ทฤษฎีบท 2.1.3 ถ้า $\sum a_n$ เป็นอนุกรมลู่เข้าแล้วจะได้ว่า $\lim a_n = 0$

ทฤษฎีบท 2.1.4 ถ้า $\lim a_n \neq 0$ แล้ว จะได้ว่า $\sum a_n$ เป็นอนุกรมลู่ออก

ทฤษฎีบท 2.1.5 ถ้า $\sum a_n$ และ $\sum b_n$ เป็นอนุกรมสองอนุกรมซึ่งมีความแตกต่างกัน เฉพาะ

พจน์แรก แล้ว จะได้ว่า $\sum a_n$ และ $\sum b_n$ เป็นอนุกรมลู่เข้าทั้งคู่ หรือ อนุกรมลู่ออกทั้งคู่

<<< หน้าก่อนนี้ (หน้า 5)

หน้าถัดไป (หน้า 7) >>>

^*หมายเหตุ งานเขียนชิ้นนี้ ได้รับการคุ้มครองสิทธิตามพระราชบัญญัติคุ้มครองสิทธิทางปัญญา โดยลิขสิทธิเป็นของผู้เขียน ที่ให้เกียรตินำเผยแพร่ผ่าน วิชาการ.คอม เรามีความยินดีและอนุญาตให้ทำซ้ำหรือเผยแพร่ต่อเพื่อประโยชน์ทางการศึกษาเท่านั้น กรุณาให้เกียรติผู้เขียน โดยอ้างชื่อผู้เขียนและ วิชาการ.คอม (www.vcharkarn.com) ทุกครั้งที่ทำการเผยแพร่ต่อ ห้ามนำส่วนหนึ่งส่วนใดไปเผยแพร่ต่อในสื่อที่เอื้อประโยชน์ทางธุรกิจก่อนได้รับอนุญาต ขอขอบคุณที่ร่วมกันช่วยสร้างให้สังคมไทยเป็นสังคมแห่งปัญญา

จำนวน 6 ความเห็น, หน้า่ | -1-

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 3 11 ก.ค. 2550 (21:17)
อยากถามว่า ในลำดับนี้ ค่า n=0 ได้ไหม ถ้าไม่ได้เพราะอะไร
แล้วก็สูตรที่อาจารย์ใช้สอนในการหาค่า 3 พจน์ ของลำดับ เช่น การหาค่า 3 พจน์ของลำดับเลขาคณิตที่มีสูตรว่า a/r,a,ar อะไรประมาณนี้มันขัดกับนิยามหรือไม่ เพราะที่อาจารย์เคยสอน เขาบอกว่าa1 เป็นลำดับแรกสุดของลำดับต่างๆ

Runa-Light

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 3 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 153 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 4 20 ก.ย. 2550 (14:52)
จากความเห็นเพิ่มเติมที่ 3 นะครับ
ผมว่า น่าจะไม่ขัดนะครับ เพราะว่า a/r , a ,ar เป็นการเขียนในรูปของกรณีสมมุติพจน์ใดๆมา 3 พจน์ นั่นหมายความว่า a/r คือพจน์ที่อยู่ก่อนหน้าพจน์ a 1 ลำดับ ซึ่งการเขียนกรณีนี้ได้ต้องครอบคลุม คือพจน์ของ a/r จะเป็นได้ต่ำสุดก็คือพจน์ที่ 1 จึงสามาถนำไปใช้ได้ แต่ข้อจำกัดอื่นๆ จะต้องสอดคล้องกับทฤษฎีด้วยประมานนี้
นี่เป็นความคิดเห็นส่วนตัวนะครับ ผิดพลาดประการใด ก็ขออภัยและโปรดชี้แจงด้วยครับ
^^ O_O @_@

divine_sg

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 3 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 150 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 5 26 ก.ย. 2550 (17:39)
ขอบคุงมากๆครับ

Halo

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 1 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 150 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 6 13 พ.ย. 2550 (17:55)
ขอบคุณมากครับ...

bobs

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 7 28 พ.ย. 2550 (17:43)
จาก ทฤษฎีบท 2.4.1 การทดสอบอนุกรมสลับ
จริงหรอคะที่ถ้าขาดคุณสมบัติข้อใดข้อหนึ่ง สรุปได้ทันทีว่า เป็นอนุกรมลู่ออก
เหมือนเคยอ่านเจอว่า ถ้าขาดข้อ2 สรุปได้ทันที แต่ถ้าขาดข้ออื่นจะสรุปไม่ได้

fon155