วิชาการ.คอม - ลำดับและอนุกรม (2.2 อนุกรมชนิดต่าง ๆ ที่สำคัญ)

ลำดับและอนุกรม

ถ้าน้อง ๆ เคยเห็นข้อสอบวัดไอคิว อาจเคยเห็นข้อสอบ ประเภทให้ตัวเลขมา 3-4 ตัว แล้วถามว่า ตัวเลขถัดไปจะเป็นอะไร ตัวอย่างเช่น 1, 2, 4, 7, .... แล้วตัวต่อไปจะเป็นอะไร จากนั้นก็จะมีการพัฒนาข้อสอบเป็น ลำดับรูปภาพต่าง ๆ ให้ได้คิดกัน นอกจากนี้ ในชีวิตประจำ

ผู้เขียน: ดร. ธีรเดช เจียรสุขสกุล ชมแล้ว: 75,959 ครั้ง

post ครั้งแรก: Wed 30 May 2007, 2:00 pm ปรับปรุงล่าสุด: Mon 18 June 2007, 4:22 pm

อยู่ในส่วน: คณิตศาสตร์

สารบัญ

หน้า : 1 1.1 ลำดับ (Sequence) คืออะไร ?
หน้า : 2 1.2 กราฟของลำดับ
หน้า : 3 1.3 ลิมิตของลำดับ
หน้า : 4 1.4 ลำดับทางเดียว ( Monotone Sequence )
หน้า : 5 1.5 ลำดับที่มีขอบเขต ( Bounded Sequences )
หน้า : 6 2.1 อนุกรมอนันต์ ( Infinite Series )
หน้า : 7 2.2 อนุกรมชนิดต่าง ๆ ที่สำคัญ
หน้า : 8 2.3 การทดสอบการลู่เข้า และการลู่ออกของอนุกรม
หน้า : 9 2.4 อนุกรมสลับ ( Alternating Series )
หน้า : 10 2.5 การลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ และ แบบมีเงื่อนไข ( Absolute and Conditional Convergence )
หน้า : 11 2.6 อนุกรมกำลัง ( Power Series )
หน้า : 12 2.7 อนุกรมเทย์เลอร์ และอนุกรมแมคคลอรีน ( Taylor and Maclaurin Series )

หน้าที่ 7 - 2.2 อนุกรมชนิดต่าง ๆ ที่สำคัญ

นักศึกษาอาจเคยใช้อนุกรมในการช่วยคำนวณทางคณิตศาสตร์ เช่น

$\displaystyle{\sum n = 1 + 2 +3 + \ldots + n = \frac{n}{2}(n+1)}$

$\displaystyle{\sum n^2 = 1 + 2^2 +3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n}{6}(2n+1)(n+1)}$

$\displaystyle{\sum n^3 = 1 + 2^3 +3^3 + \ldots + n^3 = \left(\frac{n}{2}(n+1)\right)^2}$

ซึ่งอนุกรมเหล่านี้ล้วนเป็นอนุกรมจำกัด คือ มีจำนวนพจน์ที่แน่นอน นอกจากนี้ ยังมีอนุกรมอนันต์ ที่สำคัญ ที่ควรทราบ ดังต่อไปนี้

2.2.1 อนุกรมเรขาคณิต ( Geometric Series ) คืออนุกรมที่อยู่ในรูป
$a + ar +ar^2 + ar^3 + \ldots + ar^{n-1} + \ldots = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1}$
เมื่อ

และ

เป็นจำนวนจริงที่คงที่ และ $a\neq 0$ เรียก

ว่า อัตราส่วนร่วม ( Common Ratio )

ตัวอย่าง1 อนุกรมเรขาคณิต

1) $\displaystyle{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2} + \ldots +\frac{1}{2^{n-1}}+ \ldots}$ , a =1

, $\displaystyle{r=\frac{1}{2}}$

2) $\displaystyle{\frac{5}{9}-\frac{5}{9^2}+\frac{5}{9^3} - \ldots+(-1)^{n+1}\frac{5}{9^n} + \ldots}$ , $\displaystyle{a = \frac{5}{9}}$ , $\displaystyle{r = -\frac{1}{9}}$

3) , $1+2+4+\ldots+2^{n-1}+\ldots$ , a =1

ทฤษฎีบท 2.2.2

กำหนดให้ $a + ar + ar^2 + ar^3 + \ldots + ar^{n-1}+ \ldots$ เป็นอนุกรมเรขาคณิต

1. ถ้า |r| < 1

จะได้ว่าอนุกรมเรขาคณิตลู่เข้า และ มีผลบวกเป็น $\displaystyle{\frac{a}{1-r}}$
นั่นคือ $\displaystyle{a + ar + ar^2 + ar^3 + \ldots + ar^{n-1}+ \ldots = \frac{a}{1-r}}$
2. ถ้า $|r|\geq 1$ จะได้ว่าอนุกรมเรขาคณิตลู่ออก ( หาผลรวมไม่ได้ )

2.2.3 อนุกรม P ( P’s Series )

นิยาม อนุกรม P จะมีรูปแบบทั่วไปเป็น
$\displaystyle{\frac{1}{1^p}+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+\ldots +\frac{1}{n^p}+\ldots = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}}$ เมื่อ

เป็นจำนวนจริง

ตัวอย่าง 2

$\displaystyle{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots +\frac{1}{n}+\ldots}$ , p=1

$\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\ldots +\frac{1}{\sqrt{n}}+\ldots }$ , $\displaystyle{p=\frac{1}{2}}$

ทฤษฎีบท 2.2.4

กำหนดให้ $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}}$ เป็นอนุกรม P

1. ถ้า P>1

แล้ว $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}}$ จะเป็น อนุกรมลู่เข้า

2. ถ้า $P\leq 1$ แล้ว $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}}$ จะเป็น อนุกรมลู่ออก

<<< หน้าก่อนนี้ (หน้า 6)

หน้าถัดไป (หน้า 8) >>>

^*หมายเหตุ งานเขียนชิ้นนี้ ได้รับการคุ้มครองสิทธิตามพระราชบัญญัติคุ้มครองสิทธิทางปัญญา โดยลิขสิทธิเป็นของผู้เขียน ที่ให้เกียรตินำเผยแพร่ผ่าน วิชาการ.คอม เรามีความยินดีและอนุญาตให้ทำซ้ำหรือเผยแพร่ต่อเพื่อประโยชน์ทางการศึกษาเท่านั้น กรุณาให้เกียรติผู้เขียน โดยอ้างชื่อผู้เขียนและ วิชาการ.คอม (www.vcharkarn.com) ทุกครั้งที่ทำการเผยแพร่ต่อ ห้ามนำส่วนหนึ่งส่วนใดไปเผยแพร่ต่อในสื่อที่เอื้อประโยชน์ทางธุรกิจก่อนได้รับอนุญาต ขอขอบคุณที่ร่วมกันช่วยสร้างให้สังคมไทยเป็นสังคมแห่งปัญญา

จำนวน 6 ความเห็น, หน้า่ | -1-

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 3 11 ก.ค. 2550 (21:17)
อยากถามว่า ในลำดับนี้ ค่า n=0 ได้ไหม ถ้าไม่ได้เพราะอะไร
แล้วก็สูตรที่อาจารย์ใช้สอนในการหาค่า 3 พจน์ ของลำดับ เช่น การหาค่า 3 พจน์ของลำดับเลขาคณิตที่มีสูตรว่า a/r,a,ar อะไรประมาณนี้มันขัดกับนิยามหรือไม่ เพราะที่อาจารย์เคยสอน เขาบอกว่าa1 เป็นลำดับแรกสุดของลำดับต่างๆ

Runa-Light

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 3 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 153 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 4 20 ก.ย. 2550 (14:52)
จากความเห็นเพิ่มเติมที่ 3 นะครับ
ผมว่า น่าจะไม่ขัดนะครับ เพราะว่า a/r , a ,ar เป็นการเขียนในรูปของกรณีสมมุติพจน์ใดๆมา 3 พจน์ นั่นหมายความว่า a/r คือพจน์ที่อยู่ก่อนหน้าพจน์ a 1 ลำดับ ซึ่งการเขียนกรณีนี้ได้ต้องครอบคลุม คือพจน์ของ a/r จะเป็นได้ต่ำสุดก็คือพจน์ที่ 1 จึงสามาถนำไปใช้ได้ แต่ข้อจำกัดอื่นๆ จะต้องสอดคล้องกับทฤษฎีด้วยประมานนี้
นี่เป็นความคิดเห็นส่วนตัวนะครับ ผิดพลาดประการใด ก็ขออภัยและโปรดชี้แจงด้วยครับ
^^ O_O @_@

divine_sg

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 3 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 150 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 5 26 ก.ย. 2550 (17:39)
ขอบคุงมากๆครับ

Halo

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 1 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 150 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 6 13 พ.ย. 2550 (17:55)
ขอบคุณมากครับ...

bobs

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 7 28 พ.ย. 2550 (17:43)
จาก ทฤษฎีบท 2.4.1 การทดสอบอนุกรมสลับ
จริงหรอคะที่ถ้าขาดคุณสมบัติข้อใดข้อหนึ่ง สรุปได้ทันทีว่า เป็นอนุกรมลู่ออก
เหมือนเคยอ่านเจอว่า ถ้าขาดข้อ2 สรุปได้ทันที แต่ถ้าขาดข้ออื่นจะสรุปไม่ได้

fon155