วิชาการ.คอม - ลำดับและอนุกรม (2.3 การทดสอบการลู่เข้า และการลู่ออกของอนุกรม)

ลำดับและอนุกรม

ถ้าน้อง ๆ เคยเห็นข้อสอบวัดไอคิว อาจเคยเห็นข้อสอบ ประเภทให้ตัวเลขมา 3-4 ตัว แล้วถามว่า ตัวเลขถัดไปจะเป็นอะไร ตัวอย่างเช่น 1, 2, 4, 7, .... แล้วตัวต่อไปจะเป็นอะไร จากนั้นก็จะมีการพัฒนาข้อสอบเป็น ลำดับรูปภาพต่าง ๆ ให้ได้คิดกัน นอกจากนี้ ในชีวิตประจำ

ผู้เขียน: ดร. ธีรเดช เจียรสุขสกุล ชมแล้ว: 75,957 ครั้ง

post ครั้งแรก: Wed 30 May 2007, 2:00 pm ปรับปรุงล่าสุด: Mon 18 June 2007, 4:22 pm

อยู่ในส่วน: คณิตศาสตร์

สารบัญ

หน้า : 1 1.1 ลำดับ (Sequence) คืออะไร ?
หน้า : 2 1.2 กราฟของลำดับ
หน้า : 3 1.3 ลิมิตของลำดับ
หน้า : 4 1.4 ลำดับทางเดียว ( Monotone Sequence )
หน้า : 5 1.5 ลำดับที่มีขอบเขต ( Bounded Sequences )
หน้า : 6 2.1 อนุกรมอนันต์ ( Infinite Series )
หน้า : 7 2.2 อนุกรมชนิดต่าง ๆ ที่สำคัญ
หน้า : 8 2.3 การทดสอบการลู่เข้า และการลู่ออกของอนุกรม
หน้า : 9 2.4 อนุกรมสลับ ( Alternating Series )
หน้า : 10 2.5 การลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ และ แบบมีเงื่อนไข ( Absolute and Conditional Convergence )
หน้า : 11 2.6 อนุกรมกำลัง ( Power Series )
หน้า : 12 2.7 อนุกรมเทย์เลอร์ และอนุกรมแมคคลอรีน ( Taylor and Maclaurin Series )

หน้าที่ 8 - 2.3 การทดสอบการลู่เข้า และการลู่ออกของอนุกรม

ในกรณีที่เราต้องการทราบว่าอนุกรมที่กำหนดให้เป็นอนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออก โดยไม่ต้องหาผลบวกย่อยที่

ในพจน์ของ

หรือไม่สามารถนำทฤษฎีเบื้องต้นที่กล่าวมาใช้ได้ จึงจำเป็นต้องศึกษาถึงทฤษฎีที่ใช้ในการทดสอบการลู่เข้า และการลู่ออกของอนุกรม ซึ่งมีอยู่หลายทฤษฎี ดังต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 2.3.1 การทดสอบโดยอินทิกรัล ( Integral Test )
ให้ $\displaystyle{\sum a_n}$ เป็นอนุกรมที่มี a_n > 0

และ ให้

เป็นฟังก์ชันที่เกิดจากการแทน

ใน

ด้วย

ถ้า

มีค่าลดลงและมีความต่อเนื่องสำหรับ $x \geq 1$ แล้ว อนุกรม $\sum a_n$ กับอินทิกรัลไม่ตรงแบบ $\displaystyle{\int_{1}^{+\infty}f(x) dx}$ จะลู่เข้า หรือลู่ออกเหมือนกัน

ตัวอย่าง 1 จงทดสอบอนุกรมต่อไปนี้ว่าเป็นอนุกรมลู่เข้า หรือ ลู่ออก

ก. $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}n e^{-n}}$
วิธีทำ กำหนดให้ $\displaystyle{f(x) = x e^{-x}}$ จะได้ว่า

เป็นฟังก์ชันลด และต่อเนื่องสำหรับ $x \geq 1$ เราจึงสามารถใช้การทดสอบโดยอินทิกรัลได้
พิจารณา $\int_1^{\infty} x e^{-x}dx$ ใช้การอินทิกรัลแบบแยกส่วน (by parts) และ improper integral แล้วจะได้ว่า $\displaystyle{\int_1^{\infty}x e^{-x}dx = \lim_{b \rightarrow\infty}(-xe^{-x}-e^{-x})|_1^b=2e^{-1}}$ เราจึงสรุปได้ว่า อนุกรมนี้ลุ่เข้า

ข. $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)\sqrt{\ln(n+1)}}}$
วิธีทำ กำหนดให้ $\displaystyle{f(x) = \frac{1}{(x+1)\sqrt{\ln(x+1)}}}$ จะได้ว่า

เป็นฟังก์ชันลด และต่อเนื่องสำหรับ $x\geq 1$ เราจึงสามารถใช้การทดสอบโดยอินทิกรัลได้
พิจารณา $\displaystyle{\int_1^{\infty} \frac{1}{(x+1)\sqrt{\ln(x+1)}}dx}$ ใช้การอินทิกรัลแบบเปลี่ยนตัวแปร (substitution) และ improper integral แล้วจะได้ว่า $\displaystyle{\int_1^{\infty} \frac{1}{(x+1)\sqrt{\ln(x+1)}}dx = \lim_{b\rightarrow \infty}2\sqrt{\ln(x+1)}|_1^b}$ เราจึงสรุปได้ว่า อนุกรมนี้ลุ่ออก

ทฤษฎีบท 2.3.2 การทดสอบแบบเปรียบเทียบ ( Comparison Test )
ให้ $\sum a_n$ และ $\sum b_n$ เป็นอนุกรมบวก ( $a_n \geq 0$ , $b_n \geq 0$ ทุกค่า $n\geq 1$ )
1. ถ้า $a_n \leq b_n$ และ $\sum b_n$ ลู่เข้าแล้ว จะได้ว่า $\sum a_n$ ลู่เข้าด้วย
2. ถ้า $a_n \geq b_n$ และ $\sum b_n$ ลู่ออกแล้ว จะได้ว่า $\sum a_n$ ลู่ออกด้วย
นอกเหนือจากนี้สรุปไม่ได้

ตัวอย่าง 2
จงทดสอบอนุกรมที่กำหนดให้ต่อไปนี้ว่า เป็นอนุกรมลู่เข้า หรือ ลู่ออก

ก. $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n-1}+1}$
วิธีทำ กำหนดให้ $\displaystyle{a_n = \frac{1}{2^{n-1}+1}}$ เลือก $\displaystyle{b_n = \frac{1}{2^{n-1}}}$ แล้วเราจะได้ว่า $a_n\leq b_n$ แต่เราทราบว่า $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}b_n}$ ลู่เข้า เพราะเป็นอนุกรมเรขาคณิต มีอัตราส่วนร่วมเป็น $\displaystyle{\frac{1}{2}<1}$ ฉะนั้น $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n-1}+1}$ จึงลู่เข้าด้วย

ข. $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^n}}$
วิธีทำ กำหนดให้ $\displaystyle{a_n=\frac{1}{n^n}}$ เลือก $\displaystyle{b_n = \frac{1}{n^2}}$ แล้วเราจะได้ว่า $a_n\leq b_n$ แต่เราทราบว่า $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} b_n}$ ลู่เข้า เพราะเป็นอนุกรม

โดยที่

ฉะนั้น $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^n}}$ จึงลู่เข้าด้วย

ค. $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n-\cos n}}$
วิธีทำ กำหนดให้ $\displaystyle{a_n = \frac{1}{3^n - \cos(n)}}$ เลือก $\displaystyle{b_n = \frac{1}{3^{n-1}}}$ แล้วเราจะได้ว่า $a_n\leq b_n$ แต่เราทราบว่า $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}b_n}$ ลู่เข้า เพราะเป็นอนุกรมเรขาคณิต มีอัตราส่วนร่วมเป็น $\displaystyle{\frac{1}{3}<1}$ ฉะนั้น $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n-\cos n}}$ จึงลู่เข้าด้วย

ทฤษฎีบท 2.3.3
การทดสอบแบบเปรียบเทียบโดยลิมิต (Limit Comparison Test )
ให้ $\sum a_n$ และ $\sum b_n$ เป็นอนุกรมบวก ( $a_n \geq 0$ , $b_n \geq 0$ ทุกค่า $n \geq 1$ )
1. ถ้า $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}=c > 0}$ แล้วจะได้ว่า $\sum a_n$ และ $\sum b_n$ จะลู่เข้า หรือ ลู่ออกเหมือนกัน
2. ถ้า $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}=0}$ และ $\sum b_n$ เป็นอนุกรมลู่เข้า แล้วจะได้ว่า $\sum a_n$ เป็นอนุกรมลู่เข้า
3. ถ้า $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}=+\infty}$ และ $\sum b_n$ เป็นอนุกรมลู่ออก แล้วจะได้ว่า $\sum a_n$ เป็นอนุกรมลู่ออก

ตัวอย่าง 3 จงทดสอบอนุกรมที่กำหนดให้ต่อไปนี้ว่า เป็นอนุกรมลู่เข้า หรือ ลู่ออก

ก. $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{4n^3-2}}$
วิธีทำ กำหนดให้ $\displaystyle{a_n = \frac{n}{4n^3-2}}$ เลือก $\displaystyle{b_n = \frac{1}{n^2}}$ แล้วเราจะได้ว่า $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{1}{4}}$ แต่เราทราบว่า $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}b_n}$ ลู่เข้า เพราะเป็นอนุกรม

โดยที่

ฉะนั้น $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{4n^3-2}}$ จึงลู่เข้าด้วย

ข. $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{\sqrt{n+1}}}$
วิธีทำ กำหนดให้ $\displaystyle{a_n = \frac{\ln (n)}{\sqrt{n+1}}}$ เลือก $\displaystyle{b_n = \frac{1}{\sqrt{n}}}$ แล้วเราจะได้ว่า $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}=+\infty}$ และทราบว่า $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}b_n}$ ลู่ออก เพราะเป็นอนุกรม

โดยที่ $\displaystyle{p = \frac{1}{2}<1}$ ฉะนั้น $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{\sqrt{n+1}}}$ จึงลู่ออกด้วย

ค. $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n^2}}$
วิธีทำ กำหนดให้ $\displaystyle{a_n=1\frac{\ln (n)}{n^2}}$ เลือก $\displaystyle{b_n = \frac{1}{n^{1.5}}}$ แล้วเราจะได้ว่า $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}=0}$ แต่เราทราบว่า $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}b_n}$ ลู่เข้า เพราะเป็นอนุกรม

โดยที่

ฉะนั้น $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n^2}}$ จึงลู่เข้าด้วย

ทฤษฎีบท 2.3.4 การทดสอบโดยอัตราส่วน ( Ratio Test )
ให้ $\sum a_n$ เป็นอนุกรมที่ต้องการทดสอบ ถ้า $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=L}$ แล้วได้ว่า
(1) ถ้า L<1

อนุกรมจะลู่เข้า
(2) ถ้า L>1

อนุกรมจะลู่ออก
(3) ถ้า L =1

สรุปไม่ได้

ตัวอย่าง 4
จงทดสอบอนุกรมที่กำหนดให้ต่อไปนี้ว่า เป็นอนุกรมลู่เข้า หรือ ลู่ออก

ก. $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{n!}}$
วิธีทำ กำหนดให้ $\displaystyle{a_n = \frac{3^n}{n!}}$ แล้วเราจะได้ว่า $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{3^n}=0 <1}$ เราจึงสรุปได้ว่า $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{n!}}$ ลู่เข้า

ข. $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n)!}{n!n!}}$
วิธีทำ กำหนดให้ $\displaystyle{a_n=\frac{(2n)!}{n!n!}}$ แล้วเราจะได้ว่า $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(2(n+1))!}{(n+1)!(n+1)!}\cdot \frac{n!n!}{(2n)!}=4 > 1}$ เราจึงสรุปได้ว่า $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n)!}{n!n!}}$ ลู่ออก

ทฤษฎีบท 2.3.5
การทดสอบโดยใช้รากที่

( n^th-Root Test )
ให้ $\sum a_n$ เป็นอนุกรมที่ต้องการทดสอบ ถ้า $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=R}$ แล้วได้ว่า
(1) ถ้า R<1

อนุกรมจะลู่เข้า
(2) ถ้า R>1

อนุกรมจะลู่ออก
(3) ถ้า R=1

สรุปไม่ได้

ตัวอย่าง 5 อนุกรม $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{[\ln (n+1)]^n}}$ เป็นอนุกรมลู่เข้า หรือ ลู่ออก
วิธีทำ กำหนดให้ $\displaystyle{a_n = \frac{1}{[\ln (n+1)]^n}}$ แล้วเราจะได้ว่า $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\ln (n+1)}}$
เราจึงสรุปได้ว่า $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{[\ln (n+1)]^n}}$ ลู่เข้า

<<< หน้าก่อนนี้ (หน้า 7)

หน้าถัดไป (หน้า 9) >>>

^*หมายเหตุ งานเขียนชิ้นนี้ ได้รับการคุ้มครองสิทธิตามพระราชบัญญัติคุ้มครองสิทธิทางปัญญา โดยลิขสิทธิเป็นของผู้เขียน ที่ให้เกียรตินำเผยแพร่ผ่าน วิชาการ.คอม เรามีความยินดีและอนุญาตให้ทำซ้ำหรือเผยแพร่ต่อเพื่อประโยชน์ทางการศึกษาเท่านั้น กรุณาให้เกียรติผู้เขียน โดยอ้างชื่อผู้เขียนและ วิชาการ.คอม (www.vcharkarn.com) ทุกครั้งที่ทำการเผยแพร่ต่อ ห้ามนำส่วนหนึ่งส่วนใดไปเผยแพร่ต่อในสื่อที่เอื้อประโยชน์ทางธุรกิจก่อนได้รับอนุญาต ขอขอบคุณที่ร่วมกันช่วยสร้างให้สังคมไทยเป็นสังคมแห่งปัญญา

จำนวน 6 ความเห็น, หน้า่ | -1-

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 3 11 ก.ค. 2550 (21:17)
อยากถามว่า ในลำดับนี้ ค่า n=0 ได้ไหม ถ้าไม่ได้เพราะอะไร
แล้วก็สูตรที่อาจารย์ใช้สอนในการหาค่า 3 พจน์ ของลำดับ เช่น การหาค่า 3 พจน์ของลำดับเลขาคณิตที่มีสูตรว่า a/r,a,ar อะไรประมาณนี้มันขัดกับนิยามหรือไม่ เพราะที่อาจารย์เคยสอน เขาบอกว่าa1 เป็นลำดับแรกสุดของลำดับต่างๆ

Runa-Light

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 3 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 153 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 4 20 ก.ย. 2550 (14:52)
จากความเห็นเพิ่มเติมที่ 3 นะครับ
ผมว่า น่าจะไม่ขัดนะครับ เพราะว่า a/r , a ,ar เป็นการเขียนในรูปของกรณีสมมุติพจน์ใดๆมา 3 พจน์ นั่นหมายความว่า a/r คือพจน์ที่อยู่ก่อนหน้าพจน์ a 1 ลำดับ ซึ่งการเขียนกรณีนี้ได้ต้องครอบคลุม คือพจน์ของ a/r จะเป็นได้ต่ำสุดก็คือพจน์ที่ 1 จึงสามาถนำไปใช้ได้ แต่ข้อจำกัดอื่นๆ จะต้องสอดคล้องกับทฤษฎีด้วยประมานนี้
นี่เป็นความคิดเห็นส่วนตัวนะครับ ผิดพลาดประการใด ก็ขออภัยและโปรดชี้แจงด้วยครับ
^^ O_O @_@

divine_sg

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 3 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 150 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 5 26 ก.ย. 2550 (17:39)
ขอบคุงมากๆครับ

Halo

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 1 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 150 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 6 13 พ.ย. 2550 (17:55)
ขอบคุณมากครับ...

bobs

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 7 28 พ.ย. 2550 (17:43)
จาก ทฤษฎีบท 2.4.1 การทดสอบอนุกรมสลับ
จริงหรอคะที่ถ้าขาดคุณสมบัติข้อใดข้อหนึ่ง สรุปได้ทันทีว่า เป็นอนุกรมลู่ออก
เหมือนเคยอ่านเจอว่า ถ้าขาดข้อ2 สรุปได้ทันที แต่ถ้าขาดข้ออื่นจะสรุปไม่ได้

fon155