ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

ความสัมพันธ์ (Relation)

มาแล้วคะ หนึ่งในองค์ประกอบในเรื่องของฟังก์ชั่น เรารู้ว่าความสัมพันธ์นั้นจะเกิดขึ้นได้ก็จำเป็นที่จะต้องมีสิ่งสองสิ่งเพื่อนำมาเกี่ยวเนื่องกัน ไม่ว่าจะเป็นคน, สัตว์, สิ่งของ หรือแม้กระทั่งตัวเลข ก็สามารถที่จะนำมาสร้างความสัมพันธ์ได้คะ แต่ในที่นี้ เราจะสร้างลำดับของสิ่งของสองสิ่งขึ้น เพื่อให้ดูเป็นระบบระเบียบ และสามารถเข้าใจได้ง่ายขึ้น ดังนั้น หากเรานึกถึงสิ่งสองสิ่ง เราจะต้องไม่ลืมนึกถึงความหมายที่สำคัญของคู่อันดับ (ordered Pairs) นะคะ เรามาดูว่า มันมีสิ่งที่น่าสนใจอะไรกันดีกว่านะคะ คู่อันดับ (Ordered Pairs) จากทางข้างต้น เราก็รู้ว่าคู่อันดับนั้น เกิดขึ้นจากการเรียงลำดังกันระหว่างสิ่งสองสิ่ง นั่นก็คือว่า คู่อันดับนั้น จะต้องมีคุณสมบัติเป็นคู่ และมีอันดับในตัวด้วย พูดแบบนี้เพื่อนๆอาจจะงงกัน เราจึงขออธิบายอย่างง่ายๆว่า คู่อันดับแต่ละคู่นั้น จะต้องประกอบด้วยสมาชิก 2 ตัว นั่นคือ สมาชิกตัวหน้า และสมาชิกตัวหลัง และการที่จะเป็นสมาชิกตัวหน้าและสมาชิกตัวหลังนั้น จะมีการแสดงอันดับที่สำคัญมาก เช่น การเขียนอันดับของ บิดากับบุตรชาย (พระอภัยมณี , สุดสาคร) ทั้งนี้แสดงถึงอะไร ซึ่งเราคิดว่าเพื่อนๆทุกคนต้องเข้าใจแน่ๆคะ ตัวอย่างดังที่ยกมานั้น หมายถึง สมาชิกตัวหน้าคือ พระอภัยมณี เป็นบิดา และสมาชิกตัวหลังคือ สุดสาคร เป็นบุตรชาย (แต่ในที่นี้ไม่มีนางเงือกจากเกาะแก้วพิสดารนะคะ) และจากคู่อันดับนี้ หากเราสลับที่กันระหว่างคู่อันดับทั้งสองให้กลายมาเป็น (สุดสาคร, พระอภัยมณี) ความหายอันดับก็จะผิดไปจากเดิมที่เป็นอยู่คะ กลายเป็นว่าสุดสาครเป็นบิดา และพระอภัยมณี เป็นบุตรชายแทน (และคิดว่านางเงือกจะต้องแย่แน่ๆเลยที่คู่อันดับสลับกันซะได้) และในทางคณิตศาสตร์ คู่อันดับนั้นจะนิยมเขียนในรูปของสัญลักษณ์ (a, b) ค่ะ โดยกำหนดให้ a เป็นสมาชิกตัวหน้า และ b เป็นสมาชิกตัวหลัง และตกลงว่าคู่อันดับ (a, b) นั้น จะเท่ากับคู่อันดับ (x, y) ก็ต่อเมื่อ a = x และ b = y นั่นคือ จัดลำดับเดียวกันให้นำมาเท่ากันเท่านั้นเองค่ะ เกริ่นมาถึงเรื่องคู่อันดับ พร้อมกับตัวอย่างง่ายๆ เพื่อนๆก็คงจะเข้าใจกันดีแล้วใช่ไหมคะ ดังนั้นตอนนี้ เรามาดูสมบัติของคู่อันดับจำนวนไม่กี่ข้อกันบ้างดีกว่า เพื่อที่จะได้นำสมบัตินี้ ไปใช้ในการแก้โจทย์ปัญหากันได้ค่ะ สมบัติของคู่อันดับ 1. (a,b)neq (b,a) ยกเว้น a=b 2. (a,b)=(c,d) ก็ต่อเมื่อ a=c และ b=d 3. (a,b)neq (c,d) ก็ต่อเมื่อ aneq cและ bneq d จากคุณสมบัติดังข้างต้นนี้ เราจะนำมาแทนค่าตัวเลขลงไปเพื่อที่จะได้เห็นชัดขึ้นนะคะ เช่น (2,5)=(2,3+2) แต่ (2,5)neq(5,2) (3,8) = (x,y) ก็ต่อเมื่อ x=3 และ y=8 (1,7)neq (x,y) ก็ต่อเมื่อ xneq 1 หรือ yneq 7 ตัวอย่าง (-15,3y-1)=(3x,20) ก็ต่อเมื่อค่าของ x, y เท่ากับเท่าใด วิธีทำ (-15,3y-1)=(3x,20) ก็ต่อเมื่อ 3x=-15 และ 3y-1=20 นั่นคือ x=-5 และ 3y=21 หรือ y=7 ดังนั้น (-15,3y-1)=(3x,20) ก็ต่อเมื่อ x=-5 และ y=7 แบบฝึกหัด 1 1. (x+3,8)=(-6,y+2) ก็ต่อเมื่อ x และ y เท่ากับเท่าใด 2. (5,b+1)neq (a,-2) ก็ต่อเมื่อ a และ b เท่ากับเท่าใด 3. (x+y,6)=(-10,x-y) ก็ต่อเมื่อค่าของ x และ y เท่ากับเท่าใด 4. (6,3x+2y)=(x-3y,7) ก็ต่อเมื่อคู่อันดับ (x+5y,3x-y) เท่ากับเท่าใด จากเรื่องคู่อันดับทางข้างต้น ทุกคนเคยสงสัยไหมคะว่า แล้วถ้าเรามีเพียงแค่สมาชิกที่อยู่ในเซตๆหนึ่งเท่านั้น แล้วเราจะสามารถจัดคู่อันดับด้วยตัวเองได้ไหม คำตอบคือ ได้อย่างแน่นอนคะ จากความรู้เรื่องเซต (ลืมกันแล้วหรือยังคะ) เรารู้ว่าภายในเซตนั้น จะประกอบด้วยสมาชิกหลายตัว แล้วแต่ว่าในเซตนั้นๆจะมีสมาชิกอะไรบ้าง ซึ่งในเซตนั้นก็สามารถแบ่งได้ออกเป็นหลายเซตด้วยกัน เช่น เซต A, เซต B. แล้วเราจะสามารถจัดอันดับขึ้นได้อย่างไร เพื่อนๆคะ เราสามารถที่จะจัดอันดับเองได้ โดยใช้วิธีของผลคูณคาร์ทีเซียนที่กล่าวดังต่อไปนี้ค่ะ

ผลคูณคาร์ทีเซียน

อย่างที่เกริ่นเอาไว้แล้วนะคะว่า ถ้าเราให้ A={a,b} และ B={1,2,3} (คือเซต A และ เซต B) เราสามารถที่จะหาคู่อันดับได้โดยกำหนดให้สมาชิกตัวแรกของคู่อันดับเป็นสมาชิกของ A และสมาชิกตัวที่สองของคู่อันดับเป็นสมาชิกของ B เรียกเซตของคู่อันดับทั้งหมดที่สร้างขึ้นด้วยวิธีนี้ว่า ผลคูณคาร์ทีเซียน ของ A และ ของ B เขียนแทนด้วย Atimes Bนั่นคือ Atimes B={(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)}

นิยาม ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B คือเซตของคู่อันดับ  (x,y)ทั้งหมด โดยที่ x เป็นสมาชิกของ A และ y เป็นสมาชิกของ B และเราสามารถเขียน Atimes B โดยวิธีการกำหนดเงื่อนไขของสมาชิกได้ดังนี้ Atimes B={(x,y)|xin Aและ yin B}
เรารู้แต่ Atimes B ดังนั้น เราจะลองสลับมาเป็น Btimes A บ้าง สังเกตดูนะคะว่า คำตอบที่ได้จะเปลี่ยนแปลงไปอย่างไร Btimes A={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)} Atimes A={(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)} แต่ถ้า A={a,b} และ B={O} เราจะได้ว่า Atimes B={O}และ Btimes A={O}
1. สำหรับเซต A ใดๆ Atimes {O}={O}times A={O} 2. สำหรับเซต A และ เซต B ใดๆ Atimes Bneq Btimes A ยกเว้น A=B หรือ Aneq {O} หรือ Bneq {O} 3. ถ้า A และ B เป็นเซตจำกัดจะได้ n(Atimes B)=n(A)times n(B)
ทีนี้ พวกเราก็คงทราบแล้วนะคะว่า การสร้างคู่อันดับขึ้นเองไม่ใช่เรื่องที่ยากเลยใช่ไหมคะ ดังนั้น ตอนนี้ เรามาดูสมบัติอย่างง่ายๆของผลคูณคาร์ทีเซียนกันบ้างคะ สมบัติของผลคูณคาร์ทีเซียน ให้ A, B และ C เป็นเซตใดๆ จะได้ว่า 1. Atimes B={O} ก็ต่อเมื่อ Aneq {O} หรือ Bneq {O} 2. โดยทั่วไป Atimes Bneq Btimes A แต่ Atimes B=Btimes A ก็ต่อเมื่อ A=B หรือ A={O} หรือ B={O} 3. ถ้า Atimes B=Atimes Cและ Aneq {O} แล้ว B=C 4. A เป็นเซตจำกัดซึ่ง Aneq {O} และ B เป็นเซตอนันต์แล้ว Atimes B และ Btimes Aเป็นเซตอนันต์ 5. A และ B เป็นเซตอนันต์แล้ว Atimes B และ Btimes A เป็นเซตอนันต์ 6. ถ้า Asubset Bแล้ว Atimes Csubset Btimes C 7. เมื่อ A และ B เป็นเซตจำกัด  n(Atimes B)=n(Btimes A)=n(A)times n(B) 8. ถ้า Asubset B แล้ว Csubset Dแล้ว Atimes Csubset Btimes D 9. ถ้า Aneq {O} และ Atimes Bsubset Atimes C แล้ว Bsubset C 10. Atimes (Bcup C)=(Atimes B)cup (Atimes C) 11. Atimes (Bcap C)=(Atimes B)cap (Atimes C) 12. Atimes (B-C)=(Atimes B)-(Atimes C) 13. (A-B)times C=(Atimes C)-(Btimes C) 14. (Atimes B)cap (Btimes A)=(Acap B)times (Acap B)
เมื่อ A, B, C เป็นเซตจำกัด และ ไม่เป็นเซตว่าง 1. Acap (Btimes C)neq (Acap B)times (Acap C) 2. Acup (Btimes C)neq (Acup B)times (Acup C) 3. (Atimes B)-Cneq (A-C)times (B-C)
แบบฝึกหัด 2 1. A={0,3},B={0,5} จงหา Atimes A,Atimes B,Btimes A,Btimes B 2. จาก A={1,2},B={O},C={{O}}จงหา Atimes B,Atimes C,Btims C,Ctimes C 3. ถ้า A={(0,1),(1,3),},B={a} จงหา Atimes A,Atimes B,Btimes B 4. กำหนด A={a},B={b},C={O} จงหา P(A)times P(B),P(A)times P(A),P(A)times P(C) และ P(C)times P(C) 5. กำหนด A={1,2,3,4},B={-3,-1,0,1,3}และ C={3,-,0} จงหา 5.1) n[Atimes (Bcup C)] 5.2) n[(Acup B)times C] 5.3) n[(Atimes B)cup C] 5.4) n[(Acap B)times C]

ความสัมพันธ์

ในการดำเนินชีวิตในปัจจุบันของพวกเราทุกคนนั้น พวกเราจะพบข้อความที่แสดงถึงความสัมพันธ์กันอยู่เป็นประจำเลยละคะ เช่น เราบอกว่า สุทิน เป็นน้องชายของ สุทิต นั้นแสดงถึงความสัมพันธ์ระหว่างคนสองคนนี้คือ “เป็นน้องชายของ” หรือว่า แมวสีขาวเป็นลูกของแมวสีดำ ความสัมพันธ์ระหว่างสัตว์ทั้งสองนี้ก็คือ “เป็นลูกของ” แต่ถ้าเราจะแสดงให้เป็นด้วยระบบของตัวเลขก็อย่างเช่น 2 ไม่เท่ากับ 8 แสดงว่า 2 กับ 8 มีความสัมพันธ์ “ไม่เท่ากับ” จากเรื่องของคู่อันดับที่กล่าวว่า ความสัมพันธ์เกิดจากสิ่งของสองสิ่งมาเกี่ยวข้องกันภายใต้กฎเกณฑ์อย่างใดอย่างหนึ่งนั้น เราจะพบว่าในทางคณิตศาสตร์นั้นจะแสดงความเกี่ยวข้องกันระหว่างของสองสิ่งในรูปของคู่อันดับ โดยบอกกฎเกณฑ์ที่เกี่ยวข้องกันไว้ด้วย เช่น 5 กับ 9 มีความสัมพันธ์ “น้อยกว่า” เราจะเขียนแทนด้วยคู่อันดับ (5, 9) ซึ่งถ้าเรากำหนดให้ A={1,2},B={1,2,3} เราจะทราบว่า Atimes B={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3) } โดยการใช้ความรู้ในเรื่องของผลคูณคาร์ทีเซียนนะคะ ถ้าเราเลือกสมาชิกบางตัวใน Atimes Bนั้นมาเขียนเป็นเซตใหม่ขึ้นมา นั่นคือ {(1, 1), (2, 2)} เซตใหม่นี้จะเป็นสับเซตของ Atimes Bและสมาชิกตัวหน้ากับสมาชิกตัวหลังมีความสัมพันธ์ “เท่ากับ” เราจะเรียกเซตใหม่ที่ได้นี้ว่า เป็นความสัมพันธ์จากเซต A ไปหาเซต B นิยมเขียนแทนด้วย r ดังบทนิยามที่ได้กล่าวไว้ดังนี้ค่ะ

นิยาม r เป็นความสัมพันธ์จากเซต A ไปหาเซต B ก็ต่อเมื่อ r เป็นสับเซตของ Atimes Bและเรียกความสัมพันธ์จากเซต A ไปเซต A ว่าความสัมพันธ์ในเซต A
ซึ่งเราพบว่า rsubset Atimes B แสดงว่า r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ซึ่งเราพบว่า rsubset Atimes A แสดงว่า r เป็นความสัมพันธ์ใน A
ความสัมพันธ์เป็นเซตที่มีสมาชิกเป็นคู่อันดับซึ่งการเขียนแทนความสัมพันธ์นั้นเราจะเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก หรือ แบบบอกเงื่อนไขก็ได้
เรามาดูตัวอย่างง่ายๆจากนิยามที่กำหนดให้ดีกว่านะคะ ตัวอย่าง กำหนด A={4,5,6},B={5,6,7.8} จงหา 1. ความสัมพันธ์ “มากกว่า” จาก A ไป B 2. ความสัมพันธ์ “น้อยกว่า” จาก A ไป B 3. ความสัมพันธ์ “เป็นครึ่งหนึ่ง” จาก A ไป B 4. ความสัมพันธ์ “เท่ากับ” จาก A ไป B การแก้ปัญหา : 1. ให้ r_1 แทนความสัมพันธ์ “มากกว่า” จาก A ไป B จะได้ r_1={(6,5)} หรือr_1={(x,y)inAtimes B|x>y} 2. ให้ r_2 แทนความสัมพันธ์ “น้อยกว่า” จาก A ไป B จะได้ r_2={(4,5),(4,6),(4,7),(4,8),(5,6),(5,7),(5,8),(6,7),(6,8)} หรือ r_2={(x,y)in Atimes B|x<y} 3. ให้ r_3 แทนความสัมพันธ์ “เป็นครึ่งหนึ่ง” จาก A ไป B จะได้ r_3={(4,8)} หรือ r_3={(x,y)in Atimes B|y=2x} 4. ให้ r_4 แทนความสัมพันธ์ “เท่ากับ” จาก A ไป B จะได้ r_4={(5,5),(6,6)} หรือ r_4={(x,y)in Atimes B|y=x}
ถ้า r={(x,y)in Rtimes R|y=x} เราอาจเขียนความสัมพันธ์นี้โดยละไว้ในฐานที่เข้าใจว่า r เป็นความสัมพันธ์ในเซตของจำนวนจริง นั่นคือ เป็น r={(x,y)|y=x} ถ้า r={(x,y)in Rtimes R|y=x^2-1} เขียนเป็น r={(x,y)|y=x^2-y^2}
แบบฝึกหัด 3 1. กำหนด A={4,5,6,7,8,9},B={2,3,4} จงหา 1.1) ความสัมพันธ์ “หารลงตัว” จาก B ไป A 1.2) ความสัมพันธ์ “รากที่สอง” ใน B 1.3) ความสัมพันธ์ “เป็นครึ่งหนึ่ง” ใน A 1.4) ความสัมพันธ์ “รากที่สาม” จาก B ไป A 1.5) ความสัมพันธ์ “มากกว่า” จาก B ไป A 2. ให้ A={1,2,3,4} จงเขียน r ที่กำหนดให้แบบแจกแจงสมาชิก 1.1) r={(x,y)in Atimes A|x+y=5} 1.2) r={(x,y)in Atimes A|x-y=5} 1.3) r={(x,y)in Atimes A|x>2และ y = 3} y=3}

โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์

ในหัวข้อนี้จะเป็นรากฐานสำคัญที่จะนำเข้าสู่เรื่องของการสร้างกราฟของความสัมพันธ์ต่อไป แต่ตอนนี้ เรามาทำความรู้จักกับคำว่าโดเมน และเรนจ์กันก่อนนะคะ ทุกคนก็คงจะรู้จักเป็นอย่างที่เกี่ยวกับเรื่องความสัมพันธ์และ ผลคูณคาร์ทีเซียนกันแล้ว ซึ่งเราจะนำความรู้ในเรื่องนั้นละนำมาอธิบายความหมายที่แท้จริงพร้อมยกตัวอย่างง่ายๆของ โดเมนและเรนจ์ ถ้าเรากำหนดให้ A={1,2} และ B={2,3,4} เราจะทราบว่า Atimes B={(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4)} และถ้า r={(x,y)in Atimes B|y=x+1} เราจะได้ r={(1,2),(2,3)} จากข้างต้นดังที่กล่าวมา เราสามารถที่จะสรุปได้ว่า เซตของสมาชิกตัวหน้าในคู่ดันดับของ r คือ {1,2} เรียกเซตนี้ว่า โดเมน ของ r เซตของสมาชิกตัวหลังในคู่ดันดับของ r คือ {2,3} เรียกเซตนี้ว่า เรนจ์ ของ r

นิยาม โดเมนของความสัมพันธ์ r คือ เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน r เรนจ์ของความสัมพันธ์ r คือ เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน r ซึ่งสัญลักษณ์ที่เราจะใช้เขียนแทนโดเมน และเรนจ์ของความสัมพันธ์ r นั้นเราจะแทนโดเมนด้วย D_r และ เรนจ์ด้วย R_rดังนั้น D_r={x|(x,y)in r} และ R_r={x|(x,y)in r}
ตัวอย่าง ให้ A={1,2,3,4,5,6,7,8,9} และ r={(x,y)in Atimes A|y=x^2} จงหา D_rและ R_r การแก้ปัญหา : A={1,2,3,4,5,6,7,8,9} r={(x,y)in Atimes A|y=x^2} ={(1,1),(2,4),(3,9)} ดังนั้น D_r={1,2,3} และ R_r={1,4,9} และจากตัวอย่างดังข้างต้นที่เราแสดงให้เพื่อนๆเห็นนี้ เป็นการหาค่าโดเมน และเรนจ์ของความสัมพันธ์ที่เขียนอยู่ในรูปของเซตแบบแจกแจงสมาชิก ซึ่งเราจะพบว่าค่า x ที่จะเป็นสมาชิกในโดเมน หรือค่า y ที่จะเป็นสมาชิกในเรนจ์จะต้องเป็นสมาชิกตัวหน้า หรือสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับตามลำดับ และจากความเข้าใจดังจ่อไปนี้ เราจะนำไปใช้ในการหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ที่กำหนดในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไขที่ไม่สามารถแจงแจงสมาชิกของเซตเหล่านี้ได้หมดทุกตัว เช่น r={(x,y)in Rtimes R/y=x^2-1} ซึ่งการหาค่าโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์นี้จะต้องพิจารณาด้วยค่าของ x หรือ y จากเงื่อนไขของความสัมพันธ์ โดยพิจารณาจากค่าที่เป็นไปได้หรือค่าที่เป็นไปไม่ได้ หรือหาโดเมนและเรนจ์ได้จากกราฟของความสัมพันธ์ ดังนั้นการหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ที่กำหนดในรูปของเซตแบบบอกเงื่อนไขที่ไม่สามารถแจกแจงสมาชิกของเซตได้หมดทุกตัว สามารถทำได้ 2 วิธีได้แก่ 1. พิจารณาโดเมน และเรนจ์ จากกราฟของความสัมพันธ์ 2. พิจารณาจากสมการของความสัมพันธ์ ซึ่งการใช้วิธีพิจารณาจากสมการความสัมพันธ์นั้น สามารถทำได้ดังนี้คือ การหาโดเมน : เขียนความสัมพันธ์ โดยจัด y ในรูปของ x นั่นคือ y=f(x) แล้วพิจารณาค่าของ x ที่ทำให้ y เป็นจริงตามเงื่อนไขที่เซตกำหนด การหาเรนจ์ : เขียนความสัมพันธ์ โดยจัด x ในรูปของ y นั่นคือ x=f(y) แล้วพิจารณาค่าของ y ที่ทำให้ x เป็นจริงตามเงื่อนไขเซตที่กำหนด ตัวอย่าง จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ต่อไปนี้ 1. r={(x,y)in Rtimes R|y=x+5} 2. r={(x,y)in Rtimes R|y=x^2-4} 3. r={(x,y)in Rtimes R|y=9-x^2} การแก้ปัญหา : 1. r={(x,y)in Rtimes R|y=x+5} วิธีที่ 1 พิจารณาจากกราฟของความสัมพันธ์
จากกราฟจะพบว่าทุกจุดบนแกน x และทุกจุดบนแกน y สามารถเขียนกราฟของ y=x+5 ได้เสมอ แสดงว่า D_r={x|xin R} และ R_r={y|yin R} หรือ D_r=R_r={x|xin R} หรือ D_r=R_r={y|yin R} วิธีที่ 2 พิจารณาจากความสัมพันธ์ y=x+5 จากความสัมพันธ์พบว่าไม่ว่าจะแทนค่า x ด้วยจำนวนใดๆ สามารถหาค่า y ที่เป็นจำนวนจริงสอดคล้องกับ y=x+5ได้เสมอ นั่นคือ D_r={x|xin R} และ R_r={y|yin R} แบบฝึกหัด 4 1. กำหนด A={5,6,7,8,9},B={3,4,5} จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ต่อไปนี้ 1. r_1={(x,y)in Atimes B|x>7,y=4} 2. r_2={(x,y)in Atimes A|y>x+2} 3. r_3={(x,y)in Btimes B|y>|x|} 2. จงหาโดเมน และเรนจ์ของความสัมพันธ์ต่อไปนี้ 1. r={(x,y)in I^+times I^+|x+y=9} 2. r={(x,y)|y=2x} 3. r={(x,y)|yleq1-x^2}

กราฟของความสัมพันธ์

กราฟของความสัมพันธ์เป็นหนึ่งในวิธีที่เราใช้ในการหาค่าของโดเมนและเรนจ์ หากสามารถที่จะสร้างกราฟความสัมพันธ์ได้ดี การหาค่าของโดเมนและเรนจ์ก็จะง่ายขึ้นสำหรับทุกคนคะ และไม่ใช่เรื่องยากเลย เรามาดูนิยามของกราฟความสัมพันธ์ได้เลยคะ

นิยาม rsubset Rtimes R กราฟของความสัมพันธ์ r คือ เซตของจุดในระนาบซึ่งแต่ละจุดแทนสมาชิกของความสัมพันธ์
ตัวอย่าง จงเขียนกราฟของ r={(x,y)in Atimes A|y=x^2} เมื่อ A={-2,-1,0,1,2} ไม่ยากเลยใช่ไหมคะ แค่การแทนค่าจุดที่โจทย์กำหนดมาให้ตามแต่ละคู่อันดับที่แจกแจงสมาชิกมาเรียบร้อย งั้นคราวนี้ เราลองมาสร้างกราฟของความสัมพันธ์ที่บอกเพียงแค่เงื่อนไข โดยที่ไม่แจกแจงสมาชิกกันบ้างดีกว่านะคะ ตัวอย่าง จงเขียนกราฟของ r={(x,y)|yleq x} การแก้ปัญหา : เนื่องจากเส้นตรง y=x แบ่งระนาบออกเป็นสองส่วน คือส่วนที่อยู่เหนือเส้นตรง y=x และส่วนที่อยู่ใต้เส้นตรง y = x บริเวณสองส่วนดังกล่าวจะเป็นกราฟของ yleq x และ ygeq x ทำได้โดยเลือกจุดคู่อันดับในส่วนหนึ่งซึ่งสามารถระบุความสัมพันธ์ระหว่างสมาชิกตัวแรกและสมาชิกตัวหลัง ว่าสมาชิกตัวใดมากกว่า เช่น เลือกจุดคู่อันดับในควอดรันต์ที่ 4 จะได้ว่าสมาชิกตัวหน้าเป็นจำนวนจริงเต็มบวก แต่สมาชิกตัวหลังเป็นจำนวนจริงลบ ดังนั้น จุดนี้จะสอดคล้องอสมการ yleq x กราฟของ r คือ
เป็นเรื่องง่ายๆที่ทุกคนก็สามารถทำได้จริงไหมคะ ดังนั้นตอนนี้ทุกคนคงจะสามารถหาค่าของโดเมนและเรนจ์ได้อย่างไม่ยากลำบากแล้ว ด้วยการใช้กราฟของความสัมพันธ์ ถ้าเป็นเช่นนั้นแล้ว เราก็ลองมาทบทวนความรู้ที่ได้จากบทนี้ด้วยการทำแบบฝึกหัดกันนะคะ แบบฝึกหัด 5 จงเขียนกราฟของ 1. r={(x,y)|x+yleq 5} 2. r={(x,y)|yleq |x|+1} 3. r={(x,y)|y<8-|x|} 4. r={(x,y)|y<|x-5|} 5. r={(x,y)|xleq |y+1|}

ฟังก์ชัน

จากที่เราได้กล่าวถึงเรื่องของความสัมพันธ์ทั้งหมดให้เพื่อนๆได้รับทราบกันมาแล้วนั้น ทั้งคู่อันดับ ผลคูณคาร์ทีเซียน และความสัมพันธ์ ดังนั้นตอนนี้ จะเข้าสู่เรื่องสำคัญของสิ่งทั้งหลายทางข้างต้นนำความเกี่ยวเนื่องกันทั้งหมด จนกลายเป็น “ฟังก์ชัน”

นิยาม ฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ซึ่งในสองคู่อันดับใดๆ ของความสัมพันธ์นั้น ถ้ามีสมาชิกตัวหน้า เท่ากันแล้ว สมาชิกตัวหลังต้องไม่เท่ากัน
เพื่อนๆลองพิจารณาความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้นะคะ r_1={(2,-2),(1,-1),(0,0)} r_2={(0,0),(1,-1),(-1,1),(2,4),(-2,4)} r_3={(1,1),(1,-1),(2,4),(2,-4),(3,9)} ซึ่งจากคู่อันดับนี้ เราจะพบว่าการจับคู่ระหว่างสมาชิกตัวหน้า และสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับใน r_1 และ r_2 มีลักษณะเหมือนกันคือ สมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับแต่ละตัว จับคู่กับสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับเพียง 1 ตัว ในขณะที่ r_3 มีสมาชิกบางตัวซึ่งเป็นสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับจับคู่กับสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับเกินกว่าหนึ่งตัว เช่น r_3 : 1 จับคู่กับ 1 และ 1 จับคู่กับ -1 : 2 จับคู่กับ 4 และ 2 จับคู่กับ -4 ดังนั้นเราจึงเรียกความสัมพันธ์ r_1 และ r_2 ว่าเป็นฟังก์ชัน ส่วนความสัมพันธ์ r_3 ไม่เป็นฟังก์ชัน หรือจะสรุปให้เห็นชัดง่ายๆคือ ความสัมพันธ์ที่จะเป็นฟังก์ชันได้นั้น ต้องมีความสัมพันธ์แบบ 1 : 1 เท่านั้น อย่างที่บอกเอาไว้ว่า ถ้ามีคู่อันดับอย่างน้อย 2 คู่ ที่สมาชิกตัวหน้าเหมือนกัน แต่สมาชิกตัวหลังไม่เหมือนกัน ความสัมพันธ์นั้นจะไม่เป็นฟังก์ชัน และวิธีที่เราจะพิจารณาว่าความสัมพันธ์ใดเป็นหรือไม่เป็นฟังก์ชันนั้นเราสามารถแบ่งแยกได้เป็นกรณีต่างๆได้ดังนี้คือ 1. ถ้าความสัมพันธ์กำหนดให้เขียนแบบแจกแจงสมาชิก หากพบว่าสมาชิกตัวหน้าของแต่ละคู่อันดับนั้นไม่มีความเหมือนกันเลย เราจะสามารถสรุปได้ว่าความสัมพันธ์นั้นเป็นฟังก์ชั่น และถ้าสมาชิกตัวนั้นเท่ากัน แต่สมาชิกตัวหลังไม่เท่ากัน สรุปได้ว่าความสัมพันธ์นี้ไม่เป็นฟังก์ชัน 2. ถ้าความสัมพันธ์ที่กำหนดให้เขียนแบบบอกเงื่อนไข การพิจารณาสามารถทำได้ดังนี้ วิธีที่ 1 ถ้า r เป็นความสัมพันธ์ที่ (x,y)in r เขียน y ในรูปของ x แล้วพิจารณาค่า y ถ้าแต่ละค่าของ x หาค่า y ได้เพียงค่าเดียว จึงสรุปได้ว่า r เป็นฟังก์ชัน ถ้ามีบางค่าของ x ที่ทำให้หาค่า y ได้มากกว่าหนึ่งค่า สรุปได้ว่า r ไม่เป็นฟังก์ชัน วิธีที่ 2 ถ้า r เป็นความสัมพันธ์ที่ (x,y)in r และ (x,y_2)in r เขียน y_1 และ y_2 ในรูปของ x ถ้าสามารถแสดงได้ว่า y_1=y_2 แสดงว่า r เป็นฟังก์ชัน ถ้ามีกรณีที่ y_1neq y_2 แสดงว่า r ไม่เป็นฟังก์ชัน วิธีที่ 3 โดยใช้กราฟของความสัมพันธ์ ถ้าสามารถลากเส้นตรงที่ขนานกับแกน y อย่างนัอยหนึ่งเส้นให้ตัดกราฟของความสัมพันธ์มากกว่า 1 จุด สรุปได้ว่าความสัมพันธ์นั้นไม่เป็นฟังก์ชัน แต่ถ้าเส้นตรงแต่ละเส้นขนานกับแกน y ตัดกราฟได้เพียงจุดเดียวเท่านั้น สรุปได้ว่าความสัมพันธ์นั้นเป็นฟังก์ชัน แบบฝึกหัด 6 1. จงดูว่าความสัมพันธ์ต่อไปนี้เป็นหรือไม่เป็นฟังก์ชัน 1.1) r={(1,2),(2,2),(3,2),(4,2)} 1.2) r={(0,1),(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)} 1.3) r={(-1,1),(1,1),(0,0),(-2,4),(2,4)} 2. จงดูว่าความสัมพันธ์ต่อไปนี้เป็นหรือไม่เป็นฟังก์ชัน (ใช้วิธีการที่ 1) 2.1) r={(x,y)in Rtimes R|2x-y=6} 2.2) r={(x,y)in Rtimes R|y=x^2-4} 2.3) r={(x,y)in Rtimes R|x^2-y^2=0} 3. จงดูว่าความสัมพันธ์ต่อไปนี้เป็นหรือไม่เป็นฟังก์ชัน (ใช้วิธีการที่ 2) 3.1) r={(x,y)in Rtimes R|4x+2y-8=0} 3.2) r={(x,y)in Rtimes R|y=x^3+4} 3.3) r={(x,y)in Rtimes R|y^2=x-5}

โดนเมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน

จากตอนต้นๆ เราได้เอ่ยไปกับเพื่อนๆแล้วนะคะว่าความสัมพันธ์นั้นเป็นส่วนหนึ่งของฟังก์ชัน และเพราะเนื่องจากฟังก์ชัน เป็นความสัมพันธ์ ดังนั้นโดเมนและเรนจ์ของก็ฟังก์ชันก็คือโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ตามลำดับนั่นเองคะ ดังนั้นหากเราต้องการหาโดนแมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน จึงเป็นเรื่องที่แน่นอนว่าเราจะต้องใช้วิธีเดียวกันกับการหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์นะคะ และเขียนโดแมนและเรนจ์ของฟังก์ชันด้วย Dr และ Rr ตามลำดับคะ ตัวอย่าง 1 กำหนดให้ฟังก์ชัน f = {(1, a), (2, b), (3, c), (4, a)} f={(1,a),(2,b),(3,c),(4,a)}จงหา Df D_rและ Rf R_r การแก้ปัญหา : D_r=เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับ D_r={1,2,3,4} R_rเซตของสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับ R_r={a,b,c} ตัวอย่าง 2 จงหา D_rและ R_rเมื่อกำหนด f ให้ดังต่อไปนี้ 1. f={(x,y)|y=x^2-6x+10} 2. f={(x,y)|y=|3x-5|} การแก้ปัญหา : 1. f={(x,y)|y=x^2-6x+10} จะได้ f(x)=x^2-6x+10=(x-3)^2+1 ฉะนั้น D_r={x|xin R}=R (x ทุกค่าใน R ทำให้หาค่า y ใน R ได้) เนื่องจาก (x-3)^2neq 0 (x-3)^2+1neq 0 +1 (x-3)^2+1neq 1 ฉะนั้น R_r={y|yneq 1}=[1,infty) 2. f={(x,y)|y=|3x-5|} จะได้ f(x)=|3x-5|} ฉะนั้น D_r={x|xin R}=R (x ทุกค่าใน R ทำให้หาค่า y ใน R ได้) เนื่องจาก |3x-5|neq 0 ฉะนั้น R_r={y|yneq 0}=[0,infty) แบบฝึกหัด 7 1. จงหาโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชันที่กำหนดให้ต่อไปนี้ 1.1) f={(x,y)|y=|x^2-1|} และ -2leq xleq 3} 1.2) f={(x,y)in Btimes B|x^2+y^2=9} เมื่อ B={0,1,2,3,4} 1.3) f={(x,y)in Rtimes R|y=x^2-4 และ -5<x<2}

ฟังก์ชันชนิดต่างๆ

เราก็คงรู้จักความหมายของคำว่าฟังก์ชันแล้วนะคะว่าคืออะไร และมีความสัมพันธ์อย่างไรกับความสัมพันธ์ ดังนั้น ตอนนี้ เราจะมาดูประเภทต่างๆของฟังก์ชันที่น่าสนใจกันว่ามีอะไรบ้างคะ 1. ฟังก์ชันจาก A ไป B (Function from A Into B) เช่น หากเรามี f_1={(1,a),(2,b),(3,b),(4,b)} กำหนด A={1,2,3,4} เป็นสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับ B={a,b,c} เป็นสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับ หรือ f_2={(1,a),(2,b),(3,b),(4,c)} กำหนด A={1,2,3,4} เป็นสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับ B={a,b,c} เป็นสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับ เราจะพบว่า D_{f1}=A D_{f2}=A และ R_{f1}subset B R_{f2}subset B ฟังก์ชัน f_1 และ f_2 ต่างก็มีโดเมน เป็น A และเรนจ์เป็นสับเซตของ B เรียก ฟังก์ชัน f_1 และ f_2 นี้ว่าฟังก์ชันจาก A ไป B

บทนิยาม f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันที่มี A เป็นโดเมน และ มีสับเซตของ B เป็นเรนจ์ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B เขียนแทนด้วย f:Arightarrow B
2. ฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B (Function from A onto B) เช่น หากเรามี f_1={(4,a),(5,b),(6,c)} และ f_2={(4,a),(5,b),(6,b)} D_{f1}=A D_{f2}=A และ R_{f1}subset B R_{f2}subset B ฟังก์ชัน f_1 และ f_2 ต่างก็มีโดเมน เป็น A และเรนจ์เป็น B เรียก ฟังก์ชัน f_1 และ f_2 นี้ว่าฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B
บทนิยาม f เป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันที่มี A เป็นโดเมน และ B เป็นเรนจ์ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B เขียนแทนด้วย f : Arightarrow B

tags :

บทความอื่นๆ

ช็อตเด็ด!!! เสวนาทะลุมิติวิทยาศาสตร์กับ Interstellar ตอน สัมพัทธภาพพิเศษ กับ มายาคติของ อดีต ปัจจุบัน และอนาคต

ช็อตเด็ด!!! เสวนาทะลุมิติวิทยาศาสตร์กับ Interstellar ตอน สัมพัทธภาพพิเศษ กับ มายาคติของ อดีต ปัจจุบัน และอนาคต

ช็อตเด็ด!!! เสวนาทะลุมิติวิทยาศาสตร์กับ Interstellar ตอน กาลอวกาศและขนมปังลูกเกด

ช็อตเด็ด!!! เสวนาทะลุมิติวิทยาศาสตร์กับ Interstellar ตอน กาลอวกาศและขนมปังลูกเกด

ช็อตเด็ด!!! เสวนาทะลุมิติวิทยาศาสตร์กับ Interstellar ตอน เวลาคือมิติที่สี่

ช็อตเด็ด!!! เสวนาทะลุมิติวิทยาศาสตร์กับ Interstellar ตอน เวลาคือมิติที่สี่

เที่ยวสนุกสไตล์ Sci trip on tour:  ฟอสซิลสัตว์ทะเลบนก้อนหินมาจากไหน และ อะไรคือน้องวัว?

เที่ยวสนุกสไตล์ Sci trip on tour: ฟอสซิลสัตว์ทะเลบนก้อนหินมาจากไหน และ อะไรคือน้องวัว?

เที่ยวสนุกสไตล์ Sci trip on tour: ความลับของธรรมชาติ

เที่ยวสนุกสไตล์ Sci trip on tour: ความลับของธรรมชาติ "ลำดับเลขฟีโบนัชชี" และ "อุโมงค์ต้นไม้"