วิชาการ.คอม - โปรแกรมเชิงเส้น (Linear Programming) (การจัดตั้งรูปแบบแทนระบบของปัญหา (Model Formulation))

โปรแกรมเชิงเส้น (Linear Programming)

โปรแกรมเชิงเส้นเป็นเทคนิคที่รู้จักกันแพร่หลายและเป็นส่วนหนึ่งของการวิจัยในหลายๆด้าน นักบริหาร วิศวกรหรือนักวิทยาศาสตร์ในหลายๆ หน่วยงานได้ประยุกต์ใช้วิธีการทางโปรแกรมเชิงเส้น เพื่อให้เกิดประโยชน์สูงสุด

ผู้เขียน: ดร. ระวี สุวรรณเดโชไช ชมแล้ว: 29,786 ครั้ง

post ครั้งแรก: Sun 8 July 2007, 8:48 pm ปรับปรุงล่าสุด: Wed 18 July 2007, 11:33 pm

อยู่ในส่วน: เขียนโปรแกรม

สารบัญ

หน้า : 1 บทนำ
หน้า : 2 รูปแบบแทนระบบทางคณิตศาสตร์ของโปรแกรมเชิงเส้น
หน้า : 3 การจัดตั้งรูปแบบแทนระบบของปัญหา (Model Formulation)
หน้า : 4 การหาผลลัพธ์ของรูปแบบแทนระบบของปัญหา (Model Solution)
หน้า : 5 Simplex Method

หน้าที่ 3 - การจัดตั้งรูปแบบแทนระบบของปัญหา (Model Formulation)

ในการจัดตั้งรูปแบบแทนระบบของปัญหาโดยใช้โปรแกรมเชิงเส้น เราต้องทำความเข้าใจและศึกษาปัญหาอย่างชัดเจน นอกจากนี้ยังต้องสามารถระบุสิ่งต่อไปนี้ในปัญหา
1. ตัวแปรตัดสินใจ หรือเรียกสั้นๆ ว่า ตัวแปร (decision variables) ซึ่งคือตัวแปรที่สำหรับใส่เข้าไปในระบบ และเป็นตัวแปรที่เราสามารถจะควบคุมได้ ตัวแปรนี้เป็นสิ่งสำคัญที่เราจะป้อนเข้าไปในระบบเพื่อให้เกิดประโยชน์สูงสุด ตัวอย่างเช่น จำนวนสินค้าที่จะผลิตซึ่งเป็นตัวแปรที่เราควบคุมได้
2. พารามิเตอร์เป็นค่าในระบบที่เราไม่สามารถควบคุมได้ ตัวอย่างเช่นราคาสินค้าซึ่งขึ้นอยู่กับกลไกตลาด
3. สมการกำหนดเป้าหมาย (objective function) คือสมการแสดงความสัมพันธ์ของต้นทุน กำไร เพื่อให้กำหนดเป้าหมายสูงสุดหรือต่ำสุด
4. สมการแสดงขอบข่าย (constraints) ซึ่งแสดงข้อจำกัดต่างๆของปัจจัยหรือทรัพยากรในรูปสมการหรืออสมการ

เมื่อจัดตั้งรูปแบบแทนระบบของปัญหาโดยเขียนให้อยู่รูปแบบทางคณิตศาสตร์ รูปแบบที่ได้จะเป็นรูปแบบของโปรแกรมเชิงเส้นก็ต่อเมื่อมีคุณสมบัติต่อไปนี้
1. สมการกำหนดเป้าหมายจะต้องเป็นเชิงเส้น นั่นคือ ตัวแปรทุกตัวจะต้องมีกำลังเป็น 1 เท่านั้น นอกจากนี้จะต้องเขียนอยู่ในรูปของ การบวกและการลบของตัวแปรต่างๆ เท่านั้น ตัวอย่างเช่น 2x+3y

เป็นเชิงเส้น เพราะตัวแปร x และ y มีกำลังเท่ากับ 1 และตัวแปรอยู่ในรูปของผลบวก แต่ 2xy

ไม่เป็นเชิงเส้นเนื่องจากตัวแปรอยู่ในรูปของผลคูณของตัวแปร x และ y
2. สมการกำหนดเป้าหมายจะต้องระบุว่าต้องการหาค่าต่ำสุดหรือสูดสุด สมการกำหนดเป้าหมายจะต้องแสดงถึงจุดประสงค์ในการตัดสินใจ เช่น การหากำไรสูงสุด ค่าใช้จ่ายต่ำสุด
3. สมการแสดงขอบเขตเป็นเชิงเส้น นอกจากนี้จะต้องเขียนให้อยู่ในรูปของ $\geq , \leq ,$ หรือ = เท่านั้น (ถ้าสมการอยู่ในรูปของ < หรือ > รูปแบบนี้จะไม่ใช้ปัญหาของโปรแกรมเชิงเส้น)

รูปแบบของปัญหาทางการโปรแกรมเชิงเส้น จะสามารถเขียนได้ดังนี้

$\displaystyle \begin{array}{rcl}\textrm{Min/Max}&z=\sum_{j=1}^n c_jx_j&\textrm{Subject to}&{\begin{array}{rc}\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j(\geq,\leq,=)b_i&\textrm{for}\ i=1,\ldots,m\x_j\geq0&\textrm{for}\ j=1,2,\ldots,n\end{array}}\end{array}$

ตัวอย่างข้างล่างนี้เป็นตัวอย่างอย่างง่ายของโปรแกรมเชิงเส้น

ตัวอย่าง Diet Problem

ปัญหาการเลือกสารอาหารทางด้านโภชนาการทาง อย่างเช่น มีอาหารอยู่ทั้งหมด 4 ประเภท สิ่งที่เราสนใจคือ เราควรจะทานอาหารประเภทใดจำนวนเท่าไรจีงจะได้สารอาหารประกอบด้วย โปรตีน วิตามินและ ธาตุเหล็ก ครบตามความต้องการของร่างกาย โดยที่เสียค่าใช้จ่ายน้อยที่สุด ในการแก้ปัญหานี้ อย่างแรกที่เราควรจะรู้คือปริมาณสารอาหารที่มีอยู่ในแต่ละประเภท นอกจากนี้เราควรรู้ปริมาณสารอาหารแต่ละชนิดที่เราควรจะได้รับ รวมถึงราคาของอาหารแต่ละประเภท ข้อมูลทั้งหมดที่เราต้องการสามารถเขียนลงในตารางได้ดังนี้

	อาหาร (ประเภท)
	1	2	3	4	ปริมาณสารอาหารที่ต้องการ
โปรตีน	80	120	60	100	700
วิตามิน	30	0	10	10	250
เหล็ก	15	10	20	5	300
ราคา (ต่อหน่วย)	40	65	20	50

ตารางข้างต้นแสดงพารามิเตอร์ต่างๆ สำหรับปัญหาข้างต้น เราจะเห็นได้ว่าอาหารประเภทที่ 1 มีโปรตีนอยู่ 80 กรัม วิตามิน 30 กรัม และ เหล็ก 20 กรัม โดยที่อาหารประเภทนี้มีราคา 40 บาท ในทำนองเดียวกัน อาหารประเภทที่ 2 มีราคา 65 บาทมีสารอาหารโปรตีน 120 กรัม วิตามิน 0 กรัม และ เหล็ก 10 กรัม ปริมาณสารอาหารแต่ละชนิดที่ร่างกายเราต้องการมีดังนี้ โปรตีนเราต้องการอย่างน้อย 700 กรัม วิตามิน 250 กรัม และ เหล็ก 300 กรัม ตัวแปรตัดสินใจ คือปริมาณสารอาหารในแต่ละประเภทที่ควรจะบริโภค กำหนดให้ตัวแปรเหล่านี้คือ x_1,x_2,x_3,x_4

แทนปริมาณอาหารในแต่ละประเภท จุดมุ่งหมายคือต้องการหาค่าตัวแปร x_1,x_2,x_3,x_4

โดยที่ร่างกายจะต้องได้ปริมาณสารอาหารแต่ละชนิดครบตามความต้องการ โดยที่เสียค่าใช้จ่ายน้อยที่สุด

เมื่อเราได้ตัวแปรและค่าพารามิเตอร์ต่างๆแล้วขั้นตอนไปก็คือหาสมการกำหนดเป้าหมาย ซึ่งคือผลรวมทั้งหมดราคาของอาหารทุกประเภท จากตารางข้างต้น ราคาของอาหารประเภทที่ 1 มีค่าเท่ากับ 40x1 40x_1

ราคาของอาหารประเภทที่ 2 มีค่าเท่ากับ 65x_2

เราสามารถหาราคาของอาหารประเภทที่ 3 และ 4 ได้ เราจะได้ว่าค่าใช้จ่ายทั้งหมดคือ 40x_1+65x_2+20x_3+50x_4

จุดประสงค์ของสมการกำหนดเป้าหมายคือลดค่าใช้จ่ายให้น้อยที่สุด นั่นคือเราต้องการหาค่า x_1,x_2,x_3,x_4

ที่ทำให้

มีค่าต่ำสุด สมการเป้าหมายคือ

$\displaystyle{\textrm{Min}\quad 40x_1+65x_2+20x_3+40x_4}$

เมื่อเราได้สมการกำหนดเป้าหมายแล้วขั้นตอนไปคือหาสมการแสดงขอบข่าย ซึ่งแสดงเงื่อนไขและข้อจำกัดต่างๆ ในปัญหานี้เงื่อนไขคือ ร่างกายต้องได้รับสารอาหารแต่ละชนิดครบถ้วน เมื่อพิจารณาสารอาหารประเภทโปรตีน ถ้าเราทานอาหารประเภทที่ 1 จำนวน x_1

หน่วย เราจะได้โปรตีนเป็นจำนวน 80x_1

กรัม ในขณะเดียวกัน ถ้าเราทานอาหารประเภทที่ 2 จำนวน x_2

หน่วย เราจะได้โปรตีนเป็นจำนวน 120x_2

กรัม ดังนั้นโปรตีนทั้งหมดที่เราจะได้รับคือ 80x_1+120x_2+60x_3+100x_4

เนื่องจากร่างกายต้องการโปรตีนอย่างน้อย 700 กรัม สมการแสดงขอบข่ายของโปรตีน คือ

$80x_1+120x_2+60x_3+100x_4 \geq 700$

สำหรับสมการแสดงขอบข่ายของวิตามินและธาตุเหล็กสามารถเขียนได้ดังนี้

$30x_1+0x_2+10x_3+10x_4 \geq 250$

$15x_1+10x_2+20x_3+5x_4 \geq 300$

นอกจากนี้เพื่อให้ได้ค่าตัวแปรที่สมเหตุสมผล ค่า x_1,x_2,x_3,x_4

ไม่ควรเป็นลบ นั่นคือ

$x_1 \geq 0,x_2 \geq 0,x_3 \geq 0,x_4\geq 0$

ซึ่งเราจะเรียกว่า non-negativity constraints

เมื่อนำปัญหาข้างต้นมาเขียนให้อยู่ในรูปแบบโปรแกรมเชิงเส้นซึ่งประกอบไปด้วยสมการกำหนดเป้าหมายและสมการแสดงขอบข่ายสามารถเขียนได้ดังนี้

$\displaystyle{\begin{array}{rcl}\textrm{Min}&40x_1+65x_2+20x_3+50x_4&\textrm(Objective function)\textrm{Subject to}&{\left\{\begin{array}{rcl}80x_1+120x_2+60x_3+100x_4\geq 700&x_1+0x_2+10x_3+10x_4\geq 250&x_1+10x_2+20x_3+5x_4\geq 300&\x_1\geq0, x_2\geq0,x_3\geq0, x_4\geq0\end{array}\right\}}&\textrm(Constraints)\end{array}}$

จะเห็นได้ว่าจะปัญหาสารอาหารทางโภชนาการเราสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของปัญหาทางคณิตศาสตร์ได้ซึ่งเราจะศึกษาและวิเคราะห์หาคำตอบต่อไป

จากปัญหาสารอาหารทางโภชนาการข้างต้น เราสามารถพิจารณาอาหารประเภทต่างๆ มากขึ้นหรือพิจารณาสารอาหารเพิ่มเติม เช่น พิจารณาอาหาร 150 ประเภท และ สารอาหาร 15 ชนิด ในกรณีนี้เราต้องการตัวแปร 150 ตัวแปร และ สมการแสดงขอบข่าย 15 อสมการ นอกเหนือจาก non-negativity constraints.
รูปแบบแทนระบบของปัญหานี้เราสามารถเขียนให้อยู่ในรูปแบบอย่างย่อได้ดังนี้
กำหนดให้ m แทนจำนวนชนิดของสารอาหาร และ n แทนจำนวนประเภทของอาหาร

$a_{ij}$ แทนจำนวนของสารอาหาร

ที่อยู่ในอาหารประเภท

แทนปริมาณขั้นต่ำของสารอาหารชนิด

ที่ร่างกายต้องการ
c_j

แทนราคาของอาหารประเภท

แทนปริมาณของอาหารประเภท

ที่ร่างกายบริโภค

โดยมี

เป็นสมการกำหนดเป้าหมาย
ปัญหาสารอาหารทางโภชนาการสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของปัญหาทางคณิตศาสตร์ในรูปแบบของโปรแกรมเชิงเส้นได้ดังนี้

$\displaystyle{\begin{array}{rcl}\textrm{Min}&z=\sum_{j=1}^n c_jx_j&\textrm{Subject to}&{\begin{array}{rc}\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j(\geq)b_i&\textrm{for}\ i=1,\ldots,m\x_j\geq0&\textrm{for}\ j=1,2,\ldots,n\end{array}}\end{array}}$

ตัวอย่าง Cutting stock problem

ตัวอย่างนี้พบได้ทั่วๆไปในทางอุตสาหกรรมในการสั่งซื้อสิ่งค้าแล้วนำมาตัดแบ่ง เช่นในการสั่งซื้อไม้หรือม้วนกระดาษซึ่งอาจจะซื้อมาเป็นขนาดใหญ่แล้วนำมาตัดแบ่งเป็นขนาดต่างๆ ตามความต้องการ แล้วแต่การใช้งาน เป้าหมายคือต้องตัดกระดาษอย่างไร จึงจะประหยัดทรัพยากรมากที่สุด นั่นคือใช้กระดาษน้อยที่สุดในการตัด โดยกระดาษที่ตัดเป็นขนาดต่างๆ จะต้องมีเพียงพอต่อความต้องการของลูกค้า เช่นเราสั่งซื้อกระดาษที่มีขนาดความกว้าง 100 นิ้ว ในแบบที่ 1 เราจะตัดกระดาษให้มีขนาดความกว้าง 25 นิ้วเป็นจำนวน 2 ม้วน ขนาดความกว้าง 15 นิ้วเป็นจำนวน 3 ม้วน และขนาด 5 นิ้วเป็นจำนวน 1 ม้วน ในแบบที่ 2 เราจะตัดกระดาษให้มีความกว้าง 35 นิ้วจำนวน 2 ม้วนและ ขนาด 15 นิ้วจำนวน 3 ม้วน

ปัญหาการตัดกระดาษสามารถเขียนให้อยู่ในรูปแบบโปรแกรมเชิงเส้นในรูปทั่วๆไปได้ดังนี้
กำหนดให้ m แทนจำนวนขนาดที่ต่างๆ กันทั้งหมดที่มีความกว้างตามที่ลูกค้าต้องการ
n แทนจำนวนทั้งหมดของแพทเทริน์ที่เราต้องการตัด
$a_{ij}$ แทนจำนวนม้วนกระดาษที่มีความกว้างของขนาดที่ i จากการตัดแบบที่ j
b_i

แทนจำนวนม้วนกระดาษทั้งหมดของขนาดที่ i ที่ลูกค้าต้องการ
xj x_j

แทนจำนวนม้วนกระดาษที่ใช้ในการตัดแบบที่ j
โดยมี z เป็นสมการกำหนดเป้าหมาย
เราจะเห็นได้ว่าปัญหาการตัดกระดาษสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของโปรแกรมเชิงเส้นได้ดังนี้

$\displaystyle{\begin{array}{rcl}\textrm{Min}&z=\sum_{j=1}^n x_j&\\textrm{Subject to}&{\begin{array}{rc}\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j(\geq)b_i&\textrm{for}\ i=1,\ldots,m\x_j\geq0&\textrm{for}\ j=1,2,\ldots,n\end{array}}\end{array}}$

ในตัวอย่างต่อไปเราจะเปลี่ยนปัญหาในการผลิตสินค้าต่างๆ เขียนให้เป็นปัญหาทางคณิตศาสตร์ในรูปแบบของโปรแกรมเชิงเส้น

ตัวอย่าง ปัญหาการตัดสินใจในการผลิตสินค้า

โรงงานแห่งหนึ่งมีเครื่องจักรชนิดต่างๆ ซึ่งสามารถใช้ในการผลิตสินค้าชนิดต่างๆ ได้ อย่างไรก็ตามเครื่องจักรแต่ละชนิดมีขีดจำกัดไม่เท่ากัน และเครื่องจักรแต่ละชนิดสามารถผลิตสินค้าได้เพียงบางชนิดเท่านั้น โรงงานแห่งนี้ควรจะผลิตของแต่ละชนิดเป็นจำนวนเท่าใดเพื่อให้มี่รายได้สูงสุด โดยที่เครื่องจักรแต่ละชนิดไม่ทำงานเกินกำลัง

อย่างเช่นโรงงานแห่งหนึ่งมีเครื่องจักรอยู่ 3 ประเภท เครื่องกลึง เครื่องตัดและ เครื่องเจาะ ซึ่งใช้ในการผลิตสินค้า 4 ชนิด ในตารางแสดงจำนวนชั่วโมงที่ต้องใช้เครื่องจักรต่างๆ ผลิตสินคัาแต่ละชนิด ขีดจำกัดของการทำงานของเครื่องจักรในแต่ละวัน โรงงานควรผลิตสินค้าแต่ละชนิดเป็นจำนวนเท่าใดจึงจะมีรายได้สูงสุด

	เครื่องกลึง	เครื่องตัด	เครื่องเจาะ	ราคาที่ขายได้
สินค้าชนิดที่ 1	2	3	1	6500
สินค้าชนิดที่ 2	1	1	3	4000
สินค้าชนิดที่ 3	1	2	1	3000
ขีดจำกัดการทำงานของเครื่องจักร	15	20	18

กำหนดให้

แทนจำนวนของสินค้าของชนิด i ที่ควรผลิต

$\displaystyle{\begin{array}{rc}\textrm{Mix}&6500x_1+4000x_2+3000x_3\\textrm{Subject to}&{\begin{array}{rcl}2x_1+x_2+x_3&\leq&15\3x_1+x_2+2x_3&\leq&20\x_1+3x_2+x+3&\leq&18\x_1,x_2,x_3&\geq&0\end{array}}\end{array}}$

ในกรณีที่มีเครื่องจักรทั้งหมด m ชนิด และต้องการผลิตสินค้าทั้งหมด n ประเภท
ถ้า x_j

แทนจำนวนของสินค้าประเภท j ควรจะผลิต
[/tex]แทนจำนวนชั่วโมงของเครื่องจักรที่ i ที่ใช้ในการผลิตสินค้าประเภท j
b_i

แทนจำนวนชั่วโมงที่เป็นขีดจำกัดของเครื่องจักร i
c_j

แทนราคาต่อหน่วยในการผลิตสินค้าประเภท j

เป้าหมายคือเราต้องการหาจำนวนการผลิตของสินค้าแต่ละประเภทโดยให้ได้รายได้มากที่สุดและจำนวนชั่วโมงของเครื่องจักรที่ใช้ในการผลิตแต่ละเครื่องไม่เกินขีดจำกัด

เราจะเห็นว่า c_jx_j

คือรายได้ที่ได้จากการผลิตสินค้าประเภท j $a_{ij}x_j$ คือจำนวนชั่วโมงที่ใช้ในการผลิตสินค้าประเภท j ของเครื่องจักร i

$\displaystyle{\begin{array}{rcl}\textrm{Max}&z=\sum_{j=1}^nc_j x_j&\\textrm{Subject to}&{\begin{array}{rc}\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j(\leq)b_i&\textrm{for}\ i=1,\ldots,m\x_j\geq0&\textrm{for}\ j=1,2,\ldots,n\end{array}}\end{array}}$

ตัวอย่าง ปัญหาการขนส่ง (transportation problem)

กำหนดให้มีโรงงาน 2 โรงงานที่มีกำลังการผลิต 230 หน่วย และ 150 หน่วย ต้องการที่จะส่งสินค้าไปยังร้านค้าย่อย 4 กลุ่ม โดยร้านค้าแต่ละร้านมีความต้องการสินค้า 80, 100, 60, และ 130 ตามลำดับ โรงงานแห่งนี้ควรจะจัดส่งสินค้าอย่างไรโดยให้เสียค่าใช้จ่ายน้อยที่สุด โดยที่สามารถส่งของให้ร้านค้าย่อยทุกๆร้านได้ตามความต้องการ ค่าขนส่งจากโรงงานไปยังร้านค้าต่างๆ ได้แสดงในตารางข้างล่างนี้

		ถึงร้านค้า
		1	2	3	4
จาก โรงงาน	1	65	40	30	15
จาก โรงงาน	2	10	35	40	60

กำหนดให้ $x_{ij}$ แทนจำนวนสินค้าที่ส่งจากโรงงาน i ถึงร้านค้า j ตัวอย่างเช่น $x_{11}$ แทนจำนวนสินค้าที่ส่งจากโรงงาน 1 ไปยังร้านค้า 1
สมการเป้าหมายซึ่งคือค่าใช้จ่ายทั้งหมดที่ใช้ในการขนส่ง สามารถเขียนได้ดังนี้

$\textrm{Min}\,65x_{11}+40x_{12}+30x_{13}+15x_{14}+10x_{21}+35x_{22}+40x_{23}+60x_{24}$

ในการจัดส่งสินค้าจากโรงงานไปยังร้านค้าต่างๆ ปริมาณการขนส่งสินค้าจากโรงงานแต่ละแห่งไม่ควรเกินกำลังการผลิต เราจะเห็นได้ว่า $x_{11}+x_{12}+x_{13}+x_{14}$
คือจำนวนสินค้าที่โรงงานที่ 1 ส่งไปยังร้านค้าต่างๆ เนื่องจากกำลังการผลิตของโรงงานนี้เท่ากับ 230 หน่วย ดังนั้น สมการแสดงขอบข่ายของโรงงาน 1 คือ

$x_{11}+x_{12}+x_{13}+x_{14}\leq 230$

สมการแสดงขอบข่ายของโรงงานที่ 2 คือ

$x_{21}+x_{22}+x_{23}+x_{24}\leq 150$

นอกจากนี้ข้อกำหนดในการจัดส่งสินค้าคือร้านค้าแต่ละร้านต้องได้รับสินค้าครบตามความต้องการ สำหรับร้านค้าที่ 1 ร้านค้าต้องการสินค้า 80 หน่วย ดังนั้นจำนวนที่ได้รับต้องไม่น้อยกว่า 80 หน่วย นั่นคือ
$x_{11}+x_{21}\geq 80$

นอกจากนี้จำนวนสินค้าที่ส่งจากโรงงานไปยังร้านค้าต่างๆ ต้องไม่เป็นลบ ดังนั้น

$x_{ij}\geq 0\quad \textrm(non-negativity\quad constaints)$

ดังนั้นเราสามารถเขียนโปรแกรมเชิงเส้นของปัญหาข้างต้นได้ดังต่อไปนี้

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 6 ]

เมื่อจัดตั้งรูปแบบแทนระบบของปัญหาให้เป็นรูปแบบโปรแกรมเชิงเส้นได้แล้ว เราจะมาหาผลลัพธ์ของปัญหาเหล่านี้

<<< หน้าก่อนนี้ (หน้า 2)

หน้าถัดไป (หน้า 4) >>>

^*หมายเหตุ งานเขียนชิ้นนี้ ได้รับการคุ้มครองสิทธิตามพระราชบัญญัติคุ้มครองสิทธิทางปัญญา โดยลิขสิทธิเป็นของผู้เขียน ที่ให้เกียรตินำเผยแพร่ผ่าน วิชาการ.คอม เรามีความยินดีและอนุญาตให้ทำซ้ำหรือเผยแพร่ต่อเพื่อประโยชน์ทางการศึกษาเท่านั้น กรุณาให้เกียรติผู้เขียน โดยอ้างชื่อผู้เขียนและ วิชาการ.คอม (www.vcharkarn.com) ทุกครั้งที่ทำการเผยแพร่ต่อ ห้ามนำส่วนหนึ่งส่วนใดไปเผยแพร่ต่อในสื่อที่เอื้อประโยชน์ทางธุรกิจก่อนได้รับอนุญาต ขอขอบคุณที่ร่วมกันช่วยสร้างให้สังคมไทยเป็นสังคมแห่งปัญญา

จำนวน 1 ความเห็น, หน้า่ | -1-