วิชาการ.คอม - ปริมาตร และ พื้นที่ผิวของทรงกลมใน n มิติ (ปริมาตรของทรงกลมใน n มิติ)

คุณยังไม่ได้ Log in | สมัครสมาชิก ฟรี

กลับหน้าแรก วิชาการ.คอม

ปริมาตร และ พื้นที่ผิวของทรงกลมใน n มิติ

พิสูจน์สูตรทั่วไปของ ปริมาตร และ พื้นที่ผิวของทรงกลมใน Euclidian space n มิติ

ผู้เขียน: จ้อ ชมแล้ว: 2,985 ครั้ง

post ครั้งแรก: Fri 20 July 2007, 9:21 am ปรับปรุงล่าสุด: Fri 20 July 2007, 10:44 am

อยู่ในส่วน: ฟิสิกส์, คณิตศาสตร์

หน้าที่ 1 - ปริมาตรของทรงกลมใน n มิติ

เริ่มจากนิยามของ Gamma function

(1)

สำหรับ

และ $\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)$ และ $\Gamma(x+1) = x!$

สำหรับ $n \geq 1$ ปริมาตรของทรงกลมรัศมี

ใน $\mathbb{R}^n$ สามารถเขียนได้เป็น

(2)

โดยที่

(3)

พิสูจน์

ให้ (x,y)

เป็นจุดในปริภูมิ n+1

มิติ โดยที่ $x \in \mathbb{R}^n$ และ $y \in \mathbb{R}$

พิจารณาเซต $D = \{(x,y) : |x|^2 < y \}$ และ ทำการอินทิเกรต $e^{-y}$ ภายในเซตนี้

(4)

สมการข้างบนเราใช้นิยามของ $\Gamma(y)$ จากสมการ (1) และ จากนิยามปริมาตรของทรงกลมรัศมี

ใน $\mathbb{R}^n$
$\displaystyle{V_n = \int_{|x|^2<y} d^nx = v_ny^{n/2}}$

ในทางกลับกัน ถ้าอินทิเกรต

ในสมการ (4) ก่อนเราจะได้ผลลัพธ์เป็น

(5)

โดยที่ Gaussian integral
$\displaystyle{I = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}}$

เปรียบเทียบด้านขวามือของสมการ (4) และ (5) เราก็จะได้ว่า
$\displaystyle{v_n = \frac{\pi^{n/2}}{(n/2)!}=\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2 +1)}}$
ดังสมการ (3)

หน้าถัดไป (หน้า 2) >>>

^*หมายเหตุ งานเขียนชิ้นนี้ ได้รับการคุ้มครองสิทธิตามพระราชบัญญัติคุ้มครองสิทธิทางปัญญา โดยลิขสิทธิเป็นของผู้เขียน ที่ให้เกียรตินำเผยแพร่ผ่าน วิชาการ.คอม เรามีความยินดีและอนุญาตให้ทำซ้ำหรือเผยแพร่ต่อเพื่อประโยชน์ทางการศึกษาเท่านั้น กรุณาให้เกียรติผู้เขียน โดยอ้างชื่อผู้เขียนและ วิชาการ.คอม (www.vcharkarn.com) ทุกครั้งที่ทำการเผยแพร่ต่อ ห้ามนำส่วนหนึ่งส่วนใดไปเผยแพร่ต่อในสื่อที่เอื้อประโยชน์ทางธุรกิจก่อนได้รับอนุญาต ขอขอบคุณที่ร่วมกันช่วยสร้างให้สังคมไทยเป็นสังคมแห่งปัญญา

จำนวน 1 ความเห็น, หน้า่ | -1-

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 1 21 ก.ค. 2550 (19:36)

อ่านแล้วไม่เข้าใจเลยครับ

ช่วยอธิบายแบบไม่ต้องใช้ภาษาคณิตศาสตร์ชั้นสูงได้มั้ยครับ?

เนยสด

neizod.spaces.live.com & neizod.blogspot.com
ร่วมดูดความรู้โดยไม่ออกความเห็นแล้ว infinite ครั้ง - แจกดาวแล้ว 0 ดวง - ไม่ต้อง Vote ให้ดาวผมก็ได้ครับ

เนยสด