ประวัติย่อของความโน้มถ่วง ปฐมบท: ตอน 2 ดร. ปิยบุตร บุรีคำ (30,531 views) first post: Mon 3 September 2007 last update: Mon 3 September 2007 จากนิวตัน เราเข้าสู่ยุคของไอน์สไตน์ ด้วยทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปของเขา ทำให้ความเข้าใจเกี่ยวกับความโน้มถ่วงของเราเปลี่ยนแปลงจากหน้ามือเป็นหลังมือ

ในปลายคริสตศตวรรษที่ 19 สองร้อยกว่าปีหลังจากที่นิวตันตีพิมพ์ "คัมภีร์" Principia ที่เบิกฟ้าแห่งฟิสิกส์และกลศาสตร์ทั้งมวล ตำราที่ผู้คนยังเฝ้าศึกษาอยู่นับร้อยปีแม้ในปัจจุบัน ปรากฏการณ์และหลักการใหม่ๆทางแม่เหล็กและไฟฟ้าได้ถูกค้นพบและศึกษารวบรวมเป็นทฤษฎีที่มีรากฐานทางคณิตศาสตร์ที่มั่นคงและงดงามไม่น้อยไปกว่าฟิสิกส์ของนิวตัน เจมส์ เคลิก แมกซ์เวลล์ (James Clerk Maxwell) นักฟิสิกส์ชาวสกอตแลนด์ได้เขียนสรุปสมการ 5 สมการ^[11] ที่บรรยายฟิสิกส์ของแม่เหล็กไฟฟ้าทั้งมวลไว้ด้วยกัน ความสวยงามของชุดสมการของแมกซ์เวลล์อยู่ที่ความเป็นเชิงเส้นของชุดคำตอบในกรณีที่ระบบเป็นที่ว่างที่ไม่มีประจุหรือกระแสอิสระ (นั่นคือเมื่อบรรยายสุญญากาศ) สมการของแมกซ์เวลล์ทำนายการมีอยู่ของสนามแม่เหล็กและสนามไฟฟ้าที่เปลี่ยนกลับไปมาในที่ว่างที่ไม่มีแม้ประจุและกระแสไฟฟ้า รูปแบบของสนามที่เปลี่ยนกลับไปมานี้อยู่ในรูปของคลื่น เราจึงพูดได้ว่าสมการของแมกซ์เวลล์ทำนายการมีอยู่ของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า

ความเร็วของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่คำนวณได้จากสมการของแมกซ์เวลล์มีค่าเท่ากับความเร็วของแสงในสุญญากาศที่วัดได้คือประมาณ เมตรต่อวินาที เมื่อพิจารณาว่าแสงเกิดจากสสารที่มีสมบัติทางแม่เหล็กไฟฟ้า ก็ทำให้เราสรุปได้ว่าแสงเป็นคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าชนิดหนึ่งและทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าของแมกซ์เวลล์ก็ได้ทำนายว่ามีคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าอีกนานาชนิดที่มีอยู่แต่เรายังไม่ได้ค้นพบ



ความพยายามในการทดสอบทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าของแมกซ์เวลล์โดย เฮิร์ตซ์ (Heinrich Rudolf Hertz) ได้นำไปสู่โลกในมุมมองใหม่ที่เราไม่ได้รับรู้มาก่อน เราสามารถสร้างคลื่นวิทยุได้เป็นครั้งแรกและได้นำมนุษยชาติไปสู่โลกยุคไฟฟ้าและการสื่อสาร ความรู้ทางวิทยาศาสตร์บริสุทธิ์ที่ถูกพัฒนาขึ้นเมื่อ 150 ปีที่แล้วได้กลายเป็นรากฐานของโลกยุคปัจจุบัน

ในเบื้องแรก นักฟิสิกส์เชื่อว่าทุกๆที่แม้แต่ในสุญญากาศจะมีอีเทอร์ (aether) อยู่ทั่วไปเพื่อเป็นตัวส่งผ่านแรงโน้มถ่วงและกระเพื่อมเพื่อนำพาคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า ไม่มีใครคิดว่าปรากฏการณ์ทางแม่เหล็กไฟฟ้าจะมีความแตกต่างไปจากปรากฏการณ์อื่นๆเช่น เสียง ที่สามารถถูกบรรยายโดยกลศาสตร์ของนิวตันภายใต้แบบจำลองที่เหมาะสม เชื่อกันว่าความโน้มถ่วงและแสงก็เป็นเพียงสมบัติส่วนหนึ่งของอีเทอร์

ทว่า การทดลองโดยไมเคิลสัน (Michelson) และ มอร์ลี่ย์ (Morley) เพื่อที่จะหาความเร็วสัมพัทธ์ของโลกเทียบกับอีเทอร์ล้มเหลวอย่างสิ้นเชิง พวกเขาไม่พบว่าแสงมีความเร็วต่างกันไปเลยระหว่างทิศทางที่ตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ของโลกและทิศทางที่ขนานกับทิศทางที่โลกเคลื่อนที่รอบดวงอาทิตย์ การทดลองของไมเคิลสันและมอร์ลี่ย์นับเป็นการทดลองที่ล้มเหลวที่มีชื่อเสียงที่สุดเพราะนับเป็นการทดลองแรกที่แสดงว่าแสงมีความเร็วคงที่ไม่ขึ้นกับการเคลื่อนที่ของแหล่งกำเนิดและผู้สังเกต เพียงแต่ว่านักฟิสิกส์ยังไม่พร้อมที่จะเข้าใจผลของการทดลองนี้ในขณะนั้น


ภาพอุปกรณ์ที่ใช้ในการทดลองของไมเคิลสันและมอร์ลี่ย์


ภาพทางเดินของแสงที่ถูกทำให้แยกจากกันไปและกลับมาแทรกสอดกันอีก ในการทดลองของไมเคิลสัน และมอร์ลี่ย์

ในราวสิ้นเดือนกรกฎาคมปี ค.ศ. 1900 อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์เพิ่งจบการศึกษาปริญญาตรีในสาขาฟิสิกส์ทฤษฎีได้หอบหนังสือฟิสิกส์หลายเล่มไปพักผ่อนที่เมืองเล็กๆในเทือกเขาแอลป์ส หนึ่งในหนังสือเหล่านั้นคือหนังสือบรรยายฟิสิกส์ของแม่เหล็กไฟฟ้าที่เขียนโดยเคอร์ชอฟฟ์ (Kirchoff) ไอน์สไตน์ได้พุ่งความสนใจไปที่ความไม่สอดคล้องกันของฟิสิกส์แบบนิวตันและทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าของแมกซ์เวลล์ สมการของแมกซ์เวลล์ให้คำตอบในสุญญากาศเป็นคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ ไม่ขึ้นกับลักษณะการเคลื่อนที่ของแหล่งกำเนิดและผู้สังเกต ที่จริงแล้วความเร็วของคลื่นเชิงกลก็ไม่ขึ้นกับสิ่งอื่นใดนอกจากสมบัติของตัวกลางอยู่แล้ว (ความเร็วเสียงมีค่าคงที่หากตัวกลางไม่เคลื่อนที่แต่ความถี่ต่างหากที่เปลี่ยนแปลงตามการเคลื่อนที่ของแหล่งกำเนิดและผู้สังเกต) หากอีเทอร์อยู่นิ่งไม่เคลื่อนที่สัมพัทธ์กับกรอบเฉื่อยสัมบูรณ์ (absolute inertial frame) ความเร็วของแสงก็จะไม่เปลี่ยนแปลง (นั่นคือหากอีเทอร์ไม่ไหล) ผลการทดลองของไมเคิลสันและมอร์ลี่ย์โดยแท้จริงแล้วจึงเป็นการทดลองที่วัดผลของการเลื่อนความถี่หรือปรากฏการณ์ดอปเลอร์ (Doppler effect) ของแสงว่าสอดคล้องกับการเลื่อนความถี่ของคลื่นเชิงกลที่อาศัยตัวกลางหรือไม่ พร้อมไปกับการพยายามวัดการไหลของอีเทอร์


ไอน์สไตน์สมัยทำงานที่สำนักจดทะเบียนสิทธิบัตร

คลื่นเชิงกลที่เคลื่อนที่ในตัวกลางจะมีการเลื่อนของความถี่เมื่อแหล่งกำเนิดของคลื่นและผู้สังเกตเคลื่อนที่สัมพัทธ์กับตัวกลางนั้นๆ แม้ว่าความเร็วสัมพัทธ์ระหว่างแหล่งกำเนิดกับผู้สังเกตจะเป็นศูนย์ เช่น ในการทดลองของไมเคิลสันและมอร์ลี่ย์ ขณะที่ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ ความเร็วของแสงในสุญญากาศจะเป็นสัมบูรณ์ และหากไม่มีการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ระหว่างแหล่งกำเนิดกับผู้สังเกต ปรากฏการณ์การเลื่อนของความถี่ก็จะไม่เกิดขึ้นไม่ว่าทั้งระบบจะเคลื่อนที่ยังไงก็ตาม ดังนั้นหลักสัมพัทธภาพของกาลิเลโอจึงเป็นจริงอย่างสมบูรณ์ (exact)ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ ตรงข้ามกับฟิสิกส์ของนิวตันที่เชื่อว่ามีระบบเฉื่อยที่หยุดนิ่งสัมบูรณ์และเราสามารถทำการทดลองวัดความเร็วของเราเทียบกับอีเทอร์ (เช่นการทดลองของไมเคิลสันและมอร์ลี่ย์) เพื่อรู้ความเร็วในกรอบสัมบูรณ์ของเราได้

ไม่เป็นที่แน่ชัดว่าอัลเบิร์ตของเราทราบถึงผลการทดลองของไมเคิลสันและมอร์ลี่ย์มากน้อยเพียงใดในช่วงที่เขาพัฒนาทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ (Special Relativity Theory) ซึ่งตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1905 สิ่งที่เป็นหัวใจในการคิดค้นของไอน์สไตน์ไม่ใช่การทดลองจริงๆนี้หากแต่เป็นการทดลองในจินตนาการ (thought experiments) ที่เขาเฝ้าสงสัยมาตั้งแต่อายุ 16 ว่าแสงจะปรากฏเช่นไรเมื่อเราสามารถเคลื่อนที่ได้เร็วเท่ากับมันหรือกระทั่งมากกว่ามัน??

สมการของแมกซ์เวลล์ไม่สามารถให้คำตอบที่แสงไม่เคลื่อนที่ได้ หมายความว่าเมื่อทำการแปลงระบบพิกัดไปสู่กรอบที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วแสง สมการของแมกซ์เวลล์ก็ไม่เป็นจริงอีกต่อไป อัลเบิร์ตตีความว่าสมการแม่เหล็กไฟฟ้าไม่สอดคล้องกับการแปลงพิกัดแบบกาลิเลโอ (Galilean transformation) ที่ให้เวลาเป็นสัมบูรณ์ (absolute time) เป็นเวลาที่เดินอย่างสม่ำเสมอทั่วเอกภพไม่ขึ้นกับลักษณะการเคลื่อนที่ของผู้สังเกต นักฟิสิกส์หลายท่าน^[12] พบว่าการแปลงพิกัดแบบลอเรนท์ซ (Lorentz transformation) ทำให้สมการของแมกซ์เวลล์ไม่เปลี่ยนรูปและให้ความเร็วคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่ไม่เปลี่ยนแปลง หากแต่ว่าเป็นการเปลี่ยนที่ทำให้เวลาไม่เป็นเช่นเดิม เวลาที่ได้จากการเปลี่ยนพิกัดแบบลอเรนท์ซมีช่วง (time interval) ที่ต่างไปจากเดิม และมีจุดกำเนิดของแกนเวลาที่ต่างไปจากเดิมด้วย


การแปลงพิกัดแบบลอเรนท์ซ

ไอน์สไตน์เป็นผู้เดียวที่กล้าและมีความเข้าใจที่ลึกซึ้งเพียงพอที่จะเสนอว่าโดยแท้จริงแล้วเราไม่รู้อะไรเกี่ยวกับเวลาจากการทดลองเลย เราเชื่อไปเองว่าเวลาควรจะต้องเดินไปด้วยอัตราที่คงที่ สม่ำเสมอ พร้อมเพรียงไปทั้งเอกภพ แต่ที่จริงแล้วธรรมชาติได้บอกเราผ่านทางปรากฏการณ์ทางแม่เหล็กไฟฟ้าว่า เวลานั้นเป็นสิ่งสัมพัทธ์ (relative) และความเร็วของแสงในสุญญากาศต่างหากที่เป็นสิ่งสัมบูรณ์ ในปี ค.ศ. 1905 หลังจากที่ตกงานอยู่ 2 ปีและเข้าทำงานเป็นเสมียน (clerk) จดทะเบียนสิทธิบัตรทำงานที่ไม่เกี่ยวข้องกับการวิจัยฟิสิกส์อีก 3 ปี อัลเบิร์ตได้เสนอผลงานสะท้านโลกเป็นชุดผลงานวิจัยที่ยิ่งใหญ่ 3 ชิ้นที่ปฏิวัติวงการฟิสิกส์อย่างถึงราก ผลงานชิ้นแรกคำนวณปรากฏการณ์การเคลื่อนที่แบบบราวเนี่ยน (Brownian motion) ที่การชนของโมเลกุลในของเหลวทำให้วัตถุเล็กๆขนาดละอองเกสรเคลื่อนที่สะเปะสะปะไปมาโดยสังเกตได้ด้วยกล้องจุลทรรศน์

ผลงานชิ้นที่สองเสนอว่าแสงมีความเป็นอนุภาคและใช้อธิบายปรากฏการณ์โฟโตอิเลกตริค (photoelectric effect) ได้อย่างสละสลวย ส่วนผลงานชิ้นที่สามคือทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษมีสองภาค ชิ้นแรกพิสูจน์การแปลงลอเรนท์ซ จากสมมติฐาน 2 ข้อว่าความเร็วแสงในสุญญากาศมีค่าคงที่ไม่ขึ้นกับแหล่งกำเนิดและผู้สังเกต และอีกข้อที่ว่า หลักสัมพัทธภาพของกาลิเลโอเป็นจริงอย่างสมบูรณ์ ไอน์สไตน์ยังชี้ให้เห็นถึงสัมพัทธภาพของความพร้อมกัน (relativity of simultaneity) และ คำทำนายที่ว่าเวลาในระบบที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่สัมพัทธ์กันดำเนินไปด้วยอัตราที่ต่างกันและไม่พร้อมกัน ผลที่ตามมาอีกอย่างหนึ่งก็คือ ความยาวปรากฏของไม้บรรทัดที่กำลังเคลื่อนที่จะหดสั้นลง ผลเหล่านี้บางส่วนในเชิงคณิตศาสตร์มีอยู่แล้วในงานของลอเรนท์ซและปวงกาเร แต่ไม่มีใครเข้าใจความหมายที่แท้จริงได้ถูกต้องเหมือนไอน์สไตน์

อัจฉริยภาพของไอน์สไตน์ปรากฏชัดในภาคที่สองที่ขยายผลของการแปลงลอเรนท์ซไปสู่กฏการเคลื่อนที่ของนิวตัน สมการการแปลงลอเรนท์ซและกฏการรวมความเร็วแบบใหม่ที่มาจากแปลงนี้แสดงว่า ความเร็วของแสงเป็นกำแพงความเร็วสูงสุดของวัตถุในเอกภพ เวลาจะหยุดนิ่งเมื่อเรามีความเร็วเท่าแสง ความยาวของวัตถุและความเร่งจะมีค่าเป็นศูนย์ที่ความเร็วนี้ ผลนี้ขัดกับกฏการเคลื่อนที่ของนิวตันอย่างถึงแก่น เหตุใดเราจึงไม่สามารถเร่งให้วัตถุมีความเร็วมากกว่าแสง??

คำตอบอยู่ที่สมบัติของความเฉื่อยของวัตถุเมื่อเคลื่อนที่ วัตถุที่ไม่สามารถเร่งได้ก็คือวัตถุที่มีความเฉื่อยเป็นอนันต์ (infinity) พลังงานที่ใส่เข้าไปเพื่อเร่งวัตถุจะปรากฏเป็นความเฉื่อยหรือมวลของวัตถุนั้น โดยการใช้การทดลองในจินตนาการง่ายๆว่ามีกล่องปล่อยแสงจากข้างหนึ่งไปยังอีกข้าง ไอน์สไตน์ค้นพบสมการความสัมพันธ์อันลือลั่น ความเฉื่อยที่เพิ่มขึ้นเท่ากับพลังงานที่ใส่เข้าไปหารด้วยความเร็วแสงในสุญญากาศยกกำลังสอง (นั่นคือหารด้วย เมื่อมวลอยู่ในหน่วย กิโลกรัมและพลังงานอยู่ในหน่วย จูล) ความเฉื่อยและพลังงานไม่ใช่ปริมาณสองปริมาณที่ไม่เกี่ยวข้องกันอีกต่อไป หากแต่มีความสัมพันธ์กันอย่างแยกไม่ออก โลกได้ก้าวเข้าสู่ยุคนิวเคลียร์ที่สสารและพลังงานเปลี่ยนกลับไปมาหากันได้

การพิสูจน์ สามารถเขียนได้บนถ้วยกาแฟ

แต่คำถามยังคงอยู่ว่าหากไม่มีอีเทอร์แล้วความโน้มถ่วงเดินทางได้อย่างไร และด้วยความเร็วเท่าไร?? หลักสัมพัทธภาพเป็นจริงในระบบที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่แล้วจะจริงในกรอบอ้างอิงที่มีความเร่งหรือไม่? กฏทางฟิสิกส์ควรปรากฏเช่นไรสำหรับผู้สังเกตที่มีความเร่ง?? ผลของความโน้มถ่วงที่มีต่อแสงเป็นเช่นไร?? การเดินของเวลาในระบบที่มีความเร่งเป็นอย่างไร??

เป็นธรรมดาว่าเมื่อความเฉื่อยและกลศาสตร์ของนิวตันถูกเปลี่ยนแปลงอย่างถึงรากฐานขนาดนี้ ธรรมชาติของความโน้มถ่วงย่อมต้องถูกปรับปรุงเช่นเดียวกัน ในช่วง ค.ศ. 1907-1911 ขณะที่โลกค่อยๆทำความเข้าใจกับทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษของไอน์สไตน์ที่ปฏิวัติความเข้าใจของเราเกี่ยวกับธรรมชาติของแสงที่ส่งผลต่อธรรมชาติของอวกาศและเวลา ตลอดจนถึงความสมมูลระหว่างสสารและพลังงาน ไอน์สไตน์ได้เริ่มครุ่นคิดถึงข้อบกพร่องของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษในทันที อัลเบิร์ตรู้ดีว่าแรงโน้มถ่วงไม่ควรจะเป็นข้อยกเว้นและจักต้องเดินทางไปด้วยความเร็วที่น้อยกว่าหรือเท่ากับแสงที่เป็นการกระเพื่อมของสนามแม่เหล็กไฟฟ้า บทเรียนจากทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าคือที่ว่างที่ไม่มีสสารนั้นสามารถแสดงสมบัติทางแม่เหล็กไฟฟ้าได้ในรูปของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่เดินทางด้วยความเร็วคงที่ เป็นความเร็วสัมบูรณ์ที่วัดได้เท่ากันสำหรับทุกผู้สังเกต ปริมาณที่แสดงสมบัติของที่ว่างที่กระเพื่อมให้เกิดคลื่นนี้เราเรียกว่า "สนาม" (field)

นักฟิสิกส์ทราบดีว่าความโน้มถ่วงเป็นสมบัติของที่ว่างอีกแบบที่สามารถบรรยายได้ด้วยสนามที่เรียกว่า สนามความโน้มถ่วง (gravitational field) ปัญหาก็คือกฏความโน้มถ่วงของนิวตันไม่ได้กล่าวอะไรเกี่ยวกับความเร็วของความโน้มถ่วงหรือแม้กระทั่งการมีอยู่ของคลื่นความโน้มถ่วงเลย ตัวนิวตันเองนั้นเชื่อว่าแรงโน้มถ่วงไม่ใช้เวลาในการเดินทาง เป็นอันตรกิริยาที่ฉับพลันทันใด (action at a distance) สมมติฐานนี้เป็นเพียงการคาดเดาที่มิได้ถูกพิสูจน์โดยการทดลองแต่อย่างใด ไอน์สไตน์เห็นว่าแรงโน้มถ่วงควรที่จะมีความเร็วเท่ากับความเร็วแสงในสุญญากาศเนื่องเพราะมันเป็นสมบัติเชิงสนามอีกอย่างหนึ่งของที่ว่าง ไอน์สไตน์ยังคาดเดาอีกว่าควรจะมีคลื่นความโน้มถ่วงในทำนองเดียวกับที่มีคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า ปัญหาก็คือเรายังไม่มีทฤษฎีสนามความโน้มถ่วงที่สามารถทำนายปรากฏการณ์ดังกล่าวในแบบเดียวกับที่ทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าของแมกซ์เวลล์ได้ทำนายสมบัติของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าเอาไว้เลย

แนวคิดหลักอีกหนึ่งประการที่เป็นหลักชี้นำในการสร้างทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปที่บรรยายธรรมชาติของความเฉื่อยที่ถูกต้องคือหลักการของมัค^[13] ไอน์สไตน์ได้รับอิทธิพลจากความคิดของมัค (Ernst Mach) เกี่ยวกับสมบัติของความเฉื่อยของวัตถุและการเคลื่อนที่มากพอสมควร มัคกล่าวว่า การเคลื่อนที่ทุกชนิดควรจะเป็นสัมพัทธ์ ผู้สังเกตจะไม่สามารถบอกได้ไม่ว่าในกรณีใดๆว่าตนเองกำลังเคลื่อนที่อยู่หากไม่ทำการสังเกตหรือทดลองสัมพัทธ์กับผู้สังเกตอื่นๆ ไม่มีสิ่งที่เรียกว่ากรอบอ้างอิงเฉื่อยสัมบูรณ์และความเฉื่อยของวัตถุก็เป็นเพียงสมบัติที่สัมพัทธ์กับผู้สังเกตภายนอก มัคไปไกลถึงขั้นว่าหลักสัมพัทธภาพของกาลิเลโอจะต้องเป็นจริงไม่ว่าผู้สังเกตจะมีการเคลื่อนที่เช่นไร

มัค (บน) และการทดลองหมุนถังน้ำของนิวตัน (ขวา)

นิวตันเคยให้เหตุผลว่ามีสิ่งที่เรียกว่ากรอบอ้างอิงเฉื่อยที่อยู่นิ่งสัมบูรณ์อยู่โดยให้พิจารณาถึงน้ำในถังที่หมุนอยู่ (Newton's bucket argument) นิวตันเชื่อว่าเราไม่สามารถค้นหากรอบที่มองเห็นน้ำที่หมุนในถังปรากฏอยู่นิ่งได้ น้ำที่หมุนจะปรากฏโค้งตัวมีรูปทรงที่ต่างออกไปจากน้ำที่ไม่ได้หมุน ดังนั้นไม่ว่าเราจะพยายามวิ่งวนรอบน้ำที่กำลังหมุนอยู่เท่าใด (ผู้อ่านควรลองทำดูสักครั้งเพื่อความสนุกทางปัญญา) น้ำที่โค้งตัวอยู่ก็ไม่มีวันจะปรากฏแบนราบเหมือนน้ำที่ไม่ได้เคลื่อนที่ นิวตันสรุปว่าการเคลื่อนที่แบบหมุนเป็นสัมบูรณ์และจะต้องมีกรอบอ้างอิงที่อยู่นิ่งสัมบูรณ์ที่การหมุนนี้หมุนเทียบอยู่เพื่อบอกว่าผิวน้ำควรจะโค้งเท่าไร มัคมีความเห็นที่ขัดแย้งกับมุมมองนี้ของนิวตันและได้อธิบายว่าหากวัตถุทั้งหลายทั้งปวงในเอกภพที่อยู่รอบๆน้ำที่กำลังหมุนเกิดหมุนตามไปกับน้ำทั้งเอกภพ ผิวน้ำจะต้องปรากฏแบนเรียบเหมือนไม่ได้เคลื่อนที่ ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องมีกรอบเฉื่อยที่หยุดนิ่งสัมบูรณ์เพื่อให้การหมุนใช้เทียบอ้างอิงแต่อย่างใด

ด้วยตรรกกะเช่นนี้ เราสามารถขยายผลได้อีกว่าถ้าคนหนึ่งคน (เช่นผู้อ่าน) วิ่งวนรอบน้ำที่หมุน ไม่ได้ทำให้ผิวน้ำปรากฏราบเรียบขึ้นจนสังเกตได้ แต่เอกภพทั้งเอกภพที่หมุนตามกลับทำให้ผิวน้ำกลับมาแบนราบเหมือนไม่ได้หมุน ก็ย่อมต้องมีภาวะกึ่งกลางที่มวลบางส่วนในเอกภพหมุนรอบน้ำที่กำลังหมุนและทำให้ผิวน้ำปรากฏเรียบขึ้นอย่างสังเกตได้แม้จะไม่ได้เรียบหมดอย่างสมบูรณ์เหมือนมวลทั้งเอกภพหมุน ยิ่งมวลมากเคลื่อนที่ก็ยิ่งส่งผลต่อภาวะของน้ำที่หมุนอยู่มาก นั่นหมายถึงว่าภาวะการเคลื่อนที่ของวัตถุมวลมากๆแม้จะอยู่ห่างไกลออกไปย่อมต้องส่งผลถึงความเฉื่อยของวัตถุที่อยู่ตรงนี้ ("matter there influences inertia here") สาเหตุที่ไม่ว่าผู้อ่านหรือผู้เขียนพยายามวิ่งตามเท่าใดน้ำที่หมุนในถ้วยกาแฟก็ไม่ได้ปรากฏราบเรียบขึ้นมาก็เพราะเราไม่ได้มีมวลมากพอนั่นเอง

ในแง่นี้ความเฉื่อยของวัตถุที่อยู่ที่หนึ่งจะถูกกำหนดโดยวัตถุอื่นๆที่อยู่ในที่ต่างๆแม้จะห่างไกลเท่าใด ยิ่งวัตถุรอบๆมีมวลมาก ก็ยิ่งส่งอิทธิผลต่อความเฉื่อยของวัตถุอื่นๆในเอกภพมากเท่านั้น วัตถุก้อนอื่นๆเป็นตัวกำหนดความเฉื่อยของวัตถุก้อนหนึ่งๆในเอกภพ อวกาศที่หยุดนิ่งสัมบูรณ์ไม่ได้เป็นตัวกำหนดความเฉื่อยของวัตถุดังที่นิวตันเชื่อแต่อย่างใด หลักการนี้เป็นหลักการที่อยู่ในใจของไอน์สไตน์ตลอดระยะเวลาที่เขาเพียรพยายามสร้างทฤษฎีความโน้มถ่วงอันใหม่ที่สอดคล้องกับทั้งทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษและหลักการของมัค สิ่งที่ต้องการคือสมการที่บรรยายความสัมพันธ์เหล่านี้ที่ถูกต้อง

อัลเบิร์ตเจอกับปัญหาที่ท้าทายอัจฉริยภาพของปัจเจกในระดับเดียวกับที่นิวตันพานพบเมื่อกว่าสองร้อยห้าสิบปีก่อนหน้า

เหมือนดังเช่นที่เล่าลือกันถึงเหตุการณ์แอปเปิ้ลตกใส่ศีรษะนิวตันและทำให้เกิดกฏแห่งความโน้มถ่วงของนิวตัน ผู้คนเล่ากันว่าวันหนึ่งระหว่างที่ไอน์สไตน์กำลังครุ่นคิดเกี่ยวกับธรรมชาติของความโน้มถ่วงในห้องพัก เขาต้องปีนชั้นสูงเพื่อเอาของ ความที่ไอน์สไตน์ใจลอยไปกับความคิดของตน ทำให้เขาเสียการทรงตัวและตกลงสู่พื้น เชื่อว่าผู้อ่านคงจะมีประสบการณ์ว่าเมื่ออยู่บนบันไดหรือชั้นและเกิด "เสียหลัก" กำลังจะตก เราจะไม่รู้สึกถึงทิศทางหรือแรงใดๆเหมือนไม่มีหลักยึด (จึงเป็นวลีว่า "เสียหลัก") และตกลงสู่พื้นในที่สุด ไอน์สไตน์รู้สึกทันทีว่าช่วงขณะที่เรากำลังตกสู่พื้นนั้น เราเหมือนอยู่ในสภาพไร้น้ำหนัก ไร้ทิศทาง ไร้แรงใดๆมากระทำ เรารู้สึกเหมือนอยู่ในกรอบเฉื่อยในอุดมคติ!!

จากประสบการณ์ตรงของการตก อัลเบิร์ตเกิดดวงตาเห็นธรรมในทันทีว่า สำหรับบริเวณเล็กๆในกาลอวกาศ ผลทางฟิสิกส์ใดๆของความโน้มถ่วงสมมูลกับผลของการเคลื่อนที่ที่มีความเร่ง^[14] หลักการนี้เป็นอีกวิธีหนึ่งของการอธิบายว่าทำไมของที่มีน้ำหนักต่างๆกันจึงตกถึงพื้นพร้อมกันหากไม่มีแรงต้านอากาศ ความจริงที่กาลิเลโอได้ค้นพบเมื่อสามร้อยกว่าปีก่อนหน้านั้น ในภาษาของนิวตัน ปรากฏการณ์นี้แสดงให้เห็นความเท่ากันของมวลเฉื่อย (inertial mass) และ มวลโน้มถ่วง (gravitational mass) ในภาษาของไอน์สไตน์ ปรากฏการณ์นี้แสดงถึงหลักแห่งความสมมูล

ไอน์สไตน์กล่าวว่าความรู้แจ้งในครั้งนี้เป็นความคิดที่สุขสุดยอดในชีวิตของเขา ("the happiest thought of my life") การทดลองในจินตนาการที่ตามมาในทันทีก็คือจะเกิดอะไรขึ้นในระบบปิดที่ผู้สังเกตตกลงมาอย่างอิสระภายใต้สนามความโน้มถ่วง สมมติว่าที่ด้านข้างซ้ายขวาของลิฟท์มีแหล่งกำเนิดแสงและตัวรับแสงอยู่คนละด้าน แสงที่ปล่อยออกจากข้างหนึ่งจะต้องวิ่งเป็นเส้นตรงเทียบกับผู้สังเกตที่อยู่ภายในลิฟท์และไปถึงตัวรับที่อยู่อีกด้านเพราะตามหลักแห่งความสมมูล ภายในลิฟท์ต้องเป็นระบบเฉื่อยและแสงต้องเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงเทียบกับผู้สังเกตในระบบเฉื่อยจากผนังด้านหนึ่งไปสู่อีกด้าน สิ่งที่น่าสนใจก็คือ สิ่งที่ผู้สังเกตที่อยู่ภายนอกเห็น เขาจะเห็นแสงที่ออกมาจากแหล่งกำเนิดวิ่งเป็นเส้นโค้งตกลงมาพร้อมกับทั้งระบบที่อยู่ในลิฟท์!! ข้อสรุปคือ แสง "ตก" ภายใต้สนามความโน้มถ่วง เราสามารถใช้การคำนวณในระบบที่มีความเร่งง่ายๆในการหาว่าแสงจะตกโค้งเท่าใดในสนามความโน้มถ่วงโดยใช้หลักแห่งความสมมูลของไอน์สไตน์


ทางเดินแสงที่โค้งรอบวัตถุมวลมาก

การคำนวณในเบื้องต้นให้ค่าการเบี่ยงเบนของแสงที่ไม่ต่างกับที่ได้จากการมองว่าแสงเป็นอนุภาคในทฤษฎีความโน้มถ่วงของนิวตัน แม้จะรู้สึกผิดหวังไอน์สไตน์ก็พอใจกับจุดเริ่มต้นไปสู่ทฤษฎีใหม่ของความโน้มถ่วง เราสามารถขยายผลได้อีกว่าหากทางเดินของแสงในสนามความโน้มถ่วงโค้งมันจะต้องเดินทางด้วยระยะทางที่มากขึ้นเมื่อเทียบกับระยะที่สังเกตโดยผู้สังเกตที่อยู่ในกรอบที่ตกลงมาพร้อมกับแสง เพราะฉะนั้นสำหรับผู้สังเกตภายนอกที่เห็นแสงตกมันจะใช้เวลาที่มากขึ้นในการที่แสงจะเดินทางจากผนังข้างหนึ่งของลิฟท์ไปยังผนังตรงข้ามเมื่อเทียบกับเวลาที่วัดโดยผู้สังเกตในระบบเฉื่อยที่ตกลงมาพร้อมกับแสง ข้อสรุปของไอน์สไตน์ในปี ค.ศ. 1907 ก็คือ เวลาเดินช้าลงเมื่ออยู่ภายใต้สนามความโน้มถ่วง ยิ่งสนามความโน้มถ่วงแรงเท่าไร เวลาก็ยิ่งเดินช้าลงเท่านั้น อัลเบิร์ตยังสรุปเพิ่มได้อีกว่าเนื่องเพราะเวลาที่เดินช้าลงความถี่ของแสงที่เคลื่อนที่ภายใต้สนามความโน้มถ่วงจะต้องเลื่อนไปในทางที่ความถี่ต่ำลง (เพราะเวลาที่คลื่นสั่นครบรอบยาวนานขึ้น) ปัจจุบันเราเรียกปรากฏการณ์นี้ว่าการเลื่อนความถี่ไปในทางแสงสีแดงจากความโน้มถ่วง (gravitational redshift)

แน่นอนว่าในชีวิตของนักฟิสิกส์หรือแม้แต่คนทั่วไป การตกงานไม่ใช่เรื่องแปลกแต่อย่างใด สิ่งที่ทำให้นักประวัติศาสตร์แปลกใจก็คือไอน์สไตน์ยังไม่สามารถหางานในวงการการศึกษาและวิจัยทางฟิสิกส์ได้จวบจนกระทั่ง 4 ปีหลังจากที่เขาตีพิมพ์ผลงานที่ปฏิวัติวงการฟิสิกส์ได้อย่างน้อย 3 ครั้งใน 4 เดือน ในปี ค.ศ. 1905 และเสนอผลงานที่อภิปรายผลของความโน้มถ่วงต่อธรรมชาติของแสงและเวลาในปี ค.ศ. 1907 !! อัลเบิร์ตใช้เวลาระหว่างที่ว่างจากงานประจำที่สำนักจดทะเบียนลิขสิทธิ์และเวลาที่ต้องดูแลครอบครัวผลิตผลงานชั้นยอดที่แม้แต่โปรเฟสเซอร์ระดับแนวหน้าอย่างแพลงค์ (Max Planck) ก็ยังฉงนและเฝ้าเขียนจดหมายมาถามไอน์สไตน์อยู่เนืองนิจ กระนั้นเขาก็ยังไม่ได้ตำแหน่งงานที่เหมาะสมในวงการฟิสิกส์

ต้นปี ค.ศ. 1908 ไอน์สไตน์เริ่มท้อแท้และเริ่มเลิกคิดที่จะเป็นโปรเฟสเซอร์ในมหาวิทยาลัยและเริ่มหางานอาจารย์ในโรงเรียนมัธยมแทน อัลเบิร์ตเขียนจดหมายถามเพื่อนรัก มาร์เซล กรอสมานน์ (Marcel Grossmann) ว่าเขาควรจะเขียนบอกไปในใบสมัครงานหรือไม่เกี่ยวกับงานวิจัยที่ได้ทำ ครั้งหนึ่งไอน์สไตน์เขียนสมัครงานในตำแหน่งอาจารย์สอนคณิตศาสตร์และเรขาคณิตเชิงบรรยาย (descriptive geometry) ในโรงเรียนมัธยมแห่งหนึ่งในซูริค (Zurich) โดยเขียนว่าเขาสามารถที่จะสอนฟิสิกส์ได้ด้วย อัลเบิร์ตส่งงานวิจัยทั้งหมดของเขาไปกับใบสมัครรวมถึงงานทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ มีผู้สมัครทั้งหมด 21 คนและไอน์สไตน์ก็ไม่ได้ผ่านไปถึงรอบ 3 คนด้วยซ้ำ!


กรอสมานน์ (ซ้ายสุด) และไอน์สไตน์

ดังที่เราจะได้เห็นต่อไป การพัฒนาทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปที่บรรยายพลวัตของสนามความโน้มถ่วงได้สมบูรณ์นั้นต้องใช้เวลาอีกถึง 8 ปีและด้วยความช่วยเหลือจากนักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ในแวดวงวิชาการที่ขาดไม่ได้ การที่ไอน์สไตน์ยังอยู่ภายนอกแวดวงในระยะนี้จึงเป็นปัจจัยสำคัญที่ทำให้เขายังไม่สามารถเข้าถึงรูปแบบสุดยอดของทฤษฎีทั่วไปได้

ในปี ค.ศ. 1909 มหาวิทยาลัยซูริค (University of Zurich) ตกลงว่าจ้างไอน์สไตน์ในตำแหน่งโปรเฟสเซอร์ ไอน์สไตน์มีโอกาสได้พบปะพูดคุยกับเพื่อนเก่านักคณิตศาสตร์มาร์เซล กรอสมานน์เกี่ยวกับสมการสนามของความโน้มถ่วงใหม่ที่เขากำลังพัฒนา กรอสมานน์เสนอว่าสิ่งที่ไอน์สไตน์มองหาอยู่นั้นคือเรขาคณิตของรีมานน์ (Riemannian geometry) และคณิตศาสตร์สาขาเทนเซอร์แคลคูลัส (tensor calculus)

ในปี ค.ศ. 1907 เฮอร์มานน์ มินโควสกี้ (Hermann Minkowski) ผู้เป็นอาจารย์ของไอน์สไตน์สมัยมหาวิทยาลัย^[15] เสนอมุมมองเชิงเรขาคณิตของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษว่าการแปลงพิกัดแบบลอเรนท์สและความสัมพันธ์ระหว่างมวลและพลังงานสามารถถูกตีความเป็นเรขาคณิตของกาลอวกาศ 4 มิติที่คล้ายกับเรขาคณิตของอวกาศ 3 มิติได้ เมื่อเปรียบเทียบกับระยะทางในอวกาศ 3 มิติที่มีค่าคงที่ไม่ขึ้นกับการเลือกใช้ระบบพิกัด "ระยะทาง" ใน 4 มิติของกาลอวกาศแบบมินโควสกี้ก็ไม่ขึ้นกับการเลือกใช้ระบบพิกัดที่มีความเร็วคงที่สัมพัทธ์กัน

ในตอนแรกไอน์สไตน์ไม่ได้ชอบมุมมองเชิงเรขาคณิตของมินโควสกี้นี้เลยถึงกับเปรยกับเพื่อนว่านักคณิตศาสตร์ชอบทำให้ทฤษฎีฟิสิกส์ที่เข้าใจง่ายอยู่แล้วกลายเป็นอะไรที่แม้แต่เขาเองผู้คิดค้นทฤษฎีก็ไม่เข้าใจ แต่ภายหลังจากที่ได้พูดคุยกับกรอสมานน์ เขาได้รับรู้ว่าภาษาที่เหมาะสมที่สุดสำหรับทฤษฎีความโน้มถ่วงใหม่ก็คือเรขาคณิตของกาลอวกาศแบบที่ทั่วไปกว่าของมินโควสกี้ เรขาคณิตที่บรรยายทางเดินของแสงที่โค้งทั้งในอวกาศและเวลา เรขาคณิตของรีมานน์^[16]

เบอร์นฮาร์ด รีมานน์ (Bernhard Riemann) เป็นนักคณิตศาสตร์ระดับอัจฉริยะอีกผู้หนึ่งที่พัฒนาเรขาคณิตของอวกาศในมิติใดๆที่โค้งและสัจพจน์มูลฐานบางข้อของยูคลิด (axioms of Euclidean geometry) ไม่เป็นจริง เขาประสบความสำเร็จในสิ่งที่เกาส์ (Carl Friedrich Gauss) ผู้เป็นอาจารย์ไม่คาดคิดว่าจะมีใครทำได้ นั่นคือการพัฒนาเรขาคณิตแบบที่ทั่วไปกว่าเรขาคณิตของยูคลิด (non-Euclidean geometry) ในมิติใดๆโดยใช้การบรรยายเชิงพิชคณิต รีมานน์ยังเป็นผู้เสนอสมมติฐานของรีมานน์ (Riemann hypothesis) ซึ่งเป็นรากฐานที่สำคัญที่สุดอันหนึ่งในคณิตศาสตร์สาขาทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์ (analytic number theory)

เรขาคณิตของรีมานน์นั้นถูกบรรยายด้วยเทนเซอร์แคลคูลัสที่ใช้วัตถุทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าเทนเซอร์ (tensor) ที่มีสมบัติการแปลงทางพิกัดเหมือนๆกับเวคเตอร์หลายๆตัวที่อยู่ติดกัน สมการเทนเซอร์มีสมบัติว่าไม่ว่าเราจะทำการแปลงพิกัดเช่นไร รูปแบบทางเทนเซอร์ของสมการก็จะคงเดิมไม่เปลี่ยนแปลง ข้อดีของเรขาคณิตแบบรีมานน์ก็คือ เมื่อนำไปใช้บรรยายความโค้งของกาลอวกาศเนื่องมาจากความโน้มถ่วง เราสามารถใช้เรขาคณิตของรีมานน์นิยามความโค้งของกาลอวกาศที่เป็นปริมาณเทนเซอร์ได้^[17] นั่นหมายถึงว่า สมการใดๆที่เขียนในรูปเทนเซอร์จะมีสมบัติที่ดีคือจะมีรูปแบบทางคณิตศาสตร์ที่เหมือนกันในทุกระบบพิกัดที่แปลงไปมาหากันได้ กฏทางฟิสิกส์ที่เขียนในรูปเทนเซอร์จะปรากฏเหมือนกันในทุกกรอบอ้างอิง เหมือนกันสำหรับทุกผู้สังเกตไม่ว่าจะเคลื่อนที่เช่นไร นับเป็นการแสดงกฏทางฟิสิกส์ที่สอดคล้องกับหลักแห่งสัมพัทธภาพในอุดมคติเลยทีเดียว

ด่านสำคัญในการเขียนสมการสนามความโน้มถ่วงที่ถูกต้องอยู่ที่ว่าเราจะใช้ปริมาณความโค้งชนิดใดในการแสดงความโค้งของกาลอวกาศที่เกิดจากการมีอยู่ของสสารและพลังงาน สสารและพลังงานบอกให้กาลอวกาศโค้งแต่ควรจะโค้งแบบไหนนั้นไอน์สไตน์ใช้เวลาถึง 7 ปีกว่าจะได้คำตอบที่น่าพอใจ

หลักชี้นำประการหนึ่งคือสมการสนามใหม่จะต้องให้กฏความโน้มถ่วงของนิวตันโดยประมาณเมื่อความเร็วที่เกี่ยวข้องมีค่าน้อยเทียบกับความเร็วแสงและเมื่อสนามความโน้มถ่วงมีค่าน้อยๆ ในตอนแรกๆที่ได้ร่วมแรงกับกรอสมานน์ พวกเขาทั้งสองได้ใช้ปริมาณเทนเซอร์ที่เรียกว่า Ricci tensor ในการบรรยายความโค้งของกาลอวกาศซึ่งเป็นสิ่งที่ถูกต้องแต่ไอน์สไตน์กลับละทิ้งทางเลือกนี้ไปในภายหลังเพราะการคำนวณที่ผิดพลาดทำให้ได้ผลที่ไม่สอดคล้องกับกฏของนิวตันและหลักอนุรักษ์พลังงานและโมเมนตัม

ไอน์สไตน์และกรอสมานน์จึงเลือกที่จะพัฒนาทฤษฎีในอีกทิศทางที่ทำให้ไอน์สไตน์หลงทางไปอีกสามปี จุดเริ่มต้นของทฤษฎีที่ถูกต้องนั้นอยู่ที่การไปเยี่ยม Göttingen ของไอน์สไตน์ที่ทำให้เขาพบกับนักคณิตศาสตร์ชั้นนำแห่งยุค เดวิด ฮิวเบิร์ท (David Hilbert) ฮิวเบิร์ทให้ความสนใจในความพยายามของไอน์สไตน์ที่จะหาสมการสนามความโน้มถ่วงชุดใหม่ที่ใช้เรขาคณิตของรีมานน์มาก เขามีความเข้าใจในทุกรายละเอียดที่ไอน์สไตน์นำเสนอในการไปเยี่ยม Göttingen ในครั้งนั้น ความสนใจของฮิวเบิร์ทนั้นมากถึงขั้นที่ว่าเขาเริ่มพยายามที่เขียนสมการสนามที่ถูกต้องให้ได้ก่อนไอน์สไตน์!!


ไอน์สไตน์นักฟิสิกส์ผู้ยิ่งยง (ซ้าย) และฮิวเบิร์ทนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ (ขวา)

ราวๆเดือนตุลาคมปี ค.ศ. 1915 ไอน์สไตน์ได้ละทิ้งทฤษฎีที่ผิดของตนและกรอสมานน์ที่ได้พิจารณามาตลอดสามปีและกลับไปใช้ Ricci tensor ในการเขียนสมการสนามความโน้มถ่วงที่มีรูปแบบเดียวกันในทุกกรอบอ้างอิง (covariant field equation) อัลเบิร์ตทำการบรรยาย 4 ครั้งที่กรุงเบอร์ลินในวันพฤหัสบดีที่ 4, 11, 18 และ 25 ของเดือนพฤศจิกายนในปีนั้น ในการบรรยายครั้งที่ 3 ในวันที่ 18 ไอน์สไตน์ได้เสนอการคำนวณการเลื่อนของจุด perihelion^[18] ของดาวพุธที่สอดคล้องกับการสังเกต คือ 43 พิลิปดาต่อศตวรรษ^[19] โดยใช้สมการสนามใหม่ ในการบรรยายเดียวกันเขายังได้เสนอการคำนวณการโค้งของแสงภายใต้สนามความโน้มถ่วงจากสมการใหม่ที่ให้ค่าที่เป็น 2 เท่าของที่เคยได้ในปี ค.ศ. 1907 ค่านี้เป็น 2 เท่าของที่จะได้หากใช้กฏของนิวตันคำนวณโดยให้แสงเป็นอนุภาค


การเลื่อนของจุดใกล้สุดของวงโคจรของดาวเคราะห์



ไอน์สไตน์ประกาศสมการสนามแห่งความโน้มถ่วง (Einstein's field equation) ที่ถูกต้องสมบูรณ์ครั้งแรกในการบรรยายครั้งที่ 4 ในวันที่ 25 พฤศจิกายน เดิมทีนั้นเชื่อกันว่าฮิวเบิร์ทได้เขียนสมการนี้ก่อนไอน์สไตน์ 5 วันในวันที่ 20 แม้จะไม่ได้มีความเข้าใจในฟิสิกส์ของมันอย่างถ่องแท้ก็ตาม ภายหลังมีการพบว่าต้นฉบับที่ฮิวเบิร์ทเขียนเพื่อส่งไปตีพิมพ์เมื่อวันที่ 20 พฤศจิกายนนั้นมีข้อบกพร่องที่สำคัญคือไม่ได้ใส่เทอมที่มี Ricci scalar เข้าไปด้วย ฮิวเบิร์ทได้เขียนแก้จุดนี้ให้เหมือนรูปสมการของไอน์สไตน์ในภายหลัง (ลงวันที่ 16 ธันวาคม ปีเดียวกัน) ในต้นฉบับอันที่แก้ไข ในภายหลังแม้แต่ตัวฮิวเบิร์ทก็ยอมรับว่าทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปนั้นเป็นผลงานของไอน์สไตน์ที่ทำได้และทำสำเร็จก่อนตัวฮิวเบิร์ทเอง กระนั้นโลกก็ยอมรับในวิธีการพิสูจน์สมการสนามของฮิวเบิร์ทและเรียกปริมาณ action ที่ให้สมการสนามของความโน้มถ่วงที่ถูกต้องว่า Einstein-Hilbert action

อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ในวัย 36 ปีได้ประสบความสำเร็จในการค้นพบทฤษฎีใหม่ของความโน้มถ่วงที่สมบูรณ์และสละสลวยยิ่งกว่ากฏที่นิวตันได้ค้นพบเมื่อสองร้อยกว่าปีก่อน 10 ปีจากที่เขาประกาศความสัมพัทธ์ของอวกาศและเวลา ความสมมูลของสสารและพลังงาน ความเป็นคู่ของคลื่นและอนุภาคและวางรากฐานทฤษฎีควอนตัม ครั้งนี้เขาได้ปฏิวัติวิธีที่เรามองธรรมชาติและกฏของมันโดยบอกว่ากฏของธรรมชาติจะต้องมีรูปแบบเหมือนกันในทุกกรอบอ้างอิงไม่ขึ้นกับว่าผู้สังเกตนั้นเคลื่อนที่เช่นไร

สมการสนามของไอน์สไตน์เป็นสมการอนุพันธ์อันดับสองที่ไม่เป็นเชิงเส้น^[20] จึงคาดกันว่าจะไม่มีใครค้นพบคำตอบที่สมบูรณ์ในเวลาอันสั้นแม้แต่ตัวไอน์สไตน์เอง ในปี ค.ศ. 1916 ขณะที่กำลังรบติดพันที่แนวหน้าในสงครามโลกครั้งที่ 1 นักดาราศาสตร์ฟิสิกส์ คาร์ล ชวาร์ซชาร์ลด์ (Karl Schwarzschild) ได้ค้นพบชุดคำตอบของสมการสนามของไอน์สไตน์สำหรับสนามความโน้มถ่วงรอบๆมวลทรงกลม คำตอบที่ได้ให้สนามความโน้มถ่วงแบบนิวตันที่ระยะไกลๆและมีลักษณะประหลาดคือให้ค่าความโค้งที่ระยะหนึ่งจากมวลที่มากจนกระทั่งแม้แต่แสงก็หนีออกมาไม่ได้ ชุดคำตอบของชวาร์ซชาร์ลด์เป็นคำตอบแรกที่ทำนายการมีอยู่ของหลุมดำที่แสงจากผิวดาวไม่สามารถหนีออกมาสู่โลกภายนอกได้ ไอน์สไตน์ไม่เชื่อถึงการมีอยู่ของหลุมดำ แต่ฟิสิกส์ไม่ได้สนใจว่าไอน์สไตน์จะเชื่อหรือไม่เพราะความจริงที่สมการสนามของความโน้มถ่วงบอกต่างหากที่มีความสำคัญเหนือสิ่งอื่นใด ความจริงที่น่าพิศวงอีกประการของหลุมดำคือเวลาของระบบที่ตกลงสู่หลุมดำจะปรากฏเหมือนเดินช้าลงๆทุกๆขณะที่แสงตกลงสู่ขอบเขตของหลุมดำที่เรียกว่า ขอบฟ้าเหตุการณ์ (event horizon) เมื่อสังเกตจากภายนอกจึงเสมือนว่าไม่มีอะไรตกผ่านเข้าไปข้างในหลุมดำเลยแต่จะหยุดที่ขอบฟ้าเหตุการณ์แทน


ชวาร์ซชาร์ลด์ (ซ้าย) และภาพจำลองของหลุมดำ (ขวา)

สมบัติอีกแง่ของสมการสนามของไอน์สไตน์ที่ต้องพิจารณาก็คือผลของมวลที่อยู่ห่างไกลต่อความเฉื่อยของวัตถุก้อนหนึ่งๆ ไอน์สไตน์ต้องการให้ทฤษฎีใหม่ของตนแสดงผลที่สอดคล้องกับหลักการของมัคว่ามวลที่อยู่ไกลออกไปในเอกภพมีอิทธิพลที่วัดได้ต่อมวลที่อยู่ตรงนี้ ในภาษาของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป หลักการของมัคปรากฏในระดับที่ลึกล้ำกว่านั้น มวลทั้งหลายทั้งปวงในเอกภพจะกำหนดเรขาคณิตของเอกภพ กำหนดรูปทรงและความโค้งของกาลอวกาศ 4 มิติทั้งหมด เอกภพอาจจะมีขนาดที่จำกัดแต่ในขณะเดียวกันก็ไม่มีขอบเขตเปรียบดังผิวของลูกโป่งที่จำกัดแต่ไม่มีขอบเขต เป็นครั้งแรกที่ทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์สามารถบรรยายถึงแบบจำลองของเอกภพทั้งหมดได้อย่างแน่นอนในเชิงปริมาณ สมการสนามของไอน์สไตน์ได้เปิดวิสัยทัศน์ใหม่ๆเกี่ยวกับธรรมชาติของเอกภพและสร้างแขนงการวิจัยใหม่ขึ้นที่เรียกกันว่า เอกภพวิทยา (cosmology)

ในปี ค.ศ. 1917 อัลเบิร์ตพบว่าแบบจำลองเอกภพที่ได้จากสมการสนามความโน้มถ่วงทำนายว่าเอกภพจะต้องหดตัวภายใต้ความโน้มถ่วงของมวลทั้งหลายในเอกภพหากพลังงานจลน์สะสมของมวลมีไม่พอ หรือไม่ก็ต้องขยายตัวหากพลังงานจลน์สะสมของมวลมีค่ามากกว่าผลของความโน้มถ่วง เขาใช้ความจริงที่ปรากฏอย่างผิวเผิน (เหมือนที่เราเห็นว่าโลกแบนและเห็นว่าดวงอาทิตย์และดวงดาวทั้งหลายหมุนรอบโลก รวมถึงเห็นว่า เวลาเดินสม่ำเสมอเท่ากันตลอด) ว่าเนื่องจากดวงดาวทั้งหลายนั้นไม่ได้ "ดูเหมือน" จะเคลื่อนที่เข้าหรือออกไปจากโลก เอกภพจึงจะต้องอยู่คงตัว (static) ไม่หดหรือขยายตัว เขาจำใจต้องปรับปรุงสมการสนามความโน้มถ่วงของตนเพื่อให้เอกภพคงตัว ไอน์สไตน์เสนอเทอมเพิ่มเติมในสมการสนามที่มีค่าคงที่ที่มีค่าเป็นบวกเพื่อหักล้างกับผลของความโน้มถ่วงของมวลทั้งหมดในเอกภพเรียกว่า ค่าคงที่เอกภพ (cosmological constant) ซึ่งเปรียบเหมือนแรงผลักทางโครงสร้างที่มีในตัวกาลอวกาศเอง



ทว่า การเพิ่มเทอมดังกล่าวนี้เข้าไปแม้จะให้จุดที่ผลของความโน้มถ่วงและค่าคงที่เอกภพตัดกันพอดีได้แต่ก็ไม่ได้ให้จุดสมดุลที่มีความเสถียร เอกภพที่กำลังขยายตัวก็จะขยายตัวผ่านค่าสมดุลนี้ไปโดยที่ไม่ได้รู้สึกอะไร ที่หดตัวก็จะหดตัวผ่านไปเช่นกันโดยที่ไม่ได้เกิดอะไร ความมีอยู่ของค่าคงที่เอกภพจึงแค่ทำให้มีจุดที่อัตราการขยายตัวเป็นศูนย์แต่ไม่ได้ทำให้มันหยุดคงตัวอย่างที่ไอน์สไตน์ต้องการ

ในปี ค.ศ. 1929 เอ็ดวิน ฮับเบิ้ล (Edwin Hubble) ได้ประกาศการค้นพบที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในเอกภพวิทยาจากการเฝ้าสังเกตกาแล็คซี่ที่อยู่ไกลแสนไกลออกไปด้วยกล้องโทรทรรศน์ที่ยอดเขาวิลสัน (Mount Wilson Observatory) เขาพบว่ากาแล็คซี่ที่อยู่ไกลออกไปนั้นมีสเปคตรัมของแสงที่เลื่อนความถี่ไปทางสีแดงที่มากกว่าปกติ กาแล็คซี่ยิ่งอยู่ไกลออกไปเท่าไร ก็ยิ่งมีการเลื่อนความถี่ไปทางสีแดงมากเท่านั้น ตีความได้ว่าตัวกาแล็คซี่ที่เป็นแหล่งกำเนิดเองจะต้องเคลื่อนที่หนีออกจากโลกด้วยความเร็วที่แปรผันตรงกับระยะห่างจากโลก ฮับเบิ้ลได้ค้นพบหลักฐานการขยายตัวของเอกภพในระดับสเกลที่ใหญ่มากๆกว่าที่ตาเปล่าจะมองเห็น เอกภพแม้จะปรากฏว่าคงตัวในสเกลเล็กๆที่ตาเปล่าจะมองเห็น แต่ที่จริงแล้วกลับกำลังขยายตัวในระดับสเกลที่ไกลออกไปมากๆ เป็นอีกครั้งที่เรารู้แจ้งเห็นจริงว่า ความจริงที่ปรากฏเหมือนว่าเป็นจริงอย่างแน่แท้นั้นเป็นแค่การประมาณของความจริงที่ลึกล้ำยิ่งกว่า

ภายหลังจากการค้นพบสะท้านโลกของฮับเบิ้ล ไอน์สไตน์ได้ละทิ้งค่าคงที่เอกภพและกล่าวว่าความพยายามเปลี่ยนทฤษฎีให้เข้ากับมิจฉาทิฐิของตนในครั้งนี้นั้นเป็น การปล่อยไก่ที่ตัวใหญ่ที่สุดในชีวิตของตน อย่างไรก็ดีในปัจจุบันเราทราบว่าแบบจำลองของกาลอวกาศ 4 มิติที่เข้ากับข้อมูลที่สังเกตได้มากที่สุดนั้น จำเป็นต้องมีค่าคงที่เอกภพในสัดส่วนถึง 70 % สามารถกล่าวได้ว่าอัจฉริยภาพของไอน์สไตน์ยังคงกลับมาประกายแสงแม้ในยุคหลังจากที่เขาได้เสียชีวิตไปกว่า 50 ปี


ความสัมพันธ์ระหว่างระยะทางของกาแล็คซี่จากโลก และความเร็วที่กาแล็คซี่วิ่งหนีออกไปจากโลก


ไอน์สไตน์ ฮับเบิ้ล และ วอลเตอร์

^[11]4 สมการเป็นสมการแม่เหล็กไฟฟ้า อีกหนึ่งสมการเป็นสมการอนุรักษ์ประจุไฟฟ้า
^[12]ลอเรนท์ซ ปวงกาเร (Poincare) ไอน์สไตน์
^[13]หลักการของมัค (Mach's Principle) เป็นชื่อที่ไอน์สไตน์ตั้งให้
^[14]หลักแห่งความสมมูล (Equivalence Principle) มีหลายระดับ เช่น หลักแบบเข้ม (strong equivalence principle) คือหลักที่ไอน์สไตน์ตั้งสมมติฐานไว้ให้เป็นรากฐานของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปเพิ่มเข้ากับสมมติฐานว่าค่าคงที่ความแรงของความโน้มถ่วงหรือ gravitational constant G มีค่าเท่ากันหมดไม่ว่าที่ใดในเอกภพ หลักแบบอ่อน (weak equivalence principle) เป็นระดับที่อ่อนลงโดยบอกว่าความสมมูลระหว่างผลของความเร่งและความโน้มถ่วงนั้นเป็นจริงสำหรับบริเวณเล็กๆ แต่ในที่ต่างๆกันในเอกภพค่าความแรง G รวมถึงค่าคงที่ที่ไม่มีหน่วย (dimensionless constants) อื่นๆไม่จำเป็นต้องเท่ากัน
^[15]ผู้เคยดุไอน์สไตน์ว่าเป็นสุนัขขี้เกียจที่เอาแต่หลับในห้องเรียน
^[16]นักคณิตศาสตร์จะเรียกเป็น pseudo-Riemannian geometry เนื่องเพราะเมตริกที่ใช้สามารถเป็นลบได้
^[17]สำหรับเรขาคณิตของผิวที่ไม่มีความโค้งเช่น แบบของยูคลิด เราไม่ต้องการเทนเซอร์ในการบรรยายสมบัติของอวกาศนั้น เพียงแค่ใช้เวคเตอร์บอกตำแหน่งในจำนวนที่เท่ากับจำนวนมิติก็เพียงพอแล้วที่จะบรรยายอวกาศที่เรียบ
^[18]จุดที่ใกล้ศูนย์กลางการเคลื่อนที่ที่สุดของวงโคจร
^[19]60 พิลิปดาเท่ากับ 1/60 ของ 1 องศา
^[20]คำตอบของสมการอนุพันธ์เชิงเส้นเมื่อนำมาบวกกันก็จะยังเป็นคำตอบของสมการนั้นอยู่

---

 

ขอบคุณผู้สนับสนุน