ทฤษฏีสัมพัทธภาพทั่วไป ตอนที่ 25..พิกัดระบบเกาส์

Written by on . Posted in ทั่วไป, ฟิสิกส์




หน้าที่ 1 - ทฤษฏีสัมพัทธภาพทั่วไป ตอนที่ 25..พิกัดระบบเกาส์

บทความความหมายสัมพัทธภาพ ที่เขียนโดยแอลเบิร์ต  ไอน์สไตน์
ผู้แปล: คุณราชัย   ประกอบการ
  


           ตามความเห็นของเกาส์  วิธีเชิงเรขาคณิตและเชิงวิเคราะห์แบบหลายอย่างรวมกันของการจัดการกับปัญหา  อาจได้มาในลักษณะดังต่อไปนี้  เรานึกภาพระบบของเส้นโค้งที่ไม่เจาะจง  (ดูรูปที่  4)  ที่ถูกเขียนบนพื้นผิวของโต๊ะ  เส้นเหล่านี้เรากำหนดให้เป็น  เส้นโค้ง - u  และเราแสดงเส้นโค้งแต่ละเส้นโดยใช้ตัวเลข  เส้นโค้ง  u  =  1 ,  u  =  2  และ  u  =  3  ถูกเขียนในแผนภาพ  ระหว่างเส้นโค้ง  u  =  1 และ  u  =  2  เราจะต้องนึกภาพว่า  เส้นโค้งจำนวนมากมหาศาลถูกเขียน  ซึ่งทั้งหมดสอดคล้องกับจำนวนจริงที่อยู่ระหว่าง  1  และ  2  ดังนั้นเรามีระบบของเส้นโค้ง - u  และระบบ  “ที่หนาแน่นอย่างไม่จำกัด”  นี้ครอบคลุมพื้นผิวทั้งหมดของโต๊ะ  เส้นโค้ง - u  เหล่านี้จะต้องไม่ตัดกัน  และผ่านแต่ละจุดของพื้นผิว  ซึ่งเส้นโค้งหนึ่งเส้นและเส้นโค้งเส้นเดียวเท่านั้นจะต้องผ่าน    ค่าที่ชัดเจนแน่นอนอย่างสมบูรณ์ของ  u  จึงเป็นของทุกๆ  จุด ที่อยู่บนพื้นผิวของแผ่นหินอ่อน  ทำนองเดียวกันเรานึกภาพระบบของเส้นโค้ง - v  ที่ถูกเขียนบนพื้นผิว  เส้นโค้งเหล่านี้มีคุณสมบัติตรงตามเงื่อนไขเดียวกับเส้นโค้ง - u  มันรวมมากับตัวเลขด้วยวิธีการที่ตรงกันตามส่วน  และมันอาจจะมีรูปร่างที่ไม่เจาะจงเช่นเดียวกัน  สรุปได้ว่าค่าของ  u  และค่าของ  v  เป็นของทุก ๆจุดที่อยู่บนพื้นผิวของโต๊ะ  เราเรียกจำนวนสองจำนวนนี้ว่าพิกัดของพื้นผิวของโต๊ะ  (พิกัดระบบเกาส์)  ยกตัวอย่างเช่น  จุด P  ที่อยู่ในแผนภาพมีพิกัดระบบเกาส์  u = 3 , v= 1ดังนั้นจุดที่อยู่ใกล้เคียงสองจุด  P  และ  P’  ที่อยู่บนพื้นผิวสอดคล้องกับพิกัด

รูปที่  4
P :  u  , v
P’ :  u + du , v + dv

          เมื่อ  du  และ  dv  มีความหมายว่าจำนวนที่น้อยมาก  ด้วยวิธีการที่คล้ายกัน  เราสามารถแสดงระยะทาง  (ช่วง-   เส้น)  ระหว่าง  P  และ  P’  ตามที่วัดด้วยไม้วัดขนาดเล็ก  โดยใช้จำนวนที่น้อยมาก  ds  ดังนั้นตามความเห็นของเกาส์เราได้

                             
  ds2  =  g11du2  +  2g12dudv  +  g22dv2

          เมื่อ  g11 , g12, g22  เป็นขนาดซึ่งขึ้นอยู่กับ  u  และ  v  ในลักษณะที่ชัดเจนแน่นอนอย่างสมบูรณ์  ขนาด  g11  ,  g12  และ  g22  กำหนดพฤติกรรมของไม้วัดสัมพัทธ์กับเส้นโค้ง - u  และเส้นโค้ง - v  และจึงสัมพัทธ์กับพื้นผิวของโต๊ะด้วย  สำหรับกรณีซึ่งเราพิจารณาจุดต่าง ๆ  ของพื้นผิวที่ประกอบกันเป็นคอนตินิวอัมระบบยุคลิดอ้างอิงกับไม้วัด  แต่ในกรณีนี้เท่านั้น  ที่เป็นไปได้ที่จะเขียนเส้นโค้ง - u  และเส้นโค้ง - v  และให้ตัวเลขกับมัน  ซึ่งด้วยวิธีการเช่นนี้  ที่เราแค่ได้  :

                             
  ds2  =  du2  +  dv2

          ตามเงื่อนไขเหล่านี้  เส้นโค้ง - u  และเส้นโค้ง - v  เป็นเส้นตรงตามความหมายของเรขาคณิตระบบยุคลิด  และมันตั้งฉากกัน  ในที่นี้พิกัดระบบเกาส์เป็นแค่พิกัดคาร์ทีเซียน  มันชัดเจนว่าพิกัดระบบเกาส์  ไม่มีอะไรมากไปกว่าการเชื่อมโยงชุดของตัวเลขสองชุดกับจุดต่างๆ  ของพื้นผิวที่เราพิจารณา  ในลักษณะที่ว่าค่าที่เป็นตัวเลขต่าง ๆที่ต่างจากกันและกันน้อยมากถูกเชื่อมโยงกับจุดที่อยู่ใกล้เคียง  “ในอวกาศ”

          จนถึงขณะนี้การพิจารณาเหล่านี้ใช้ได้สำหรับคอนตินิวอัมของสองมิติ  แต่เราอาจประยุกต์วิธีการระบบเกาส์ไปใช้กับคอนตินิวอัมของสาม   สี่มิติหรือมากกว่าได้ด้วย  ยกตัวอย่างเช่นถ้าสมมติว่าคอนตินิวอัมของสี่มิติหาได้  เราสามารถแสดงมันในลักษณะดังต่อไปนี้    กับทุกๆ จุดของคอนตินิวอัม  เราเชื่อมโยงสี่จำนวน  x1  , x2  , x3 , x4  ซึ่งรู้จักกันโดยทั่วไปว่า  “พิกัด”  อย่างไม่เจาะจง   จุดที่ใกล้กันสอดคล้องกับค่าที่ใกล้กันของพิกัด  ถ้าระยะทาง  ds  ถูกเชื่อมโยงกับจุดที่ใกล้กัน  P  และ  P’  ระยะทางนี้วัดได้และระบุไว้อย่างชัดเจนจากทรรศนะเชิงฟิสิกส์  ดังนั้นสูตรต่อไปนี้ใช้ได้  :

                             
  ds2  =  g11dx12  +  2g12dx1dx2  …..  +  g44dx42

          เมื่อขนาด  g11  และขนาดอื่น ๆ  มีค่าซึ่งเปลี่ยนไปกับตำแหน่งในคอนตินิวอัม  เมื่อคอนตินิวอัมเป็นคอนตินิวอัมระบบยุคลิดเท่านั้นที่เป็นไปได้ที่จะเชื่อมโยงพิกัด  x1 , …..x4  กับจุดต่างๆ  ของคอนตินิวอัม  ดังนั้นเราได้แค่

                             
  ds2  =  dx12  +  dx22  +  dx32  +  dx42

          ในกรณีนี้  ความสัมพันธ์ต่าง ๆ  ใช้ได้  ในคอนตินิวอัมสี่ - มิติ  ซึ่งคล้ายกับคอนตินิวอัมที่ใช้ได้ในการวัดเชิงสาม - มิติของเรา
 แต่ว่าวิธีปฏิบัติของเกาส์สำหรับ  ds2  ซึ่งเราได้ให้ไว้ข้างต้นไม่ได้เป็นไปได้เสมอ  เป็นไปได้เมื่อบริเวณที่มีขนาดเล็กเพียงพอของคอนตินิวอัมที่กำลังพิจารณาอยู่สามารถถูกมองว่าเป็นคอมตินิวอัมระบบยุคลิดเท่านั้น  ยกตัวอย่างเช่น  สิ่งนี้ใช้ได้อย่างเห็นได้ชัดในกรณีของแผ่นหินอ่อนของโต๊ะและความแตกต่างเฉพาะบริเวณของอุณหภูมิ  ในทางปฏิบัติอุณหภูมิตคงตัวสำหรับส่วนเล็กๆ ของแผ่นหินอ่อน  และพฤติกรรมเชิงเรขาคณิตของไม้วัดจึงเกือบเป็นอย่างที่มันควรจะเป็นตามกฎของเรขาคณิตระบบยุคลิด  ด้วยเหตุนี้ความไม่สมบูรณ์ของการก่อสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสในตอนก่อนหน้านี้  ไม่ได้แสดงตัวอย่างชัดเจนจนกระทั่งการก่อสร้างนี้ครอบคลุม  ส่วนขนาดใหญ่ของพื้นผิวของโต๊ะ

          เราอาจสรุปสิ่งนี้ได้ดังต่อไปนี้ : เกาส์คิดค้นวิธีการสำหรับวิธีปฏิบัติเชิงคณิตศาสตร์เกี่ยวกับคอนตินิวอัมโดยทั่วไปซึ่งกำหนดความสัมพันธ์ - ขนาด  (“ระยะทาง” ระหว่างจุดที่อยู่ใกล้เคียง)  กับทุก ๆ จุดของคอนตินิวอัม  ถูกกำหนดเป็นตัวเลข  (พิกัดระบบเกาส์)  จำนวนมากเท่าที่คอนตินิวอัมมีมิติ  เราทำสิ่งนี้ในลักษณะที่ว่าเราอาจให้ความหมายๆ เดียวเท่านั้นกับการกำหนดนี้  และในลักษณะที่ว่าตัวเลข    (พิกัดระบบเกาส์)  ซึ่งต่างกันเป็นปริมาณที่น้อยอย่างไม่จำกัดถูกให้กับจุดที่ใกล้กัน  ระบบพิกัดระบบเกาส์เป็นการวางหลักเกณฑ์ทั่วไปของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนอย่างมีตรรกะ  มันใช้ได้กับคอนตินิวอัมนอกระบบยุคลิดได้ด้วย  แต่เมื่อเทียบกับ  “ขนาด”  หรือ  “ระยะทาง”  ที่กำหนดเท่านั้น  ส่วนเล็กๆ  ของคอนตินิวอัมที่กำลังพิจารณาอยู่ประพฤติตัวเกือบจะเหมือนระบบยุคลิดมากกว่า  ถ้าส่วนของคอนตินิวอัมที่เรากำลังสังเกตอยู่ยิ่งเล็ก



แสดงความคิดเห็น