ทฤษฏีสัมพัทธภาพทั่วไป ตอนที่ 25..พิกัดระบบเกาส์

ทฤษฏีสัมพัทธภาพทั่วไป ตอนที่ 25..พิกัดระบบเกาส์

บทความความหมายสัมพัทธภาพ ที่เขียนโดยแอลเบิร์ต  ไอน์สไตน์
ผู้แปล: คุณราชัย   ประกอบการ
  


           ตามความเห็นของเกาส์  วิธีเชิงเรขาคณิตและเชิงวิเคราะห์แบบหลายอย่างรวมกันของการจัดการกับปัญหา  อาจได้มาในลักษณะดังต่อไปนี้  เรานึกภาพระบบของเส้นโค้งที่ไม่เจาะจง  (ดูรูปที่  4)  ที่ถูกเขียนบนพื้นผิวของโต๊ะ  เส้นเหล่านี้เรากำหนดให้เป็น  เส้นโค้ง - u  และเราแสดงเส้นโค้งแต่ละเส้นโดยใช้ตัวเลข  เส้นโค้ง  u  =  1 ,  u  =  2  และ  u  =  3  ถูกเขียนในแผนภาพ  ระหว่างเส้นโค้ง  u  =  1 และ  u  =  2  เราจะต้องนึกภาพว่า  เส้นโค้งจำนวนมากมหาศาลถูกเขียน  ซึ่งทั้งหมดสอดคล้องกับจำนวนจริงที่อยู่ระหว่าง  1  และ  2  ดังนั้นเรามีระบบของเส้นโค้ง - u  และระบบ  “ที่หนาแน่นอย่างไม่จำกัด”  นี้ครอบคลุมพื้นผิวทั้งหมดของโต๊ะ  เส้นโค้ง - u  เหล่านี้จะต้องไม่ตัดกัน  และผ่านแต่ละจุดของพื้นผิว  ซึ่งเส้นโค้งหนึ่งเส้นและเส้นโค้งเส้นเดียวเท่านั้นจะต้องผ่าน    ค่าที่ชัดเจนแน่นอนอย่างสมบูรณ์ของ  u  จึงเป็นของทุกๆ  จุด ที่อยู่บนพื้นผิวของแผ่นหินอ่อน  ทำนองเดียวกันเรานึกภาพระบบของเส้นโค้ง - v  ที่ถูกเขียนบนพื้นผิว  เส้นโค้งเหล่านี้มีคุณสมบัติตรงตามเงื่อนไขเดียวกับเส้นโค้ง - u  มันรวมมากับตัวเลขด้วยวิธีการที่ตรงกันตามส่วน  และมันอาจจะมีรูปร่างที่ไม่เจาะจงเช่นเดียวกัน  สรุปได้ว่าค่าของ  u  และค่าของ  v  เป็นของทุก ๆจุดที่อยู่บนพื้นผิวของโต๊ะ  เราเรียกจำนวนสองจำนวนนี้ว่าพิกัดของพื้นผิวของโต๊ะ  (พิกัดระบบเกาส์)  ยกตัวอย่างเช่น  จุด P  ที่อยู่ในแผนภาพมีพิกัดระบบเกาส์  u = 3 , v= 1ดังนั้นจุดที่อยู่ใกล้เคียงสองจุด  P  และ  P’  ที่อยู่บนพื้นผิวสอดคล้องกับพิกัด

รูปที่  4
P :  u  , v
P’ :  u + du , v + dv

          เมื่อ  du  และ  dv  มีความหมายว่าจำนวนที่น้อยมาก  ด้วยวิธีการที่คล้ายกัน  เราสามารถแสดงระยะทาง  (ช่วง-   เส้น)  ระหว่าง  P  และ  P’  ตามที่วัดด้วยไม้วัดขนาดเล็ก  โดยใช้จำนวนที่น้อยมาก  ds  ดังนั้นตามความเห็นของเกาส์เราได้

                             
  ds2  =  g11du2  +  2g12dudv  +  g22dv2

          เมื่อ  g11 , g12, g22  เป็นขนาดซึ่งขึ้นอยู่กับ  u  และ  v  ในลักษณะที่ชัดเจนแน่นอนอย่างสมบูรณ์  ขนาด  g11  ,  g12  และ  g22  กำหนดพฤติกรรมของไม้วัดสัมพัทธ์กับเส้นโค้ง - u  และเส้นโค้ง - v  และจึงสัมพัทธ์กับพื้นผิวของโต๊ะด้วย  สำหรับกรณีซึ่งเราพิจารณาจุดต่าง ๆ  ของพื้นผิวที่ประกอบกันเป็นคอนตินิวอัมระบบยุคลิดอ้างอิงกับไม้วัด  แต่ในกรณีนี้เท่านั้น  ที่เป็นไปได้ที่จะเขียนเส้นโค้ง - u  และเส้นโค้ง - v  และให้ตัวเลขกับมัน  ซึ่งด้วยวิธีการเช่นนี้  ที่เราแค่ได้  :

                             
  ds2  =  du2  +  dv2

          ตามเงื่อนไขเหล่านี้  เส้นโค้ง - u  และเส้นโค้ง - v  เป็นเส้นตรงตามความหมายของเรขาคณิตระบบยุคลิด  และมันตั้งฉากกัน  ในที่นี้พิกัดระบบเกาส์เป็นแค่พิกัดคาร์ทีเซียน  มันชัดเจนว่าพิกัดระบบเกาส์  ไม่มีอะไรมากไปกว่าการเชื่อมโยงชุดของตัวเลขสองชุดกับจุดต่างๆ  ของพื้นผิวที่เราพิจารณา  ในลักษณะที่ว่าค่าที่เป็นตัวเลขต่าง ๆที่ต่างจากกันและกันน้อยมากถูกเชื่อมโยงกับจุดที่อยู่ใกล้เคียง  “ในอวกาศ”

          จนถึงขณะนี้การพิจารณาเหล่านี้ใช้ได้สำหรับคอนตินิวอัมของสองมิติ  แต่เราอาจประยุกต์วิธีการระบบเกาส์ไปใช้กับคอนตินิวอัมของสาม   สี่มิติหรือมากกว่าได้ด้วย  ยกตัวอย่างเช่นถ้าสมมติว่าคอนตินิวอัมของสี่มิติหาได้  เราสามารถแสดงมันในลักษณะดังต่อไปนี้    กับทุกๆ จุดของคอนตินิวอัม  เราเชื่อมโยงสี่จำนวน  x1  , x2  , x3 , x4  ซึ่งรู้จักกันโดยทั่วไปว่า  “พิกัด”  อย่างไม่เจาะจง   จุดที่ใกล้กันสอดคล้องกับค่าที่ใกล้กันของพิกัด  ถ้าระยะทาง  ds  ถูกเชื่อมโยงกับจุดที่ใกล้กัน  P  และ  P’  ระยะทางนี้วัดได้และระบุไว้อย่างชัดเจนจากทรรศนะเชิงฟิสิกส์  ดังนั้นสูตรต่อไปนี้ใช้ได้  :

                             
  ds2  =  g11dx12  +  2g12dx1dx2  …..  +  g44dx42

          เมื่อขนาด  g11  และขนาดอื่น ๆ  มีค่าซึ่งเปลี่ยนไปกับตำแหน่งในคอนตินิวอัม  เมื่อคอนตินิวอัมเป็นคอนตินิวอัมระบบยุคลิดเท่านั้นที่เป็นไปได้ที่จะเชื่อมโยงพิกัด  x1 , …..x4  กับจุดต่างๆ  ของคอนตินิวอัม  ดังนั้นเราได้แค่

                             
  ds2  =  dx12  +  dx22  +  dx32  +  dx42

          ในกรณีนี้  ความสัมพันธ์ต่าง ๆ  ใช้ได้  ในคอนตินิวอัมสี่ - มิติ  ซึ่งคล้ายกับคอนตินิวอัมที่ใช้ได้ในการวัดเชิงสาม - มิติของเรา
 แต่ว่าวิธีปฏิบัติของเกาส์สำหรับ  ds2  ซึ่งเราได้ให้ไว้ข้างต้นไม่ได้เป็นไปได้เสมอ  เป็นไปได้เมื่อบริเวณที่มีขนาดเล็กเพียงพอของคอนตินิวอัมที่กำลังพิจารณาอยู่สามารถถูกมองว่าเป็นคอมตินิวอัมระบบยุคลิดเท่านั้น  ยกตัวอย่างเช่น  สิ่งนี้ใช้ได้อย่างเห็นได้ชัดในกรณีของแผ่นหินอ่อนของโต๊ะและความแตกต่างเฉพาะบริเวณของอุณหภูมิ  ในทางปฏิบัติอุณหภูมิตคงตัวสำหรับส่วนเล็กๆ ของแผ่นหินอ่อน  และพฤติกรรมเชิงเรขาคณิตของไม้วัดจึงเกือบเป็นอย่างที่มันควรจะเป็นตามกฎของเรขาคณิตระบบยุคลิด  ด้วยเหตุนี้ความไม่สมบูรณ์ของการก่อสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสในตอนก่อนหน้านี้  ไม่ได้แสดงตัวอย่างชัดเจนจนกระทั่งการก่อสร้างนี้ครอบคลุม  ส่วนขนาดใหญ่ของพื้นผิวของโต๊ะ

          เราอาจสรุปสิ่งนี้ได้ดังต่อไปนี้ : เกาส์คิดค้นวิธีการสำหรับวิธีปฏิบัติเชิงคณิตศาสตร์เกี่ยวกับคอนตินิวอัมโดยทั่วไปซึ่งกำหนดความสัมพันธ์ - ขนาด  (“ระยะทาง” ระหว่างจุดที่อยู่ใกล้เคียง)  กับทุก ๆ จุดของคอนตินิวอัม  ถูกกำหนดเป็นตัวเลข  (พิกัดระบบเกาส์)  จำนวนมากเท่าที่คอนตินิวอัมมีมิติ  เราทำสิ่งนี้ในลักษณะที่ว่าเราอาจให้ความหมายๆ เดียวเท่านั้นกับการกำหนดนี้  และในลักษณะที่ว่าตัวเลข    (พิกัดระบบเกาส์)  ซึ่งต่างกันเป็นปริมาณที่น้อยอย่างไม่จำกัดถูกให้กับจุดที่ใกล้กัน  ระบบพิกัดระบบเกาส์เป็นการวางหลักเกณฑ์ทั่วไปของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนอย่างมีตรรกะ  มันใช้ได้กับคอนตินิวอัมนอกระบบยุคลิดได้ด้วย  แต่เมื่อเทียบกับ  “ขนาด”  หรือ  “ระยะทาง”  ที่กำหนดเท่านั้น  ส่วนเล็กๆ  ของคอนตินิวอัมที่กำลังพิจารณาอยู่ประพฤติตัวเกือบจะเหมือนระบบยุคลิดมากกว่า  ถ้าส่วนของคอนตินิวอัมที่เรากำลังสังเกตอยู่ยิ่งเล็ก

tags :

บทความอื่นๆ

ช็อตเด็ด!!! เสวนาทะลุมิติวิทยาศาสตร์กับ Interstellar ตอน สัมพัทธภาพพิเศษ กับ มายาคติของ อดีต ปัจจุบัน และอนาคต

ช็อตเด็ด!!! เสวนาทะลุมิติวิทยาศาสตร์กับ Interstellar ตอน สัมพัทธภาพพิเศษ กับ มายาคติของ อดีต ปัจจุบัน และอนาคต

ช็อตเด็ด!!! เสวนาทะลุมิติวิทยาศาสตร์กับ Interstellar ตอน กาลอวกาศและขนมปังลูกเกด

ช็อตเด็ด!!! เสวนาทะลุมิติวิทยาศาสตร์กับ Interstellar ตอน กาลอวกาศและขนมปังลูกเกด

ช็อตเด็ด!!! เสวนาทะลุมิติวิทยาศาสตร์กับ Interstellar ตอน เวลาคือมิติที่สี่

ช็อตเด็ด!!! เสวนาทะลุมิติวิทยาศาสตร์กับ Interstellar ตอน เวลาคือมิติที่สี่

เที่ยวสนุกสไตล์ Sci trip on tour:  ฟอสซิลสัตว์ทะเลบนก้อนหินมาจากไหน และ อะไรคือน้องวัว?

เที่ยวสนุกสไตล์ Sci trip on tour: ฟอสซิลสัตว์ทะเลบนก้อนหินมาจากไหน และ อะไรคือน้องวัว?

เที่ยวสนุกสไตล์ Sci trip on tour: ความลับของธรรมชาติ

เที่ยวสนุกสไตล์ Sci trip on tour: ความลับของธรรมชาติ "ลำดับเลขฟีโบนัชชี" และ "อุโมงค์ต้นไม้"