วิชาการ.คอม - Calculus just easy! ตอน อนุพันธ์ของฟังก์ชัน (กฏลูกโซ่ (The Chain Rule))

Calculus just easy! ตอน อนุพันธ์ของฟังก์ชัน

หลายๆคนเรียนแคลคูลัสด้วยความพิศวงงงงวย ยิ่งเป็นแคลคูลัสของมหาวิทยาลัยนี่ก็อย่าให้พูดเลย F กระจาย... ผู้เขียนเลยอยากใช้ประสบการณ์ของตัวเองที่เคยเรียนมามาเล่าให้ทุกท่านลองอ่านกันเล่นๆดู สบายๆ ครับ ;)

ผู้เขียน: CM_SnC ชมแล้ว: 30,997 ครั้ง

post ครั้งแรก: Sun 30 December 2007, 2:00 am ปรับปรุงล่าสุด: Sat 2 August 2008, 8:26 pm

อยู่ในส่วน: วิทย์ทั่วไป, วิทยาศาสตร์, การบ้านแบบฝึกหัด, คณิตศาสตร์, Math AP

สารบัญ

หน้า : 1 อนุพันธ์ในรูปการเปลี่ยนแปลง
หน้า : 2 อนุพันธ์ในรูปการเปลี่ยนแปลง (ต่อ)
หน้า : 3 สูตรเบื้องต้นสำหรับหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
หน้า : 4 สูตรเบื้องต้นสำหรับหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน (ต่อ)
หน้า : 5 กฏลูกโซ่ (The Chain Rule)
หน้า : 6 ตะลุยโจทย์ตอนที่ 1
หน้า : 7 อนุพันธ์ของฟังก์ชันแฝง
หน้า : 8 อนุพันธ์ของฟังก์ชันอดิศัย

หน้าที่ 5 - กฏลูกโซ่ (The Chain Rule)

ในบางครั้ง ถ้าเราต้องการหา $frac{{dy}} {{dx}}$ โดยที่มีการกำหนดฟังก์ชัน y = f(u) และ u = g(x) ถ้าเราต้องการหาอนุพันธ์ เราต้องทำการแทนค่าในฟังก์ชันให้เรียบร้อยเสียก่อนแล้วจึงหาอนุพันธ์ เช่นสมมติให้ y = 2u และ $u = x^3 $

จะเห็นได้ว่าแทนไปง่ายมาก

แต่หากพบเจอแบบนี้ล่ะ? $y = (u + 1)^3 $

และ

ถ้ามากระจายนี่....ถึงตายได้

ด้วยปัญหาเช่นนี้ เราจึงมาใช้กฏลูกโซ่มาช่วย แต่ก่อนที่จะถึงกฏลูกโซ่ ลองมาดูความสัมพันธ์ของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = 6x - 10 = 2(3x - 5) โดยจะสมมติให้ y = 2u และ u = 3x - 5

เราจะหาได้ว่า $frac{{dy}} {{du}} = 2,frac{{du}} {{dx}} = 3$
ทีนี้เราก็ลองหาได้ว่า $frac{{dy}} {{dx}} = 6$

เป็นไปได้ไหมโชคชะตาหรือว่าอำนาจบางอย่าง ให้สองอัน ได้เท่ากัน
$frac{{dy}} {{dx}} = frac{{dy}} {{du}} cdot frac{{du}} {{dx}}$
หรือ 6 = 3*2

lสูตรที่ 9 กฏลูกโซ่ (The Chain Rule)
ถ้า f หาอนุพันธ์ได้ที่ x และ g หาอนุพันธ์ได้ที่ f(x) แล้ว gof หาอนุพันธ์ได้ที่ x และ
(gof)'(x) = g'(f(x))f'(x)

จากที่กำหนด ถ้าให้ u = f(x) และ y = (gof)(x)
จะได้ว่า y = g(f(x)) = g(u)
ดังนั้นแล้ว $frac{{dy}} {{dx}}$ = g'(f(x))f'(x)
หรืออีกนัยหนึ่ง คือ
$frac{{dy}} {{dx}} = frac{d} {{du}}gleft( u right) cdot frac{d} {{dx}}left( u right)$

ถ้า u = f(x), y = g(u) = g(f(x))
เราจะได้ว่า $frac{{dy}} {{dx}} = frac{{dy}} {{du}} cdot frac{{du}} {{dx}}$

สำหรับการพิสูจน์ดูได้ที่ http://www.math.hmc.edu/calculus/tutorials/chainrule/proof.pdf

มาดูตัวอย่างการประยุกต์กันเลยดีกว่า

ตัวอย่างที่ 1 จงหาอนุพันธ์ของ $y = (2x - 1)^5 $

กระจายกันเลย เย้!! ตายก่อนพอดีน่ะสิ
ก็เลยใช้วิธีฉลาดๆ โดยให้ $y = u^5 $

และให้ u = 2x - 1
โจทย์ให้หา $frac{{dy}} {{dx}}$ นั่นคือ ต้องใช้กฏลูกโซ่หา $frac{{dy}} {{dx}} = frac{{dy}} {{du}} cdot frac{{du}} {{dx}}$
เราทราบว่า $frac{{dy}} {{du}} = 5u^4$ และ $frac{{du}} {{dx}} = 2$
ดังนั้น ก็เลยได้ $frac{{dy}} {{dx}} = 2 cdot 5u^4 = 10u^4$

ตอบเลยยยยย

ซะที่ไหนล่ะ

เพราะโจทย์ให้หาอนุพันธ์เทียบกับ x ไม่ใช่ u
ก็แทน u กลับคืนไปซะ!!
คำตอบจริงๆเลยจะได้ว่า
$frac{{dy}} {{dx}} = 10(2x - 1)^4$

ทีนี้ถ้าเกิดว่าทำบ่อยๆ แล้ว มันก็จะเคยชินเองโดยไม่ต้องกำหนดฟังก์ชันให้มันชัดเจนแบบนี้ครับ

จากความรู้เรื่องกฏลูกโซ่ ทำให้สูตรพื้นฐานที่มี 8 สูตร ขยายเพิ่มได้ โดยใช้สูตรนี้เป็นหลักสำหรับทุกสูตร

สูตรที่ 10 ถ้า $y = [f(x)]^n $

แล้ว
$frac{{dy}} {{dx}} = nleft[ {fleft( x right)} right]^{n - 1} frac{d} {{dx}}left[ {fleft( x right)} right]$

นั่นคือ ดิฟแล้ว "อย่าลืมดิฟสิ่งที่อยู่ข้างใน (ที่เขาเรียกกันว่าไส้ๆๆน่ะครับ)"
จะให้หลอนหน่อยก็เหมือนในโฆษณาขนมเวเฟอร์ "ต้องงงงงมีส้ายยยยยย"

เพื่อความรวดเร็ว เลยขอเอามาให้ใช้กันอีกสูตรหนึ่ง
สำหรับรากที่สองแล้ว $frac{d} {{dx}}sqrt u = frac{1} {{2sqrt u }}frac{d} {{dx}}left( u right)$
เมื่อ u เป็นฟังก์ชันใดๆ

เช่น $y = sqrt {(2x + 1)^2 }$
ถ้าเราจะใช้สูตรเบื้องต้น ก็จัดรูปเป็น $frac{{dy}} {{dx}} = left( {(2x + 1)^2 } right)^{frac{1} {2}}$
เราเลยจะได้ว่า
$= frac{1} {2}left( {(2x + 1)^2 } right)^{ - frac{1} {2}} frac{d} {{dx}}(2x + 1)^2$
อย่าลืม ดิฟไส้!! ดิฟไส้เสร็จแล้ว ดิฟอีก
$= frac{1} {2}left( {(2x + 1)^2 } right)^{ - frac{1} {2}} cdot 2(2x + 1)^{2 - 1} frac{d} {{dx}}(2x + 1)$
สุดท้ายก็เลยได้ว่า $= frac{1} {2}left( {(2x + 1)^2 } right)^{ - frac{1} {2}} cdot 2(2x + 1) cdot 2$
จัดรูปให้สวยงามสักหน่อย
คำตอบสุดท้ายคือ $= frac{{2(2x + 1)}} {{sqrt {(2x + 1)^2 } }}$

ถ้าใช้สูตรอย่างว่า ก็คือ $frac{1} {{2sqrt {(2x + 1)^2 } }}frac{d} {{dx}}(2x + 1)^2$
ซึ่งก็ไปลองดิฟไส้กันเองนะครับ

การพิสูจน์สูตรนี้ ก็ใช้นิยามของอนุพันธ์โดยตรงก็ได้ หรือว่าประยุกต์จากสูตร 10 ก็ได้

โฮะๆๆ เหนื่อยกันพอควรแล้ว เดี๋ยวเราไปพักทำแบบฝึกหัดกันดีกว่า

อ้อ...โพสตอนวันที่ 1 มกราคมพอดี สุขสันต์วันปีใหม่ทุกท่านครับ ;)

ดูการ์ตูนกันสักเล็กน้อย (จาก http://brownsharpie.courtneygibbons.org/?cat=13&paged=2)

70151

<<< หน้าก่อนนี้ (หน้า 4)

หน้าถัดไป (หน้า 6) >>>

^*หมายเหตุ งานเขียนชิ้นนี้ ได้รับการคุ้มครองสิทธิตามพระราชบัญญัติคุ้มครองสิทธิทางปัญญา โดยลิขสิทธิเป็นของผู้เขียน ที่ให้เกียรตินำเผยแพร่ผ่าน วิชาการ.คอม เรามีความยินดีและอนุญาตให้ทำซ้ำหรือเผยแพร่ต่อเพื่อประโยชน์ทางการศึกษาเท่านั้น กรุณาให้เกียรติผู้เขียน โดยอ้างชื่อผู้เขียนและ วิชาการ.คอม (www.vcharkarn.com) ทุกครั้งที่ทำการเผยแพร่ต่อ ห้ามนำส่วนหนึ่งส่วนใดไปเผยแพร่ต่อในสื่อที่เอื้อประโยชน์ทางธุรกิจก่อนได้รับอนุญาต ขอขอบคุณที่ร่วมกันช่วยสร้างให้สังคมไทยเป็นสังคมแห่งปัญญา

จำนวน 7 ความเห็น, หน้า่ | -1-

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 1 30 ธ.ค. 2550 (23:44) คุณ ultratee ช่วยแจ้งลบความเห็นนี้แล้ว ขอบคุณค่ะ

เข้ามาชมผลงานดีๆ

Mastermander

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 3446 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 251 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 2 28 ม.ค. 2551 (18:11)
thank you

myshadow

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 2 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 130 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 3 28 ม.ค. 2551 (18:12)
รู้สึกเข้าใจมากขึ้นก๊ะ

myshadow

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 4 16 ก.พ. 2551 (23:29)
สูตรการหาอนุพันธ์และอินทิกรัลของฟังก์ชันตรีโกณมิติ รูปร่างมันจะกลับไปกลับมา ชวนสับสนได้ง่าย ดังนั้น จึงถูกต้องแล้วที่ต้องฝึกทำโจทย์เป็นประจำครับ

เด็ก Maths

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 550 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 155 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 5 3 ส.ค. 2551 (23:31)

ขอบคุณมากๆ เลย

kikkuujung

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 3 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 149 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 6 11 พ.ย. 2551 (10:32)