วิชาการ.คอม - โจทย์ปัญหาท้าทายสนุกๆ มาลองทำกันนะคะ

โจทย์ปัญหาท้าทายสนุกๆ มาลองทำกันนะคะ

โพสต์เมื่อ: 20:43 วันที่ 10 พ.ค. 2551 ชมแล้ว: 3,013 ตอบแล้ว: 8

วิชาการ.คอม > การบ้านแบบฝึกหัด
วิชาการ.คอม > วิทยาศาสตร์
วิชาการ.คอม > วิทยาศาสตร์ > คณิตศาสตร์

ก่อนอื่นขอสารภาพก่อนว่าที่เอามาลงอ่ะ เราลองทำแล้วแต่ทำไม่ได้อ่ะค่ะ แหะๆ

ยังไงก็ขอให้ผู้รู้ทุกท่านช่วยกันลองๆทำให้หน่อยนะคะ อยากรู้วิธีคิดจริงๆ ^ ^

1. กำหนดฟังก์ชัน y = f(x) มีกราฟเป็นพาราโบลาผ่านจุด (1,-2) และมีจุดยอดที่ (3,6) จงหาค่าของอินทิเกรตจำกัดเขตจาก 0 ถึง 1 ของ f(x)

2. จงหาพื้นที่ซึ่งปิดล้อมด้วยโค้ง y^2 = 9x^2 – x^4

3. จงหาจำนวนคำตอบของสมการ [x/5] + [x/3] + [x/2] = x เมื่อ [x] แทนจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ x

4. กำหนดสมการวงรี [ (x – 19)^2 / 19 ] + [ (y – 98)^2 /98 ] = 1998 และให้ a ,b ,c ,d แทนพื้นที่วงรีในจตุภาคที่ 1 ,2 ,3 ,4 ตามลำดับ จงหา a – b + c – d มีค่าเท่ากับกี่ตารางหน่วย

5. กำหนด x ,y ,z ,w เป็นจำนวนจริง โดยที่ [ x^2 / (n^2 – 1^2) ] + [ y^2 / (n^2 – 3^2) ] + [ z^2 / (n^2 – 5^2) ] + [ w^2 / (n^2 – 7^2) ] = 1 เป็นจริง ทุกค่า n = 2 ,4 ,6 ,8 จงหาค่าของ x^2 +y^2 +z^2 +w^2

ปล. ถ้าจะให้ดีขอวิธีทำซักหน่อยนะคะ ขอบคุณล่วงหน้าค่ะ

คนๆนึง

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 282 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 182 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

จำนวน 7 ความเห็น, หน้า่ | -1-

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 1 11 พ.ค. 2551 (12:23)
ข้อ 1 จาก $\displaystyle{y = f(x)}$ ได้ว่ากราฟแบบ หงาย หรือ คว่ำ ทำให้ตั้งสมการได้ดังนี้
$\displaystyle{4C(y-k)=(x-h)^{2}\rightarrow 4C(-2-6)=(1-3)^{2}\rightarrow C=-\frac{1}{8}}$
$\displaystyle{4\left(-\frac{1}{8}\right)(y-6)=(x-3)^{2}\rightarrow f(x)=y=6-2(x-3)^{2}}$
$\displaystyle{{\therefore\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}\left(6-2(x-3)^{2}\right)dx=-\frac{20}{3}}}$

ข้อ 2 อย่างแรกเราต้องมองให้ออกว่า $\displaystyle{y^{2}=9x^{2}-x^{4}\leftrightarrow |y|=|x|\sqrt{9-x^{2}}}$
ทีนี้เราต้องมองต่อไปว่าจุดตัดแกนมี 3 จุดคือ $\displaystyle{x=0,\pm 3}$
โดยจะเห็นว่ากราฟของเรามีแกน x และ แกนะ y เป็นแกนสมมาตร
$\displaystyle{\therefore A=4\int_{0}^{3}\left( x\sqrt{9-x^{2}}\right)dx=36}$
งงตรงไหนก็ถามนะครับจะได้รู้ว่าเข้าใจหรือเปล่า

Timestopper_STG

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 1760 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 277 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 2 11 พ.ค. 2551 (17:36)
3. เนื่องจากฝั่งซ้ายของสมการเป็นจำนวนเต็มทำให้เราได้ว่าฝั่งขวาของสมการเป็นจำนวนเต็มด้วย
กำหนดให้ $\displaystyle{f(n)=\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{n}{5}\right\rfloor}$
ความสัมพันธ์แรกที่จะทำให้โจทย์ข้อนี้ดูง่ายขึ้นก็คือ f(n+30)=f(n)+31

ขั้นถัดไปลองแทนค่า n = 0 ถึง 29 จะได้ว่า
$\displaystyle{n\equiv 0(mod6)\rightarrow f(n)=n}$ กรณีอื่นจะได้ว่า $\displaystyle{f(n)=n-1}$
จากความสัมพันธ์แรกจะได้ว่าในช่วง n = 30 ถึง 59 เป็นจริงตามสมการเมื่อยกเว้น 6 หาร n
n อื่น ๆ ที่ไม่ได้อยู่ในช่วงที่กล่าวถึงไม่สามารถเป็นคำตอบได้โดยเห็นได้ชัดจากความสัมพันธ์แรก
$\displaystyle{\therefore}$ คำตอบของสมการ $\displaystyle{\left\lfloor\frac{x}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{5}\right\rfloor=x}$ มีทั้งหมด 30 คำตอบ

Timestopper_STG

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 3 12 พ.ค. 2551 (17:44)
ขอบคุณคุณ Timestopper_STG มากนะคะ

งงข้อ 2 นิดหน่อยอ่าค่ะ

คือ เลข4 หน้าเครื่องหมายอินทิเกรตมาจากไหนหรอคะ

แล้วคือลองอินทิเกรตดูแล้วอ่าค่ะ แต่ทำไมมันได้ 0 ก็ไม่รู้ คือพออินทิเกรตเสร็จมันจะยังติดรูทอยู่ใช่มั้ยคะ แล้วพอแทนค่า 3 ไปแล้วในรูทมันได้เท่ากับ 0 อ่ะค่ะ

คนๆนึง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 4 12 พ.ค. 2551 (17:47)
แล้วเวลาอินทิเกรตตัวที่ติดค่าสัมบูรณ์นี่ ทำแบบปกติได้เลยหรือเปล่าอ่ะค่ะ

คนๆนึง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 6 12 พ.ค. 2551 (18:37)

1. เลข4 หน้าเครื่องหมายอินทิเกรตมาจากไหนหรอคะ
ตอบ ดูจากกราฟข้างบนนะครับถ้าไม่มีเลข 4 นั่นจะหมายถึงพื้นที่ใต้กราฟ f(x) ตั้งแต่ 0 ถึง 3
ทีนี้ถ้าจะเอาพื้นที่ที่ถูกปิดล้อมทั้งหมดจริง ๆ ก็ต้องคูณ 4 เพราะว่ากราฟมีแกน x และ y เป็นแกนสมมาตร

2. แล้วคือลองอินทิเกรตดูแล้วอ่าค่ะ แต่ทำไมมันได้ 0
ตอบ $\displaystyle{\int_{0}^{3}\left(x\sqrt{9-x^{2}\right)dx}=\frac{1}{2}\int_{0}^{9}\left(\sqrt{9-x^{2}}\right)d\left(x^{2}\right)=\frac{1}{2}\left[-\frac{2}{3}\sqrt{9-x^{2}}^{3}\right]_{0}^{3}}$
$\displaystyle{=-\frac{1}{3}\sqrt{9-3^{2}}^{3}+\frac{1}{3}\sqrt{9-0^{2}}^{3}=-0+9=9}$
ผมเข้าใจว่าคุณ คนๆนึง แทนเข้าไปแต่เลข 3 แต่สงสัยจะลืมแทนเลข 0 แน่ ๆ เลยครับ

3. แล้วเวลาอินทิเกรตตัวที่ติดค่าสัมบูรณ์นี่ ทำแบบปกติได้เลยหรือเปล่าอ่ะค่ะ
ตอบ ไม่ครับต้องแบ่งช่วงตรงไหนที่กราฟอยู่ใต้แกน x อินทิเกรตได้เท่าไรต้องใส่ลบข้างหน้า
หรือจริง ๆ แล้วก็คือทำตามนิยามของค่าสัมบูรณ์นั่นแหละครับคือถ้าค่าออกมาเป็นลบให้ใส่ลบ

ผมตอบเป็นข้อ ๆ ให้เลยนะครับเพื่อจะได้เข้าใจง่าย
ไม่ทราบว่านี่เป็นโจทย์จากที่ไหนหรอครับน่าสนใจดีมีปนกันหลายเรื่องด้วย

Timestopper_STG

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 7 12 พ.ค. 2551 (19:19)

ขอบคุณคุณ Timestopper_STG มากนะคะ ในที่สุดก็เข้าใจแล้วแหละค่ะ

นั่งงงกะอินทิเกรตตั้งนาน แหะๆ ลืมแทน 0 จริงๆด้วย 555

โจทย์ที่เอามาเป็นของเพชรยอดมงกุฎค่ะ โดนอาจารย์ให้ทำเฉลยแต่รู้สึกจะทำไม่ได้เพียบเลยอ่ะค่ะ แหะๆ

คนๆนึง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 8 14 พ.ค. 2551 (13:03)

ใครก็ได้ช่วยทำข้อ 4,5 หน่อยน้า ยังทำไม่ได้เลยอ่า

ขอบคุณล่วงหน้าค่ะ

คนๆนึง

ความเห็นเพิ่มเติม วิชาการ.คอม

ชื่อ / email:
ข้อความ

รูปภาพ หรือ ไฟล์

กรุณาล๊อกอินก่อน เพื่อโพสต์รูปภาพ และ ใช้ LaTex ค่ะ สมัครสมาชิกฟรีตลอดชีพที่นี่

ตัวช่วย 1: CafeCode วิธีการใช้
ตัวช่วย 2: VSmilies

วิธีการใช้
ตัวช่วย 3: พจนานุกรมไทย ออนไลน์ ฉบับราชบัณฑิต
ตัวช่วย 4 : dictionary ไทย<=>อังกฤษ ออนไลน์ จาก NECTEC
ตัวช่วย 5 : ดาวน์โหลด โปรแกรมช่วยพิมพ์ Latex เพื่อแสดงสมการบนวิชาการ.คอม