ช่วยสอนหน่อยครับ พาราโบลา

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 1 22 พ.ค. 2551 (17:38)

ครูไผ่ไม่รู้ว่าหนูจามีความรู้พื้นฐานมาแค่ไหนแล้ว 

เลือกข้อ 3 มาทำก่อนก็แล้วกัน

สมมติว่ายังไม่เคยเรียนพาราโบลามาก่อนเลยก็แล้วกันนะคะ

แรก ๆ อย่าใจร้อน อย่าเพิ่งอยากรู้คำตอบเร็ว ๆ

ทำความาเข้าใจอย่างลึกซึ้งก่อน  แล้วจะค้นพบวิธีลัดหลังจากที่เข้าใจแล้ว

ต่อไปก็จะนำวิธีลัดไปใช้ได้อย่างรวดเร็ว

แต่ถ้ายังไม่เข้าใจ บอกไปก็ลืม และไม่สามารถเรียนที่ยากกว่าต่อไปได้ค่ะ

 

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 2 22 พ.ค. 2551 (17:43)

แล้วหากระดาษกราฟมาลงจุดของตู่อันดับ (x,y) จากตารางที่ลงไว้ในความเห็นเพิ่มเติมที่ 1

ถ้าหากระดาษกราฟไม่ได้ ก็ print ตารางในรูปนี้ออกมาใช้นะคะ

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 3 22 พ.ค. 2551 (17:59)
ลองอ่านเองค่ะ



มันจะเข้าใจมากกว่า

ไม่ลองก้อไม่รู้

สุ้ๆ





ไปกินข้าวก่อนดีกว่า

เกี่ยวกันไหมเนี่ย

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 4 22 พ.ค. 2551 (23:26)
<P>คิดว่าน่าจะเป็นวิชาม.4นะพื้นฐานความรู้มีให้จำดังนี้</P>

<P>1.y<SUP>2</SUP>=4cx&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 2.y<SUP>2</SUP>=-4cx&nbsp;&nbsp; สังเกตุที่2สมการนี้ต่างกันแค่เครื่องหมายลบ</P>

<P>กราฟนี้ดูว่าxยกกำลังหนึ่งแสดงว่ากราฟตะแคง ถ้าเป็นบวกก็หนไปทางด้านบวก(ตะแคงขวา)ถ้าเป็นลบก็หันไปทางด้านลบ(ตะแคงซ้าย)ตามทันนะ</P>

<P>สมการนี้สังเกตุว่าค่าyไม่มีกำลังหนึ่งมาเสริมแสดงว่าจุดยอดอยู่ที่(0,0)หรือจุดกำเนิดเสมอ</P>

<P>จุดโฟกัสคือ(c,0)หรือ(-c,0)ขึ้นอยู่กับสมการถ้าสมการติดลบจุดโฟกัสก็ติดลบได้ถ้าเป็นบวกก็บวกด้วย(การหาค่าc คือการนำ4หารสัมประสิทธิ์หน้าx)</P>

<P>สมการไดเรกตริกคือX=C หรือ X=-C จะเป็นบวกหรือลบให้เป็นเครื่องหมายตรงข้ามกัน</P>

<P>สมการแกนก็คือเส้นที่ผ่ากราฟออกเป็นสองส่วนที่เท่ากันดังนั้นคือX=0 เสมอ</P>

<P>เราลองมาทำข้อ1กัน</P>

<P>y<SUP>2</SUP>=x</P>

<P>จุดยอดคือ(0,0)</P>

<P>จุดโฟกัสคือ(1/4,0)</P>

<P>สมกาไดเรกตริกคือ X=-1/4</P>

<P>สมการแกนคือX=0</P>

<P>ข้อสอง</P>

<P>y<SUP>2</SUP>=-6y</P>

<P>จุดยอดคือ(0,0)</P>

<P>จุดโฟกัส(-3/2,0)เกิดจาก6หารด้วย4</P>

<P>สมการไดเรกติกX=3/2</P>

<P>สมการแกนx=0</P>

<P>หวังว่าคงจับแนวทางได้นะ</P>

<P>ถ้าสงสัยก็ถามทางเอ็มก็ได้</P>

<P>&nbsp;</P>

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 5 23 พ.ค. 2551 (07:43)



ท่านที่เข้ามาใหม่คลิกอ่าน ความเห็นเพิ่มเติมที่ 1 ในหน้า 1 ก่อนนะคะ จะได้ทราบที่มาที่ไปค่ะ

หนูจาได้นำคู่อันดับจากตารางมา plot graph แล้วได้กราฟหน้าตาอย่างนี้ใช่ไหมคะ


เนื่องจากเราลงจุดที่มีค่า x เป็นจำนวนเต็มเท่านั้น กราฟจึงออกมาเป็นจุดห่าง ๆ กันค่ะ

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 6 23 พ.ค. 2551 (08:15)
<P>ครับ ได้กราฟมาแล้วครับ แล้วต้องทำไงต่ออ่ะครับเพราะว่าโจทย์บอกว่า</P>

<P>จงหาจุดยอด จุดโฟกัส สมการไดเรกตริกซ์ และสมการแกนของพาราโบลาจากสมการ</P>

<P>ขอบคุณคุณครูไผ่มากๆครับสำหหรหับคำแนะนำ</P>

<P>&nbsp;</P>

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 7 23 พ.ค. 2551 (08:21)

ถ้าเรากำหนดค่า x เป็นจำนวนใด ๆ ไม่ใช่เป็นเฉพาะจำนวนเต็มเท่านั้น เช่น ให้  x เท่ากับ 0, 0.01, 0.001, 0.0001, 0.00001, 0.000001, ... และอีกมากมายนับไม่ถ้วน เราก็จะได้จุดเพิ่มขึ้นมาอีกมากมายนับไม่หมด แต่เราทำไม่ไหวอะ 

ที่ลงไปตั้ง 11 จุดนี่ก็ถือว่าขยันเกินพอแล้ว 

อย่างไรก็ตาม จุดที่เราลงไปแล้วก็มากพอที่จะเป็นแนวให้เราต่อเติมในจินตนาการได้ว่า

ถ้าเรากำหนด x เป็นจำนวนจริงทั้งหมด เราจะได้จุดต่าง ๆ เรียงชิดกันจนเป็นเส้น

เราก็ลากเส้นเชื่อมจุดต่าง ๆ ออกมาเป็นเส้นโค้งสวย ๆ อย่างนี้เลยค่ะ

เส้นโค้งลักษณะอย่างนี้  ถ้าเราพับรูปตามแนวแกน Y  โค้งทางซ้ายกับโค้งทางขวาจะซ้อนกันสนิทเป็นเส้นเดียวกันเลย

เราเรียกเส้นโค้งที่มีลักษณะสมมาตรของสมการ x² = 8y นี้ว่า พาราโบลา ที่มีจุดยอดอยู่ที่จุด (0, 0) และมีแกน Y เป็นแกนสมมาตร 

แกน Y ก็คือ สมการ x = 0 ค่ะ

ดังนั้น กล่าวอีกอย่างหนึ่งได้ว่า แกนของพาราโบลารูปนี้ คือ สมการ x = 0

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 8 23 พ.ค. 2551 (10:00)

ต่อไปเราจะหาจุดโฟกัส และเส้นไดเรกตริกซ์
สมมติว่าเราไม่รู้สูตรมาก่อน
เราจะทำการทดลอง เพื่อสร้างสูตรขึ้นจากความเข้าใจของเราเอง แล้วเราจะจำได้ไปจนถึงชาติหน้า (ถ้ามี)


ทดลองครั้งที่ 1  [อย่านึกว่าทดลองครั้งเดียวแล้วจะได้เลย มันไม่ง่ายอย่างน้าน  เทวดา (คนที่คิดสูตรเป็นคนแรก) ยังต้องทดลองตั้งหลายครั้ง]
จุดโฟกัสจะต้องอยู่ห่างจากจุดใด ๆ บนพาราโบลาเป็นระยะห่างเท่ากับระยะที่จุดบนพาราโบลาจุดนั้นอยู่ห่างจากเส้นไดเรกตริกซ์

ดังนั้น เรารู้ได้ด้วยวิจารณญาณของเราว่า จุดโฟกัสต้องอยู่บนแกนของพาราโบลา ในที่นี้คือแกน Y

แต่ไม่รู้ว่าจะอยู่ตรงไหนของแกน Y ดี
เราก็กะ ๆ เอาก่อน ก็มันเป็นการทดลองนี่นา ถ้าไม่ใช่เดี๋ยวเราก็เปลี่ยนใหม่ เมื่อไรใช่ เราก็จะสังเกตและจับหลักไว้ใช้เป็นทางลัดค่ะ
หะแรก  เราสมมติว่า จุดโฟกัส คือ จุด (0, 1)
ส่วนเส้นไดเรกตริกซ์นั้น มันจะต้องอยู่ห่างจากจุดยอดเท่ากับระยะห่างของจุดโฟกัสกับจุดยอด แต่อยู่ในทิศตรงข้ามกัน
ดังนั้น ถ้าจุดโฟกัส อยู่ที่ จุด (0, 1)  เส้นไดเรกตริกซ์ก็ต้องผ่านจุด (0, -1)
สำหรับพาราโบลารูปนี้ เส้นไดเรกตริกซ์จะขนานกับแกน X
ดังนั้น ถ้าจุดโฟกัส อยู่ที่ จุด (0, 1)  เส้นไดเรกตริกซ์ก็ต้องเป็นเส้นตรงที่มีสมการ y = -1

เนื่องจาก จุดใด ๆ บนกราฟพาราโบลาต้องอยู่ห่างจากจุดโฟกัสและอยู่ห่างจากเส้นไดเรกตริกซ์เป็นระยะเท่ากัน
(ระยะห่างจากจุดถึงเส้นเราคิดระยะตั้งฉาก)

เพื่อตรวจสอบว่า จุด (0, 1) ใช่จุดโฟกัสจริงหรือไม่
เราจึงเลือกจุดบนกราฟมาจุดหนึ่ง แล้วลากส่วนของเส้นตรงจากจุดนั้นไปยังจุด (0, 1)
และลากเส้นตั้งฉากจากจุดนั้นไปตั้งฉากกับเส้นตรง y = -1
แล้วเอาไม้บรรทัดวัดระยะห่างทั้งสอง (เส้นประในรูป) ว่าเท่ากันหรือไม่

ปรากฏว่าวัดความยาวของระยะห่างทั้งสอง (เส้นประในรูป) แล้ว ได้ผลออกมาไม่เท่ากัน
ผลจากการทดลองครั้งที่ 1 บอกให้เราทราบว่า จุดโฟกัสไม่ใช่ จุด (0, 1) และ เส้นไดเรกตริกซ์ไม่ใช่เส้นตรง y = -1

อย่าท้อ !  ทดลองต่อไป    เราเป็นมนุษย์ที่มีวิจารณญาณในตัวเอง  สามารถกะประมาณ เลือกจุดที่มีโอกาสเป็นไปได้สูง  น่า ... เดี๋ยวก็ออก

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 9 23 พ.ค. 2551 (11:32)

"ผิดเป็นครู สังเกตแบบให้แยบยล" 

ผลจากการทดลองครั้งที่ 1 ย่อมเป็นประสบการณ์ให้การทดลองครั้งที่สองเข้าใกล้ความสำเร็จได้มากขึ้น

ทดลองครั้งที่ 2 

จากการพิจารณารูปในการทดลองครั้งที่ 1  ซึงเราวัดแล้วว่ามีระยะห่างระหว่างจุดบนกราฟถึงจุด (0, 1) มากกว่าระยะห่างจากจุดเดิมบนกราฟถึงเส้นตรง y = -1

ดังนั้น  ถ้าต้องการให้ระยะห่างทั้งสองนั้นเท่ากัน  เราจะต้องลดระยะห่างระหว่างจุดบนกราฟกับจุดบนแกน y ให้น้อยกว่าเดิม

เราสามารถกะประมาณด้วยสายตาได้ว่าถ้าจุดโฟกัสอยู่ต่ำกว่าจุด (0, 1) จะทำให้ระยะห่างระหว่างจุดบนกราฟถึงจุดโฟกัสมากกว่าเดิม  เราจึงเลือกจุดที่อยู่สูงกว่าจุด (0, 1) เพื่อจะได้ระยะห่างที่สั้นลง

ครั้งนี้ เราสมมติว่า จุดโฟกัสอยู่ที่จุด (0, 2)

ส่วนเส้นไดเรกตริกซ์นั้น มันจะต้องอยู่ห่างจากจุดยอดเท่ากับระยะห่างของจุดโฟกัสกับจุดยอด แต่อยู่ในทิศตรงข้ามกัน
ดังนั้น ถ้าจุดโฟกัส อยู่ที่ จุด (0, 2)  เส้นไดเรกตริกซ์ก็ต้องผ่านจุด (0, -2)

สำหรับพาราโบลารูปนี้ เส้นไดเรกตริกซ์จะขนานกับแกน X
ดังนั้น ถ้าจุดโฟกัส อยู่ที่ จุด (0, 2)  เส้นไดเรกตริกซ์ก็ต้องเป็นเส้นตรงที่มีสมการ y = -2

เนื่องจาก จุดใด ๆ บนกราฟพาราโบลาต้องอยู่ห่างจากจุดโฟกัสและอยู่ห่างจากเส้นไดเรกตริกซ์เป็นระยะเท่ากัน
(ระยะห่างจากจุดถึงเส้นเราคิดระยะตั้งฉาก)

เพื่อตรวจสอบว่า จุด (0, 2) ใช่จุดโฟกัสจริงหรือไม่
เราจึงเลือกจุดบนกราฟมาจุดหนึ่ง แล้วลากส่วนของเส้นตรงจากจุดนั้นไปยังจุด (0, 2)
และลากเส้นตั้งฉากจากจุดนั้นไปตั้งฉากกับเส้นตรง y = -2
แล้วเอาไม้บรรทัดวัดระยะห่างทั้งสอง (เส้นประในรูป) ว่าเท่ากันหรือไม่

ฮะ ฮ้า !

ปรากฏว่าคราวนี้วัดความยาวของระยะห่างทั้งสอง (เส้นประในรูป) ได้ผลออกมาเท่ากันเปี๊ยบ !

อ๊ะ อ๊ะ อย่าเพิ่งสรุป  อาจจะบังเอิญเลือกจุดบนกราฟที่ให้ผลตรงกับความต้องการพอดีก็ได้ 

ทดลองกับจุดอื่น ๆ บนกราฟอีกหลาย ๆ จุดก่อน

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 10 23 พ.ค. 2551 (12:11)

โฮะ โฮะ ! 

ลากเพิ่มจากจุดบนกราฟอีกหลายจุด

วัดแล้วพบว่า ระยะห่างจากจุดบนกราฟถึงจุด (0, 2) กับระยะห่างจากจุดเดียวกันถึงเส้นตรง y=-2  เท่ากันหมดทุกคู่

แสดงตัวอย่างมากถึงขนาดนี้  ครูไผ่ยอมเชื่อแล้วล่ะว่า จุด (0, 2) เป็นจุดโฟกัสของสมการ x² = 8y  โดยมี เส้นตรง y = -2 เป็น เส้นไดเรกตริกซ์

ถ้าใครยังไม่เชื่อก็ลองใส่จุดบนกราฟเพิ่มอีกสักร้อยสักพันจุด แล้วทดลองวัดระยะห่างตามเงื่อนไขดังกล่าวดูว่าเท่ากันเสมอหรือไม่

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 11 23 พ.ค. 2551 (13:29)

คราวนี้ เราก็มาสังเกต และพิจารณาว่า  ค่าและส่วนต่าง ๆ ของสมการ x² = 8y ที่เราหาได้และมีอยู่ในขณะนี้  น่าจะมีความสัมพันธ์เกี่ยวข้องกันอย่างไร

จุดโฟกัสอยู่ที่ (0, 2) 

2 น่าจะเกี่ยวข้องกับ 8 ซึ่งเป็นสัมประสิทธิ์ของ y ในสมการนี้ได้อย่างไรบ้าง  เช่น 8/2 = 4  ดังนั้น 8 = 4 * 2 เป็นต้น  บันทึกข้อสังเกตเก็บไว้เป็นข้อคาดการณ์

สมการนี้พจน์ที่มีกำลังสูงสุด คือ x²  ไม่มี x¹  ไม่มี x⁰  (x⁰ คือพจน์ที่มีแต่ค่าคงตัว)  ได้กราฟเป็นพาราโบลารูปหงายมีจุดยอดเป็นจุดต่ำสุดอยู่ที่จุด (0,0)  มีเส้นไดเรกตริกส์เป็นเส้นตรงที่ขนานกับแกน x อยู่ห่างจากจุดยอด เป็นระยะทางเท่ากับที่จุดโฟกัสอยู่ห่างจากจุดยอด  แต่อยู่ในทิศทางตรงกันข้ามกับจุดโฟกัส

ตั้งสมการลักษณะทำนองเดียวกันนี้ขึ้นมาอีกหลาย ๆ สมการ เช่น

x² = 4y

x² = 2y

x² = -8y

x² = -4y

ดูว่าจะได้กราฟออกมาเป็นอย่างไร  มีจุดยอด  จุดโฟกัส   อยู่ที่ไหน  สมการแกนของพาราโบลา และสมการไดเรกทริกซ์ เป็นอย่างไร

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 13 23 พ.ค. 2551 (16:04)
ขอบคุณครูไผ่มากๆเลยนะครับ

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 14 23 พ.ค. 2551 (16:20)

ช่วยผมได้เยอะมากเลย

 

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 15 23 พ.ค. 2551 (20:17)

จากการทดลองเขียนกราฟของสมการต่าง ๆ ดังภาพนี้

เราจะสังเกตเห็นความสัมพันธ์ที่เหมือนกันคือ  เอาค่า y ของจุดโฟกัสในแต่ละสมการไปหารสัมประสิทธิ์ของ y ในสมการของมันเองจะได้ผลลัพธ์เป็น  4 เสมอ น่ามหัศจรรย์เนอะ

เช่น

สมการ x² = 2y  จุดโฟกัสคือ (0, 0.5)   เอา 0.5 ไปหาร 2 จะได้ 2/0.5 = 4  ดังนั้น  2y = 4 * 0.5y

สมการ x² = 4y  จุดโฟกัสคือ (0, 1)   เอา 1 ไปหาร 4 จะได้ 4/1 = 4  ดังนั้น 4y = 4 * 1y

สมการ x² = -4y  จุดโฟกัสคือ (0, -1)   เอา -1 ไปหาร -4 จะได้ -4/-1 = 4  ดังนั้น  -4y = 4 * (-1)y

สมการ x² = -6y  จุดโฟกัสคือ (0, -1.5)   เอา -1.5 ไปหาร -6 จะได้ -6/-1.5 = 4  ดังนั้น  -6y = 4 * (-1.5)y

ถ้าให้ c แทนค่า y ที่จุดโฟกัส จะเห็นได้ว่า สัมประสิทธิ์ของ y ในทุกสมการข้างบนนี้สามารถเขียนให้อยู่ในรูป 4 * c  หรือ  4c 
ดังนั้น สมการทุกสมการข้างบนนี้สามารถเขียนให้อยู่ในรูป x² = 4cy โดยมีจุดยอดอยู่ที่จุด (0, 0) จุดโฟกัสอยู่ที่จุด (0,c) สมการแกนของพาราโบลา คือ x = 0 สมการไดเรกตริกซ์ คือ y = -c

ถ้าเราอยากทราบว่า จุดโฟกัสของสมการ x² = 8y อยู่ตรงไหน  เราก็ใช้วิธีลัดที่เราค้นพบแล้ว ดังนี้

เปลี่ยนสมการ x² = 8y ให้อยู่ในรูป x² = 4cy  

จะได้ x² = 4 * 2 y  ก็จะทราบได้ทันทีว่า จุดยอดอยู่ที่ (0,0) จุดโฟกัสอยู่ที่ (0, 2) สมการแกนของพาราโบลา คือ x=0 สมการไดเรกตริกส์ คือ y = -2

ถ้าเราอยากทราบส่วนต่าง ๆ ของสมการ x² = -6y เราก็ใช้วิธีลัดที่เราค้นพบแล้ว ดังนี้

เปลี่ยนสมการ x² = -6y ให้อยู่ในรูป x² = 4cy

จะได้ x² = 4 * (-1.5)y ก็จะทราบได้ทันทีว่า จุดยอดอยู่ที่ (0,0) จุดโฟกัสอยู่ที่ (0, -1.5) สมการแกนของพาราโบลา คือ x=0 สมการไดเรกตริกส์ คือ y = 1.5


อ่านต่อใน ความเห็นเพิ่มเติมที่ 23 ในหน้า 2 ค่ะ

ครูไผ่
ร่วมแบ่งปัน3232 ครั้ง - ดาว 282 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 40 31 พ.ค. 2551 (09:20)

จากความเห็นเพิ่มเติมที่ 38, 39 เราได้ข้อคาดการณ์ว่า

ค่า x ของพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่(6, 5) = ค่า x ของพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่ (0, 0) + 6

ค่า y ของพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่ (6, 5) = ค่า y ของพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่ (0, 0) + 5

ทดลองคัดลอกพาราโบลารูปอื่น ๆ ที่มีจุดยอดอยู่ที่จุด (0, 0) ไปวางไว้ ณ ตำแหน่งอื่นให้จุดยอดอยู่ที่จุดอื่น ๆ

ดูว่าข้อคาดการณ์นี้เป็นจริงเสมอหรือไม่

ทดลองแล้วพบว่าเป็นจริงเสมอ

ดังนั้น จากรูปในความเห็นเพิ่มเติมที่ 38 ถ้าจะเขียนสมการของพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่ (6, 5) ให้อยู่ในรูป x² = 4cy

จึงต้องนำ 6 ไปหักออกจากค่าที่เกี่ยวข้องกับ x และนำ 5 ไปหักออกจากค่าที่เกี่ยวข้องกับ y

เนื่องจากสมการในรูป x² = 4cy มีจุดยอดอยู่ที่ (0, 0)

จากรูปในความเห็นเพิ่มเติมที่ 38

พาราโบลารูปที่มีจุดยอดอยู่ที่ (0, 0) จุดโฟกัสอยู่ที่ (0, 2) เขียนสมการของพาราโบลาในรูป  x² = 4cy ได้ดังนี้   x² = 4*2y

ดังนั้น พาราโบลารูปที่มีจุดยอดอยู่ที่ (6, 5) จุดโฟกัสอยู่ที่ (6, 7) เขียนสมการของพาราโบลาได้ดังนี้   (x-6)² = 4*(7-5)(y-5)

นำสมการของทั้งสองรูปในความเห็นเพิ่มเติมที่ 38 มาเปรียบเทียบกันได้ดังนี้

สมการของรูปที่มีจุดยอด (0, 0) จุดโฟกัส (0, 2) คือ  x² = 4*2y

สมการของรูปที่มีจุดยอด (6, 5) จุดโฟกัส (6, 7) คือ (x-6)² = 4*(7-5)(y-5)
                                                            หรือ (x-6)² = 4 * 2 (y-5)

เราจะมาตรวจสอบสมการ (x-6)² = 4*(7-5)(y-5) หรือ (x-6)² = 4*2 (y-5)
ด้วยความรู้เดิม ๆ ของเราดูว่ามันเป็นจริงหรือไม่

(x-6)² = 4 * (7-5)(y-5)

(x-6)² = 4 * 2(y-5)

x²-12x+36 = 4 *(2y -10)

x²-12x+36 = 8y - 40

8y = x²-12x + 36 + 40

y = 1/8 ( x²-12x + 76)

y = 1/8x²-3/2x + 19/2

กำหนดค่า x ขึ้นมาจำนวนหนึ่ง แล้วหาค่า y ของแต่ละค่า x ได้ดังนี้

x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
y	9.5	8.13	7	6.13	5.5	5.13	5	5.13	5.5	6.13	7	8.13	9.5

ลงจุด (x, y) จากตาราง

โอ้โฮ เฮะ ! จุด (x, y) จากตารางทุกจุดอยู่บนกราฟที่มีจุดยอด (6,5) ทั้งหมดเลย

แสดงว่า (x-6)² = 4*(7-5)(y-5) หรือ (x-6)² = 4 * 2 (y-5)


เป็นสมการของพาราโบลาที่มีจุดยอด (6, 5) ในความเห็นเพิ่มเติมที่ 38 จริง

ทดลองย้ายแกน (เปลี่ยนตำแหน่งจุดยอด) ของพาราโบลาในรูป x² = 4cy อีกสักสามสี่ห้าหก ... สมการ ดูว่าจะได้ผลทำนองเดียวกันเสมอหรือไม่ 

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 44 2 มิ.ย. 2551 (04:44)

print กริด ในความเห็นเพิ่มเติมที่ 2 ไปทดลองย้ายแกนและจุดยอดของพาราโบลาในรูป x² = 4cy 

อีกสามสี่ห้าหก ... สมการแล้วพบว่าได้ผลทำนองเดียวกับความเห็นเพิ่มเติมที่ 38, 39, 40

เช่น 

สมการ x² = 4(-1)y ซึ่งมีจุดยอด (0, 0) จุดโฟกัส (0, -1)  

ถ้าเลื่อนรูปไปให้จุดยอดเป็น (2, 6) จะได้จุดโฟกัส (2, 5)  สมการ คือ (x - 2)²= 4 (5 - 6)(y - 6) หรือ (x - 2)²= 4 (-1)(y - 6)

สมการ x² = 4 * 2.5y ซึ่งมีจุดยอด (0, 0) จุดโฟกัส (0, 2.5)  

ถ้าเลื่อนรูปให้จุดยอดอยู่ที่ (-2, 4) จะได้จุดโฟกัส (-2, 6.5)  สมการ คือ (x -(-2))²= 4 (6.5 - 4)(y - 4) หรือ (x - (-2))²= 4 * 2.5 (y - 4)

และจากสมการในความเห็นฯ ที่ 40

สมการ x² = 4*2y ซึ่งมีจุดยอดอยู่ที่ (0, 0) จุดโฟกัสอยู่ที่ (0, 2)  

ถ้าเลื่อนรูปให้จุดยอดอยู่ที่ (6, 5) จะได้จุดโฟกัส (6, 7) สมการ คือ  (x-6)² = 4*(7-5)(y-5) หรือ (x-6)² = 4 * 2(y-5)

พิจารณาความสัมพันธ์ระหว่างสมการใหม่กับสมการเดิม ในทุกคู่ เทียบกับสมการ x² = 4cy

จะเห็นว่า ค่า c ของสมการใหม่กับสมการเดิม เท่ากันทุกคู่

ดังนั้น ถ้าให้ (h, k) แทนจุดยอดใด ๆ จะได้สมการพาราโบลา คือ

(x-h)² = 4 * c (y-k)

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 45 2 มิ.ย. 2551 (09:11)

คราวนี้เราจะมาพิจารณาค่าต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับสมการ  (x-h)² = 4 * c (y-k)

ถ้าไม่มีรูป มันพูดยาก และพาลจะพูดผิดเอาเสียด้วยซิ

พิจารณาตัวอย่างกราฟแต่ละคู่ต่อไปนี้

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 46 3 มิ.ย. 2551 (09:51)

พิจารณาตัวอย่างอีกคู่หนึ่ง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 48 3 มิ.ย. 2551 (15:21)

พิจารณาตัวอย่างอีกคู่หนึ่ง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 52 4 มิ.ย. 2551 (21:41)

จากการพิจารณากราฟของตัวอย่างสมการทั้งสามคู่ข้างบนนี้

พอจะบอกได้ไหมคะว่า

สมการ (x - h)² = 4 c (y - k) ซึ่งมีจุดยอดอยู่ที่ (h, k)

มีแกนของพาราโบลา เป็นเส้นตรง x = h นั้น



เช่น (x - 6)² = 4 * 2 (y - 5) มีจุดยอดอยู่ที่ (6, 5)

มีแกนของพาราโบลา เป็นเส้นตรง x = 6

1. ค่า c เกี่ยวข้องกับจุดยอดและจุดโฟกัสอย่างไร

2. ค่า c เกี่ยวข้องกับสมการไดเรกตริกซ์อย่างไร

3. ถ้าลากส่วนของเส้นตรงผ่านจุดโฟกัสให้ตั้งฉากกับแกนของพาราโบลาโดยให้ปลายทั้งสองของส่วนของเส้นตรงอยู่บนพาราโบลา เราเรียกส่วนของเส้นตรงนั้นว่า "ลาตัสเรกตัม (latusrectum)"

พิจารณาดูจากกราฟว่า ค่า c เกี่ยวข้องกับ "ความยาวลาตัสเรกตัม" อย่างไร

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 53 5 มิ.ย. 2551 (21:54)

ตอบความเห็นฯ ที่ 52

1.  ถ้า c>0 จุดโฟกัสอยู่เหนือจุดยอด ห่างจากจุดยอดเป็นระยะเท่ากับ |c| 

ถ้า c<0  จุดโฟกัสอยู่ใต้จุดยอด  ห่างจากจุดยอดเป็นระยะเท่ากับ |c|

ถ้าจุดยอดอยู่ที่ (h, k)  จุดโฟกัสจะอยู่ที่ (h, k+c)

ถ้าจุดยอดอยู่ที่ (0, 0)  จุดโฟกัสจะอยู่ที่ (0, 0+c) = (0, c)

 

2.  เส้นไดเรกตริกซ์อยู่ห่างจากจุดยอดเป็นระยะเท่ากับ |c| ในทิศตรงข้ามกับจุดโฟกัส

ถ้าจุดยอดอยู่ที่ (h, k) สมการไดเรกตริกซ์ คือ y = k-c 

ถ้าจุดยอดอยู่ที่ (0, 0) สมการไดเรกตริกซ์ คือ y = 0-c หรือ y = -c

 

3.  ความยาวลาตัสเรกตัม เท่ากับ |4c| เสมอ ไม่ว่าจุดยอดจะอยู่ที่ (0, 0) หรืออยู่ที่ (h, k) ใด ๆ

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 54 6 มิ.ย. 2551 (06:06)

คราวนี้เราก็มาลองทำโจทย์ข้อ 5 ของหนู ja_spmm คือสมการ  4x² - 24x -1y -15 = 0  นะคะ

เวลาเอาความรู้ไปใช้ในการแก้ปัญหา  เราจะต้องมีการปรับปัญหาให้เข้ากับความรู้ที่เรามีอยู่  หรือปรับความรู้ที่เรามีอยู่ให้เข้ากับปัญหา

อันดับแรกเลย เราก็จัดการปรับปัญหาให้เข้ากับความรู้ที่เรามีอยู่  ถ้าปรับไม่ได้ เราก็ต้องปรับความรู้ที่เรามีอยู่ให้เข้ากับปัญหา นั่นคือ ต้องสร้างความรู้ใหม่มาใช้ในการแก้ปัญหา

ความรู้ที่เรามีอยู่ในขณะนี้คือ เรารู้ว่า

(x-h)² = 4c(y-k) เป็นสมการของกราฟพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่ (h, k)  จุดโฟกัสอยู่ที่ (h, k+c)   สมการแกนของพาราโบลาคือ x = h   สมการไดเรกตริกซ์ คือ y = k-c

ดังนั้น เราจึงจัดการปรับ 4x² - 24x -1y -15 = 0  ให้อยู่ในรูป (x-h)² = 4c(y-k)  ดังนี้

4x² - 24x -1y -15 = 0

     4x² - 24x  -15 = y

นำ 4 มาหารตลอด จะได้

   x² - 6x - (15/4) = (1/4)y

เราจะทำ 3 พจน์ทางซ้ายให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในที่นี้พจน์ที่ 3 ต้องเป็นจำนวนอื่นไม่ใช่ -(15/4) เราจึงกำจัด -(15/4) ออกจากทางซ้ายด้วยการบวก (15/4) เข้าทั้งสองข้างเพื่อคงความเป็นสมการไว้ จะได้

              x² - 6x  = (1/4)y + 15/4

ในที่นี้ พจน์ที่ 3 ทางซ้ายต้องเป็น +9 จึงจะเป็นกำลังสองสมบูรณ์ เราจึงบวก 9 ทั้งสองข้างเพื่อคงความเป็นสมการไว้ จะได้

         x² - 6x + 9 = (1/4)y + 15/4 + 9

             (x - 3)²  = (1/4)(y + 15 + 36)

             (x - 3)²  = (1/4)(y + 51)

             (x - 3)²  = (1/4)(y - (-51))

             (x - 3)²  = 4 * (1/16)(y - (-51))

 

เย้ ! เราปรับ 4x² - 24x -1y -15 = 0 ให้อยู่ในรูป (x-h)² = 4c(y-k) สำเร็จแล้ว

บอกได้ไหมคะว่า

1.  จุดยอดอยู่ที่ไหน

2.  จุดโฟกัสอยู่ที่ไหน

3.  สมการของแกนคืออะไร

4.  สมการไดเรกตริกส์คืออะไร

5.  ความยาวของลาตัสเรกตัมเป็นเท่าใด

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 55 7 มิ.ย. 2551 (09:30)

ตอบคำถามในความเห็นเพิ่มเติมที่ 54

สมการ (x - 3)²  = 4 * (1/16)(y - (-51))  เป็นพาราโบลา ซึ่งมี

1.  จุดยอด อยู่ที่ (3, -51)

2.  จุดโฟกัส อยู่ที่ (3, -51+1/16) คือจุด (3, -50.94)

3.  แกนของพาราโบลา คือ เส้นตรง x = 3

4.  สมการไดเรกตริกซ์ คือ  y = -51 - 1/16 

                             หรือ y = -51.06

5.  ความยาวของลาตัสเรกตัม เท่ากับ |4 * (1/16)| = 1/4 = 0.25

นำค่าต่าง ๆ มาเขียนกราฟได้ดังนี้

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 57 7 มิ.ย. 2551 (09:41)

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 58 7 มิ.ย. 2551 (09:51)

ฮ่า ๆ

ถามเอง ตอบเอง สอนตัวเองค่ะ

หวังว่าคนอื่นคงพลอยได้ประโยชน์ไปด้วยนะคะ

โปรดสังเกตว่า ครูไผ่จะไม่ใช้ 555 แทนเสียงหัวเราะ อย่างที่เด็ก ๆ ชอบใช้กัน เพราะนอกจากจะใช้สัญลักษณ์ไม่ตรงความหมายแล้ว ถ้าคนภาษาอื่นมาอ่าน เขาก็ไม่ได้อ่านเป็นเสียงหัวเราะด้วย

เช่น คนพูดภาษาอังกฤษมาอ่าน 555 เขาก็จะออกเสียงว่า ไฟว์ ๆ ๆ มันช่างเป็นเสียงหัวเราะที่ตลกจังเลยนะ ไฟว์ ๆ ๆ

หรือคนพูดภาษาจีนมาอ่าน 555 เขาก็อาจจะออกเสียงว่า โง่ ๆ ๆ ยิ่งตลกแย่ไปใหญ่เลยค่ะ

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 61 7 มิ.ย. 2551 (22:46)

ดูตัวอย่างหนึ่งของการนำพาราโบลาไปช่วยแก้ปัญหาในกระทู้นี้ค่ะ http://www.vcharkarn.com/vcafe/38820/7

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 62 11 มิ.ย. 2551 (10:14)

เมื่อเข้าใจทะลุปรุโปร่งแล้วอย่าลืมสรุปให้สั้นและกระชับเพื่อสะดวกในการนำติดหัวไปใช้ได้อย่างรวดเร็วนะคะ

ในกรณีของพาราโบลาที่มีแกนขนานกับแกน x ก็ทำนองเดียวกัน  โดยเปลี่ยนจาก x เป็น y เปลี่ยนจาก y เป็น x  ในทุก ๆ ประเด็น  ถ้าไม่แน่ใจก็ลองเปลี่ยนแล้วสร้างรูปดูว่าได้รูปที่สอดคล้องกับสมการหรือไม่  ก็จะทราบได้ว่าเราลืมเปลี่ยนที่จุดใดบ้าง

จากประสบการณ์ของครูไผ่เอง ครูไผ่จะจำเพียงแบบเดียวเท่านั้น เพื่อไม่ให้เกิดความสับสน  เมื่อเราจำแบบเดียวได้แม่น  เราก็สามารถแยกแยะและทำอีกแบบหนึ่งให้ต่างจากแบบที่เราจำค่ะ

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 63 20 ส.ค. 2551 (17:54)
หาสมการไดเรกตริกซ์ทำไงค่ะ

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 64 20 ส.ค. 2551 (19:49)

ลองไล่อ่านมาตั้งแต่ความเห็นต้น ๆ สิคะ  
หรือถามคำถามให้ยาวกว่านี้
เช่น มีโจทย์ หรือมีรายละเอียดที่ชัดเจนขึ้นอีกนิดหนึ่ง

ถ้าใช้คำถามสั้นจุ๊ดจู๋อย่างนี้ ก็ต้องอ่านเองตั้งแต่ต้นล่ะค่ะ

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 65 28 ก.ค. 2554 (09:26)
โอ้ยคิดได้ไง
เยอะมากวินเลยตู @-@เห้อ

จำไว้ตลอด