ช่วยสอนหน่อยครับ พาราโบลา

จงหาจุดยอด จุดโฟกัส สมการไดเรกตริกซ์ และสมการแกนของพาราโบลาจากสมการ


1. y2  = x


2. y= -6x


3. x2 = 8y


4. x2 = -4y


5. 4x2 - 24x -1y -15 = 0


รบกวนตอบและอธิบายให้หน่อยนะครับ


ขอบคุณมากๆครับ

22 พ.ค. 2551 14:36
65 ความเห็น
103391 อ่าน


ความคิดเห็นที่ 1 โดย ครูไผ่

ครูไผ่ไม่รู้ว่าหนูจามีความรู้พื้นฐานมาแค่ไหนแล้ว 


เลือกข้อ 3 มาทำก่อนก็แล้วกัน


สมมติว่ายังไม่เคยเรียนพาราโบลามาก่อนเลยก็แล้วกันนะคะ


แรก ๆ อย่าใจร้อน อย่าเพิ่งอยากรู้คำตอบเร็ว ๆ


ทำความาเข้าใจอย่างลึกซึ้งก่อน  แล้วจะค้นพบวิธีลัดหลังจากที่เข้าใจแล้ว


ต่อไปก็จะนำวิธีลัดไปใช้ได้อย่างรวดเร็ว


แต่ถ้ายังไม่เข้าใจ บอกไปก็ลืม และไม่สามารถเรียนที่ยากกว่าต่อไปได้ค่ะ


 

22 พ.ค. 2551 17:38


ความคิดเห็นที่ 2 โดย ครูไผ่

แล้วหากระดาษกราฟมาลงจุดของตู่อันดับ (x,y) จากตารางที่ลงไว้ในความเห็นเพิ่มเติมที่ 1


ถ้าหากระดาษกราฟไม่ได้ ก็ print ตารางในรูปนี้ออกมาใช้นะคะ

22 พ.ค. 2551 17:43


ความคิดเห็นที่ 3 NK (Guest)

ลองอ่านเองค่ะ



มันจะเข้าใจมากกว่า

ไม่ลองก้อไม่รู้

สุ้ๆ





ไปกินข้าวก่อนดีกว่า

เกี่ยวกันไหมเนี่ย
22 พ.ค. 2551 17:59


ความคิดเห็นที่ 4 pra_parat@windowslive.com (Guest)

<P>คิดว่าน่าจะเป็นวิชาม.4นะพื้นฐานความรู้มีให้จำดังนี้</P>

<P>1.y<SUP>2</SUP>=4cx&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 2.y<SUP>2</SUP>=-4cx&nbsp;&nbsp; สังเกตุที่2สมการนี้ต่างกันแค่เครื่องหมายลบ</P>

<P>กราฟนี้ดูว่าxยกกำลังหนึ่งแสดงว่ากราฟตะแคง ถ้าเป็นบวกก็หนไปทางด้านบวก(ตะแคงขวา)ถ้าเป็นลบก็หันไปทางด้านลบ(ตะแคงซ้าย)ตามทันนะ</P>

<P>สมการนี้สังเกตุว่าค่าyไม่มีกำลังหนึ่งมาเสริมแสดงว่าจุดยอดอยู่ที่(0,0)หรือจุดกำเนิดเสมอ</P>

<P>จุดโฟกัสคือ(c,0)หรือ(-c,0)ขึ้นอยู่กับสมการถ้าสมการติดลบจุดโฟกัสก็ติดลบได้ถ้าเป็นบวกก็บวกด้วย(การหาค่าc คือการนำ4หารสัมประสิทธิ์หน้าx)</P>

<P>สมการไดเรกตริกคือX=C หรือ X=-C จะเป็นบวกหรือลบให้เป็นเครื่องหมายตรงข้ามกัน</P>

<P>สมการแกนก็คือเส้นที่ผ่ากราฟออกเป็นสองส่วนที่เท่ากันดังนั้นคือX=0 เสมอ</P>

<P>เราลองมาทำข้อ1กัน</P>

<P>y<SUP>2</SUP>=x</P>

<P>จุดยอดคือ(0,0)</P>

<P>จุดโฟกัสคือ(1/4,0)</P>

<P>สมกาไดเรกตริกคือ X=-1/4</P>

<P>สมการแกนคือX=0</P>

<P>ข้อสอง</P>

<P>y<SUP>2</SUP>=-6y</P>

<P>จุดยอดคือ(0,0)</P>

<P>จุดโฟกัส(-3/2,0)เกิดจาก6หารด้วย4</P>

<P>สมการไดเรกติกX=3/2</P>

<P>สมการแกนx=0</P>

<P>หวังว่าคงจับแนวทางได้นะ</P>

<P>ถ้าสงสัยก็ถามทางเอ็มก็ได้</P>

<P>&nbsp;</P>
22 พ.ค. 2551 23:26


ความคิดเห็นที่ 5 โดย ครูไผ่



ท่านที่เข้ามาใหม่คลิกอ่าน ความเห็นเพิ่มเติมที่ 1 ในหน้า 1 ก่อนนะคะ จะได้ทราบที่มาที่ไปค่ะ

หนูจาได้นำคู่อันดับจากตารางมา plot graph แล้วได้กราฟหน้าตาอย่างนี้ใช่ไหมคะ

เนื่องจากเราลงจุดที่มีค่า x เป็นจำนวนเต็มเท่านั้น กราฟจึงออกมาเป็นจุดห่าง ๆ กันค่ะ

23 พ.ค. 2551 07:43


ความคิดเห็นที่ 6 ja_spmm (Guest)

<P>ครับ ได้กราฟมาแล้วครับ แล้วต้องทำไงต่ออ่ะครับเพราะว่าโจทย์บอกว่า</P>

<P>จงหาจุดยอด จุดโฟกัส สมการไดเรกตริกซ์ และสมการแกนของพาราโบลาจากสมการ</P>

<P>ขอบคุณคุณครูไผ่มากๆครับสำหหรหับคำแนะนำ</P>

<P>&nbsp;</P>
23 พ.ค. 2551 08:15


ความคิดเห็นที่ 7 โดย ครูไผ่

ถ้าเรากำหนดค่า x เป็นจำนวนใด ๆ ไม่ใช่เป็นเฉพาะจำนวนเต็มเท่านั้น เช่น ให้� x เท่ากับ 0, 0.01, 0.001, 0.0001, 0.00001, 0.000001, ... และอีกมากมายนับไม่ถ้วน เราก็จะได้จุดเพิ่มขึ้นมาอีกมากมายนับไม่หมด แต่เราทำไม่ไหวอะ�


ที่ลงไปตั้ง 11 จุดนี่ก็ถือว่าขยันเกินพอแล้ว�


อย่างไรก็ตาม จุดที่เราลงไปแล้วก็มากพอที่จะเป็นแนวให้เราต่อเติมในจินตนาการได้ว่า


ถ้าเรากำหนด x เป็นจำนวนจริงทั้งหมด เราจะได้จุดต่าง ๆ เรียงชิดกันจนเป็นเส้น


เราก็ลากเส้นเชื่อมจุดต่าง ๆ ออกมาเป็นเส้นโค้งสวย ๆ อย่างนี้เลยค่ะ



เส้นโค้งลักษณะอย่างนี้� ถ้าเราพับรูปตามแนวแกน Y� โค้งทางซ้ายกับโค้งทางขวาจะซ้อนกันสนิทเป็นเส้นเดียวกันเลย


เราเรียกเส้นโค้งที่มีลักษณะสมมาตรของสมการ x2 = 8y นี้ว่า พาราโบลา ที่มีจุดยอดอยู่ที่จุด (0, 0) และมีแกน Y เป็นแกนสมมาตร�


แกน Y ก็คือ สมการ x = 0 ค่ะ


ดังนั้น กล่าวอีกอย่างหนึ่งได้ว่า แกนของพาราโบลารูปนี้ คือ สมการ x = 0

23 พ.ค. 2551 08:21


ความคิดเห็นที่ 8 โดย ครูไผ่

ต่อไปเราจะหาจุดโฟกัส และเส้นไดเรกตริกซ์
สมมติว่าเราไม่รู้สูตรมาก่อน
เราจะทำการทดลอง เพื่อสร้างสูตรขึ้นจากความเข้าใจของเราเอง แล้วเราจะจำได้ไปจนถึงชาติหน้า (ถ้ามี)

ทดลองครั้งที่ 1� [อย่านึกว่าทดลองครั้งเดียวแล้วจะได้เลย มันไม่ง่ายอย่างน้าน� เทวดา (คนที่คิดสูตรเป็นคนแรก) ยังต้องทดลองตั้งหลายครั้ง]
จุดโฟกัสจะต้องอยู่ห่างจากจุดใด ๆ บนพาราโบลาเป็นระยะห่างเท่ากับระยะที่จุดบนพาราโบลาจุดนั้นอยู่ห่างจากเส้นไดเรกตริกซ์
ดังนั้น เรารู้ได้ด้วยวิจารณญาณของเราว่า จุดโฟกัสต้องอยู่บนแกนของพาราโบลา ในที่นี้คือแกน Y
แต่ไม่รู้ว่าจะอยู่ตรงไหนของแกน Y ดี
เราก็กะ ๆ เอาก่อน ก็มันเป็นการทดลองนี่นา ถ้าไม่ใช่เดี๋ยวเราก็เปลี่ยนใหม่ เมื่อไรใช่ เราก็จะสังเกตและจับหลักไว้ใช้เป็นทางลัดค่ะ
หะแรก� เราสมมติว่า จุดโฟกัส คือ จุด (0, 1)
ส่วนเส้นไดเรกตริกซ์นั้น มันจะต้องอยู่ห่างจากจุดยอดเท่ากับระยะห่างของจุดโฟกัสกับจุดยอด แต่อยู่ในทิศตรงข้ามกัน
ดังนั้น ถ้าจุดโฟกัส อยู่ที่ จุด (0, 1)� เส้นไดเรกตริกซ์ก็ต้องผ่านจุด (0, -1)
สำหรับพาราโบลารูปนี้ เส้นไดเรกตริกซ์จะขนานกับแกน X
ดังนั้น ถ้าจุดโฟกัส อยู่ที่ จุด (0, 1)� เส้นไดเรกตริกซ์ก็ต้องเป็นเส้นตรงที่มีสมการ y = -1


เนื่องจาก จุดใด ๆ บนกราฟพาราโบลาต้องอยู่ห่างจากจุดโฟกัสและอยู่ห่างจากเส้นไดเรกตริกซ์เป็นระยะเท่ากัน
(ระยะห่างจากจุดถึงเส้นเราคิดระยะตั้งฉาก)


เพื่อตรวจสอบว่า จุด (0, 1) ใช่จุดโฟกัสจริงหรือไม่
เราจึงเลือกจุดบนกราฟมาจุดหนึ่ง แล้วลากส่วนของเส้นตรงจากจุดนั้นไปยังจุด (0, 1)
และลากเส้นตั้งฉากจากจุดนั้นไปตั้งฉากกับเส้นตรง y = -1
แล้วเอาไม้บรรทัดวัดระยะห่างทั้งสอง (เส้นประในรูป) ว่าเท่ากันหรือไม่


ปรากฏว่าวัดความยาวของระยะห่างทั้งสอง (เส้นประในรูป) แล้ว ได้ผลออกมาไม่เท่ากัน
ผลจากการทดลองครั้งที่ 1 บอกให้เราทราบว่า จุดโฟกัสไม่ใช่ จุด (0, 1) และ เส้นไดเรกตริกซ์ไม่ใช่เส้นตรง y = -1


อย่าท้อ !� ทดลองต่อไป��� เราเป็นมนุษย์ที่มีวิจารณญาณในตัวเอง� สามารถกะประมาณ เลือกจุดที่มีโอกาสเป็นไปได้สูง� น่า ... เดี๋ยวก็ออก

23 พ.ค. 2551 10:00


ความคิดเห็นที่ 9 โดย ครูไผ่

"ผิดเป็นครู สังเกตแบบให้แยบยล"�


ผลจากการทดลองครั้งที่ 1 ย่อมเป็นประสบการณ์ให้การทดลองครั้งที่สองเข้าใกล้ความสำเร็จได้มากขึ้น


ทดลองครั้งที่ 2�


จากการพิจารณารูปในการทดลองครั้งที่ 1� ซึงเราวัดแล้วว่ามีระยะห่างระหว่างจุดบนกราฟถึงจุด (0, 1) มากกว่าระยะห่างจากจุดเดิมบนกราฟถึงเส้นตรง y = -1


ดังนั้น� ถ้าต้องการให้ระยะห่างทั้งสองนั้นเท่ากัน� เราจะต้องลดระยะห่างระหว่างจุดบนกราฟกับจุดบนแกน y ให้น้อยกว่าเดิม


เราสามารถกะประมาณด้วยสายตาได้ว่าถ้าจุดโฟกัสอยู่ต่ำกว่าจุด (0, 1) จะทำให้ระยะห่างระหว่างจุดบนกราฟถึงจุดโฟกัสมากกว่าเดิม� เราจึงเลือกจุดที่อยู่สูงกว่าจุด (0, 1) เพื่อจะได้ระยะห่างที่สั้นลง


ครั้งนี้ เราสมมติว่า จุดโฟกัสอยู่ที่จุด (0, 2)


ส่วนเส้นไดเรกตริกซ์นั้น มันจะต้องอยู่ห่างจากจุดยอดเท่ากับระยะห่างของจุดโฟกัสกับจุดยอด แต่อยู่ในทิศตรงข้ามกัน
ดังนั้น ถ้าจุดโฟกัส อยู่ที่ จุด (0, 2)� เส้นไดเรกตริกซ์ก็ต้องผ่านจุด (0, -2)
สำหรับพาราโบลารูปนี้ เส้นไดเรกตริกซ์จะขนานกับแกน X
ดังนั้น ถ้าจุดโฟกัส อยู่ที่ จุด (0, 2)� เส้นไดเรกตริกซ์ก็ต้องเป็นเส้นตรงที่มีสมการ y = -2


เนื่องจาก จุดใด ๆ บนกราฟพาราโบลาต้องอยู่ห่างจากจุดโฟกัสและอยู่ห่างจากเส้นไดเรกตริกซ์เป็นระยะเท่ากัน
(ระยะห่างจากจุดถึงเส้นเราคิดระยะตั้งฉาก)


เพื่อตรวจสอบว่า จุด (0, 2) ใช่จุดโฟกัสจริงหรือไม่
เราจึงเลือกจุดบนกราฟมาจุดหนึ่ง แล้วลากส่วนของเส้นตรงจากจุดนั้นไปยังจุด (0, 2)
และลากเส้นตั้งฉากจากจุดนั้นไปตั้งฉากกับเส้นตรง y = -2
แล้วเอาไม้บรรทัดวัดระยะห่างทั้งสอง (เส้นประในรูป) ว่าเท่ากันหรือไม่


ฮะ ฮ้า !


ปรากฏว่าคราวนี้วัดความยาวของระยะห่างทั้งสอง (เส้นประในรูป)�ได้ผลออกมาเท่ากันเปี๊ยบ !


อ๊ะ อ๊ะ อย่าเพิ่งสรุป� อาจจะบังเอิญเลือกจุดบนกราฟที่ให้ผลตรงกับความต้องการพอดีก็ได้�


ทดลองกับจุดอื่น�ๆ บนกราฟอีกหลาย ๆ จุดก่อน

23 พ.ค. 2551 11:32


ความคิดเห็นที่ 10 โดย ครูไผ่

โฮะ โฮะ !�


ลากเพิ่มจากจุดบนกราฟอีกหลายจุด


วัดแล้วพบว่า ระยะห่างจากจุดบนกราฟถึงจุด�(0, 2)�กับระยะห่างจากจุดเดียวกันถึงเส้นตรง y=-2� เท่ากันหมดทุกคู่


แสดงตัวอย่างมากถึงขนาดนี้� ครูไผ่ยอมเชื่อแล้วล่ะว่า จุด (0, 2) เป็นจุดโฟกัสของสมการ x2 = 8y� โดยมี เส้นตรง y = -2 เป็น เส้นไดเรกตริกซ์


ถ้าใครยังไม่เชื่อก็ลองใส่จุดบนกราฟเพิ่มอีกสักร้อยสักพันจุด แล้วทดลองวัดระยะห่างตามเงื่อนไขดังกล่าวดูว่าเท่ากันเสมอหรือไม่

23 พ.ค. 2551 12:11


ความคิดเห็นที่ 11 โดย ครูไผ่

คราวนี้ เราก็มาสังเกต และพิจารณาว่า� ค่าและส่วนต่าง ๆ ของสมการ x2 = 8y ที่เราหาได้และมีอยู่ในขณะนี้� น่าจะมีความสัมพันธ์เกี่ยวข้องกันอย่างไร


จุดโฟกัสอยู่ที่ (0, 2)�


2 น่าจะเกี่ยวข้องกับ 8 ซึ่งเป็นสัมประสิทธิ์ของ y ในสมการนี้ได้อย่างไรบ้าง� เช่น�8/2�= 4� ดังนั้น�8 = 4 * 2 เป็นต้น �บันทึกข้อสังเกตเก็บไว้เป็นข้อคาดการณ์


สมการนี้พจน์ที่มีกำลังสูงสุด คือ x2� ไม่มี x1� ไม่มี x0� (x0 คือพจน์ที่มีแต่ค่าคงตัว)� ได้กราฟเป็นพาราโบลารูปหงายมีจุดยอดเป็นจุดต่ำสุดอยู่ที่จุด (0,0)� มีเส้นไดเรกตริกส์เป็นเส้นตรงที่ขนานกับแกน x อยู่ห่างจากจุดยอด เป็นระยะทางเท่ากับที่จุดโฟกัสอยู่ห่างจากจุดยอด� แต่อยู่ในทิศทางตรงกันข้ามกับจุดโฟกัส


ตั้งสมการลักษณะทำนองเดียวกันนี้ขึ้นมาอีกหลาย ๆ สมการ เช่น


x2 = 4y


x2 = 2y


x2 = -8y


x2 = -4y


ดูว่าจะได้กราฟออกมาเป็นอย่างไร� มีจุดยอด� จุดโฟกัส�� อยู่ที่ไหน� สมการแกนของพาราโบลา และสมการไดเรกทริกซ์ เป็นอย่างไร

23 พ.ค. 2551 13:29


ความคิดเห็นที่ 13 โดย ja_spmm

ขอบคุณครูไผ่มากๆเลยนะครับ
23 พ.ค. 2551 16:04


ความคิดเห็นที่ 14 โดย ja_spmm

ช่วยผมได้เยอะมากเลย



 

23 พ.ค. 2551 16:20


ความคิดเห็นที่ 15 โดย ครูไผ่

จากการทดลองเขียนกราฟของสมการต่าง ๆ ดังภาพนี้


เราจะสังเกตเห็นความสัมพันธ์ที่เหมือนกันคือ� เอาค่า y ของจุดโฟกัสในแต่ละสมการไปหารสัมประสิทธิ์ของ y ในสมการของมันเองจะได้ผลลัพธ์เป็น� 4 เสมอ น่ามหัศจรรย์เนอะ


เช่น


สมการ x2 = 2y� จุดโฟกัสคือ (0, 0.5)�� เอา 0.5 ไปหาร 2 จะได้ 2/0.5 = 4�ดังนั้น��2y = 4 * 0.5y


สมการ x2 = 4y� จุดโฟกัสคือ (0, 1)�� เอา�1 ไปหาร�4 จะได้ 4/1 = 4��ดังนั้น 4y = 4 * 1y



สมการ x2 = -4y� จุดโฟกัสคือ (0, -1)�� เอา�-1 ไปหาร�-4 จะได้ -4/-1 = 4��ดังนั้น��-4y = 4 * (-1)y


สมการ x2 = -6y� จุดโฟกัสคือ (0, -1.5)�� เอา�-1.5 ไปหาร�-6 จะได้ -6/-1.5 = 4��ดังนั้น��-6y = 4 * (-1.5)y


ถ้าให้ c แทนค่า y ที่จุดโฟกัส จะเห็นได้ว่า สัมประสิทธิ์ของ y ในทุกสมการข้างบนนี้สามารถเขียนให้อยู่ในรูป 4 *�c� หรือ 4c
ดังนั้น สมการทุกสมการข้างบนนี้สามารถเขียนให้อยู่ในรูป x2 = 4cy โดยมีจุดยอดอยู่ที่จุด (0, 0) จุดโฟกัสอยู่ที่จุด (0,c) สมการแกนของพาราโบลา คือ x = 0 สมการไดเรกตริกซ์ คือ y = -c


ถ้าเราอยากทราบว่า จุดโฟกัสของสมการ x2 = 8y อยู่ตรงไหน� เราก็ใช้วิธีลัดที่เราค้นพบแล้ว ดังนี้
เปลี่ยนสมการ x2 = 8y ให้อยู่ในรูป x2 = 4cy��
จะได้�x2 = 4 * 2 y� ก็จะทราบได้ทันทีว่า จุดยอดอยู่ที่ (0,0) จุดโฟกัสอยู่ที่ (0, 2) สมการแกนของพาราโบลา คือ x=0 สมการไดเรกตริกส์ คือ y = -2


ถ้าเราอยากทราบส่วนต่าง ๆ ของสมการ x2 = -6y เราก็ใช้วิธีลัดที่เราค้นพบแล้ว ดังนี้
เปลี่ยนสมการ x2 = -6y ให้อยู่ในรูป x2 = 4cy
จะได้ x2 = 4 * (-1.5)y ก็จะทราบได้ทันทีว่า จุดยอดอยู่ที่ (0,0) จุดโฟกัสอยู่ที่ (0, -1.5) สมการแกนของพาราโบลา คือ x=0 สมการไดเรกตริกส์ คือ y = 1.5

อ่านต่อใน ความเห็นเพิ่มเติมที่ 23 ในหน้า 2 ค่ะ

23 พ.ค. 2551 20:17


ความคิดเห็นที่ 16 โดย chay_kb

วิธีหา C



จากสมการสมมุติ (4c)x=y^2



สมมุติข้อ1นะ y^2=x



4c=1



c=1/4



ไดเรคติก x=-1/4(x=-c)



พาราโบร่า y=0



โฟกัส(1/4,0)(c,0)

23 พ.ค. 2551 20:54


ความคิดเห็นที่ 17 โดย chay_kb

สมการมาตราฐานคือ  (y - k)2 = 4C (X- h)  
เมื่อ  C > 0
จุดยอด (h,k) โฟกัส (h+c,k)
สมการไดแรกตริกซ์ คือ x = h -c
แกนของพาราโบลา ขนาน แกน x  หรือ  y = k


สมการทั่วไปคือ  y2 +Dx + Ey + F = 0 โดย D 0

23 พ.ค. 2551 21:03
0

--> 

ความคิดเห็นที่ 18 โดย chay_kb

สมการมาตราฐานคือ  (y - k)2 = -4C (X- h)  
เมื่อ  C < 0
จุดยอด (h,k) โฟกัส (h+c,k)
สมการไดแรกตริกซ์ คือ x =h -c
แกนของพาราโบลา ขนาน แกน x  หรือ  y = k


สมการทั่วไปคือ  y2 +Dx + Ey + F = 0 โดย D 0

23 พ.ค. 2551 21:05
0

--> 

ความคิดเห็นที่ 19 โดย chay_kb

สมการมาตราฐานคือ  (x - h)2 = 4C (y- k)  
เมื่อ  C > 0
จุดยอด (h,k) โฟกัส (h,k+c)
สมการไดแรกตริกซ์ คือ y = k -c
แกนของพาราโบลา ขนาน แกน x  หรือ  y = k


สมการทั่วไปคือ  x2 +Dx + Ey + F = 0 โดย E 0

23 พ.ค. 2551 21:06
0

--> 

ความคิดเห็นที่ 20 โดย chay_kb

สมการมาตราฐานคือ  (x - h)2 = -4C (y- k)  
เมื่อ  C > 0
จุดยอด (h,k) โฟกัส (h,k+c)
สมการไดแรกตริกซ์ คือ y = k -c
แกนของพาราโบลา ขนาน แกน x  หรือ  y = k


สมการทั่วไปคือ  x2 +Dx + Ey + F = 0 โดย E 0

23 พ.ค. 2551 21:07
0

--> 

ความคิดเห็นที่ 21 โดย chay_kb

ข้อ5



4x^2-24x-y-15=0 ต้องจัดให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ถึงจะดูง่ายมันจะได้



4(x-5/2)^2=y+40



โฟกัส(5/2,-39)



ไดเรคติก x=3/2



พาลาโบลา y=-40

23 พ.ค. 2551 21:14

แสดงความคิดเห็น

กรุณา Login ก่อนแสดงความคิดเห็น