ภาพ 1 ภาพแทนคำพูดได้เป็นพันค่ะ

      



สรุปตบท้ายอีกทีให้อยู่ในรูปทั่วไป (เป็นนามธรรม ไม่เฉพาะเจาะจงที่ค่าใดค่าหนึ่ง)

ครูไผ่
ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 2368 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 216 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

หลังจากเข้าใจทะลุปรุโปร่งแล้วก็จะจำไม่ยาก

นานไป ถ้าบังเอิญลืม ก็สามารถคิดใหม่ออกมาได้

เคล็ดไม่ลับในการจำ

กำลังสองอยู่ที่ตัวแปร x  กราฟเป็นรูปหงายหรือคว่ำ

กำลังสองอยู่ที่ตัวแปร y  กราฟเป็นรูปตะแคงขวาหรือตะแคงซ้าย

ครูไผ่
ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 2368 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 216 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

จากสมการ X² = 8y  ซึ่งมีจุดยอดอยู่ที่จุด (0, 0)  จุดโฟกัสอยู่ที่จุด (0, 2)

แกนของพาราโบลา คือ เส้นตรง x = 0 หรือแกน Y

สมการไดเรกตริกซ์ คือ y = -2

เราลองคัดลอกพาราโบลารูปเดิมไปวางในตำแหน่งใหม่

โดยให้จุดยอดของพาราโบลาไปอยู่ที่ จุด (6, 5)

แล้วพิจารณาหาความสัมพันธ์ของส่วนต่าง ๆ  ในรูปใหม่กับรูปเดิม  ดังนี้

1.  จุดโฟกัสของรูปใหม่คือจุด (6, 7) เกี่ยวข้องกับจุดโฟกัสของรูปเดิมคือจุด (0, 2) อย่างไร

2.  แกนของพาราโบลารูปใหม่ คือ เส้นตรง x = 6 เกี่ยวข้องกับแกนของพาราโบลารูปเดิมคือ เส้นตรง x = 0 อย่างไร

3.  สมการไดเรกตริกส์ของรูปใหม่คือ y = 3 เกี่ยวข้องกับสมการไดเรกตริกซ์ของรูปเดิมคือ y = -2 อยางไร

4. จุดใด ๆ บนกราฟพาราโบลารูปใหม่ เกี่ยวข้องกับรูปเดิมอย่างไร เช่นจุด P' เกี่ยวข้องกับจุด P อย่างไร

ครูไผ่
ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 2368 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 216 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ไม่มีใครมาตอบ  คิก ๆ ถามเองตอบเองก็ได้ค่ะ

พาราโบลาที่จุดยอดใหม่ (6, 5)  เกี่ยวข้องกับพาราโบลาที่จุดยอดเดิม (0, 0)  ดังนี้ 

จุดโฟกัสใหม่ (6, 7) เกี่ยวข้องกับจุดโฟกัสเดิม (0, 2) ดังนี้ (6, 7) = (0+6, 2+5)

แกนใหม่  x = 6 เกี่ยวข้องกับแกนเดิม x = 0 ดังนี้  แกนใหม่ x = 6 คือ x = 0 + 6 

สมการไดเรกตริกซ์ใหม่ y = 3 เกี่ยวข้องกับสมการไดเรกตริกซ์เดิม y = -2 ดังนี้
สมการไดเรกตริกซ์ใหม่ y = 3 คือ y = -2 + 5

จุดใด ๆ บนกราฟพาราโบลารูปใหม่ กับรูปเดิม  

เช่นจุด P' (10, 7) เกี่ยวข้องกับจุด P (4, 2) ดังนี้  (10, 7) = (4+6, 2+5)

ครูไผ่
ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 2368 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 216 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

จากความเห็นเพิ่มเติมที่ 38, 39 เราได้ข้อคาดการณ์ว่า

ค่า x ของพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่(6, 5) = ค่า x ของพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่ (0, 0) + 6

ค่า y ของพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่ (6, 5) = ค่า y ของพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่ (0, 0) + 5

ทดลองคัดลอกพาราโบลารูปอื่น ๆ ที่มีจุดยอดอยู่ที่จุด (0, 0) ไปวางไว้ ณ ตำแหน่งอื่นให้จุดยอดอยู่ที่จุดอื่น ๆ
ดูว่าข้อคาดการณ์นี้เป็นจริงเสมอหรือไม่

ทดลองแล้วพบว่าเป็นจริงเสมอ

ดังนั้น จากรูปในความเห็นเพิ่มเติมที่ 38 ถ้าจะเขียนสมการของพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่ (6, 5) ให้อยู่ในรูป x² = 4cy
จึงต้องนำ 6 ไปหักออกจากค่าที่เกี่ยวข้องกับ x และนำ 5 ไปหักออกจากค่าที่เกี่ยวข้องกับ y
เนื่องจากสมการในรูป x² = 4cy มีจุดยอดอยู่ที่ (0, 0)

จากรูปในความเห็นเพิ่มเติมที่ 38

พาราโบลารูปที่มีจุดยอดอยู่ที่ (0, 0) จุดโฟกัสอยู่ที่ (0, 2) เขียนสมการของพาราโบลาในรูป  x² = 4cy ได้ดังนี้   x² = 4*2y

ดังนั้น พาราโบลารูปที่มีจุดยอดอยู่ที่ (6, 5) จุดโฟกัสอยู่ที่ (6, 7) เขียนสมการของพาราโบลาได้ดังนี้   (x-6)² = 4*(7-5)(y-5)

นำสมการของทั้งสองรูปในความเห็นเพิ่มเติมที่ 38 มาเปรียบเทียบกันได้ดังนี้

สมการของรูปที่มีจุดยอด (0, 0) จุดโฟกัส (0, 2) คือ  x² = 4*2y

สมการของรูปที่มีจุดยอด (6, 5) จุดโฟกัส (6, 7) คือ (x-6)² = 4*(7-5)(y-5)
                                                            หรือ (x-6)² = 4 * 2 (y-5)

เราจะมาตรวจสอบสมการ (x-6)² = 4*(7-5)(y-5) หรือ (x-6)² = 4*2 (y-5)
ด้วยความรู้เดิม ๆ ของเราดูว่ามันเป็นจริงหรือไม่

(x-6)² = 4 * (7-5)(y-5)

(x-6)² = 4 * 2(y-5)

x²-12x+36 = 4 *(2y -10)

x²-12x+36 = 8y - 40

8y = x²-12x + 36 + 40

y = 1/8 ( x²-12x + 76)

y = 1/8x²-3/2x + 19/2

กำหนดค่า x ขึ้นมาจำนวนหนึ่ง แล้วหาค่า y ของแต่ละค่า x ได้ดังนี้

ลงจุด (x, y) จากตาราง

โอ้โฮ เฮะ ! จุด (x, y) จากตารางทุกจุดอยู่บนกราฟที่มีจุดยอด (6,5) ทั้งหมดเลย

แสดงว่า (x-6)² = 4*(7-5)(y-5) หรือ (x-6)² = 4 * 2 (y-5)

เป็นสมการของพาราโบลาที่มีจุดยอด (6, 5) ในความเห็นเพิ่มเติมที่ 38 จริง

ทดลองย้ายแกน (เปลี่ยนตำแหน่งจุดยอด) ของพาราโบลาในรูป x² = 4cy อีกสักสามสี่ห้าหก ... สมการ ดูว่าจะได้ผลทำนองเดียวกันเสมอหรือไม่ 

ครูไผ่
ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 2368 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 216 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

print กริด ในความเห็นเพิ่มเติมที่ 2 ไปทดลองย้ายแกนและจุดยอดของพาราโบลาในรูป x² = 4cy 
อีกสามสี่ห้าหก ... สมการแล้วพบว่าได้ผลทำนองเดียวกับความเห็นเพิ่มเติมที่ 38, 39, 40

เช่น 

สมการ x² = 4(-1)y ซึ่งมีจุดยอด (0, 0) จุดโฟกัส (0, -1)  
ถ้าเลื่อนรูปไปให้จุดยอดเป็น (2, 6) จะได้จุดโฟกัส (2, 5)  สมการ คือ (x - 2)²= 4 (5 - 6)(y - 6) หรือ (x - 2)²= 4 (-1)(y - 6)

สมการ x² = 4 * 2.5y ซึ่งมีจุดยอด (0, 0) จุดโฟกัส (0, 2.5)  
ถ้าเลื่อนรูปให้จุดยอดอยู่ที่ (-2, 4) จะได้จุดโฟกัส (-2, 6.5)  สมการ คือ (x -(-2))²= 4 (6.5 - 4)(y - 4) หรือ (x - (-2))²= 4 * 2.5 (y - 4)

และจากสมการในความเห็นฯ ที่ 40

สมการ x² = 4*2y ซึ่งมีจุดยอดอยู่ที่ (0, 0) จุดโฟกัสอยู่ที่ (0, 2)  
ถ้าเลื่อนรูปให้จุดยอดอยู่ที่ (6, 5) จะได้จุดโฟกัส (6, 7) สมการ คือ  (x-6)² = 4*(7-5)(y-5) หรือ (x-6)² = 4 * 2(y-5)

พิจารณาความสัมพันธ์ระหว่างสมการใหม่กับสมการเดิม ในทุกคู่ เทียบกับสมการ x² = 4cy

จะเห็นว่า ค่า c ของสมการใหม่กับสมการเดิม เท่ากันทุกคู่

ดังนั้น ถ้าให้ (h, k) แทนจุดยอดใด ๆ จะได้สมการพาราโบลา คือ

(x-h)² = 4 * c (y-k)

ครูไผ่
ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 2368 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 216 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

คราวนี้เราจะมาพิจารณาค่าต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับสมการ  (x-h)² = 4 * c (y-k)

ถ้าไม่มีรูป มันพูดยาก และพาลจะพูดผิดเอาเสียด้วยซิ

พิจารณาตัวอย่างกราฟแต่ละคู่ต่อไปนี้

ครูไผ่
ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 2368 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 216 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

พิจารณาตัวอย่างอีกคู่หนึ่ง

ครูไผ่
ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 2368 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 216 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

พิจารณาตัวอย่างอีกคู่หนึ่ง

ครูไผ่
ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 2368 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 216 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

จากการพิจารณากราฟของตัวอย่างสมการทั้งสามคู่ข้างบนนี้

พอจะบอกได้ไหมคะว่า

สมการ (x - h)² = 4 c (y - k) ซึ่งมีจุดยอดอยู่ที่ (h, k)
มีแกนของพาราโบลา เป็นเส้นตรง x = h นั้น

เช่น (x - 6)² = 4 * 2 (y - 5) มีจุดยอดอยู่ที่ (6, 5)
มีแกนของพาราโบลา เป็นเส้นตรง x = 6

1. ค่า c เกี่ยวข้องกับจุดยอดและจุดโฟกัสอย่างไร

2. ค่า c เกี่ยวข้องกับสมการไดเรกตริกซ์อย่างไร

3. ถ้าลากส่วนของเส้นตรงผ่านจุดโฟกัสให้ตั้งฉากกับแกนของพาราโบลาโดยให้ปลายทั้งสองของส่วนของเส้นตรงอยู่บนพาราโบลา เราเรียกส่วนของเส้นตรงนั้นว่า "ลาตัสเรกตัม (latusrectum)"
พิจารณาดูจากกราฟว่า ค่า c เกี่ยวข้องกับ "ความยาวลาตัสเรกตัม" อย่างไร

ครูไผ่
ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 2368 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 216 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ตอบความเห็นฯ ที่ 52

1.  ถ้า c>0 จุดโฟกัสอยู่เหนือจุดยอด ห่างจากจุดยอดเป็นระยะเท่ากับ |c| 

ถ้า c<0  จุดโฟกัสอยู่ใต้จุดยอด  ห่างจากจุดยอดเป็นระยะเท่ากับ |c|

ถ้าจุดยอดอยู่ที่ (h, k)  จุดโฟกัสจะอยู่ที่ (h, k+c)

ถ้าจุดยอดอยู่ที่ (0, 0)  จุดโฟกัสจะอยู่ที่ (0, 0+c) = (0, c)

2.  เส้นไดเรกตริกซ์อยู่ห่างจากจุดยอดเป็นระยะเท่ากับ |c| ในทิศตรงข้ามกับจุดโฟกัส

ถ้าจุดยอดอยู่ที่ (h, k) สมการไดเรกตริกซ์ คือ y = k-c 

ถ้าจุดยอดอยู่ที่ (0, 0) สมการไดเรกตริกซ์ คือ y = 0-c หรือ y = -c

3.  ความยาวลาตัสเรกตัม เท่ากับ |4c| เสมอ ไม่ว่าจุดยอดจะอยู่ที่ (0, 0) หรืออยู่ที่ (h, k) ใด ๆ

ครูไผ่
ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 2368 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 216 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

คราวนี้เราก็มาลองทำโจทย์ข้อ 5 ของหนู ja_spmm คือสมการ  4x² - 24x -1y -15 = 0  นะคะ

เวลาเอาความรู้ไปใช้ในการแก้ปัญหา  เราจะต้องมีการปรับปัญหาให้เข้ากับความรู้ที่เรามีอยู่  หรือปรับความรู้ที่เรามีอยู่ให้เข้ากับปัญหา

อันดับแรกเลย เราก็จัดการปรับปัญหาให้เข้ากับความรู้ที่เรามีอยู่  ถ้าปรับไม่ได้ เราก็ต้องปรับความรู้ที่เรามีอยู่ให้เข้ากับปัญหา นั่นคือ ต้องสร้างความรู้ใหม่มาใช้ในการแก้ปัญหา

ความรู้ที่เรามีอยู่ในขณะนี้คือ เรารู้ว่า
(x-h)² = 4c(y-k) เป็นสมการของกราฟพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่ (h, k)  จุดโฟกัสอยู่ที่ (h, k+c)   สมการแกนของพาราโบลาคือ x = h   สมการไดเรกตริกซ์ คือ y = k-c

ดังนั้น เราจึงจัดการปรับ 4x² - 24x -1y -15 = 0  ให้อยู่ในรูป (x-h)² = 4c(y-k)  ดังนี้

4x² - 24x -1y -15 = 0

     4x² - 24x  -15 = y

นำ 4 มาหารตลอด จะได้

   x² - 6x - (15/4) = (1/4)y

เราจะทำ 3 พจน์ทางซ้ายให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในที่นี้พจน์ที่ 3 ต้องเป็นจำนวนอื่นไม่ใช่ -(15/4) เราจึงกำจัด -(15/4) ออกจากทางซ้ายด้วยการบวก (15/4) เข้าทั้งสองข้างเพื่อคงความเป็นสมการไว้ จะได้

              x² - 6x  = (1/4)y + 15/4

ในที่นี้ พจน์ที่ 3 ทางซ้ายต้องเป็น +9 จึงจะเป็นกำลังสองสมบูรณ์ เราจึงบวก 9 ทั้งสองข้างเพื่อคงความเป็นสมการไว้ จะได้

         x² - 6x + 9 = (1/4)y + 15/4 + 9

             (x - 3)²  = (1/4)(y + 15 + 36)

             (x - 3)²  = (1/4)(y + 51)

             (x - 3)²  = (1/4)(y - (-51))

             (x - 3)²  = 4 * (1/16)(y - (-51))

เย้ ! เราปรับ 4x² - 24x -1y -15 = 0 ให้อยู่ในรูป (x-h)² = 4c(y-k) สำเร็จแล้ว

บอกได้ไหมคะว่า

1.  จุดยอดอยู่ที่ไหน

2.  จุดโฟกัสอยู่ที่ไหน

3.  สมการของแกนคืออะไร

4.  สมการไดเรกตริกส์คืออะไร

5.  ความยาวของลาตัสเรกตัมเป็นเท่าใด

ครูไผ่
ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 2368 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 216 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ตอบคำถามในความเห็นเพิ่มเติมที่ 54

สมการ (x - 3)²  = 4 * (1/16)(y - (-51))  เป็นพาราโบลา ซึ่งมี

1.  จุดยอด อยู่ที่ (3, -51)

2.  จุดโฟกัส อยู่ที่ (3, -51+1/16) คือจุด (3, -50.94)

3.  แกนของพาราโบลา คือ เส้นตรง x = 3

4.  สมการไดเรกตริกซ์ คือ  y = -51 - 1/16 

                             หรือ y = -51.06

5.  ความยาวของลาตัสเรกตัม เท่ากับ |4 * (1/16)| = 1/4 = 0.25

นำค่าต่าง ๆ มาเขียนกราฟได้ดังนี้

ครูไผ่
ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 2368 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 216 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ฮ่า ๆ

ถามเอง ตอบเอง สอนตัวเองค่ะ

หวังว่าคนอื่นคงพลอยได้ประโยชน์ไปด้วยนะคะ

โปรดสังเกตว่า ครูไผ่จะไม่ใช้ 555 แทนเสียงหัวเราะ อย่างที่เด็ก ๆ ชอบใช้กัน เพราะนอกจากจะใช้สัญลักษณ์ไม่ตรงความหมายแล้ว ถ้าคนภาษาอื่นมาอ่าน เขาก็ไม่ได้อ่านเป็นเสียงหัวเราะด้วย

เช่น คนพูดภาษาอังกฤษมาอ่าน 555 เขาก็จะออกเสียงว่า ไฟว์ ๆ ๆ มันช่างเป็นเสียงหัวเราะที่ตลกจังเลยนะ ไฟว์ ๆ ๆ

หรือคนพูดภาษาจีนมาอ่าน 555 เขาก็อาจจะออกเสียงว่า โง่ ๆ ๆ ยิ่งตลกแย่ไปใหญ่เลยค่ะ

ครูไผ่
ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 2368 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 216 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ดูตัวอย่างหนึ่งของการนำพาราโบลาไปช่วยแก้ปัญหาในกระทู้นี้ค่ะ http://www.vcharkarn.com/vcafe/38820/7

ครูไผ่
ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 2368 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 216 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

เมื่อเข้าใจทะลุปรุโปร่งแล้วอย่าลืมสรุปให้สั้นและกระชับเพื่อสะดวกในการนำติดหัวไปใช้ได้อย่างรวดเร็วนะคะ

ในกรณีของพาราโบลาที่มีแกนขนานกับแกน x ก็ทำนองเดียวกัน  โดยเปลี่ยนจาก x เป็น y เปลี่ยนจาก y เป็น x  ในทุก ๆ ประเด็น  ถ้าไม่แน่ใจก็ลองเปลี่ยนแล้วสร้างรูปดูว่าได้รูปที่สอดคล้องกับสมการหรือไม่  ก็จะทราบได้ว่าเราลืมเปลี่ยนที่จุดใดบ้าง

จากประสบการณ์ของครูไผ่เอง ครูไผ่จะจำเพียงแบบเดียวเท่านั้น เพื่อไม่ให้เกิดความสับสน  เมื่อเราจำแบบเดียวได้แม่น  เราก็สามารถแยกแยะและทำอีกแบบหนึ่งให้ต่างจากแบบที่เราจำค่ะ

ครูไผ่
ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 2368 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 216 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ลองไล่อ่านมาตั้งแต่ความเห็นต้น ๆ สิคะ  
หรือถามคำถามให้ยาวกว่านี้
เช่น มีโจทย์ หรือมีรายละเอียดที่ชัดเจนขึ้นอีกนิดหนึ่ง

ถ้าใช้คำถามสั้นจุ๊ดจู๋อย่างนี้ ก็ต้องอ่านเองตั้งแต่ต้นล่ะค่ะ

ครูไผ่
ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 2368 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 216 ดวง - โหวตเพิ่มดาว