วิชาการดอทคอม ptt logo

การหา det มากกว่า 3x3 สามารถเอาแถวมาต่อข้างหลังได้รึเปล่า

โพสต์เมื่อ: 20:51 วันที่ 18 ก.ย. 2552         ชมแล้ว: 21,633 ตอบแล้ว: 10
วิชาการ >> กระทู้ >> ทั่วไป
<P>การหา det มากกว่า 3x3 สามารถเอาแถวมาต่อข้างหลังได้รึเปล่า<BR>ถ้า nxn ก็เอามาต่อข้างหลัง n-1 แถว ได้รึเปล่าครับ<BR>คูณลง ลบ คูณขึ้น อ่ะครับ<BR><BR>ถ้าทำไม่ได้แล้วเพราะอะไร<BR><BR>ขอบคุณครับ</P>


OBBB(202.44.8.100)





จำนวน 7 ความเห็น, หน้าที่ | -1-
ความเห็นเพิ่มเติมที่ 1 18 ก.ย. 2552 (21:37)

       เท่าที่ผมเคยเรียนมา  การหา  ดีเทอร์มิแนนท์  มิติไม่เกิน  3 × 3  จะสามารถเอา  "หลัก"  มาต่อข้างหลังได้  แต่ถ้ามากกว่า  3 × 3  ขึ้นไป  จะมีวิธีการอีกแบบหนึ่ง  และวิธีการนี้จะใช้ได้กับมิติ  3 × 3  และมิติ  2 × 2  ได้เหมือนกันอีกด้วย  

ถ้ามี เมตริกซ์ มิติ  2 «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»$#215;«/mo»«/math» 2  คือ  A  =  «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced close=¨]¨ open=¨[¨»«mtable»«mtr»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»11«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»12«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»21«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»22«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/math» 

ดังนั้น  ดีเทอร์มิแนนท์ ของ  A  =  «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced close=¨|¨ open=¨|¨»«mi»A«/mi»«/mfenced»«/math»  =  «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced close=¨|¨ open=¨|¨»«mtable»«mtr»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»11«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»12«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»21«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»22«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/math»  =  «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»a«/mi»«mn»11«/mn»«/msub»«msub»«mi»a«/mi»«mn»22«/mn»«/msub»«mo»-«/mo»«msub»«mi»a«/mi»«mn»12«/mn»«/msub»«msub»«mi»a«/mi»«mn»21«/mn»«/msub»«mo»$nbsp;«/mo»«mo»$nbsp;«/mo»«mo»$nbsp;«/mo»«mo»$nbsp;«/mo»«/math»

ถ้าให้เมตริกซ์     A  =  «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced close=¨]¨ open=¨[¨»«mtable»«mtr»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»11«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»12«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»13«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»21«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»22«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»23«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»31«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»32«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»33«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/math»
ใช้กฏต่อไปนี้ สำหรับเมตริกซ์  A  ซึ่งเป็นเมตริกซ์มิติ  3 «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»$#215;«/mo»«/math» 3  คือ
                       «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mo»+«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»+«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»+«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»+«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»+«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

ดังนั้น ดีเทอร์มิแนนท์  A  จะเท่ากับ

            «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced close=¨|¨ open=¨|¨»«mi»A«/mi»«/mfenced»«/math» =  «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»a«/mi»«mn»11«/mn»«/msub»«mfenced close=¨|¨ open=¨|¨»«mtable»«mtr»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»22«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»23«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»32«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»33«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mo»-«/mo»«msub»«mi»a«/mi»«mn»12«/mn»«/msub»«mfenced close=¨|¨ open=¨|¨»«mtable»«mtr»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»21«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»23«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»31«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»33«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mo»+«/mo»«msub»«mi»a«/mi»«mn»13«/mn»«/msub»«mfenced close=¨|¨ open=¨|¨»«mtable»«mtr»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»21«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»22«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»31«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»32«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/math»   

หรือ   
            «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced close=¨|¨ open=¨|¨»«mi»A«/mi»«/mfenced»«/math» =  «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced close=¨|¨ open=¨|¨»«mtable»«mtr»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»11«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»12«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»13«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»21«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»22«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»23«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»31«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»32«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»33«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«menclose notation=¨right¨»«mtable»«mtr»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»11«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»12«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»21«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»22«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»31«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»32«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/menclose»«/math»  

                 =  «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»a«/mi»«mn»11«/mn»«/msub»«msub»«mi»a«/mi»«mn»22«/mn»«/msub»«msub»«mi»a«/mi»«mn»33«/mn»«/msub»«mo»+«/mo»«mo»$nbsp;«/mo»«msub»«mi»a«/mi»«mn»12«/mn»«/msub»«msub»«mi»a«/mi»«mn»23«/mn»«/msub»«msub»«mi»a«/mi»«mn»31«/mn»«/msub»«mo»+«/mo»«mo»$nbsp;«/mo»«msub»«mi»a«/mi»«mn»13«/mn»«/msub»«msub»«mi»a«/mi»«mn»21«/mn»«/msub»«msub»«mi»a«/mi»«mn»32«/mn»«/msub»«mo»-«/mo»«mo»$nbsp;«/mo»«msub»«mi»a«/mi»«mn»31«/mn»«/msub»«msub»«mi»a«/mi»«mn»22«/mn»«/msub»«msub»«mi»a«/mi»«mn»13«/mn»«/msub»«mo»-«/mo»«mo»$nbsp;«/mo»«msub»«mi»a«/mi»«mn»32«/mn»«/msub»«msub»«mi»a«/mi»«mn»23«/mn»«/msub»«msub»«mi»a«/mi»«mn»11«/mn»«/msub»«mo»-«/mo»«mo»$nbsp;«/mo»«msub»«mi»a«/mi»«mn»33«/mn»«/msub»«msub»«mi»a«/mi»«mn»21«/mn»«/msub»«msub»«mi»a«/mi»«mn»12«/mn»«/msub»«/math»

  








      


นกแสก
ร่วมแบ่งปัน5537 ครั้ง - ดาว 251 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 2 19 ก.ย. 2552 (00:48)

แล้วทำไม หลักการนี้ใช้ไม่ได้กับ ที่มันมากกว่า 3x3 ล่ะครับ


OBBB (IP:202.44.8.100)

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 3 23 ก.ย. 2552 (07:34)

และถ้าเมตริกซ์ มิติ  4 «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»$#215;«/mo»«/math» 4 

             A  =  «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced close=¨]¨ open=¨[¨»«mtable»«mtr»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»11«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»12«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»13«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»14«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»21«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»22«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»23«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»24«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»31«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»32«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»33«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»34«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»41«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»42«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»43«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»44«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/math»     

และใช้กฏต่อไปนี้  สำหรับดีเทอร์มิแนนท์ มิติ  4 «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»$#215;«/mo»«/math» 4 
                       «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mo»+«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»+«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»+«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»+«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»+«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»+«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»+«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»+«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
      
ดังนั้น ดีเทอร์มิแนนท์ ของ  A  =  «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced close=¨|¨ open=¨|¨»«mi»A«/mi»«/mfenced»«/math» =  «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced close=¨|¨ open=¨|¨»«mtable»«mtr»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»11«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»12«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»13«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»14«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»21«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»22«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»23«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»24«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»31«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»32«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»33«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»34«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»41«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»42«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»43«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»44«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/math»

                                              =  «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»a«/mi»«mn»11«/mn»«/msub»«mfenced close=¨|¨ open=¨|¨»«mtable»«mtr»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»22«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»23«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»24«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»32«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»33«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»34«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»42«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»43«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»44«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mo»$nbsp;«/mo»«mo»-«/mo»«mo»$nbsp;«/mo»«msub»«mi»a«/mi»«mn»12«/mn»«/msub»«mfenced close=¨|¨ open=¨|¨»«mtable»«mtr»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»21«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»23«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»24«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»31«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»33«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»34«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»41«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»43«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»44«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mo»$nbsp;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»$nbsp;«/mo»«msub»«mi»a«/mi»«mn»13«/mn»«/msub»«mfenced close=¨|¨ open=¨|¨»«mtable»«mtr»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»21«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»22«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»24«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»31«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»32«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»34«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»41«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»42«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»44«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«mo»$nbsp;«/mo»«mo»-«/mo»«mo»$nbsp;«/mo»«msub»«mi»a«/mi»«mn»14«/mn»«/msub»«mfenced close=¨|¨ open=¨|¨»«mtable»«mtr»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»21«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»22«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»23«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»31«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»32«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»33«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»41«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»42«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»a«/mi»«mn»43«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/math»


นกแสก
ร่วมแบ่งปัน5537 ครั้ง - ดาว 251 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 7 14 ธ.ค. 2553 (21:59)
มีวิธีหา det 3x3
ที่บรมมะ โค-ตะ-ระ ไวที่สุดไหมอะคับ

ที่ไม่ใช่ต่ออีก2แถวอะ

ขอบคุนคับ
^ ^" (IP:110.169.5.239)

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 8 14 ธ.ค. 2553 (22:08)

เดา ครับ  ;}

ต่อสองแถวนี้สะดวกสุด ไวสุด ผิดพลาดยากสุดแล้วครับ ! 
(ตามความคิดผมนะ = =)


sensor4123
ร่วมแบ่งปัน10 ครั้ง - ดาว 50 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 9 17 ธ.ค. 2553 (17:06)
ช่วยหาเมตริกซ์5คูณ5 ให้หน่อยนะคะ.......................
.......................
.....................
........................
.........................

.......................
..................
......................
................

ขอบคุณล่วงหน้าคะ
นานา beeing0012@hotmail.com (IP:182.52.189.26)

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 10 20 ธ.ค. 2553 (10:00)

ช่วยหาเมตริกซ์5คูณ5 ให้หน่อยนะคะ.......................
.......................
.....................
........................
.........................

.......................
..................
......................
................

ขอบคุณล่วงหน้าคะ 




หมายถึงหา  det  5 × 5  ไม่ใช่หรือครับ  ก็หาเหมือน  det  4 × 4  นั่นแหละครับ  เพียงแต่ว่าหาสองครั้ง  ยิ่งมีมิติมากเท่าไหร่ก็หา  det  หลายครั้ง  




นกแสก
ร่วมแบ่งปัน5537 ครั้ง - ดาว 251 ดวง

จำไว้ตลอด

ความเห็นเพิ่มเติม วิชาการ.คอม
ชื่อ / email:
ข้อความ

กรุณาล๊อกอินก่อน เพื่อโพสต์รูปภาพ และ ใช้ LaTex ค่ะ สมัครสมาชิกฟรีตลอดชีพที่นี่
กรอกตัวอักษรตามภาพ
ตัวช่วย 1: CafeCode วิธีการใช้
ตัวช่วย 2: VSmilies วิธีการใช้
ตัวช่วย 3: พจนานุกรมไทย ออนไลน์ ฉบับราชบัณฑิต
ตัวช่วย 4 : dictionary ไทย<=>อังกฤษ ออนไลน์ จาก NECTEC
ตัวช่วย 5 : ดาวน์โหลด โปรแกรมช่วยพิมพ์ Latex เพื่อแสดงสมการบนวิชาการ.คอม