วิชาการดอทคอม ptt logo

ประโยคสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์

โพสต์เมื่อ: 16:18 วันที่ 27 ส.ค. 2554         ชมแล้ว: 40,666 ตอบแล้ว: 27
วิชาการ >> กระทู้ >> ทั่วไป

ไม่เคยเรียนเรื่องเซตครับ เรียนถามอาจารย์ทางคณิตศสาตร์ดังนี้ ตามสัญลักษณ์ด้านล่าง

ประโยตนี้หมายถึง

ฟังก์ชั่นของ r เท่ากับคู่อันดับที่เป็นสมาชิกของ R คูณ R โดยที่ y = x2+1 .....ถูกหรือไม่ครับ



Ankkarn
ร่วมแบ่งปัน664 ครั้ง - ดาว 55 ดวง





จำนวน 27 ความเห็น, หน้าที่ | -1-
ความเห็นเพิ่มเติมที่ 1 30 ส.ค. 2554 (08:09)

จนป่านนี้แล้ว..

ยังไม่มีความเห็นจากท่านผู้รู้เลย
อย่างไรก็จะรอท่านมาเปลื้องความสงสัยครับ


Ankkarn
ร่วมแบ่งปัน664 ครั้ง - ดาว 55 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 2 19 พ.ย. 2554 (13:16)

สัญลักษณ์ดังกล่าวมีความหมายดังนี้ค่ะ

r เป็นเซตของคู่อันดับ (x,y) ซึ่งเป็นสมาชิกของ R x R โดยที่ y = x2+1

หรือ  
r เป็นเซตของคู่อันดับ (x,y) ซึ่งอยู่ใน R x R โดยที่ y = x2+1

หรือ
r เป็นเซตของคู่อันดับ (x,y) ซึ่งอยู่ใน R x R โดยที่ f(x) = x2+1

f(x) อ่านว่า ฟังก์ชัน f ที่ x  หมายถึง ค่าของฟังก์ชันที่มีตัวแปรต้นเป็น x
ค่าของฟังก์ชันที่มีตัวแปรต้นเป็น x ก็คือ ค่า y นั่นเอง

การเขียนเซตของความสัมพันธ์ r ในลักษณะนี้เรียกว่าเขียนแบบบอกเงื่อนไข


โดยไม่ต้องแจกแจงสมาชิกออกมาให้เห็นชัด ๆ



การเขียนเซตสามารถเขียนแบบแจกแจงสมาชิกก็ได้
เช่น เขียนแบบบอกเงื่อนไขว่า
A เป็นเซตของคู่อันดับ (x,y) ซึ่งอยู่ใน I x I โดยที่ y = x2+1

เขียนแบบแจกแจงสมาชิกได้ดังนี้
A = {...,(-2,5), (-1,2), (0,1), (1,2), (2,5),...} 


ครูไผ่
ร่วมแบ่งปัน4082 ครั้ง - ดาว 285 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 3 22 พ.ย. 2554 (22:51)

ขอบพระคุณครับที่กรุณาอธิบายให้ได้รับทราบความหมายของประโยค
อย่างไรก็ตาม ยังมึสัญลักษณ์ R x R หมายความว่าอย่างไรหรือครับ
เคยถามวิศวกร เขาบอกว่า เป็นจำนวนจริง แต่ทำไมต้องคูณกันด้วยครับ


Ankkarn
ร่วมแบ่งปัน664 ครั้ง - ดาว 55 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 4 23 พ.ย. 2554 (04:51)

R x R คือผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต R และเซต R
R x R หมายถึง
เซตของคู่อันดับ (x,y) ทั้งหมด ที่ x เป็นสมาชิกของเซต R และ y เป็นสมาชิกของเซต R
เซต R คือ เซตของจำนวนจริง
นั่นหมายความว่า x เป็นจำนวนจริงทุกจำนวน และ y ก็เป็นจำนวนจริงทุกจำนวน


ครูไผ่
ร่วมแบ่งปัน4082 ครั้ง - ดาว 285 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 5 23 พ.ย. 2554 (05:16)

ประโยค



จึงสามารถให้ความหมายที่ละเอียดยิ่งขึ้น ดังนี้


เซต r เป็นความสัมพันธ์จากเซตของจำนวนจริง R ไปยังเซตของจำนวนจริง R 


โดยเซต r ประกอบด้วยสมาชิกคือคู่อันดับ (x,y) ซึ่ง x เป็นสมาชิกของจำนวนจริง และ y ก็เป็นสมาชิกของจำนวนจริง  โดยที่ y = x2+1 


กล่าวได้อีกนัยหนึ่งว่า r เป็นสับเซตของ R x R


เพราะ R x R ประกอบด้วยคู่อันดับ (x,y) ทั้งหมด ซึ่ง x เป็นจำนวนทุกจำนวนที่อยู่ในเซตของจำนวนจริง และ y ก็เป็นจำนวนทุกจำนวนที่อยู่ในเซตของจำนวนจริง


ส่วน r ประกอบด้วยคู่อันดับ (x,y) ซึ่ง x เป็นจำนวนทุกจำนวนที่อยู่ในเซตของจำนวนจริง  แต่ y เป็นจำนวนบางจำนวนที่อยู่้ในเซตของจำนวนจริง  เฉพาะที่ y = x2+1 เท่านั้น 




ครูไผ่
ร่วมแบ่งปัน4082 ครั้ง - ดาว 285 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 6 23 พ.ย. 2554 (05:28)

ถามดี ก็จะมีความเข้าใจมากขึ้นค่ะ


ครูไผ่
ร่วมแบ่งปัน4082 ครั้ง - ดาว 285 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 7 23 พ.ย. 2554 (10:24)

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 1
จนป่านนี้แล้ว..
ยังไม่มีความเห็นจากท่านผู้รู้เลย
อย่างไรก็จะรอท่านมาเปลื้องความสงสัยครับ
----------------------------------------
ตอบเพิ่มเติมให้ตั้ง 4 ครั้ง
ยังไม่เห็นเข้ามาอ่านหรือแสดงว่าเข้ามาอ่านเลย


NpEd
ร่วมแบ่งปัน749 ครั้ง - ดาว 50 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 8 24 พ.ย. 2554 (15:41)

ขอบพระคุณอย่างสูงครับ คุณครูไผ่

ผมกำลังพยายามทำความเข้าใจอยู่ครับ

สมมติเปลี่ยน R x R เป็น A x B ดูบ้าง จะได้ว่า
ผลคูณคาร์ทีเซียของเซต A และเซต B คือเซตของคู่อันดับ (x,y) ทั้งหมด ที่ x เป็นสมาชิกของเซต A
และ y เป็นสมาชิกของเซต B โดยที่ y = x2 + 1

ซึ่งน่าจะเขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ได้ดังนื้



ขณะนี้ผมเข้าใจว่าเป็นดังนี้ มั่นใจว่าถูก แต่ก็เผื่อว่าจะผิดอยู่เหมือนกันครับ
ถ้าอย่างไร รบกวนครูครูไผ่ตอบด้วยครับ


Ankkarn
ร่วมแบ่งปัน664 ครั้ง - ดาว 55 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 9 24 พ.ย. 2554 (15:45)

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 7

ตอบเพิ่มเติมให้ตั้ง 4 ครั้ง
ยังไม่เห็นเข้ามาอ่านหรือแสดงว่าเข้ามาอ่านเลย
---------------------------------
แสดงแล้วครับ คุณครู NpEd  {#emotions_dlg.q6}


Ankkarn
ร่วมแบ่งปัน664 ครั้ง - ดาว 55 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 10 24 พ.ย. 2554 (16:48)

ความเห็นที่ 8 เกือบถูกค่ะ (ฟังดูไพเราะกว่า "ผิด" ใช่มั้ยคะ)


สมมติว่าเซต A={1,2,3}  เซต B={2,4,6,8,10}


ผลคูณคาร์ทีเซียน A x B คือคู่อันดับ (x,y) ทั้งหมด โดยที่ x เป็นสมาชิกของเซต A และ y เป็นสมาชิกของเซต B


เขียนแบบแจกแจงสมาชิกได้ดังนี้


A x B = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (1, 8), (1, 10), (22), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (2, 10), (32), (3, 4), (3, 6), (3, 8), (3, 10)}


ถ้ากำหนดให้ r เป็นความสัมพันธ์จากเซต A ไปยังเซต B 


โดยเซต r มีสมาชิกเป็นคู่อันดับ (x,y) ซึ่ง x เป็นสมาชิกของเซต A และ y เป็นสมาชิกของเซต B โดยมีเงื่อนไขว่า y=2x


เขียนความสัมพันธ์ r แบบแจกแจงสมาชิกได้ดังนี้ 


r = {(1, 2), (2, 4), (3, 6)}


เขียนความสัมพันธ์ r แบบบอกเงื่อนไข ได้ดังนี้


«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»r«/mi»«mo»$nbsp;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»$nbsp;«/mo»«mo»{«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»|«/mo»«mi»x$#949;A«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y$#949;B«/mi»«mo»|«/mo»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»}«/mo»«/math» 


จะเห็นได้ว่า r เป็นสับเซตของ A x B หมายความว่า r เป็นเซตย่อยของ A x B


เพราะคู่อันดับ (x,y) ทุกคู่ที่อยู่ใน r มีอยู่ใน A x B  แต่คู่อันดับ (x,y) ที่อยู่ใน A x B บางคู่ไม่ได้อยู่ใน r




บอกแล้วว่า "ถามดีก็จะมีความเข้าใจมากขึ้น"




ครูไผ่
ร่วมแบ่งปัน4082 ครั้ง - ดาว 285 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 11 26 พ.ย. 2554 (12:56)

ผมเข้าใจแล้วครับ

แรกทีเดียวเข้าใจว่า r = A x B

แต่ผลคูณคาร์ทีเซียน A x B คือคู่อันดับ (x,y) ทั้งหมด ที่ x เป็นสมาชิกของ A และ y เป็นสมาชิกของ B

สำหรับเซต r คือ ความสัมพันธ์ที่ประกอบด้วยสมาชิกจากเซต A ไปยังเซต B แบบมีเงื่อนไข
ดังนั้น สมาชิกบางตัวในเซต B ที่ไม่เข้าเงื่อนไข ก็จะไม่อยู่ในเซต r เช่นกัน ซึ่งทำให้  r ≠ A x B

ฉะนั้นประโยคในความเห็นที่ 8 จึงผิดเต็มเปา  {#emotions_dlg.q1}  แต่คุณครูกรุณาบอกว่า เกือบถูก

แต่จากการสังเกตตัวอย่างของคุณครูไผ่

เซต A = {1,2,3} เซต B = {2,4,6,8,10}
และกำหนดความสัมพันธ์ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»r«/mi»«mo»$nbsp;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»$nbsp;«/mo»«mo»{«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»|«/mo»«mi»x$#949;A«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y$#949;B«/mi»«mo»|«/mo»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»}«/mo»«/math» แล้วเขียนแบบแจงแจงจะได้
r = {(1,2), (2,4), (3,6)}

ซึ่งเห็นว่า สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต r ด้วย แต่สมาชิกของเซต B บางตัว
ไม่เป็นสมาชิกของเซต r เพราะไม่เข้าเงื่อนไข y = 2x

จึงมีคำถามเพิ่มครับว่า เป็นไปได้หรือไม่ครับ ที่สมาชิกบางตัวของเซต A จะไม่เป็นสมาชิกของเซต r

เช่น A = {1,2,3} B = {1,2,3}
และ AxB ={(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}

กำหนดให้ r เป็นความสัมพันธ์จากเซต A ไปยังเซต B โดยที่ y = x+1

r = {(1,2), (2,3)}

จะเห็นว่า สมาชิกของเซต A และเซต B บางตัวไม่ได้เป็นสมาชิกของเซต r

ไม่ทราบว่าผิดเงื่อนไขในเรื่องเซตหรือไม่ครับ


Ankkarn
ร่วมแบ่งปัน664 ครั้ง - ดาว 55 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 12 27 พ.ย. 2554 (12:23)

เก่งค่ะ พัฒนาความเข้าใจมากขึ้น

ถ้า A = {1,2,3} B = {1,2,3}
ถือว่าเป็นเซตเดียวกัน ใช้ชื่อเดียวก็พอ เช่น เซต A
ดังนั้น AxA ={(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}

กำหนดให้ r เป็นความสัมพันธ์จากเซต A ไปยังเซต A โดยที่ y = x+1

ดังนั้น r = {(1,2), (2,3)}

ในกรณีนี้สมาชิกทุกตัวในเซต r เป็นสมาชิกของเซต AxA  

แต่สมาชิกของเซต AxA บางตัวไม่ได้เป็นสมาชิกของเซต r 


ครูไผ่
ร่วมแบ่งปัน4082 ครั้ง - ดาว 285 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 13 30 พ.ย. 2554 (13:59)

ขอบพระคุณมากครับ


Ankkarn
ร่วมแบ่งปัน664 ครั้ง - ดาว 55 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 14 1 ธ.ค. 2554 (05:56)

เรียนถามคุณครูไผ่เพิ่มเติมครับ
ในเซตที่ไม่ใช่ตัวเลข จะบอกความสัมพันธ์ของเซต r ได้อย่างไรครับ

เช่น
A={a,b,c} B={d,e,f,g}


Ankkarn
ร่วมแบ่งปัน664 ครั้ง - ดาว 55 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 15 1 ธ.ค. 2554 (08:22)
ถามดีค่ะ
เช่น 
A={a,b,c} B={d,e,f,g}
ถ้ากำหนดเงื่อนไขความสัมพันธ์ดังนี้
r เป็นเซตของคู่อันดับ (x,y) ซึ่งอยู่ใน A×B โดยที่ y เป็นสระ
ลองเขียนเซตในแบบต่อไปนี้ดูนะคะ 
1. เขียนเซต A×B แบบบอกเงื่อนไข  A×B = {..................................}
2. เขียนเซต A×B แบบแจกแจงสมาชิก  A×B = {..................................}
3. เขียนเซต r แบบบอกเงื่อนไข  r = {..................................}
4. เขียนเซต r แบบแจกแจงสมาชิก r = {..................................}

ครูไผ่
ร่วมแบ่งปัน4082 ครั้ง - ดาว 285 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 16 1 ธ.ค. 2554 (15:56)

ทดลองเขียนเซตตามที่คุณครูแนะนำครับ

A={a,b,c} B={d,e,f,g}

1. เขียนเซต AxB แบบบอกเงื่อนไข 

2. เขียนเซต AxB แบบแจกแจงสมาชิก

AxB ={(a,d), (a,e), (a,f), (a,g),(b,d), (b,e), (b,f), (b,g), (c,d), (c,e), (c,f), (c,g)}

3. เขียนเซต r แบบบอกเงื่อนไข 

4. เขียนเซต r แบบแจกแจงสมาชิก  r ={(a,e), (b,e), (c,e)}


Ankkarn
ร่วมแบ่งปัน664 ครั้ง - ดาว 55 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 17 1 ธ.ค. 2554 (21:53)

เก่งค่ะ


ข้อ 3 ให้ใช้ว่า y เป็นสระ  


เครื่องหมาย = ใช้แสดงความเท่ากันของจำนวนหรือตัวแปรที่ใช้แทนจำนวน ในกรณีนี้ e ไม่ได้แทนจำนวน แต่เป็นสระในภาษาอังกฤษ 


ครูไผ่
ร่วมแบ่งปัน4082 ครั้ง - ดาว 285 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 18 5 ธ.ค. 2554 (20:31)

ขอบพระคุณอย่างสูงครับ คุณครูไผ่
หากมีข้อสงสัยอื่น ขออนุญาตเรียนถามอีกนะครับ


Ankkarn
ร่วมแบ่งปัน664 ครั้ง - ดาว 55 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 19 2 ม.ค. 2555 (22:45)

จากความเห็นที่10  ประโยคสัญญลักษณ์  «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»r«/mi»«mo»$nbsp;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»$nbsp;«/mo»«mo»{«/mo»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»|«/mo»«mi»x$#949;A«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y$#949;B«/mi»«mo»|«/mo»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»}«/mo»«/math» 
น่าจะเปลี่ยน  "/"ตัวหลังเป็น "," จะดูดีกว่าครับ


krupanya s
ร่วมแบ่งปัน339 ครั้ง - ดาว 55 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 20 18 ก.พ. 2555 (13:22)

เรียนถามครับ

ตามความเห็นของนักคณิตศาสตร์ 
การพิสูจน์ด้านล่าง ถูกต้องไหมครับ



นำมาจากหนังสือฟิสิกส์ ม.4 เทอม 1
มีวางจำหน่ายตามท้องตลาดครับ


Ankkarn
ร่วมแบ่งปัน664 ครั้ง - ดาว 55 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 21 18 ก.พ. 2555 (23:40)

อยากฟังความเห็น/คำชี้แจงของนักฟิสิกส์หรือครูฟิสิกส์ก่อนค่ะ


ครูไผ่
ร่วมแบ่งปัน4082 ครั้ง - ดาว 285 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 22 19 ก.พ. 2555 (12:23)

ถ้าพิจารณาในเชิงคณิตศาสตร์ กราฟเส้นตรงซึ่งตัดแกน y ที่จุด (0,u) จะมีสมการเป็น y = ax + u  เมื่อ a เป็นความชันของกราฟ


ถ้าแทน y ด้วย v  แทน x ด้วย t


ก็จะได้ v = at + u


ซึ่งไม่ตรงกับที่อ้างถึงในวงเล็บในความเห็นที่ 20 ว่า (v=at)


 


ครูไผ่
ร่วมแบ่งปัน4082 ครั้ง - ดาว 285 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 23 19 ก.พ. 2555 (13:32)

ขอบพระคุณคุณครูไผ่มากครับ

ผมค้นคว้าจากหนังสืออีกหลายเล่มเทียบกัน
พบว่าสมการของ v = u+at เป็นดังที่คุณครูไผ่อธิบายครับ

แต่ก็พบด้วยว่า มีหนังสือหลายเล่ม
อธืบายคล้ายกับที่ผมยกตัวอย่างมาข้างต้น
ซึ่งไม่ถูกต้อง เหมือนต้องการเน้นแค่รูปสมการสุดท้าย
ที่จะนำไปใข้งานเท่านั้นครับ

ขอบพระคุณอย่างสูงครับ


Ankkarn
ร่วมแบ่งปัน664 ครั้ง - ดาว 55 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 24 20 ก.พ. 2555 (14:20)


กราฟเส้นตรงซึ่งตัดแกน y ที่จุด (0,u) จะมีสมการเป็น y = ax + u  เมื่อ a เป็นความชันของกราฟ
ถ้าแทน y ด้วย v  แทน x ด้วย t
ก็จะได้ v = at + u

พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมคางหมู = «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/math» × ผลบวกของด้านคู่ขนาน × สูง
ให้ S แทนพื้นที่ส่วนที่แรเงารูปสี่เหลี่ยมคางหมู
ดังนั้น S = «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/math» × (u + (at+u)) × t
            =  «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/math» × (2u + at) × t
            = (u + «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/math» at) × t
            = ut «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/math» at2

ครูไผ่
ร่วมแบ่งปัน4082 ครั้ง - ดาว 285 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 25 20 ก.พ. 2555 (15:56)

ขอบพระคุณครับคุณครูไผ่

ถ้าแทนค่าตามความเห็นที่ 20

S = ½ x (u + at) x t
   = ½(ut + at2)

ซึ่งไม่ถูกต้อง แต่สมการสำเร็จรูปของเขากลับถูกต้อง


Ankkarn
ร่วมแบ่งปัน664 ครั้ง - ดาว 55 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 26 4 ก.ค. 2555 (12:36)

น่าจะเป็นดังนี้ครับ

s = (½){(u + at)+u}t


นิรันดร์
ร่วมแบ่งปัน26629 ครั้ง - ดาว 1014 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 27 4 ก.ค. 2555 (20:37)

ขอบพระคุณอาจารย์นิรันดร์เป็นอย่างสูงครับ
ในความกรุณา 
รวมถึงในอนาคตหากมีปัญหาเกี่ยวกับฟิสิกส์
ผมขออนุญาตเรียนถามกับอาจารย์ครับ


Ankkarn
ร่วมแบ่งปัน664 ครั้ง - ดาว 55 ดวง

จำไว้ตลอด

ความเห็นเพิ่มเติม วิชาการ.คอม
ชื่อ / email:
ข้อความ

กรุณาล๊อกอินก่อน เพื่อโพสต์รูปภาพ และ ใช้ LaTex ค่ะ สมัครสมาชิกฟรีตลอดชีพที่นี่
กรอกตัวอักษรตามภาพ
ตัวช่วย 1: CafeCode วิธีการใช้
ตัวช่วย 2: VSmilies วิธีการใช้
ตัวช่วย 3: พจนานุกรมไทย ออนไลน์ ฉบับราชบัณฑิต
ตัวช่วย 4 : dictionary ไทย<=>อังกฤษ ออนไลน์ จาก NECTEC
ตัวช่วย 5 : ดาวน์โหลด โปรแกรมช่วยพิมพ์ Latex เพื่อแสดงสมการบนวิชาการ.คอม