ช่วยหน่อยน้าาาา ^_____^ (การหาค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุด)

โจทย์ ต้องการล้อมรั้วรอบที่ดินสี่เหลี่ยมผืนผ้า โดนด้านหนึ่งติดกับแม่น้ำโดยมีลวดยาว 1000 เมตร จงหา่ว่าจะต้องล้อมรั้วให้มีด้านกว้างยาวเท่าใด จึงจะได้พื้นที่มากที่สุด ?????

25 มี.ค. 2555 10:27
7 ความเห็น
25694 อ่าน


ความคิดเห็นที่ 1  โดย นกแสก

2(กว้าง) + 2(ยาว)  =  1000


        กว้าง + ยาว  =  500 

25 มี.ค. 2555 12:59


ความคิดเห็นที่ 2 โดย ครูไผ่

ต้องการให้ได้พื้นที่มากที่สุด
ดังนั้น ให้ด้านที่อยู่ริมน้ำเป็นด้านยาวและไม่ต้องใช้ลวด
จึงใช้ลวดเพียง 3 ด้าน คือ ด้านกว้าง 2 ด้าน + ด้านยาว 1 ด้าน
ให้ด้านกว้าง = x เมตร  จะได้ 2x + ด้านยาว = 1000 เมตร
                                            ด้านยาว = 1000-2x เมตร
                            พื้นที่ = กว้าง x ยาว
ให้ y แทนพื้นที่ จะได้       y = x (1000-2x)
                                y = -2x2+1000x

ต้องการพื้นที่มากที่สุด ทำ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mi»dy«/mi»«mi»dx«/mi»«/mfrac»«/math» หรือหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน 
อนุพันธ์ที่ได้คือความชันของเส้นโค้ง y = -2x2+1000x  



แล้วหาค่า x ณ จุดที่ y มีค่าสูงสุด (จุดบนเส้นโค้งมีค่าพิกัด x, y ไม่เท่ากัน) จุดที่มีค่า y สูงสุดคือจุดที่มีความชันเท่ากับ 0  จึงนำอนุพันธ์ที่หาได้มาเท่ากับ 0 แล้วแก้สมการหาค่า x ค่า x ที่ได้คือค่า x ณ จุดที่มีค่า y สูงสุด
นำค่า x ณ จุดที่มีค่า y สูงสุดไปแทนในสมการ y = -2x2+1000x จะได้พื้นที่ที่มากที่สุด เมื่อได้พื้นที่มาแล้ว ก็นำค่า x คือความยาวของด้านกว้างที่หาได้แล้วไปหารพื้นที่ จะได้ความยาวของด้านยาว  
หรือนำค่า x ไปแทนในสมการ ด้านยาว = 1000-2x ก็จะได้ความยาวของด้านยาวค่ะ

25 มี.ค. 2555 15:02


ความคิดเห็นที่ 3 โดย นิรันดร์

สำหรับเด็กที่อาจจะยังไม่ได้เรียนแคลคิวลัส ผมจะใช้วิธีทางพีชคณิตโดย
เริ่มจากสมการที่คุณครูไผ่หาไว้ให้

พื้นที่ = 
-2x2+1000x

แล้วจัดให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์ก็จะเห็นได้ทันทีว่าด้านกว้าง x = 250 m ทำให้มีพื้นที่มากที่สุด
เมื่อทราบความกว้างแล้วก็ไปหาความยาวได้โดยย้อนไปแทนค่าในสมการที่คุณครูไผ่ท่านได้ตั้งไว้ให้

26 มี.ค. 2555 12:25


ความคิดเห็นที่ 4 โดย ครูไผ่

ถ้าเป็นเด็กเล็กๆ ที่ยังไม่รู้จักพหุนามก็สามารถหาคำตอบได้โดยการทดลอง ดังนี้

1. ตั้งสมมติฐาน (คาดคะเนคำตอบที่น่าจะเป็นไปได้) โดยเด็กอาจจะแบ่งลวดเป็น 4 ส่วนเท่าๆ กันสำหรับด้านทั้งสี่ก่อน แต่ต้องการให้ได้พื้นที่มากที่สุด เด็กจึงคิดว่า ถ้าด้านที่อยู่ริมคลองไม่ใช้ลวด ก็จะำได้นำลวดส่วนนั้นมาเพิ่มให้กับด้านที่อยู่ตรงข้าม ทำให้ด้านที่อยู่ตรงข้ามกับด้านริมคลองกลายเป็นด้านยาว และยาวเป็นสองเท่าของด้านกว้าง  เด็กคาดว่า น่าจะทำให้ได้พื้นที่มากที่สุด

2.  ตรวจสอบสมมติฐานของตนเองว่าจริงหรือไม่ โดยทดลองสร้างรูปตามความคิด อาจใช้มาตราส่วนในการสร้างรูปเป็น 1 ซม. : 100 เมตร  และสร้างรูปขึ้นมาอีกหลายๆ รูปที่มีด้านกว้างสั้นกว่าหรือยาวกว่าเดิม แต่มีผลบวกของความยาว 3 ด้านเท่ากับ 1000 เมตร  พร้อมกับหาพื้นที่ของแต่ละรูปมาเปรียบเทียบกับรูปที่คาดว่าจะมีพื้นที่มากที่สุด ถ้าไม่ใช่ก็ปรับเปลี่ยนสมมติฐานใหม่และทดลองตรวจสอบใหม่จนกว่าจะได้ขนาดที่แน่ใจว่าใช่

กระบวนการดังกล่าวเป็นการตั้งโจทย์ใหญ่เพียงข้อเดียว ให้เด็กที่เริ่มเรียนเรื่องการหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าได้มีโอกาสฝึกทักษะการหาพื้นที่เป็นสิบเป็นร้อยข้อย่อย และฝึกให้เด็กรู้จักสังเกตแนวโน้มเมื่อได้ทดลองเป็นจำนวนมากพอสมควรแล้ว

26 มี.ค. 2555 17:49


ความคิดเห็นที่ 5 โดย ครูไผ่

เด็กที่ยังไม่ได้เรียนวิธีการโดยตรงในหาคำตอบของโจทย์ลักษณะนี้ อาจจะค้นหาคำตอบเองโดยทำเป็นโครงงาน จนได้ความรู้ใหม่ด้วยตนเอง ที่สามารถสรุปเป็นนัยทั่วไปสำหรับลวดที่มีความยาวใดๆ ด้วย (ไม่จำกัดเฉพาะกรณีที่ลวดยาว 1000 เมตร เท่านั้น)


 เช่น เด็กอาจทำ


โครงงานสำรวจความสัมพันธ์ระหว่างความยาวด้านกว้างและด้านยาวของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ส่งผลให้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีพื้นที่มากที่สุดในบรรดารูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีเส้นรอบรูปยาวเท่ากัน

27 มี.ค. 2555 03:43


ความคิดเห็นที่ 6 โดย ครูไผ่

ถ้าเด็ก "ลงจุดบนระนาบในแกนพิกัดฉาก" เป็นแล้ว ก็สามารถนำคู่อันดับ (x, y) ที่ได้จากการสำรวจความยาวด้านกว้างและพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าทั้งหลายที่มีเส้นรอบรูปยาวเท่ากันไปลงจุดและเขียนกราฟได้ ดังตัวอย่างในความเห็นที่ 4 ดังนี้


ให้ x แทนความยาวของด้านกว้าง   y แทนพื้นที่


จากความเห็นที่ 4 จะได้ตัวอย่างคู่อันดับ (x, y) ของรูปสี่เหลี่ยมแต่ละรูปซึ่งมีเส้นรอบรูปยาวเท่ากัน มีความยาวของด้านกว้างและพื้นที่ของแต่ละรูปดังนี้: (50, 45000), (100, 80000), (150, 105000), (200, 120000), (220, 123200), (230, 124200), (240, 124800), (250, 125000), (260, 124800), (270, 124200), (280, 123200), (300, 120000), (350, 105000), (400, 80000), (450, 45000)



จากกราฟจะเห็นว่าจุดสูงสุดคือ จุด (250, 125000)

28 มี.ค. 2555 04:37


ความคิดเห็นที่ 7 โดย ครูไผ่

ถ้าเด็กเรียนเรื่องการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองแล้ว ก็ทำวิธีตามที่อาจารย์นิรันดร์แนะนำไว้ในความเห็นที่ 3

โดยนำ พื้นที่ y = -2x2 + 1000x มาเขียนใหม่ให้เป็นนิพจน์ที่บางพจน์ประกอบด้วยกำลังสองสมบูรณ์      
               y = -2x+ 1000x - 2(250)2 + 2(250)2 หักออกและเพิ่มเข้าด้วยจำนวนที่เท่ากัน ค่ายังคงเดิม
               y = -2(x2-500x+2502) + 2(62500)
               y = 2(62500)-2(x2-500x+2502)
               y = 125000-2(x-250)2 
แทน x ด้วย 250 เท่านั้นจึงจะทำให้  2(x-250)2 = 0 และทำให้ 
        พื้นที่ y = 125000 - 0 = 125000 ตารางเมตร ซึ่งเป็นผลลบที่มีค่ามากที่สุด

(ถ้าแทน x ด้วยจำนวนอื่นล้วนแต่ทำให้พื้นที่ y มีค่าน้อยกว่า 125000 ทั้งสิ้น)
           
ดังนั้น ความยาวของด้านกว้างต้องเท่ากับ 250 เมตร จึงจะทำให้ได้พื้นที่มากที่สุดคือ 125000 ตารางเมตร
29 มี.ค. 2555 02:55

แสดงความคิดเห็น

กรุณา Login ก่อนแสดงความคิดเห็น