จำนวน 29 ความเห็น, หน้า่ | -1- 2|

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 1 28 มี.ค. 2548 (21:44)
ถ้าโจทย์ให้หา ห.ร.ม. ของเศษส่วนทำได้โดย
เศษ คือ ห.ร.ม.ของตัวเศษ ส่วนตัวส่วน คือค.ร.น. ของตัวส่วน
แต่ถ้าโจทย์ถาม ค.ร.น.ของเศษส่วน เศษ คือ ค.ร.น ของตัวเศษ
ส่วนคือ ห.ร.ม. ของตัวส่วน
ตัวอย่างครับ เช่น จงหาห.ร.ม.ของ 3/2 5/4 7/6
วิธีทำ..... ให้ใช้หลักห.ร.ม. ของเศษส่วนทำได้โดย
เศษ คือ ห.ร.ม.ของตัวเศษ ส่วนตัวส่วน คือค.ร.น. ของตัวส่วน
ดังนั้นเศษ เท่ากับ ห.ร.ม. ของ 3 5 และ 7 ก้อคือ 1
ดังนั้นส่วน เท่ากับ ค.ร.น. ของ 2 4 และ 6 ก้อคือ 12
ดังนั้นห.ร.ม.ของ 3/2 5/4 7/6 คือ 1/12

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 2 30 มี.ค. 2548 (13:48)
เอามาจากไหนครับว่า
ห.ร.ม. ของเศษส่วนทำได้โดย
เศษ คือ ห.ร.ม.ของตัวเศษ ส่วนตัวส่วน คือค.ร.น. ของตัวส่วน
แต่ถ้าโจทย์ถาม ค.ร.น.ของเศษส่วน เศษ คือ ค.ร.น ของตัวเศษ
ส่วนคือ ห.ร.ม. ของตัวส่วน
ถ้าสั่งว่า จงหาหรม.ของ 3/2 5/4 7/6 เราจะหา หรม.ของ 3,5,7 ได้ 1 และหา หรม.ของ 2,4,6 ได้ 2 ดังนั้น หรม.ของ3/2 5/4 7/6 เท่ากับ 1/2 ได้ไหมครับ
ตำราเล่มไหนบอกว่าเศษ คือ ห.ร.ม.ของตัวเศษ ส่วนตัวส่วน คือค.ร.น. ของตัวส่วน ช่วยบอกทีครับ เป็นความรู้ใหม่จริง ๆ น่าสนใจ

ครน. ค=พหุคูณ นะครับ แม่เลขดี ๆ นี่เอง

ครน. ของ 3,5,7

พหุคูณของ3 3x1=3, 3X2=6
เอาไหม่
พหุคูณของ3 ==> 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36...
พหุคูณของ5 ==> 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 . . .
พหุคูณของ7 ==> 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 . . .

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 3 31 มี.ค. 2548 (23:11)
ค.ร.น=ตัวคูณร่วมน้อย
เช่น ค.ร.น ของ 12กับ 16
เพราะว่า 12=2x2x3 16=2x2x2x2
แสดงว่า 2x2=4 เป็นตัวประกอบของ12 และ16
ซึ่ง4 เป็น ห.ร.ม=ตัวหารร่วมมาก
เมื่อดึง4 ออกจาก 12 และ16 จะเหลือ
3 และ 4 ซึ่งไม่สามารถหาจำนวนใดๆที่เกิน1มาหารสองจำนวนดังกล่าวได้ลงตัว ดังนั้น
ค.ร.น ของ 12กับ 16 คือ 4x3x4=48

**ข้อสังเกต ผลคูณของจำนวนนับใดๆ2จำนวนมีค่าเท่ากับ
ผลคูณของ ห.ร.ม กับ ค.ร.น ของ2จำนวนนั้น (12x16=4x48)

จากนั้นสามารถ + - เศษส่วนได้โดยหา ค.ร.น ของตัวส่วน
เช่น (4/9)+(2/3)-(8/15)
ห.ร.ม ของตัวเศษ=(4,2,8) =2
ค.ร.น ของตัวส่วน = [9,3,15]=45

จากนั้นนำ ค.ร.นของตัวส่วนคูณทั้งเศษและส่วน
(4/9)+(2/3)-(8/15)
= {[45x(4/9)]+[45x(2/3)]-[45x(8/15)]}/45
= [(5x4)+(15x2)-(3x8)]/45
=(20+30-24)/45
=16/45

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 4 31 มี.ค. 2548 (23:12)
ค.ร.น=ตัวคูณร่วมน้อย
เช่น ค.ร.น ของ 12กับ 16
เพราะว่า 12=2x2x3 16=2x2x2x2
แสดงว่า 2x2=4 เป็นตัวประกอบของ12 และ16
ซึ่ง4 เป็น ห.ร.ม=ตัวหารร่วมมาก
เมื่อดึง4 ออกจาก 12 และ16 จะเหลือ
3 และ 4 ซึ่งไม่สามารถหาจำนวนใดๆที่เกิน1มาหารสองจำนวนดังกล่าวได้ลงตัว ดังนั้น
ค.ร.น ของ 12กับ 16 คือ 4x3x4=48

**ข้อสังเกต ผลคูณของจำนวนนับใดๆ2จำนวนมีค่าเท่ากับ
ผลคูณของ ห.ร.ม กับ ค.ร.น ของ2จำนวนนั้น (12x16=4x48)

จากนั้นสามารถ + - เศษส่วนได้โดยหา ค.ร.น ของตัวส่วน
เช่น (4/9)+(2/3)-(8/15)
ห.ร.ม ของตัวเศษ=(4,2,8) =2
ค.ร.น ของตัวส่วน = [9,3,15]=45

จากนั้นนำ ค.ร.นของตัวส่วนคูณทั้งเศษและส่วน
(4/9)+(2/3)-(8/15)
= {[45x(4/9)]+[45x(2/3)]-[45x(8/15)]}/45
= [(5x4)+(15x2)-(3x8)]/45
=(20+30-24)/45
=26/45
**ตายตอนจบ^^\'

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 5 1 เม.ย. 2548 (02:57)
คำถามว่า "การหา หรม.- ครน. ของเศษส่วนหายังไงคะ"
กับถามว่า "นำ หรม.- ครน. ไปใช้ ดำเนินการบวก ลบ เศษส่วนได้อย่างไรคะ"
เป็นเรื่องเดียวกันไหมครับ

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 6 12 เม.ย. 2548 (09:51)
การหา หรม ของเศษส่วนทำได้โดย
1. หา หรม ของเศษ ของเศษส่วนทั้งหมด(ที่โจทย์กำหนดมาน่ะ)
2. หา ครน ของส่วน ของเศษส่วนทั้งหมด(ที่โจทย์กำหนดมาน่ะ)
3. ก็เอามาซ้อนกัน จบ เช่น
2/5 4/15 แล้วก็ 6/15
ก็หา หรม ของ 2,4 แล้วก็ 6 = 2
แล้วก็มาหา ครน ของ 5,15,15 = 15
ก็ได้ 2/15
การหา ครน มันก็กลับกันคือหา ครน ของเศษ แล้วก็ หรม ของส่วนค่ะ

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 8 9 ก.ค. 2548 (02:09)
Definition:

Greatest common divisor of fractions (in lowest terms) r1 = p1/q1, r2 = p2/q2, ..., rn = pn/qn is the largest positive fraction r = p/q such that ri/r for all i=1,2,...,n are integers.
(We can write r = gcd (r1,r2,...,rn).)

Least common divisor of fractions (in lowest terms) r1 = p1/q1, r2 = p2/q2, ..., rn = pn/qn is the smallest positive fraction r = p/q such that r/ri for all i=1,2,...,n are integers.
(We can write r = lcm (r1,r2,...,rn).)

Theorem:

gcd(r1,r2,...,rn) = gcd(p1,p2,...,pn)/lcm(q1,q2,...,qn) and lcm(r1,r2,...,rn) = lcm(p1,p2,...,pn)/gcd(q1,q2,...,qn).

Proof:

Let g=gcd(r1,r2,...,rn) and l=lcm(r1,r2,...,rn). Suppose that g=x/y and l=u/v where gcd(x,y)=1 and gcd(u,v)=1 and x,y,u, and v are positive integers.
Since ri/g is an integer, then (pi/qi)(y/x) is an integer. Hence, x*qi|y*pi. Note that gcd(x,y)=gcd(pi,qi)=1, that is x|pi for every i and qi|y for every i.
Thence, x|gcd(p1,p2,...,pn) and lcm(q1,q2,...,qn)|y.
i.e. x/y less than or equal to gcd(p1,p2,...,pn)/lcm(q1,q2,...,qn).
Observe that ri is divisible by gcd(p1,p2,...,pn)/lcm(q1,q2,...,qn) for every i.
That is, gcd(p1,p2,...,pn)/lcm(q1,q2,...,qn) less than or equal to g.
Thus, g=gcd(p1,p2,...,pn)/lcm(q1,q2,...,qn).

Parally, we have l=lcm(p1,p2,...,pn)/gcd(q1,q2,...,qn).

"QED"

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 9 9 ก.ค. 2548 (04:14)

ห.ร.ม. ของจำนวนใดคือตัวหารที่มีค่ามากที่สุดที่ไปหารจำนวนเหล่านั้นได้ลงตัว หมายความว่าหารแล้วได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเต็ม ในกรณีของเศษส่วน ห.ร.ม. ของเศษส่วนใดก็คือตัวหารที่มีค่ามากที่สุดที่ไปหารเศษส่วนเหล่านั้นแล้วได้ผลลัพธ์ออกมาเป็นจำนวนเต็มนั่นเอง และเนื่องจากในการหารด้วยเศษส่วน วิธีการคือเอาตัวหารมากลับเศษเป็นส่วนแล้วคูณกับตัวตั้ง ให้จินตนาการว่า ตัวหารถูกกลับเศษเป็นส่วน ! เพราะฉะนั้นส่วนของตัวหารจะถูกกลับขึ้นมาเป็นเศษ แล้วคูณกับเศษส่วนที่เป็นตัวตั้ง ถ้าต้องการให้คูณแล้วได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเต็ม ก็ต้องให้จำนวนที่เป็นส่วนของตัวตั้งทุกจำนวนไปหารจำนวน ที่ถูกกลับขึ้นมาเป็นเศษได้ลงตัว ดังนั้น ในการหา ห.ร.ม. ของเศษส่วน จึงต้องหา ห.ร.ม. ของเศษ และหา ค.ร.น. ของส่วน ทดลองและตรวจสอบได้ด้วยตัวเอง ไม่จำเป็นต้องอ้างตำราเล่มไหน ตำราทุกเล่มมนุษย์เป็นผู้เขียนขึ้น และเราก็เป็นมนุษย์คนหนึ่งที่สามารถสร้างความรู้บางอย่างด้วยตนเองได้ ตัวอย่างเช่น ห.ร.ม. ของ 2/3, 4/5, 6/7 คือ 2/105 เพราะ 2 เป็น ห.ร.ม. ของ 2, 4, 6 105 เป็น ค.ร.น. ของ 3, 5, 7 เมื่อนำตัวหารไปกลับเศษเป็นส่วน แล้วคูณกับตัวตั้ง จะหารกันได้ลงตัว ดังนี้

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 10 14 ก.ค. 2548 (23:18)
ช่วยพิสูจน์
ผลคูณของจำนวนนับใดๆ2จำนวนมีค่าเท่ากับ
ผลคูณของ ห.ร.ม กับ ค.ร.น ของ2จำนวนนั้น
(เฉพาะ ของ2จำนวนเท่านั้น)
ด้วยครับ
ขอบคูณครับ

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 11 14 ก.ค. 2548 (23:56)
Let g=gcd(a,b) and l=lcm(a,b).
Hence, l=ar=bs for some natural numbers r and s.
Let n=ab/g.
Note that a|n and b|n.
From the definition of lcm, l|n.
Since g=ax+by for some integer x and y, we have
l/n = lg/ab = l(ax+by)/ab = (lax+lby)/ab = [(br)ax+(as)by]/ab = rx+sy.
That is, n|l.
Therefore n=l, giving that lcm(a,b)*gcd(a,b)=ab.

//In general, for all pairs of integers a and b, we have lcm(a,b)*gcd(a,b)=|a||b|. This is also true if a and b are rationals.//

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 12 16 ก.ค. 2548 (01:09)
ก่อนอื่น ต้องขอบคูณมากๆครับ,
เพราะผมพยายามคิดแบบข้างบนไม่ออกมาก่อนเลย

แต่ก็ลองทำตามวิธี ของทางLogical ดู ก็ได้แค่นี้ เองครับ

Premiss G=gcd(a,b), L=lcm(a,b) then we will have
(1) a = G*x where x = any number
(2) b = G*y where y = any number
(3) L=G*x*y from lcm of ( (1) , (2) )
(4) a*b=G*xG*y= G* G*x*y from (1)*(2)
(5) G * L=G*G*x*y from (3) , premiss
(6) a*b = G*L from (4) and (5)
Q.E.D

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 13 23 ก.ค. 2548 (22:05)
อ่านยังไงก้องงงงงงงงงงงงงงง ไม่เห็นเหมือนกันสักค.ห.เดียว
ค.ห.ไหนถูกกันแน่คร๊าบ................

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 14 24 ก.ค. 2548 (02:20)
ตอบ คห.13 คุณ ..............

คุณ Batominov (ขออนุญาตเอ่ยนาม) ได้พิสูจน์ให้เห็นจริงในความเห็นที่ 8 แล้วครับ

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 15 15 มิ.ย. 2549 (18:41)
ืห.ร.ม.ของจำนวนนับใดๆหารค.ร.น.ของจำนวนนับสองจำนวนนับนั้น ได้ลงตัวเพราะเหตุใด

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 16 18 ส.ค. 2549 (17:37)
สุดยอดเลยครับ
ผมได้ความรู้ที่จะเอาไปสอบแล้ว
ขอบคุนมากนะครับ
น่าจะให้ระเอียดมากกว่านี้อะ

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 17 18 ส.ค. 2549 (17:42)
เด๋ววันที่21สิงหาคมปีนี้นะ
ผมก้อสอบแล้วงับ
ได้ความรู้เยอะมากเลย

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 18 24 ส.ค. 2549 (18:47)
ดีเลย

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 19 24 ส.ค. 2549 (19:43)
สนุกมาสำหรับการหาห.ร.ม.และค.ร.น. แลช่วงนี้ก็ได้เรียนอยู่

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 22 10 ก.ย. 2549 (19:02)
ขอโจทย์หรม ครน ได้ไหมคะ มีใครพอจะมีโจทย์ ปัญหาบ้างขอคำตอบด้วยนะคะ

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 23 6 ต.ค. 2549 (14:03)
ถ้าเป็นจุดทศนิยม ล่ะครับ เช่น 3.12 2.15 2.7 จะหาได้ไหมครับ ใครรู้ช่วยตอบ ทีครับ