จำนวน 143 ความเห็น, หน้า่ | 1| 2| 3| 4| -5- 6| 7| 8|

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 67 24 ม.ค. 2551 (14:32)
คุณใต้น้ำคะ
ดิฉันขออนุญาตอ้างอิงชื่อคุณไว้เป็นเกียรติแก่เอกสารผลงานของดิฉันในส่วนที่ได้รับคำแนะนำจากคุณด้วยค่ะ
ได้โปรดอนุญาตให้ดิฉันรู้จักชื่อจริง ตำแหน่งงานและที่ทำงาน ด้วยนะคะ
ถ้าไม่ยินดีเปิดเผยที่เว็บบอร์ด
ได้โปรดส่งที่ pai@labschools.com นะคะ

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 68 25 ม.ค. 2551 (11:31)
1 + 2 + 3 + ... + 10
1 + 10 = 11
2 + 9 = 11
3 + 8 = 11
4 + 7 = 11
5 + 6 = 11
..........= n + 1 มีทั้งหมด 5 จำนวน = n/2
ผลรวมของ 1 ถึง n จึงเท่ากับ ( n+ 1) n/2
ไม่ทราบพอจะใช้ได้หรือเปล่าครับ

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 69 25 ม.ค. 2551 (19:55)
ถ้าหาผลบวกของ 1+2+3+ ... + 11
วิธีคิดของคุณสิงต้องปรับนิดหน่อย ... แต่ผลลัพธ์(สูตร)ยังคงเหมือนเดิม

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 70 26 ม.ค. 2551 (00:19)
ครับ ขอบคุณ คุณ MathGuy ที่แนะนำครับ
ให้ คห.68 เป็นกรณี n เลขคู่
ต่อไปนี้ ให้ n เป็นเลขคี่
1 + 2 + 3 + ... + 11
1 + 11 = 12
2 + 10 = 12
3 + 9 = 12
4 + 8 = 12
5 + 7 = 12
.........=( n + 1 ) มีทั้งหมด 5 จำนวน = ( n - 1 )/2
......6 =( n + 1 )/2
จะได้...
( n+ 1)( n - 1 )/2 + ( n + 1 )/2
= ( n +1){( n - 1) + 1}/2
= ( n+1)(n-1+1)/2
= ( n + 1 ) n / 2
สรุป ไม่ว่า n จะเป็นเลขคู่ หรือเลขคี่ ผลบวก จะเท่ากับ ( n + 1 ) n / 2
ครับ ขอบคุณอีกครั้งครับ

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 71 26 ม.ค. 2551 (05:41)
เข้าใจความคิดของคุณสิงค่ะ
แต่การใช้สัญลักษณ์ในการสื่อความหมายยังไม่ถูกต้อง เข่น

3 + 9 = 12 = 5 จำนวน = ( n - 1)/2
เป็นการใช้สัญลักษณ์ที่ผิด และไม่ตรงกับความหมายที่ต้องการจะสื่อ

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 72 26 ม.ค. 2551 (09:12)
ขอบคุณ คุณครูไผ่ ครับ
เดิมครั้งแรก ผมพยายามสร้างเป็นวงเล็บคุม ตั้งแต่ 1 + 10 จนถึง 5 + 6 ใน คห.68 แต่พอโพสต์แล้วมันเคลื่อนไปหมด สุดท้ายเลยออกมาอย่างที่ ครูไผ่บอก
ผมลองแก้ไขใหม่ ใน คห. 68 และ 70 ไม่ทราบใช้ได้หรือเปล่า

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 73 26 ม.ค. 2551 (11:37)
พอใช้ได้ค่ะ

ขอเสริมและปรับเล็กน้อย ดังนี้ค่ะ

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
=(1+10)+(2+9)+(3+8)+(4+7)+(5+6)
=11+11+11+11+11
=5 คูณ 11
=5(10+1)
=(10+1)

และต้องยกตัวอย่างถัดไปอีกสักสองสามตัวอย่างให้เห็นว่าได้ผลทำนองเดียวกันก่อนจะนำตัวแปรมาเขียนให้อยู่ในรูปทั่วไปหรือสูตร
เพื่อแสดงให้เห็นว่าสูตรที่เราสร้างขึ้นนั้นไม่ได้บังเอิญเป็นจริงเฉพาะตัวอย่างนี้เพียวตัวอย่างเดียวเท่านั้น

และการยกตัวอย่างใหม่ที่อยู่ถัดจากตัวอย่างเดิม ก็เพื่อแสดงให้เห็นว่าเราไม่ได้เจตนากระโดดไปเลือกเฉพาะบางตัวอย่างที่เป็นจริงตามนี้

การสรุปข้อความรู้หรือสร้างสูตรจากการยกตัวอย่าง เรียกว่า "การอุปนัย"

การอุปนัยนั้น จะต้องสรุปจากตัวอย่างหลาย ๆ ตัวอย่าง ยิ่งมากยิ่งดี
แต่อย่างน้อยควรมีสัก 3 ตัวอย่างที่อยู่ถัดกันค่ะ

และเมื่อไรที่พบตัวอย่างเงื่อนไขเดียวกันที่ได้ผลไม่เป็นไปตามนี้ ก็ต้องยกเลิกสูตรนี้ หรือระบุขอบเขตข้อยกเว้นไว้ค่ะ

คุณสิงลองเขียนใหม่อีกครั้งหนึ่งให้ครบสมบูรณ์ตั้งแต่ยกตัวอย่างไม่น้อยกว่า 3 ตัวอย่างที่อยู่ถัดมาหรือถัดไป จนกระทั่งนำตัวแปรมาเขียนแทนออกมาเป็นรูปทั่วไป นะคะ

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 74 26 ม.ค. 2551 (13:30)
ขอบคุณ คุณครูไผ่ อีกครั้งครับ
จริงๆ แล้ว ผมไม่มีความชำนาญด้านนี้ เพียงแต่เคยสนุกกับวิชาคณิตศาสตร์ ...
ผมได้ไปดูที่ http://www.krupai.net/bdtable.doc แล้วครับ มีภาพประกอบชัดเจน นอกจากจะเข้าใจง่าย ยังจดจำง่ายอีกด้วย ทำให้นึกถึงวิธีจำของเด็กๆ เคยได้ยินมาว่า เด็กจะจำในลักษณะเหมือนภาพถ่าย ใช้จำหน้าคน หน้าพ่อแม่ เข้าใจว่า ได้นำแนวคิดนี้มาใช้กับการเรียนการสอน
แต่บางวิชาก็เป็นปัญหา โดยเฉพาะวิชาภาษาไทย ครูหลายท่านไม่ค่อยเห็นด้วย กับวิธีให้เด็กจำเป็นคำๆ แทนวิธีประสมคำ
หวังว่าคงไม่เป็นการรบกวน น่ะครับ ขอบคุณครับ

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 75 26 ม.ค. 2551 (14:12)
เรียนคุณครูทุกท่าน ... กรุณาด้วย
อยากทราบเทคนิคการตรวจสอบ จำนวนนับว่าหารด้วย 7 ลงตัวหรือไม่
( ตัวอย่างที่เกี่ยวข้อง จำนวนนับว่าหารด้วย 2 ลงตัว ต้องลงท้ายด้วย 0, 2, 4, 6, 8
จำนวนนับว่าหารด้วย 5 ลงตัว ต้องลงท้ายด้วย 0, 5
จำนวนนับว่าหารด้วย 4 ลงตัว สองหลักท้ายหารด้วย 4 ลงตัว)

อ้อ How to prove?

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 76 27 ม.ค. 2551 (03:02)
I think we have learned how "other people have thought" about the problem of adding integers from 1 to n.

Just to test our "understanding" of those "thinking processes", let us try applying the processes to

a) find the sum(j, j+1, j+2,..., 2*j), j is an integer
b) find the sum(j, j+1, j+2,..., j^2), j is an integer
c) find the sum(j, j+k, j+2*k,..., j+k*k), j and k are integers

Any one care to 'sum up' a 'generic' thinking process that will produce the correct answer -- in a simple to understand way?

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 77 27 ม.ค. 2551 (08:33)
น่าเบื่อ

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 78 27 ม.ค. 2551 (09:02)
เมื่อเราทำการ "อุปนัย" สร้างความรู้ใหม่จากการสรุปลักษณะร่วมของตัวอย่างหลาย ๆ ตัวอย่างได้แล้ว เราก็เอาความรู้หรือสูตรที่ได้ไปใช้ เรียกว่า "นิรนัย" เช่น
นำ สูตร 1+2+3+...+n = ไปใช้ในการหาผลบวกของ j, j+1, j+2, j+3,...,2j ได้ดังนี้

ถ้า j = 4 จะได้

j+(j+1)+ (j+2)+ (j+3)...+2j

= 4+(4+1)+(4+2)+(4+3)+(2*4)

= 4+(4+1)+(4+2)+(4+3)+(4+4)

=4+4+4+4+4+1+2+3+4

=(4*5)+(1+2+3+4)

=4(4+1)+
โดยนำ สูตร 1+2+3+...+j =ไปใช้กับ (1+2+3+4)

ถ้า j = 5 จะได้

j+(j+1)+ (j+2)+ (j+3)+...+2j

= 5+(5+1)+(5+2)+(5+3)+(5+4)+(2*5)

= 5+(5+1)+(5+2)+(5+3)+(5+4)+(5+5)

=5+5+5+5+5+5+1+2+3+4+5

=(5*6)+(1+2+3+4+5)

=5(5+1)+
โดยนำ สูตร 1+2+3+...+j =ไปใช้กับ (1+2+3+4+5)

ถ้า ถ้า j = 6 จะได้

j+(j+1)+ (j+2)+ (j+3)+...+2j

= 6+(6+1)+(6+2)+(6+3)+(6+4)+(6+5)+(2*6)

= 6+(6+1)+(6+2)+(6+3)+(6+4)+(6+5)+(6+6)

=6+6+6+6+6+6+6+1+2+3+4+5+6

=(6*7)+(1+2+3+4+5+6)

=6(6+1)+
โดยนำ สูตร 1+2+3+...+j =ไปใช้กับ (1+2+3+4+5+6)

จากการพิจารณาความสัมพันธ์ในตัวอย่างทั้งสาม

จะได้ความสัมพันธ์ที่มีลักษณะร่วมกันคือ

j+(j+1)+ (j+2)+ (j+3)...+2j =j(j+1)+ เมื่อ j เป็นจำนวนเต็มบวก (positive integer)

เราได้ "อุปนัย" สูตรใหม่ขึ้นมาจากการนำสูตรเดิมไปทำ "นิรนัย" กับตัวอย่างหลาย ๆ ตัวอย่างจนได้สูตรใหม่

ขอเชิญเพื่อนพ้องน้องพี่นำสูตรเดิมไปทำ "นิรนัย" กับตัวอย่างที่มีค่า j = 0 และตัวอย่างที่มีค่า j<0 ว่าผลที่ได้จะมีความสัมพันธ์ในลักษณะเดียวกันหรือไม่ เพื่อจะได้สรุปเป็นสูตรสำหรับค่า j ที่เป็นจำนวนเต็มใด ๆ (integer)

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 79 27 ม.ค. 2551 (09:56)
หนูศุภิสราคะ
ครูไผ่เข้าใจความารู้สึกของหนูค่ะ
คนเรามีความแตกต่างกันโดยธรรมชาติ
หนูเบื่อ เพราะหนูไม่ชอบ เนื่องจากไม่เข้าใจหรืออะไรก็แล้วแต่
ถึงแม้จะรู้สึกขมขื่นบ้างในตอนนี้ ก็จำเป็นต้องเรียน
ถ้าตั้งใจเรียน มันจะช่วยพัฒนาความคิดของหนูให้เรียนวิชาที่หนูชอบและทำงานที่หนูชอบได้ผลดีกว่าไม่ตั้งใจเรียน
ถ้าไม่เชื่อ ต้องลองตั้งใจเรียนดูนะคะ
แล้วจะพบด้วยตัวเองว่าสิ่งที่ครูไผ่พูด "เป็นความจริง"

อย่างการกินอาหารก็เหมือนกัน
เด็กบางคนไม่ชอบกินผัก เพราะมันไม่อร่อย ไม่ถูกปาก
แต่ก็ต้องกิน เพราะมันเป็นอาหารที่มีประโยชน์ต่อร่างกาย
ถ้าไม่กินผัก จะเกิดผลเสียหลาย ๆ อย่างต่อสุขภาพ
ดังนั้น ไม่ชอบก็ต้องกิน เมื่อกินบ่อย ๆ ก็อาจกลับกลายเป็นชอบก็ได้นะ

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 80 28 ม.ค. 2551 (06:52)
Thanks Guru Pai for giving us a lead on thinking and applying our discovered patterns.

May I suggest that sometimes we can use graphical (or multi-dimensional) representations to solve some problems?
For example, if we sum the series j, j+1, j+2, ...,j+j (or 2*j) as

j + j + j + ... +j (question: how many j's in this row?)
0 + 1 + 2 + ... +j

(Please read the first column as j+0, the second as j+1, and so on.)

Immediately we can see that the sum ( j, j+1, j+2, ...,j+j ) is the sum ( j, j, ..., j) or (j+1)*j and the sum ( 0, 1, ..., j ).
And the problem is broken into 2 simple (solvable) sub-problems.

Any one care to try this (thinking/drawing) process on
c) find the sum(j, j+k, j+2*k,..., j+k*k), j and k are integers?

PS. Now and then, we have "reactions to math" (like in #77) by shutting down the thinking process/machine. It is always a challenge to find the causes and solutions to restart such a thinking machine again.

The ability to "fix" and "use" thinking machines (okay "kids", people, computers, ...) is what we strive to learn and to master.

Thanks again Guru Pai (the 5 teacher).

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 81 28 ม.ค. 2551 (08:49)
ขอเสริมนิดหน่อยนะครับ

เมื่อเรามองเห็น "แนวคิดสำคัญ" หรือ "โครงสร้าง" หรือ "ธรรมชาติ" ที่เป็นแก่น เป็นสาระสำคัญของเรื่องนั้นๆ แล้ว แนวทางอื่นๆที่คล้ายกัน (analog) ความหลากหลายของมุมมอง และความคิดสร้างสรรค์ต่างๆก็จะค่อยๆเกิดขึ้น

ซึ่งทักษะตรงนี้ เมื่อเริ่มสัมผัสได้ เริ่มทำได้เอง จะเกิดกำลังใจ เกิดความเชื่อมั่น สนุก และมีความสุขกับเรียนคณิตศาสตร์

และทักษะอันนี้ เป็นทักษะที่ควรต้องใช้ในการเรียนคณิตศาสตร์อย่างแท้จริงในแทบทุกระดับ (แตกต่างกันที่ความยากง่ายของเนื้อหา การเชื่อมโยงความรู้เดิม ระยะเวลาในการฝึกฝน และกิจกรรมที่ใช้)

.........................................................................


อุปสรรคในการเรียนการสอนที่จะทำให้นักเรียนเกิดทักษะเช่นนี้

(1) ผู้สอนยังไม่ได้ฝึกฝนเองอย่างจริงจังและเพียงพอ บ่อยครั้งที่ผู้สอนใช้การจำ การเลียนแบบ แต่ยังขาดการทดลองฝึกฝนเอง ขาดการมองเห็น หรือเข้าถึงรูปแบบ หรือแนวคิดนั้นๆอย่างแท้จริง ... ผู้สอนควรต้องฝึกฝนอบรมตัวเองให้ถึงขั้นรู้จริงในระดับที่ดีพอสมควร

(2) ผู้สอนอาจจะพยายามเน้นความหลากหลาย แต่ขาดการเชื่อมโยง และบางครั้งก็ชวนให้สับสน ยังไม่ชัดเจนว่าอะไรควรมาก่อนมาหลัง อะไรต้องใช้เวลา อะไรต้องควรฝึกอย่างไร
หากกิจกรรมออกแบบไว้ไม่ดี ทักษะการเรียนรู้ที่สมบูรณ์ก็เกิดขึ้นได้ยาก และยิ่งยากขึ้นเมื่อมีความแตกต่างของผู้เรียนร่วมเข้าไปด้วย

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 82 28 ม.ค. 2551 (09:02)
ผมขออนุญาตให้ตัวอย่างโจทย์ ในระดับที่ไม่ได้ยาก แต่ท้าทาย สำหรับทุกๆคนที่มีพื้นฐานความรู้ระดับมัธยมปลาย



จงหาสูตรของผลบวกต่อไปนี้










หรืออาจจะลองเริ่มต้นที่ 10 เทอมแรก

จงหาผลบวกของ

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 83 28 ม.ค. 2551 (09:32)
ขอบคุณมากสำหรับคำชมจากคุณ SR

เวลานำสูตรไปใช้ (นิรนัย) ตามปกติ ไม่ต้องแสดงรายละเอียดภาคพิสดารแบบในความเห็นที่ 78 ซึ่งเป็นการยกตัวอย่างให้เห็นจริงเป็นรูปธรรมค่ะ

ทำสั้น ๆ แบบที่คุณ SR แสดงมาในความเห็นที่ 80 ก็พอและถูกต้องแล้ว

ขออนุญาตแปลวิธีของคุณ SR ให้เด็ก ๆ อ่านนะคะ
2*j คือ j+j
ดังนั้น ผลบวกของ j, j+1, j+2, j+3, ..., 2*j = ผลบวกของ j, j+1, j+2, j+3, ... , j+j
ซึ่งสามารถนำมาตั้งบวกในรูปนี้
j + j + j + j + ... + j
0 +1+ 2 +3 + ... + j
เอาแถวบนบวกแถวล่างจะได้
(j+0)+(j+1)+(j+2)+(j+3)+ ... +(j+j) ตรงตามโจทย์

ดังนั้น (j+0)+(j+1)+(j+2)+(j+3)+ ... +(j+j) จึงแบ่งได้เป็นสองส่วนคือ
(j + j + j + j + ... + j) + (0 +1+ 2 +3 + ... + j)

และจำนวนตัว j ในส่วนแรกจะมีจำนวนมากกว่าค่าของ j อยู่ 1 ตัว
(ถ้าใครดูไม่ออกให้ดูตัวอย่างชัด ๆ ในความเห็นที่ 78 ค่ะ)

ดังนั้น
(j+0)+(j+1)+(j+2)+(j+3)+ ... +(j+j)
= (j + j + j + j + ... + j) + (0 +1+ 2 +3 + ... + j)
= j(j+1)+

คำตอบคือสามบรรทัดล่าง ส่วนข้างบนคือกระบวนการคิดค่ะ

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 84 28 ม.ค. 2551 (16:37)
ผมส่งเอกสารเกี่ยวกับการอบรมดูงานให้ครูไผ่ไม่ทราบว่าได้รับหรือเปล่าครับ หรือว่า E-maill address ไม่ถูกต้อง? โดยผ่าน network ของ labschools.com

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 85 28 ม.ค. 2551 (18:12)


ได้รับแล้วค่ะ ได้ประชาสัมพันธ์ไว้ใน http://www.krupai.net เรียบร้อยแล้ว และ ตอบ mail แล้วด้วยเมื่อตะกี้นี้เองค่ะ

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 86 5 ก.พ. 2551 (17:16)
Ummmh, a week passed and no responses to mine or MathGuy (#82)

I don't know what sort of maths we now learn in high school but I will assume simple algebra and give a go on the sum j.2^j.

Let j.2^j = f(j)
By rewriting f(j) = j.2.2^(j-1) = 2.(j-1 + 1).2^(j-1) = 2.(j-1).2^(j-1) + 2.2^(j-1)
By substituting (j-1).2^(j-1) with f(j-1) and defining f(1)=1.2^1,
we get f(j) = 2.( f(j-1) + 2^(j-1) ), j=2,3, ...
And the sum of j.2^j = f(1) +f(2) +f(3) +...f(n) =
f(1) +
( f(1) + 2^(2-1) ).2 +
( ( f(1) + 2^(2-1) ).2 + 2^(3-1) ).2 + ...
It is not obvious but the sum j.2^j can be expressed in a 'recursive' formula of f(1) or 2.

There is however a much simpler 'method' to find the sum - using iterative process or a programming loop (like one in the pseudocode below):

GeometricProgressionSum(n):
sum = 0
for j=1 to n do sum = sum + j*2**j end-do end-for
print "The sum of j*2^j, for j=1,...,n is ", sum

Anyone care to write a real software program for this? If you have not learned programming I suggest you look at "Python" or "Ruby" programming language.