จำนวน 141 ความเห็น, หน้า่ | 1| 2| 3| 4| 5| -6- 7| 8|

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 85 28 ม.ค. 2551 (18:12)


ได้รับแล้วค่ะ ได้ประชาสัมพันธ์ไว้ใน http://www.krupai.net เรียบร้อยแล้ว และ ตอบ mail แล้วด้วยเมื่อตะกี้นี้เองค่ะ

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 86 5 ก.พ. 2551 (17:16)
Ummmh, a week passed and no responses to mine or MathGuy (#82)

I don't know what sort of maths we now learn in high school but I will assume simple algebra and give a go on the sum j.2^j.

Let j.2^j = f(j)
By rewriting f(j) = j.2.2^(j-1) = 2.(j-1 + 1).2^(j-1) = 2.(j-1).2^(j-1) + 2.2^(j-1)
By substituting (j-1).2^(j-1) with f(j-1) and defining f(1)=1.2^1,
we get f(j) = 2.( f(j-1) + 2^(j-1) ), j=2,3, ...
And the sum of j.2^j = f(1) +f(2) +f(3) +...f(n) =
f(1) +
( f(1) + 2^(2-1) ).2 +
( ( f(1) + 2^(2-1) ).2 + 2^(3-1) ).2 + ...
It is not obvious but the sum j.2^j can be expressed in a 'recursive' formula of f(1) or 2.

There is however a much simpler 'method' to find the sum - using iterative process or a programming loop (like one in the pseudocode below):

GeometricProgressionSum(n):
sum = 0
for j=1 to n do sum = sum + j*2**j end-do end-for
print "The sum of j*2^j, for j=1,...,n is ", sum

Anyone care to write a real software program for this? If you have not learned programming I suggest you look at "Python" or "Ruby" programming language.

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 87 6 ก.พ. 2551 (13:20)

ผมเข้าใจว่า น่าจะเป็น Hard Problem พอสมควร ในการหาผลบวกของ (j)(2^j) สำหรับ j=1,2,3, ... , n

ถ้าหากคิดโดยตรง จะรู้สึกว่าเป็นโจทย์เชิงเทคนิค

หากลองพิจารณาดูโจทย์ สังเกตดูก่อน

จะเห็นว่าแต่ละพจน์ หรือแต่ละเทอม เป็นผลคูณของ ลำดับเลขคณิต (j)

กับลำดับเรขาคณิต (2^j)

 

*** การเชื่อมโยงความรู้เก่า ... ควรจะทำให้เรากลับไปดูที่สูตรผลบวกของอนุกรมเลขคณิต

และสูตรผลบวกของอนุกรมเรขาคณิต

 

สูตรผลบวกของอนุกรมเลขคณิตเราพูดคุยกันมากพอสมควร มีวิธีได้สูตรค่อนข้างหลากหลาย

(แต่จริงๆ มีหัวใจ หรือแนวคิดเบื้องหลังอันเดียวกัน)

a + (a+d) + (a+2d) + ... + (a+(n-1)d)

เขียนใหม่กลับด้านกันจะได้

(a+(n-1)d) + (a+(n-2)d) + (a+(n-3)d) +... + a

จับบวกกันจะได้ 2a+(n-1)d จำนวน n คู่

ทำให้ได้ผลบวก S_n = (n)(2a+(n-1)d))/2 = (n/2)+(a_1 + a_n)

เมื่อใช้กับ 1 + 2 + 3 + ... + n

เราจึงได้สูตร S = (n/2)(1+n) = (n)(n+1)/2

วิธีคิดนี้ มีเรื่องเล่าว่าเด็กชาย Guass ใช้ในการคำนวณ 1+2+ ...+100 ในวัยประถม

นั่นคือ สิ่งที่เรารู้เกี่ยวกับ ผลบวกของอนุกรมเลขคณิต

.........................................................................................................

 

ทีนี้ลองทบทวน สูคร หรือวิธีการหาผลบวกของอนุกรมเรขาคณิต

ดูตัวอย่างเลยนะครับ

2 + 4 + 8 + 16 + ... + 2^n

การหาผลบวก มีเทคนิคต่างจากอนุกรมเลขคณิต เพราะอนุกรมเรขาคณิตมีธรรมชาติที่ต่างออกไป คือเพิ่มขึ้นเท่าๆกันในรูปของการคูณ (ไม่ใช่บวกเพิ่มขึ้น ในกรณีของอนุกรมเลขคณิต) หรือที่เรียกว่า มีอัตราส่วนร่วมคงที่

4 = 2 x 2 , 8 = 4 x 2, 16 = 8 x 2 , ... เพิ่มขึ้นทีละ 2 เท่า (คูณ 2 เข้าไป)

การหาผลบวก จึงใช้ธรรมชาติตรงนี้ เราให้

S =  2 + 4 + 8 + 16 + ... + 2^n

แล้วคูณสมการข้างต้นด้วยอัตราส่วนร่วม คือ 2 จะได้

2S =  4 + 8 + 16 + 32 + ... + 2^(n+1)

จะเห็นว่า S กับ 2S ต่างกันเฉพาะพจน์หัวท้ายเท่านั้น จึงจับลบกันได้ดังนี้

S = 2S - S = (4 + 8 + 16 + 32 + ... + 2^(n+1)) - (2 + 4 + 8 + 16 + ... + 2^n)

S = 2^(n+1) - 2  

 

การหาผลบวกของอนุกรมเรขาคณิตทั่วๆไป

S = a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-1)

ก็ทำได้ในทำนองเดียวกันนี้ .......... น่าเสียดายที่ (ครู)นักเรียน ไม่ได้ให้ความสนใจถึงแนวคิดวิธีการตรงนี้มากนัก ... พอได้สูตร ... ก็จำสูตรไปเลย หรืออาจจะไม่ได้ให้เวลากับการแสดงวิธีการได้มาของสูตรเลย

*** จริงๆ แล้วการแสดงการได้มาซึ่งสูตรทั้งของอนุกรมเลขคณิตและเรขาคณิต เป็นระดับทักษะที่ควรจะมีในตัวผู้เรียน

-------------------------------------------------------------------------------------

เมื่อเข้าใจ และรู้จริงในสูตรของทั้งอนุกรมเลขคณิตและเรขาคณิต

กลับมาพิจารณาโจทย์ปัญหาของผม ...ก็จะมองเห็นคำตอบ (วิธีให้ได้คำตอบ) อยู่ใกล้ๆที่ปลายจมูกของเรานี่เองครับ

 

 

 

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 88 7 ก.พ. 2551 (14:43)
Now we are told "how" Frederik Gauss solved the sum of infinite mathematical series and the technique he used.

We are shown a simple geometric progression series and how to sum that.

We are asked to apply the technique to sum a general GPS
"การหาผลบวกของอนุกรมเรขาคณิตทั่วๆไป
S = a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-1)
ก็ทำได้ในทำนองเดียวกันนี้ .......... น่าเสียดายที่ (ครู)นักเรียน ไม่ได้ให้ความสนใจถึงแนวคิดวิธีการตรงนี้มากนัก ... พอได้สูตร ... ก็จำสูตรไปเลย หรืออาจจะไม่ได้ให้เวลากับการแสดงวิธีการได้มาของสูตรเลย"

In fact (in #82) we are asked to think about
S = a0 + a1.r^1 + a3.r^2 + ... + an.r^(n)
where a1, a2, a3, ... are coefficients (not necessary equal 'a') and r represents the atom of the geometric terms (e.g. 2^ ).

I think we should try Gauss's method and should discover that his technique has limitations and/or difficulties.
Then we should 'search' for other techniques or invent a new (to us) technique.

I think we are making progress (into history more than into future). In time, we will learn how to 'think' and how to advance.

[PS we should now see that we can 'specify' a number in a number of ways: e.g. 123, a term or the sum of a series like 1+2+3+...N, the successor (after) or antecedent (before) of another number like S(n) = S(n-1) + x and so on; the recursive definition is, in a sense, a machine (or process) that produces numbers! ]

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 89 8 ก.พ. 2551 (10:59)

ขออนุญาตแสดงวิธีการหาผลบวกของอนุกรมใน #82 ที่ได้ post เอาไว้

S=S(n) = (1)(2)+(2)(4)+(3)(8)+(4)(16)+ ... +(n)(2^n)

หรือ

S=S(n) = (1)(2^1)+(2)(2^2)+(3)(2^3)+(4)(2^4)+ ... +(n)(2^n)

ซึ่งอาจจะเรียกว่าอนุกรมผสม ที่แต่ละพจน์เป็นผลคูณของลำดับเลขคณิตและลำดับเรขาคณิต

......................................................................................................................

ถ้าทดลองใช้เทคนิคของเกาส์ เขียนหัวท้ายกลับกัน แล้วบวกกันเข้า จะพบว่า ใช้ไม่ได้ ผลบวกไม่คงที่  : (1)(2)+(n)(2^n) ไม่เท่ากับ (2)(4)+(n-1)(2^(n-1)) เช่น n=10

จะได้ (1)(2)+(10)(2^10)= 20482 แต่ (2)(4)+(9)(2^9)=4616

......................................................................................................................

ดังนั้น จึงควรทดลองด้วยเทคนิคของอนุกรมเรขาคณิต เรามี common ratio = 2 จึงลองคูณสมการข้างต้นด้วย 2 จะได้

2S =  (1)(2^2)+(2)(2^3)+(3)(2^4)+(4)(2^5)+ ... +(n)(2^(n+1))

ทีนี้ลองเทียบกับ

S = (1)(2^1)+(2)(2^2)+(3)(2^3)+(4)(2^4)+ ... +(n)(2^n)

จับสมการลบกัน จะได้

S = 2S - S = (-1)(2^1)+(-1)(2^2)+(-1)(2^3)+(4)(2^4)+ ... +(-1)(2^n)+(n)(2^(n+1))

= (n)(2^(n+1)) -( 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^n )

= (n)(2^(n+1)) -(2^(n+1) - 2^1)/(2-1)            (ใช้สูตรของอนุกรมเรขาคณิต)

= (n-1)(2^(n+1)) + 2

จึงได้สูตร

S(n) = (1)(2^1)+(2)(2^2)+(3)(2^3)+ ... +(n)(2^n) = (n-1)(2^(n+1)) + 2

...............................................................................................................

อาจดูเหมือนจะซับซ้อน แต่จริงๆ แล้วตรงไปตรงมา เราเพียงแต่อาจจะไม่คุ้นเท่านั้นเองครับ

 

อุปสรรคสำคัญ สำหรับนักเรียนคือ การคิดในรูปทั่วไป การคิดในรูปของสัญลักษณ์ตัวแปร

ซึ่งสำคัญมาก ... และต้องค่อยๆฝึกฝนครับ

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 90 9 ก.พ. 2551 (12:40)
Thanks MathGuy for showing the 'methods'.
We have now learned:
1) arithmatic progression (AP) and the 'common difference';
2) geometric progression (GP) and the 'common ratio'.

Questions: Given a sequence of numbers (or terms), how do we tell if it is AP or GP or something else?

For examples:
1) given 2y, -(y^2)/x, (y^3)/(2x^2), -(y^4)/(4x^3)
find its tenth term and the sum of the 4 given terms
2) find the sum of 1, 4, 9, 16, ..., j^2
3) given a progression, is the reverse also a progression? (e.g. given 1, 2, 3, ...,n; is n, n-1, ..., 2, 1 also a progression?

Anyone care to say why we learn about sequences (progressions)?
What can we use them for? Apart from as mental exercises.

(I have been told that Benjamin Gompertz, in 1825 found that the mortality rate increased in geometric progression i.e. if m(a) is the rate of deaths for people at age a, then ... m(50), m(51), m(52), ... is a GP. What does this mean? )

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 91 11 ก.พ. 2551 (10:46)

สิ่งที่ขัดแย้งกับความรู้สึกเราก็คือ

เมื่อกำหนดลำดับของตัวเลข

a(1), a(2), a(3), .... , a(n)

แล้วให้หาพจน์ถัดไป a(n+1)

(FACT หรือ Theorem) ปรากฏว่า หากกำหนดจำนวน M ใดๆ เราสามารถหาสูตร หรือฟังก์ชัน a(n) = F(n)

ที่ทำให้ a(n+1) = F(n+1) = M

 

โดยความรู้สึกของเรา หากเห็นชุดตัวเลข

1, 2, 3, 4, 5, 6,  ย่อมคาดเดาว่าตัวถัดไปคือ 6+1 =7

หากเห็นชุดตัวเลข

1, 3, 5, 7, 9, 11,  ย่อมคาดเดาว่าตัวถัดไปคือ 11+2 =13

ทีนี้ลองพิจารณา ชุดตัวเลข

2, 3, 5, 8,

ถามว่าตัวถัดไปน่าจะเป็นอะไร ? 12 หรือ 13 ? เพราะอะไร?

 

จะเห็นได้ว่า หากกำหนดชุดตัวเลข จำนวนจำกัดตัว สิ่งที่เราทำได้คือการคาดเอา หรือคาดคะเนตัวถัดไป

 

 

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 92 11 ก.พ. 2551 (16:26)

มีเด็กมาขอให้ช่วยสร้างรูปไฮเพอร์โบลาที่กระทู้ http://www.vcharkarn.com/vcafe/26275 ตอบให้แล้วไม่รู้ว่าตัวคนถามจะมาดูหรือไม่ เพราะไม่เห็นมีการโพสต์ตอบหรือขอบคุณแต่อย่างใด รู้สึกเสียดายถ้าไม่มีใครเห็น ก็เลยขอยกมาไว้ที่นี้ด้วย เผื่อจะมีนักเรียนและคุณครูท่านอื่น ๆ สนใจนะคะ

F2 เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมนะคะ  จุด A อยู่บนเส้นรอบวงให้เคลื่อนไหวไปบนเส้นรอบวงได้

F1 อยู่นอกวงกลม แบ่งครึ่งและลากเส้นตรงให้ตั้งฉากกับส่วนของเส้นตรง AF1 ที่จุด B ไปตัดกับเส้นตรง AF2 ที่จุด C

สร้างรอยที่จุด C

ถ้าสร้างและแสดงรูปด้วยโปรแกรม GSP จะสามารถลากจุด A ให้เคลื่อนที่ไปบนเส้นรอบวงกลม  และจุด C จะถูกขับเคลื่อนเป็นรอยเส้นโค้งไฮเพอร์โบลาตามต้องการค่ะ

หรือจะใช้วิธีคลิกที่จุด A ซึ่งเป็นตัวขับเคลื่อน และจุด C ซึ่งเป็นตัวถูกขับเคลื่อน แล้วคลิกที่คำสั่ง "โลตัส" ในเมนูการสร้าง ก็จะได้ทางเดินของจุด C เป็นไฮเพอร์โบลา เช่นเดียวกัน

เมื่อสร้างเสร็จแล้ว จงหาวิธีพิสูจน์ให้ได้ว่า

ผลต่าง ของระยะระหว่างจุด C ถึงจุด F1 กับระยะระหว่างจุด C ถึงจุด F2 มีค่าคงตัว ไม่ว่าจุด C จะอยู่ตรงไหนบนเส้นโค้งไฮเพอร์โบลานั้น 

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 93 12 ก.พ. 2551 (13:22)
๊๊Ummmm

ลองคิดเล่น ๆ นะ ครับ ชาย 8 คน กับเด็ก 5 คน ร่วมกันทำงาน อย่างหนึ่ง เสร็จในเวลา 2 ชม
ถ้า ชาย 4 คน ทำงานร่วมกับ เด็ก 6 คน งานอย่างเดียวกันนี้ จะเสร็จ ในเวลา 3 ชม

ถ้า ชาย 1 คน จะทำงาน นี้เสร็จได้ ในเวลา เท่า ใด

เราจะสอนเด็ก ให้ เข้าใจ และ แก้ ปัญหา ได้ อย่าง ง่าย ๆ ได้ อย่าง ไร

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 94 12 ก.พ. 2551 (13:25)
May I give an English spelling for "โลคัส"?

Locus = the set of all points or lines that satisfy or are determined by specific conditions. E.g. the "locus" of points of equal distant (radius) from a given point (centre) is a "circle".

In mathematics, it is similar to "trajectory" and "trace".

Smile now you are on candid camera .

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 95 13 ก.พ. 2551 (10:51)

คหพ# 93 ได้เสนอปัญหาเกี่ยวกับการทำงานของคน และเวลาที่ใช้ทำจนเสร็จ

เราอาจจะเริ่มด้วยการวิเคราะห์ "ข้อเท็จจริง" หรือ "ธรรมชาติ" หรือ "โครงสร้าง" ของปัญหา

ดังนี้

(1) คน 1 คน ประเภทหนึ่งๆ มีความสามารถเท่ากัน (ผู้ใหญ่ชาย แต่ละคนทำงานได้เท่ากัน และ เด็กแต่ละคนก็ทำงานได้เท่ากัน - ในเวลาที่เท่ากัน ... แต่ ชาย กับ เด็ก ทำงานได้แตกต่างกัน - โดยปกติ ผู้ใหญ่ก็จะทำงานได้มากกว่าเด็ก)

(2) คน 2 คน (ประเภทเดียวกัน) ในเวลา 1 ชั่วโมง ย่อมทำงานได้เท่ากับ 1 คนที่ต้องใช้เวลา 2 ชั่วโมง - ถ้าทำช่วยกัน ก็ต้องเสร็จเร็วขึ้น เป็นจำนวนเท่านั้นเท่า)

(3) เรามีคน 2 ประเภท คือ ชาย และ เด็ก

(4) เราไม่รู้ว่า ชาย 1 คน ทำงานชิ้นนี้ ต้องใช้เวลาเท่าใด สมมติให้เป็น a ชม. ดังนั้น 1 ชม.

ชาย 1 คนจะทำงานได้ 1/a (ของงานทั้งหมด)

(5) ทำนองเดียวกัน เราไม่รู้ว่า เด็ก 1 คน ทำงานชิ้นนี้ ต้องใช้เวลาเท่าใด สมมติให้เป็น b ชม.

ดังนั้น 1 ชม. เด็ก 1 คนจะทำงานได้ 1/b (ของงานทั้งหมด)

 

ทีนี้ไปดูข้อมูลที่โจทย์กำหนดให้

- ชาย 8 คน กับเด็ก 5 คน ร่วมกันทำงานนี้เสร็จในเวลา 2 ชม

ดังนั้น

2 (ชม.) x [ (8 x (1/a) ) + ( 5 x (1/b)) ] = 1  (งานทั้งหมด)  ..... สมการ (1)

 

- ชาย 4 คน ทำงานร่วมกับ เด็ก 6 คน งานอย่างเดียวกันนี้ จะเสร็จ ในเวลา 3 ชม

ดังนั้น

 

3 (ชม.) x [ (4 x (1/a) ) + ( 6 x (1/b)) ] = 1  (งานทั้งหมด)  ..... สมการ (2)

 

แก้สมการ (1) และ (2) เพื่อหาค่า a (และ b) ... ก็จะได้คำตอบตามที่ต้องการ

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 96 14 ก.พ. 2551 (15:57)
I looked at the topic สอนคณิตศาสตร์ให้เด็กคิด and wondered if we had gone off the track.

Should we create thinking 'channels' and 'barriers' and allow kids to explore?
Or should we lead them by showing 'a' solution?

I like to ask questions and to encourage questions in return. That is I like to use 'enquiry' as a means to learn (to think and to discover). This would work well if kids and we are not shy to ask (even silly) questions .

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 97 22 ก.พ. 2551 (09:07)

มันก็เป็นเรื่องแปลกนะคะ  จากประสบการณ์ของดิฉัน เด็กที่มีปัญหาชอบชกต่อยกับเพื่อน โรงเรียนก็พยายามหาวิธีแก้ปัญหา เช่น ตั้งค่าย/เวทีมวยขึ้นในโรงเรียน เพื่อให้เด็กพวกนี้ได้ทำกิจกรรมตามความสนใจและความถนัดเฉพาะตนอย่างถูกต้องตามหลักการพลศึกษา 

ผลปรากฏว่า เด็กที่มีปัญหาชอบชกต่อย ทะเลาะเบาะแว้ง ไม่มาสมัคร  เด็กที่มาสมัครกลับเป็นเด็กที่ไม่มีปัญหา

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 98 22 ก.พ. 2551 (14:29)
Ummmmh, I am curious.
Did the number of (fighting) incidents go down?
And did the seriousness (or severity) of incidents become less?

I am reminded of a time when a new technology was introduced into a workplace. It was met with strong resistance and sabotage (deliberate destroying, obstructing and interrupting). The problem was really NOT the new technology but the 'culture' at work at the time.

On reflection, I could see that adding a new element into a long established system with 'rusted in' tradition, was like giving a virus to a body. The immune system just stood up and worked the way it should. The solution was to add 'go-between' (interfacing) elements that link the old to the new in a nice and 'trendy' way. (I think the Chinese call this "oil" ).

Now that was past and I learned that like electrical resistance, human resistance also obeys certain laws (not much different from laws on V, I, R, L and C ). Impedance matching (Aj. Sukhumal would call that 'communication literacy'?) was my favourite game for a while.

Sincerely, did the school also arrange 'contests' (competition) and 'rank' competency with 'medals' and 'statuses' and etc. too?

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 99 25 ก.พ. 2551 (10:24)
I am still unclear of what we mean "think" (as in 'how to teach kids to think').


I see that we have given examples of 'how other (famous) people thought and solved some certain problems (arithmatic progression and geometric progression).
I think the end results are some kids would have learned how to "copy" the "methods" and some would have learned to apply the methods to similar problems.

Khun Icarus asks (#93):
'ลองคิดเล่น ๆ นะ ครับ ชาย 8 คน กับเด็ก 5 คน ร่วมกันทำงาน อย่างหนึ่ง เสร็จในเวลา 2 ชม
ถ้า ชาย 4 คน ทำงานร่วมกับ เด็ก 6 คน งานอย่างเดียวกันนี้ จะเสร็จ ในเวลา 3 ชม

ถ้า ชาย 1 คน จะทำงาน นี้เสร็จได้ ในเวลา เท่า ใด'

"เราจะสอนเด็ก ให้ เข้าใจ และ แก้ ปัญหา ได้ อย่าง ง่าย ๆ ได้ อย่าง ไร"

Mathguy (in #95) gave an example of the method and the main assumption that "men and children can 'equally do the job' in 'equal time'".

I would now ask: "why do we have to make assumptions?". Is it possible for kids (say M2-M3) to come up with a "way to solve" the problem by discussion in class in one hour?

I would see this process of letting kids discuss and solve a problem by themselves as "teaching how to think".

May be I am very wrong here .

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 100 25 ก.พ. 2551 (11:07)
I have not made myself clear about "think".

Let me try this. In a game of 20 questions. A player "thinks" of an object (thing) and let other players ask upto 20 questions to "work out" what the object is. All questions will be answered with 'no' or 'yes' only. For example:

1. Is the thing alife? Yes
2. Can it fly? Yes
3. Does it have feathers? No
4. Does it have 6 legs? No
...

Here we see the player who 'thinks' of a thing, does not really think.
But, the other player who asks questions to 'work out' what the thing is, really 'thinks'.
The thinking process here is one simple and enjoyable (logic) game for all ages.

In examinations, we have a "hide-and-seek" game (with "multiple choice": one correct answer among many answers"), a pictures-matching (linking) game (to find pairs of pictures among many face-down cards), ...

I think we can see that a thinking process involves repeating steps till we find a solution:
1) choosing a guess (hypothesis)
2) matching result (verification)
3) learning (linking or separating)

[(Computer) Programmers would see the process as a "do ... until (...)" loop. Ummmh, may be a way we "think" is not that different from the way computers think .
But please note that this ONE way to think!]

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 101 25 ก.พ. 2551 (14:50)

The computers do not think!

The one who really thinks is the programmer who writes the program for the computer to process along the ways that were set in the program.

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 102 26 ก.พ. 2551 (04:14)
Dear ครูไผ่,

Exactly my point!

Are we (as teachers) programming our kids to process data/information (with the 'methods'/recipes/approaches/...) like they are computers?

We can (I am glad to) see some differences between 'thinking' and 'following instructions (stored in memory)'.

We can now move on to 'how to teach kids to think' not 'how to replay the recorded knowledge'.

[Knowledge=stored/memorized matter? what is known/remembered (by at least one of us)?
Learning=understanding? knowing? how to choose (decide correctly)?]

Please help me here .

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 103 26 ก.พ. 2551 (10:16)
To teach "how to think" (in Math) is an art but at the same time the teachers do need to know "well" about Math.

เรื่องการแก้ปัญหาเวลาในการทำงานของกลุ่มคนที่ต่างกัน ซึ่งผมเสนอวิธีคิดไปนั้น ไม่ได้เจตนาให้เกิดการเรียนรู้ด้วยการ "copy" แต่เป็นการให้ศึกษาวิธีคิด ว่าคิดแบบนี้ ทำไมจึงนำไปสู่คำตอบ

และไม่ได้ให้หยุดที่คำตอบเท่านั้น แต่เน้นที่การให้ศึกษาวิธีคิด ... เมื่อเปลี่ยนโจทย์ใหม่ ปรับจำนวนคน ปรับเวลา ... ควรจะสามารถแก้ปัญหาในทำนองเดียวกันได้ ... จะเรียกว่า เลียนแบบก็น่าจะได้


จริงๆ โจทย์ปัญหานี้ สามารถกำหนดเงื่อนไขต่างๆ และทำให้ได้คำตอบเป็นสูตรสำเร็จเลยก็ได้ (อันนี้ ผมแนะนำให้ทำเป็นโครงงานคณิตศาสตร์)

....................................................................................................................................
ส่วนการให้ค่อยๆเริ่มคิดเองทั้งหมดเลย อย่างที่คุณ SR ว่านั้น เป็นอีกแนวทางหนึ่งที่น่าส่งเสริมให้ทดลองใช้กันครับ ... อาจจะใช้เวลาสัก 1 ชั่วโมง หรือมากกว่านั้น ... ซึ่งผู้สอนต้องวางแผนการต่างๆ ไว้รับมือพอสมควร
...................................................................................................................................

จริงๆ ไม่ได้หลงประเด็นเรื่อง "การสอนให้คิด" หรือทำให้เข้าใจคลาดเคลื่อน

อาจจะเนื่องด้วย เราพูดคุยกันแบบค่อนข้างปลายเปิด ไม่ได้ตกลงว่าจะคุยกันในระดับชั้นไหนอย่างไร เมื่อเจ้าของปัญหายกคำถามขึ้นมา ผมก็เลยลองแสดงวิธีแก้ปัญหาให้ดู ... ซึ่งผมเองก็วิเคราะห์ และแก้ปัญหาสดๆตอนนั้นเลย ไม่ได้ไปจดจำสูตร หรือวิธีการมาจากไหน

บางครั้งเวลาเสนอหรือแสดงความคิดไป ก็อาจจะเผลอไปได้ว่าเป้าหมายตอนนี้คือ ครูผู้สอน หรือ เด็กผู้เรียน ... ต้องขออภัยด้วยครับ

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 104 26 ก.พ. 2551 (10:40)
ตอนที่ผมเสนอวิธีคิด (ซึ่งก็ยังไม่ได้ลงรายละเอียดมากนัก) คาดหวังให้ผู้สอน ลองศึกษาวิธีคิด ขั้นตอนการคิด ที่นำเสนอนั้นให้เข้าใจ

คือให้ผู้สอนเข้าใจก่อน ... เข้าใจจริงๆ จนมั่นใจ
(หรือหากผู้สอน จะลองคิดค้นหาวิธีคิดวิธีใหม่เลยก็ย่อมได้ )

เมื่อผู้สอนเข้าใจแนวคิดแล้ว ทีนี้ก็มาพิจารณาว่า เราจะนำไปสอนเด็กอย่างไร เราจะจัดกิจกรรมอย่างไร

คือตอนแรกเริ่มของผู้สอนนั้น ผู้สอนต้องเข้าใจปัญหา เข้าใจวิธีคิดในการแก้ปัญหา (อย่างน้อย 1 วิธี) อย่างถ่องแท้เสียก่อน ซึ่งตรงนี้เป็นหัวใจที่สำคัญมากๆอันหนึ่ง

ในลำดับถัดไป จึงจะเป็นเรื่องของศิลปะ เรื่องของเทคนิคการสอน หรือกิจกรรมที่จะนำมาใช้

..........................................................................................................

เราน่าจะลองช่วยกันปรับวิธีคิดที่ได้นำเสนอไปนั้น
เพื่อนำไปถ่ายทอด หรือสร้างเป็นกิจกรรม ให้เด็กได้คิด ได้ค้นพบ วิธีการคิดในทำนองนี้ หรือแม้แต่วิธีคิดอื่นๆที่จะนำไปสู่คำตอบของปัญหา

เมื่อจะนำไปสอนจริงๆ เราต้องปรับเปลี่ยนอะไรบ้าง

(1) จะเริ่มต้นแนะนำปัญหาอย่างไร
(2) จะค้นพบเงื่อนไข ข้อตกลง ข้อมูลเบื้องต้นที่สำคัญของปัญหาได้อย่างไร
(3) (จะเข้าถึงโครงสร้างของปัญหาได้อย่างไร)
(4) จะใช้คณิตศาสตร์ ตัวแปร สมการต่างๆ ในขั้นตอนใดบ้าง
(5) สุดท้ายจะได้คำตอบ ได้อย่างไร

...........................................................................................................
(6) สังเกต มองย้อนกลับไปที่วิธีคิดที่ได้คำตอบดังกล่าวอีกครั้งหนึ่ง (เพื่ออะไร?)