วิชาการดอทคอม ptt logo

โจทย์พีชคณิต (อย่างยาก) สำหรับคนชอบความท้าทาย

โพสต์เมื่อ: 09:17 วันที่ 29 พ.ย. 2548         ชมแล้ว: 3,665 ตอบแล้ว: 31
วิชาการ >> กระทู้ >> ทั่วไป
ข้อ 1. จงพิสูจน์ว่า 2n > 1+n*sqrt(2n-1) เมื่อ n>2

ข้อ 2. จงพิสูจน์ว่า (am+bm)/2 > ((a+b)/2)m เมื่อ a,b>0 และ a ไม่เท่ากับ b

ข้อ 3. จงพิสูจน์ว่า (1+x)1+x(1-x)1-x > 1 เมื่อ x<1

ข้อ 4. จงพิสูจน์ว่า aabb > ((a+b)/2)a+b

ข้อ 5. จงพิสูจน์ว่า abba < ((a+b)/2)a+b

ข้อ 6. จงแสดงว่าค่าต่ำสุดของ 1/x + 1/y + 1/z คือ 9 เมื่อ x+y+z = 1


เล็ก (สวิตช์เกียร์ @ กฟผ.)
ร่วมแบ่งปัน6390 ครั้ง - ดาว 394 ดวง





จำนวน 31 ความเห็น, หน้าที่ | -1-
ความเห็นเพิ่มเติมที่ 1 29 พ.ย. 2548 (11:31)
Hints:

1. AM-GM

2. Power Mean Ineq.

3. Weighted AM-GM

4. Weighted AM-GM

5. Use the fact that ab <= sqrt((a+b)/2) and apply 4. to yeild 5.

6. AM-HM
Batominovski
ร่วมแบ่งปัน66 ครั้ง - ดาว 153 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 2 29 พ.ย. 2548 (14:08)
แสดงว่าคุณ Batominovski เคยผ่านๆ ตาหมดแล้ว เยี่ยมจริงๆ



ใครแสดงวิธีคิดโดยละเอียดตาม Hints ได้ ลองดูเลยครับ

ถ้าไม่มี ผมจะทยอยเฉลยให้ เพื่อให้น้องๆ นำไปศึกษาต่อ
เล็ก (สวิตช์เกียร์ @ กฟผ.)
ร่วมแบ่งปัน6390 ครั้ง - ดาว 394 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 3 29 พ.ย. 2548 (20:13)
ยังไม่มีใครมาทำเดี๋ยวผมทำนะ อิอิอิ
GFK
ร่วมแบ่งปัน2989 ครั้ง - ดาว 229 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 4 29 พ.ย. 2548 (20:36)
พี่ Botominovski

...เหรียญทองคณิตศาสตร์โอลิมปิกโลก

...หนึ่งเดียวของประเทศไทย

...รุ่นพี่โรงเรียนของผมเอง



...ผมดีใจมากครับที่พี่เข้ามาตอบปัญหา

...แม้ว่าผมจะยังงงๆ โดยเฉพาะเรื่องอสมการ

...ผมกำลังวัดรอยเท้า เอ๊ย..ไม่ใช่ กำลังเดินตามรอยเท้าพี่อยู่

...ไม่รู้ฝันไปหรือเปล่า

...พี่เข้ามาตอบบ่อยๆ...นะครับ
Cartoon
ร่วมแบ่งปัน438 ครั้ง - ดาว 150 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 5 29 พ.ย. 2548 (21:30)
มีคนแล้วแฮะว่า คุณ Batominovski คือ ธนสิน เหรียญทองโอลิมปิกคณิตศาสตร์
GFK
ร่วมแบ่งปัน2989 ครั้ง - ดาว 229 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 6 29 พ.ย. 2548 (22:40)
คุณ Batominovski ตอบโจทย์ต่างๆ ได้ยอดเยี่ยมทุกครั้ง

ผมเห็นด้วยกับน้อง Cartoon ที่อยากเดินตามรอยเท้ารุ่นพี่

การทำตามตัวอย่างที่ดีนั้น เป็นผลดีกับตัวเราเอง และเป็น

การให้เกียรติสูงสุดต่อ Image ของเราด้วย สนับสนุนด้วยคน



ผมอยากเห็นน้องๆ รุ่นหลังช่วยกันเรียนรู้ให้เก่งๆ จะได้ร่วมกัน

สร้างชื่อเสียงและเป็นตัวอย่างที่ดีให้กับสังคมของเราต่อไป



ผมนึกถึงเรื่องเล่าที่นิวตันแก้โจทย์คณิตส่งกลับไปให้คนท้า โดย

ไม่บอกชื่อจริง แต่พอคนที่ท้าให้คนอื่นช่วยกันแก้โจทย์คนนั้น

เห็นวิธีทำของนิวตัน ก็ถึงกับเปรยออกมาว่า



"มีหรือผมจะจำกรงเล็บสิงโตไม่ได้"



ผมขอยกคำเปรียบเปรยนี้ให้กับคุณ Batominovski ของเราเช่นกัน
เล็ก (สวิตช์เกียร์ @ กฟผ.)
ร่วมแบ่งปัน6390 ครั้ง - ดาว 394 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 7 29 พ.ย. 2548 (23:14)
เฉลยข้อ 1. จงพิสูจน์ว่า 2n > 1+n*sqrt(2n-1) เมื่อ n>2



เราต้องรู้มาก่อนว่า

"ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของจำนวนจริงบวกใดๆ ย่อมมากกว่าค่าเฉลี่ยเรขาคณิต"



ดังนั้น {(1+2+22+...+2n-1)/n}n > 1*2*22*...*2n-1



ทำให้ {(2n-1)/n}n > 21+2+3+...+(n-1) or 2n*(n-1)/2



ฉะนั้น (2n-1)/n > 2(n-1)/2 or sqrt(2n-1)



คูณ n ทั้งสองข้าง แล้วบวกด้วย 1 อีกที ก็จะได้ผลลัพธ์ตามที่ต้องการ
เล็ก (สวิตช์เกียร์ @ กฟผ.)
ร่วมแบ่งปัน6390 ครั้ง - ดาว 394 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 8 30 พ.ย. 2548 (00:02)
เฉลยข้อ 3. จงพิสูจน์ว่า (1+x)1+x(1-x)1-x > 1 เมื่อ x<1



ให้ P = (1+x)1+x(1-x)1-x ดังนั้น



log P = (1+x)log(1+x) + (1-x)log(1-x)

....... = x{log(1+x) - log(1-x)} + log(1+x) + log(1-x)



อาศัยความรู้เรื่อง Taylor Series ในการกระจาย log(1+x) และ log(1-x) จะได้



log P = 2x*{x + x3/3 + x5/5 + ...} – 2*{ x2/2 + x4/4 + x6/6 + ...}

....... = 2*{ x2/(1*2) + x4/(3*4) + x6/(5*6) + ...}



จะเห็นได้ว่า log P มีค่าเป็นบวก ดังนั้น P > 1



สรุปได้ว่า (1+x)1+x(1-x)1-x > 1
เล็ก (สวิตช์เกียร์ @ กฟผ.)
ร่วมแบ่งปัน6390 ครั้ง - ดาว 394 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 9 30 พ.ย. 2548 (00:22)


\_/
26655

GFK
ร่วมแบ่งปัน2989 ครั้ง - ดาว 229 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 10 30 พ.ย. 2548 (00:22)


\_/
26656

GFK
ร่วมแบ่งปัน2989 ครั้ง - ดาว 229 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 11 30 พ.ย. 2548 (00:23)


///
26657

GFK
ร่วมแบ่งปัน2989 ครั้ง - ดาว 229 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 12 30 พ.ย. 2548 (00:35)



42400

GFK
ร่วมแบ่งปัน2989 ครั้ง - ดาว 229 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 13 30 พ.ย. 2548 (00:51)
คุณ GFK ยังรวดเร็วและยอดเยี่ยมเหมือนเดิม



สงสัยนิดเดียวในข้อ 6 ว่าเราจะรู้ก่อนได้อย่างไรว่าในบรรทัดแรก

1/x + 1/y + 1/z > 0 หรือไม่

เพราะคุณนำมาคูณตลอดอสมการ จะต้องรู้ก่อนว่ามันติดลบหรือไม่

(มีผลต่อการกลับ/ไม่กลับเครื่องหมาย)
เล็ก (สวิตช์เกียร์ @ กฟผ.)
ร่วมแบ่งปัน6390 ครั้ง - ดาว 394 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 14 30 พ.ย. 2548 (01:21)
คือจาก โจทย์ จงแสดงว่าค่าต่ำสุดของ 1/x + 1/y + 1/z คือ 9 เมื่อ x+y+z = 1



ผมคิดว่า โจทย์น่าจะหมายถึง ค่าต่ำสุดของ 1/x + 1/y + 1/z เมื่อ x + y + z = 1 ในกรณีที่ x , y , z > 0 น่ะครับ



เพราะว่า ผมลองคิดบางกรณี เช่น x = 1 , y = 1 , z = -1 (x+y+z = 1) จะได้ 1/x + 1/y + 1/z = 1 + 1 - 1 = 1 ซึ่งมีค่าน้อยกว่า 9



และ ถ้า x = -3 , y = 5 , z = -1 (x+y+z = 1) จะได้ 1/x + 1/y + 1/z = -1/3 + 1/5 - 1 = -17/15 = -1.133 < 0 < 9



แล้วอีกอย่างผมใช้ AM-GM-HM Ineq. ในการทำ ซึ่งเงื่อนไขของ AM-GM-HM Ineq. นั้น ใช้ได้กับ จำนวนที่เป็นบวกเท่านั้น จึงทำให้ผมมองข้ามในกรณีที่ 1/x + 1/y + 1/z < 0 ไป เนื่องจาก 1/x , 1/y , 1/z ต้องมากกว่า 0 (จะได้ 1/x + 1/y + 1/z > 0) จึงจะใช้ AM-HM Ineq. ได้
GFK
ร่วมแบ่งปัน2989 ครั้ง - ดาว 229 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 15 30 พ.ย. 2548 (02:19)


รู้สึกว่าตัวเองทำแล้วมันไม่สวยเก๋เลยแฮะ Y_Y
26658

GFK
ร่วมแบ่งปัน2989 ครั้ง - ดาว 229 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 16 30 พ.ย. 2548 (03:59)
5.

Alternative solution.

First note from AM-GM that ab <= [(a+b)/2]^2.

(ab)^(a+b) <= [(a+b)/2]^[2(a+b)].

Since a^a b^b >= [(a+b)/2]^(a+b) (Q.4) and (ab)^(a+b) = (a^a b^b) (a^b b^a), we then obtain [(a+b)/2]^(a+b) >= a^b b^a
BTMNSK (IP:18.19.0.55,,)

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 17 30 พ.ย. 2548 (05:09)
สุดยอดจริงๆ พลังสูงๆ กันทั้งนั้นเลย

ไม่ได้เข้ามาวันเดียว ตอบกันหมดละ

(ถ้าจะให้ผมทำ คงใช้เวลาเป็นปี เหอะๆๆ)
เนยสด
ร่วมแบ่งปัน1976 ครั้ง - ดาว 2 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 18 30 พ.ย. 2548 (07:46)
ขอคารวะ ท่าน BTMNSK ครับ สุดยอดจริงๆ
GFK
ร่วมแบ่งปัน2989 ครั้ง - ดาว 229 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 19 30 พ.ย. 2548 (09:09)
Dear Nong Cartoon;

I really wish that one day your hope comes true. Who knows? In the future, your skills may defeat mine. In fact, I don't have so much time to answer your questions na krub, except these days (on which, seemingly, there is not much work to do). My college is kinda tough a' (a piece of homework might cost me days!).

Lastly, sorry that I don't reply in Thai, since 1. sometimes I'm using my college's computer on which there is no thai character, 2. my typing skill (in thai) is pitifully terrible, and 3. I get pissed off everytime when I find that I have forgotten to change the language.



Affectionately,

Bato-kun .
Batominovski
ร่วมแบ่งปัน66 ครั้ง - ดาว 153 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 20 30 พ.ย. 2548 (09:14)
Almost forgot this.

Thank you for your admiration krub, K' Leck. I'm so delighted that I'm floating and getting stuck with the ceiling now.
Batominovski
ร่วมแบ่งปัน66 ครั้ง - ดาว 153 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 21 30 พ.ย. 2548 (18:34)
ขอคารวะ คุณ ธนสิน สุดยอดเหรียญทองโอลิมปิคคณิตศาสตร์เหรียญเดียวของไทย ด้วยหนึ่งจอกครับ....(กึ๊บ ๆ ๆ)
Megabyte (IP:203.155.81.131,192.168.3.249,)

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 22 30 พ.ย. 2548 (19:52)
ขอขอบคุณพี่ธนสินอีกครั้งครับ
Cartoon
ร่วมแบ่งปัน438 ครั้ง - ดาว 150 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 23 1 ธ.ค. 2548 (19:52)
1. AM-GM เป็นเรื่องอะไรหรือครับและเรียน ม.ใหนหรือ
~[กิจ คราบ]~
ร่วมแบ่งปัน29 ครั้ง - ดาว 152 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 24 1 ธ.ค. 2548 (20:43)


AM-GM-HM คืออสมการ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต - เรขาคณิต - ฮาร์โมนิค
26659

เม่น
ร่วมแบ่งปัน439 ครั้ง - ดาว 160 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 25 1 ธ.ค. 2548 (21:02)


26660
แก้นิดนึงคับ

เม่น
ร่วมแบ่งปัน439 ครั้ง - ดาว 160 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 26 2 ธ.ค. 2548 (00:59)
เพิ่มเติมนิดนึง A.M. G.M. H.M. เรียน ม.5 ครับ ในเรื่องของสถิติ เอาไว้ใช้หาค่าเฉลี่ยของข้อมูลประเภทต่างๆ
lemon_on_mars@hotmail.com (IP:203.113.36.14,,)

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 27 2 ธ.ค. 2548 (17:25)
ขอถามโจทย์ด้วยข้อนึงครับ

http://www.mathcenter.net/cgi-bin/ultimatebb.cgi?ubb=get_topic&f=2&t=000074
Char_Aznable_of_sk@hotmail.com (IP:61.91.87.99,,)

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 28 3 ธ.ค. 2548 (00:33)



คือข้อนี้ใช่มั้ยครับ

warit
ร่วมแบ่งปัน55 ครั้ง - ดาว 153 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 29 3 ธ.ค. 2548 (00:34)


26661
คือข้อนี้ใช่มั้ยครับ

warit
ร่วมแบ่งปัน55 ครั้ง - ดาว 153 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 30 27 พ.ค. 2549 (03:42)
Since ab + bc + ca = 1, 1+a^2 = (b+a)(c+a), 1+b^2=(c+b)(a+b), and 1+c^2 = (a+c)(b+c).



(1+ a^2*b^2)/(a+b)^2 = [(1+a^2)(1+b^2) - 2ab]/(a+b)^2

= [{(b+a)(c+a)}{(c+b)(a+b)} - 2ab]/(a+b)^2

= (c+a)(c+b) - 2ab/(a+b)^2

>= (c+a)(c+b) - 1/2 (AM-GM).



Similarly, (1 + b^2*c^2)/(b+c)^2 >= (a+b)(a+c) - 1/2, and (1 + c^2*a^2)/(c+a)^2 >= (b+c)(b+a) - 1/2.



Sum all three inequalities to yield the following:

(1+ a^2*b^2)/(a+b)^2 + (1 + b^2*c^2)/(b+c)^2 + (1 + c^2*a^2)/(c+a)^2 >= (c+a)(c+b) + (a+b)(a+c) + (b+c)(b+a) - 3/2

= (a^2 + b^2 + c^2) + 3(ab + bc + ca) - 3/2

>= 4(ab+bc+ca) - 3/2 (AM-GM).



Since ab + bc + ca = 1, (1+ a^2*b^2)/(a+b)^2 + (1 + b^2*c^2)/(b+c)^2 + (1 + c^2*a^2)/(c+a)^2 >= 4 - 3/2 = 5/2, as desired.



I've just noticed this interesting ineq... and then dug it up, haha.
Batominovski
ร่วมแบ่งปัน66 ครั้ง - ดาว 153 ดวง

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 31 27 พ.ค. 2549 (20:29)
อยากเก่งเหมือนพี่ Batominovski จัง หนูกำลังตั้งใจสุดๆอยู่

แต่ยังไม่ค่อยเข้าใจอะไรเลย สู้ๆสู้ตายยย
อยากเก่ง (IP:124.120.12.2,,)

จำไว้ตลอด

ความเห็นเพิ่มเติม วิชาการ.คอม
ชื่อ / email:
ข้อความ

กรุณาล๊อกอินก่อน เพื่อโพสต์รูปภาพ และ ใช้ LaTex ค่ะ สมัครสมาชิกฟรีตลอดชีพที่นี่
กรอกตัวอักษรตามภาพ
ตัวช่วย 1: CafeCode วิธีการใช้
ตัวช่วย 2: VSmilies วิธีการใช้
ตัวช่วย 3: พจนานุกรมไทย ออนไลน์ ฉบับราชบัณฑิต
ตัวช่วย 4 : dictionary ไทย<=>อังกฤษ ออนไลน์ จาก NECTEC
ตัวช่วย 5 : ดาวน์โหลด โปรแกรมช่วยพิมพ์ Latex เพื่อแสดงสมการบนวิชาการ.คอม