โจทย์พีชคณิต (อย่างยาก) สำหรับคนชอบความท้าทาย

ข้อ 1. จงพิสูจน์ว่า 2n > 1+n*sqrt(2n-1) เมื่อ n>2



ข้อ 2. จงพิสูจน์ว่า (am+bm)/2 > ((a+b)/2)m เมื่อ a,b>0 และ a ไม่เท่ากับ b



ข้อ 3. จงพิสูจน์ว่า (1+x)1+x(1-x)1-x > 1 เมื่อ x<1



ข้อ 4. จงพิสูจน์ว่า aabb > ((a+b)/2)a+b



ข้อ 5. จงพิสูจน์ว่า abba < ((a+b)/2)a+b



ข้อ 6. จงแสดงว่าค่าต่ำสุดของ 1/x + 1/y + 1/z คือ 9 เมื่อ x+y+z = 1


ความคิดเห็นที่ 31

อยากเก่ง (Guest)
27 พ.ค. 2549 20:29
  1. อยากเก่งเหมือนพี่ Batominovski จัง หนูกำลังตั้งใจสุดๆอยู่

    แต่ยังไม่ค่อยเข้าใจอะไรเลย สู้ๆสู้ตายยย



ความคิดเห็นที่ 16

BTMNSK (Guest)
30 พ.ย. 2548 03:59
  1. 5.

    Alternative solution.

    First note from AM-GM that ab <= [(a+b)/2]^2.

    (ab)^(a+b) <= [(a+b)/2]^[2(a+b)].

    Since a^a b^b >= [(a+b)/2]^(a+b) (Q.4) and (ab)^(a+b) = (a^a b^b) (a^b b^a), we then obtain [(a+b)/2]^(a+b) >= a^b b^a



ความคิดเห็นที่ 1

Batominovski
29 พ.ย. 2548 11:31
  1. Hints:

    1. AM-GM

    2. Power Mean Ineq.

    3. Weighted AM-GM

    4. Weighted AM-GM

    5. Use the fact that ab <= sqrt((a+b)/2) and apply 4. to yeild 5.

    6. AM-HM



ความคิดเห็นที่ 19

Batominovski
30 พ.ย. 2548 09:09
  1. Dear Nong Cartoon;

    I really wish that one day your hope comes true. Who knows? In the future, your skills may defeat mine. In fact, I don't have so much time to answer your questions na krub, except these days (on which, seemingly, there is not much work to do). My college is kinda tough a' (a piece of homework might cost me days!).

    Lastly, sorry that I don't reply in Thai, since 1. sometimes I'm using my college's computer on which there is no thai character, 2. my typing skill (in thai) is pitifully terrible, and 3. I get pissed off everytime when I find that I have forgotten to change the language.



    Affectionately,

    Bato-kun .



ความคิดเห็นที่ 20

Batominovski
30 พ.ย. 2548 09:14
  1. Almost forgot this.

    Thank you for your admiration krub, K' Leck. I'm so delighted that I'm floating and getting stuck with the ceiling now.



ความคิดเห็นที่ 30

Batominovski
27 พ.ค. 2549 03:42
  1. Since ab + bc + ca = 1, 1+a^2 = (b+a)(c+a), 1+b^2=(c+b)(a+b), and 1+c^2 = (a+c)(b+c).



    (1+ a^2*b^2)/(a+b)^2 = [(1+a^2)(1+b^2) - 2ab]/(a+b)^2

    = [{(b+a)(c+a)}{(c+b)(a+b)} - 2ab]/(a+b)^2

    = (c+a)(c+b) - 2ab/(a+b)^2

    >= (c+a)(c+b) - 1/2 (AM-GM).



    Similarly, (1 + b^2*c^2)/(b+c)^2 >= (a+b)(a+c) - 1/2, and (1 + c^2*a^2)/(c+a)^2 >= (b+c)(b+a) - 1/2.



    Sum all three inequalities to yield the following:

    (1+ a^2*b^2)/(a+b)^2 + (1 + b^2*c^2)/(b+c)^2 + (1 + c^2*a^2)/(c+a)^2 >= (c+a)(c+b) + (a+b)(a+c) + (b+c)(b+a) - 3/2

    = (a^2 + b^2 + c^2) + 3(ab + bc + ca) - 3/2

    >= 4(ab+bc+ca) - 3/2 (AM-GM).



    Since ab + bc + ca = 1, (1+ a^2*b^2)/(a+b)^2 + (1 + b^2*c^2)/(b+c)^2 + (1 + c^2*a^2)/(c+a)^2 >= 4 - 3/2 = 5/2, as desired.



    I've just noticed this interesting ineq... and then dug it up, haha.



ความคิดเห็นที่ 13

เล็ก (สวิตช์เกียร์ @ กฟผ.) vcharkarn veditor
30 พ.ย. 2548 00:51
  1. คุณ GFK ยังรวดเร็วและยอดเยี่ยมเหมือนเดิม



    สงสัยนิดเดียวในข้อ 6 ว่าเราจะรู้ก่อนได้อย่างไรว่าในบรรทัดแรก

    1/x + 1/y + 1/z > 0 หรือไม่

    เพราะคุณนำมาคูณตลอดอสมการ จะต้องรู้ก่อนว่ามันติดลบหรือไม่

    (มีผลต่อการกลับ/ไม่กลับเครื่องหมาย)



ความคิดเห็นที่ 26

lemon_on_mars@hotmail.com (Guest)
2 ธ.ค. 2548 00:59
  1. เพิ่มเติมนิดนึง A.M. G.M. H.M. เรียน ม.5 ครับ ในเรื่องของสถิติ เอาไว้ใช้หาค่าเฉลี่ยของข้อมูลประเภทต่างๆ



ความคิดเห็นที่ 17

เนยสด vcharkarn veditor
30 พ.ย. 2548 05:09
  1. สุดยอดจริงๆ พลังสูงๆ กันทั้งนั้นเลย

    ไม่ได้เข้ามาวันเดียว ตอบกันหมดละ

    (ถ้าจะให้ผมทำ คงใช้เวลาเป็นปี เหอะๆๆ)



ความคิดเห็นที่ 23

~[กิจ คราบ]~
1 ธ.ค. 2548 19:52
  1. 1. AM-GM เป็นเรื่องอะไรหรือครับและเรียน ม.ใหนหรือ



ความคิดเห็นที่ 21

Megabyte (Guest)
30 พ.ย. 2548 18:34
  1. ขอคารวะ คุณ ธนสิน สุดยอดเหรียญทองโอลิมปิคคณิตศาสตร์เหรียญเดียวของไทย ด้วยหนึ่งจอกครับ....(กึ๊บ ๆ ๆ)



ความคิดเห็นที่ 28

warit
3 ธ.ค. 2548 00:33



  1. คือข้อนี้ใช่มั้ยครับ



ความคิดเห็นที่ 29

warit
3 ธ.ค. 2548 00:34

  1. คือข้อนี้ใช่มั้ยครับ



ความคิดเห็นที่ 3

GFK vcharkarn veditor
29 พ.ย. 2548 20:13
  1. ยังไม่มีใครมาทำเดี๋ยวผมทำนะ อิอิอิ



ความคิดเห็นที่ 5

GFK vcharkarn veditor
29 พ.ย. 2548 21:30
  1. มีคนแล้วแฮะว่า คุณ Batominovski คือ ธนสิน เหรียญทองโอลิมปิกคณิตศาสตร์



ความคิดเห็นที่ 9

GFK vcharkarn veditor
30 พ.ย. 2548 00:22
  1. \_/



ความคิดเห็นที่ 10

GFK vcharkarn veditor
30 พ.ย. 2548 00:22
  1. \_/



ความคิดเห็นที่ 11

GFK vcharkarn veditor
30 พ.ย. 2548 00:23
  1. ///



ความคิดเห็นที่ 12

GFK vcharkarn veditor
30 พ.ย. 2548 00:35




ความคิดเห็นที่ 14

GFK vcharkarn veditor
30 พ.ย. 2548 01:21
  1. คือจาก โจทย์ จงแสดงว่าค่าต่ำสุดของ 1/x + 1/y + 1/z คือ 9 เมื่อ x+y+z = 1



    ผมคิดว่า โจทย์น่าจะหมายถึง ค่าต่ำสุดของ 1/x + 1/y + 1/z เมื่อ x + y + z = 1 ในกรณีที่ x , y , z > 0 น่ะครับ



    เพราะว่า ผมลองคิดบางกรณี เช่น x = 1 , y = 1 , z = -1 (x+y+z = 1) จะได้ 1/x + 1/y + 1/z = 1 + 1 - 1 = 1 ซึ่งมีค่าน้อยกว่า 9



    และ ถ้า x = -3 , y = 5 , z = -1 (x+y+z = 1) จะได้ 1/x + 1/y + 1/z = -1/3 + 1/5 - 1 = -17/15 = -1.133 < 0 < 9



    แล้วอีกอย่างผมใช้ AM-GM-HM Ineq. ในการทำ ซึ่งเงื่อนไขของ AM-GM-HM Ineq. นั้น ใช้ได้กับ จำนวนที่เป็นบวกเท่านั้น จึงทำให้ผมมองข้ามในกรณีที่ 1/x + 1/y + 1/z < 0 ไป เนื่องจาก 1/x , 1/y , 1/z ต้องมากกว่า 0 (จะได้ 1/x + 1/y + 1/z > 0) จึงจะใช้ AM-HM Ineq. ได้

แสดงความคิดเห็น

กรุณา Login ก่อนแสดงความคิดเห็น