โจทย์พีชคณิต (อย่างยาก) สำหรับคนชอบความท้าทาย

ข้อ 1. จงพิสูจน์ว่า 2n > 1+n*sqrt(2n-1) เมื่อ n>2



ข้อ 2. จงพิสูจน์ว่า (am+bm)/2 > ((a+b)/2)m เมื่อ a,b>0 และ a ไม่เท่ากับ b



ข้อ 3. จงพิสูจน์ว่า (1+x)1+x(1-x)1-x > 1 เมื่อ x<1



ข้อ 4. จงพิสูจน์ว่า aabb > ((a+b)/2)a+b



ข้อ 5. จงพิสูจน์ว่า abba < ((a+b)/2)a+b



ข้อ 6. จงแสดงว่าค่าต่ำสุดของ 1/x + 1/y + 1/z คือ 9 เมื่อ x+y+z = 1



ความคิดเห็นที่ 31


27 พ.ค. 2549 20:29
  1. อยากเก่งเหมือนพี่ Batominovski จัง หนูกำลังตั้งใจสุดๆอยู่
    แต่ยังไม่ค่อยเข้าใจอะไรเลย สู้ๆสู้ตายยย



ความคิดเห็นที่ 16

30 พ.ย. 2548 03:59
  1. 5.
    Alternative solution.
    First note from AM-GM that ab <= [(a+b)/2]^2.
    (ab)^(a+b) <= [(a+b)/2]^[2(a+b)].
    Since a^a b^b >= [(a+b)/2]^(a+b) (Q.4) and (ab)^(a+b) = (a^a b^b) (a^b b^a), we then obtain [(a+b)/2]^(a+b) >= a^b b^a



ความคิดเห็นที่ 1

Batominovski
29 พ.ย. 2548 11:31
  1. Hints:
    1. AM-GM
    2. Power Mean Ineq.
    3. Weighted AM-GM
    4. Weighted AM-GM
    5. Use the fact that ab <= sqrt((a+b)/2) and apply 4. to yeild 5.
    6. AM-HM



ความคิดเห็นที่ 19

Batominovski
30 พ.ย. 2548 09:09
  1. Dear Nong Cartoon;
    I really wish that one day your hope comes true. Who knows? In the future, your skills may defeat mine. In fact, I don't have so much time to answer your questions na krub, except these days (on which, seemingly, there is not much work to do). My college is kinda tough a' (a piece of homework might cost me days!).
    Lastly, sorry that I don't reply in Thai, since 1. sometimes I'm using my college's computer on which there is no thai character, 2. my typing skill (in thai) is pitifully terrible, and 3. I get pissed off everytime when I find that I have forgotten to change the language.

    Affectionately,
    Bato-kun .



ความคิดเห็นที่ 20

Batominovski
30 พ.ย. 2548 09:14
  1. Almost forgot this.
    Thank you for your admiration krub, K' Leck. I'm so delighted that I'm floating and getting stuck with the ceiling now.



ความคิดเห็นที่ 30

Batominovski
27 พ.ค. 2549 03:42
  1. Since ab + bc + ca = 1, 1+a^2 = (b+a)(c+a), 1+b^2=(c+b)(a+b), and 1+c^2 = (a+c)(b+c).

    (1+ a^2*b^2)/(a+b)^2 = [(1+a^2)(1+b^2) - 2ab]/(a+b)^2
    = [{(b+a)(c+a)}{(c+b)(a+b)} - 2ab]/(a+b)^2
    = (c+a)(c+b) - 2ab/(a+b)^2
    >= (c+a)(c+b) - 1/2 (AM-GM).

    Similarly, (1 + b^2*c^2)/(b+c)^2 >= (a+b)(a+c) - 1/2, and (1 + c^2*a^2)/(c+a)^2 >= (b+c)(b+a) - 1/2.

    Sum all three inequalities to yield the following:
    (1+ a^2*b^2)/(a+b)^2 + (1 + b^2*c^2)/(b+c)^2 + (1 + c^2*a^2)/(c+a)^2 >= (c+a)(c+b) + (a+b)(a+c) + (b+c)(b+a) - 3/2
    = (a^2 + b^2 + c^2) + 3(ab + bc + ca) - 3/2
    >= 4(ab+bc+ca) - 3/2 (AM-GM).

    Since ab + bc + ca = 1, (1+ a^2*b^2)/(a+b)^2 + (1 + b^2*c^2)/(b+c)^2 + (1 + c^2*a^2)/(c+a)^2 >= 4 - 3/2 = 5/2, as desired.

    I've just noticed this interesting ineq... and then dug it up, haha.



ความคิดเห็นที่ 8

เล็ก (สวิตช์เกียร์ @ กฟผ.)
30 พ.ย. 2548 00:02
  1. เฉลยข้อ 3. จงพิสูจน์ว่า (1+x)1+x(1-x)1-x > 1 เมื่อ x<1

    ให้ P = (1+x)1+x(1-x)1-x ดังนั้น

    log P = (1+x)log(1+x) + (1-x)log(1-x)
    ....... = x{log(1+x) - log(1-x)} + log(1+x) + log(1-x)

    อาศัยความรู้เรื่อง Taylor Series ในการกระจาย log(1+x) และ log(1-x) จะได้

    log P = 2x*{x + x3/3 + x5/5 + ...} – 2*{ x2/2 + x4/4 + x6/6 + ...}
    ....... = 2*{ x2/(1*2) + x4/(3*4) + x6/(5*6) + ...}

    จะเห็นได้ว่า log P มีค่าเป็นบวก ดังนั้น P > 1

    สรุปได้ว่า (1+x)1+x(1-x)1-x > 1



ความคิดเห็นที่ 7

เล็ก (สวิตช์เกียร์ @ กฟผ.)
29 พ.ย. 2548 23:14
  1. เฉลยข้อ 1. จงพิสูจน์ว่า 2n > 1+n*sqrt(2n-1) เมื่อ n>2

    เราต้องรู้มาก่อนว่า
    "ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของจำนวนจริงบวกใดๆ ย่อมมากกว่าค่าเฉลี่ยเรขาคณิต"

    ดังนั้น {(1+2+22+...+2n-1)/n}n > 1*2*22*...*2n-1

    ทำให้ {(2n-1)/n}n > 21+2+3+...+(n-1) or 2n*(n-1)/2

    ฉะนั้น (2n-1)/n > 2(n-1)/2 or sqrt(2n-1)

    คูณ n ทั้งสองข้าง แล้วบวกด้วย 1 อีกที ก็จะได้ผลลัพธ์ตามที่ต้องการ



ความคิดเห็นที่ 13

เล็ก (สวิตช์เกียร์ @ กฟผ.)
30 พ.ย. 2548 00:51
  1. คุณ GFK ยังรวดเร็วและยอดเยี่ยมเหมือนเดิม

    สงสัยนิดเดียวในข้อ 6 ว่าเราจะรู้ก่อนได้อย่างไรว่าในบรรทัดแรก
    1/x + 1/y + 1/z > 0 หรือไม่
    เพราะคุณนำมาคูณตลอดอสมการ จะต้องรู้ก่อนว่ามันติดลบหรือไม่
    (มีผลต่อการกลับ/ไม่กลับเครื่องหมาย)



ความคิดเห็นที่ 26

2 ธ.ค. 2548 00:59
  1. เพิ่มเติมนิดนึง A.M. G.M. H.M. เรียน ม.5 ครับ ในเรื่องของสถิติ เอาไว้ใช้หาค่าเฉลี่ยของข้อมูลประเภทต่างๆ



ความคิดเห็นที่ 17

เนยสด
30 พ.ย. 2548 05:09
  1. สุดยอดจริงๆ พลังสูงๆ กันทั้งนั้นเลย
    ไม่ได้เข้ามาวันเดียว ตอบกันหมดละ
    (ถ้าจะให้ผมทำ คงใช้เวลาเป็นปี เหอะๆๆ)



ความคิดเห็นที่ 23

~[กิจ คราบ]~
1 ธ.ค. 2548 19:52
  1. 1. AM-GM เป็นเรื่องอะไรหรือครับและเรียน ม.ใหนหรือ



ความคิดเห็นที่ 6

เล็ก (สวิตช์เกียร์ @ กฟผ.)
29 พ.ย. 2548 22:40
  1. คุณ Batominovski ตอบโจทย์ต่างๆ ได้ยอดเยี่ยมทุกครั้ง
    ผมเห็นด้วยกับน้อง Cartoon ที่อยากเดินตามรอยเท้ารุ่นพี่
    การทำตามตัวอย่างที่ดีนั้น เป็นผลดีกับตัวเราเอง และเป็น
    การให้เกียรติสูงสุดต่อ Image ของเราด้วย สนับสนุนด้วยคน

    ผมอยากเห็นน้องๆ รุ่นหลังช่วยกันเรียนรู้ให้เก่งๆ จะได้ร่วมกัน
    สร้างชื่อเสียงและเป็นตัวอย่างที่ดีให้กับสังคมของเราต่อไป

    ผมนึกถึงเรื่องเล่าที่นิวตันแก้โจทย์คณิตส่งกลับไปให้คนท้า โดย
    ไม่บอกชื่อจริง แต่พอคนที่ท้าให้คนอื่นช่วยกันแก้โจทย์คนนั้น
    เห็นวิธีทำของนิวตัน ก็ถึงกับเปรยออกมาว่า

    "มีหรือผมจะจำกรงเล็บสิงโตไม่ได้"

    ผมขอยกคำเปรียบเปรยนี้ให้กับคุณ Batominovski ของเราเช่นกัน



ความคิดเห็นที่ 2

เล็ก (สวิตช์เกียร์ @ กฟผ.)
29 พ.ย. 2548 14:08
  1. แสดงว่าคุณ Batominovski เคยผ่านๆ ตาหมดแล้ว เยี่ยมจริงๆ

    ใครแสดงวิธีคิดโดยละเอียดตาม Hints ได้ ลองดูเลยครับ
    ถ้าไม่มี ผมจะทยอยเฉลยให้ เพื่อให้น้องๆ นำไปศึกษาต่อ



ความคิดเห็นที่ 21

30 พ.ย. 2548 18:34
  1. ขอคารวะ คุณ ธนสิน สุดยอดเหรียญทองโอลิมปิคคณิตศาสตร์เหรียญเดียวของไทย ด้วยหนึ่งจอกครับ....(กึ๊บ ๆ ๆ)



ความคิดเห็นที่ 28

warit
3 ธ.ค. 2548 00:33

  1. คือข้อนี้ใช่มั้ยครับ



ความคิดเห็นที่ 29

warit
3 ธ.ค. 2548 00:34
  1. [[26661]]
    คือข้อนี้ใช่มั้ยครับ



ความคิดเห็นที่ 3

GFK
29 พ.ย. 2548 20:13
  1. ยังไม่มีใครมาทำเดี๋ยวผมทำนะ อิอิอิ



ความคิดเห็นที่ 5

GFK
29 พ.ย. 2548 21:30
  1. มีคนแล้วแฮะว่า คุณ Batominovski คือ ธนสิน เหรียญทองโอลิมปิกคณิตศาสตร์



ความคิดเห็นที่ 9

GFK
30 พ.ย. 2548 00:22
  1. \_/
    [[26655]]

แสดงความคิดเห็น

กรุณา Login ก่อนแสดงความคิดเห็น