โจทย์พีชคณิต (อย่างยาก) สำหรับคนชอบความท้าทาย

ข้อ 1. จงพิสูจน์ว่า 2n > 1+n*sqrt(2n-1) เมื่อ n>2



ข้อ 2. จงพิสูจน์ว่า (am+bm)/2 > ((a+b)/2)m เมื่อ a,b>0 และ a ไม่เท่ากับ b



ข้อ 3. จงพิสูจน์ว่า (1+x)1+x(1-x)1-x > 1 เมื่อ x<1



ข้อ 4. จงพิสูจน์ว่า aabb > ((a+b)/2)a+b



ข้อ 5. จงพิสูจน์ว่า abba < ((a+b)/2)a+b



ข้อ 6. จงแสดงว่าค่าต่ำสุดของ 1/x + 1/y + 1/z คือ 9 เมื่อ x+y+z = 1
29 พ.ย. 2548 09:17
31 ความเห็น
5373 อ่าน


ความคิดเห็นที่ 1 โดย Batominovski

Hints:

1. AM-GM

2. Power Mean Ineq.

3. Weighted AM-GM

4. Weighted AM-GM

5. Use the fact that ab <= sqrt((a+b)/2) and apply 4. to yeild 5.

6. AM-HM
29 พ.ย. 2548 11:31


ความคิดเห็นที่ 3 โดย GFK

ยังไม่มีใครมาทำเดี๋ยวผมทำนะ อิอิอิ
29 พ.ย. 2548 20:13


ความคิดเห็นที่ 4 โดย Kartoon

พี่ Botominovski

...เหรียญทองคณิตศาสตร์โอลิมปิกโลก

...หนึ่งเดียวของประเทศไทย

...รุ่นพี่โรงเรียนของผมเอง



...ผมดีใจมากครับที่พี่เข้ามาตอบปัญหา

...แม้ว่าผมจะยังงงๆ โดยเฉพาะเรื่องอสมการ

...ผมกำลังวัดรอยเท้า เอ๊ย..ไม่ใช่ กำลังเดินตามรอยเท้าพี่อยู่

...ไม่รู้ฝันไปหรือเปล่า

...พี่เข้ามาตอบบ่อยๆ...นะครับ
29 พ.ย. 2548 20:36


ความคิดเห็นที่ 5 โดย GFK

มีคนแล้วแฮะว่า คุณ Batominovski คือ ธนสิน เหรียญทองโอลิมปิกคณิตศาสตร์
29 พ.ย. 2548 21:30


ความคิดเห็นที่ 9 โดย GFK

\_/
30 พ.ย. 2548 00:22


ความคิดเห็นที่ 10 โดย GFK

\_/
30 พ.ย. 2548 00:22


ความคิดเห็นที่ 11 โดย GFK

///
30 พ.ย. 2548 00:23


ความคิดเห็นที่ 12 โดย GFK


30 พ.ย. 2548 00:35


ความคิดเห็นที่ 13 โดย เล็ก (สวิตช์เกียร์ @ กฟผ.)

คุณ GFK ยังรวดเร็วและยอดเยี่ยมเหมือนเดิม



สงสัยนิดเดียวในข้อ 6 ว่าเราจะรู้ก่อนได้อย่างไรว่าในบรรทัดแรก

1/x + 1/y + 1/z > 0 หรือไม่

เพราะคุณนำมาคูณตลอดอสมการ จะต้องรู้ก่อนว่ามันติดลบหรือไม่

(มีผลต่อการกลับ/ไม่กลับเครื่องหมาย)
30 พ.ย. 2548 00:51


ความคิดเห็นที่ 14 โดย GFK

คือจาก โจทย์ จงแสดงว่าค่าต่ำสุดของ 1/x + 1/y + 1/z คือ 9 เมื่อ x+y+z = 1



ผมคิดว่า โจทย์น่าจะหมายถึง ค่าต่ำสุดของ 1/x + 1/y + 1/z เมื่อ x + y + z = 1 ในกรณีที่ x , y , z > 0 น่ะครับ



เพราะว่า ผมลองคิดบางกรณี เช่น x = 1 , y = 1 , z = -1 (x+y+z = 1) จะได้ 1/x + 1/y + 1/z = 1 + 1 - 1 = 1 ซึ่งมีค่าน้อยกว่า 9



และ ถ้า x = -3 , y = 5 , z = -1 (x+y+z = 1) จะได้ 1/x + 1/y + 1/z = -1/3 + 1/5 - 1 = -17/15 = -1.133 < 0 < 9



แล้วอีกอย่างผมใช้ AM-GM-HM Ineq. ในการทำ ซึ่งเงื่อนไขของ AM-GM-HM Ineq. นั้น ใช้ได้กับ จำนวนที่เป็นบวกเท่านั้น จึงทำให้ผมมองข้ามในกรณีที่ 1/x + 1/y + 1/z < 0 ไป เนื่องจาก 1/x , 1/y , 1/z ต้องมากกว่า 0 (จะได้ 1/x + 1/y + 1/z > 0) จึงจะใช้ AM-HM Ineq. ได้
30 พ.ย. 2548 01:21


ความคิดเห็นที่ 15 โดย GFK

รู้สึกว่าตัวเองทำแล้วมันไม่สวยเก๋เลยแฮะ Y_Y
30 พ.ย. 2548 02:19


ความคิดเห็นที่ 16 BTMNSK (Guest)

5.

Alternative solution.

First note from AM-GM that ab <= [(a+b)/2]^2.

(ab)^(a+b) <= [(a+b)/2]^[2(a+b)].

Since a^a b^b >= [(a+b)/2]^(a+b) (Q.4) and (ab)^(a+b) = (a^a b^b) (a^b b^a), we then obtain [(a+b)/2]^(a+b) >= a^b b^a
30 พ.ย. 2548 03:59


ความคิดเห็นที่ 17 โดย เนยสด

สุดยอดจริงๆ พลังสูงๆ กันทั้งนั้นเลย

ไม่ได้เข้ามาวันเดียว ตอบกันหมดละ

(ถ้าจะให้ผมทำ คงใช้เวลาเป็นปี เหอะๆๆ)
30 พ.ย. 2548 05:09


ความคิดเห็นที่ 18 โดย GFK

ขอคารวะ ท่าน BTMNSK ครับ สุดยอดจริงๆ
30 พ.ย. 2548 07:46


ความคิดเห็นที่ 19 โดย Batominovski

Dear Nong Cartoon;

I really wish that one day your hope comes true. Who knows? In the future, your skills may defeat mine. In fact, I don't have so much time to answer your questions na krub, except these days (on which, seemingly, there is not much work to do). My college is kinda tough a' (a piece of homework might cost me days!).

Lastly, sorry that I don't reply in Thai, since 1. sometimes I'm using my college's computer on which there is no thai character, 2. my typing skill (in thai) is pitifully terrible, and 3. I get pissed off everytime when I find that I have forgotten to change the language.



Affectionately,

Bato-kun .
30 พ.ย. 2548 09:09


ความคิดเห็นที่ 20 โดย Batominovski

Almost forgot this.

Thank you for your admiration krub, K' Leck. I'm so delighted that I'm floating and getting stuck with the ceiling now.
30 พ.ย. 2548 09:14


ความคิดเห็นที่ 21 Megabyte (Guest)

ขอคารวะ คุณ ธนสิน สุดยอดเหรียญทองโอลิมปิคคณิตศาสตร์เหรียญเดียวของไทย ด้วยหนึ่งจอกครับ....(กึ๊บ ๆ ๆ)
30 พ.ย. 2548 18:34


ความคิดเห็นที่ 22 โดย Kartoon

ขอขอบคุณพี่ธนสินอีกครั้งครับ
30 พ.ย. 2548 19:52


ความคิดเห็นที่ 23 โดย ~[กิจ คราบ]~

1. AM-GM เป็นเรื่องอะไรหรือครับและเรียน ม.ใหนหรือ
1 ธ.ค. 2548 19:52


ความคิดเห็นที่ 24 โดย เม่น

AM-GM-HM คืออสมการ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต - เรขาคณิต - ฮาร์โมนิค
1 ธ.ค. 2548 20:43

แสดงความคิดเห็น

กรุณา Login ก่อนแสดงความคิดเห็น