จำนวน 14 ความเห็น, หน้า่ | -1-

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 1 3 ก.พ. 2549 (03:33)
ผมพอจะรู้อยู่นิดหน่อยครับ ถ้าให้อธิบายนิยามก็พอได้ แต่ก่อนอื่นขอถามก่อนได้ไหมครับว่า น้องมีความรู้เกี่ยวกับ Analysis และ Topology แค่ไหน ถ้าเป็นไปได้ช่วยอธิบายศัพท์พวกนึ้ได้ไหมครับ

- Differentiable function on Rⁿ
- Topological space
- Continuous function between topological spaces
- Homeomorphism
- Topological manifold
- Differentiable manifold

ตำไหนอธิบายไม่ได้ไม่เป็นไรครับ เดี๋ยวผมจะกลับมาอธิบายให้ (ตำพวกนี้จำเป็นต้องใช้ไนการนิยาม Lie groups ครับ)

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 2 3 ก.พ. 2549 (08:48)
Let us make this clear we are talking about "Lie groups" (in honour of Sophus Lie);
not "lie groups" (as in "tell fibs").
The capital L is very important in this case.

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 3 3 ก.พ. 2549 (20:40)
งั้นขอใช้ความรู้อันน้อยนิด + ตัวช่วย(เดา,มั่ว) แล้วกันนะครับ

1. Differentiable function on Rⁿ
น่าจะเป็นฟังก์ชั่น บน เซต Rⁿ และ Differentiable ก็คือ สามารถหาอนุพันธุได้ (มีลิมิต) และ Rⁿ เข้าใจว่าเกิดจากการคูณกันของของเซตของจำนวนจริง n เซต ได้เซตที่มีสมาชิกเป็น (x1,x2,...,xn)

สรุปก็คือ Differentiable function on Rⁿ คือฟังก์ชั่นที่สามารถดิฟได้ บนเซต Rⁿ

2.Topological space อันนี้ไม่รู้จัก แต่เกี่ยวกับ มิติ (Dimension) เปล่าไม่แน่ใจ (ดูจากคำว่า space และก็เดาเอา)

แต่ถ้าเป็นสเปซทำนองเดียวกับเวกเตอร์สเปซก็พอจะเข้าใจ ว่าเวกเตอร์สเปซคล้ายๆ กับฟิลด์ แต่มีตัวดำเนินการและเงื่อนไขต่างกัน

3. Continuous function between topological spaces ถ้าแปลโดยใช้วิชามั่วแล้วน่าจะเป็นฟังก์ชั่นต่อเนื่อง ระหว่างสเปซทั้งสอง ส่วน Continuous function น่าจะคล้ายๆกับในเรื่องเวกเตอร์สเปซ

4. Homeomorphism

ไม่ทราบว่าพี่พิมพ์ผิดหรือเปล่า แต่ผมเข้าใจเอาว่าเป็น Homomorphism แล้วกันครับ เพราะคำข้างบนไม่รู้จัก
Homomorphism คือ สาทิสสัณฐาน ในเรื่องกรุ๊ปรึเปล่าครับ ถ้าใช่ก็น่าจะเป็น ฟังก์ชั่น จาก G ไป G' (โดย (G,*) ,(G',#) )ซึ่งมีเงื่อนไขว่า f(a*b) = f(a)#f(b) ทุกสมาชิก a และ b ใน G
( ยังไม่ค่อยเข้าใจมากหรอกครับ รู้แค่เผินๆ)

ส่วนข้อ 5 และ 6 ใช้วิชาเดาและมั่วได้ไม่ได้ก็ขอไม่ตอบแล้วกัน

คิดว่าที่ตอบไปน่าจะถูกบางส่วนนะครับ

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 4 11 ก.พ. 2549 (07:04)
a Lie group=a group (in algebra) equipped with a manifold structure such that group operations (multiplication and inversion) are differentiable maps.

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 5 11 ก.พ. 2549 (08:33)
ขอบคุณ คุณ aaaa ครับที่มาช่วยตอบ เผอิญคอมผมเสียเลยไม่ได้เข้ามาพักไหญ่

นิยามของ Lie group ก็เหมือนที่คุณ aaaa เขียนไว้ครับ เป็นทั้ง group และ manifold และมีสมบัติเพื่มเติมเข้ามาคือ การคูณ (x,y) |--> xy และฟังก์ชันอินเวอร์ส x |--> x^-1 นั้นหาอนุพันธ์ได้

ปัญหาก็คือว่า
1. manifold คืออะไร
2. ฟังก็ชันบน manifold ที่หาอนุพันธ์ได้เป็นอย่างไร

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 6 11 ก.พ. 2549 (13:28)
ข้างล่างนี้เป็นนิยามที่เกี่ยวข้องทั้งหมดครับ

1. A topological space is an ordered pair (X,T) such that
i) X is a nonempty set
ii) T is a subset of power set of X, called the topoloy on X
iii) T contains both empty set and X
iv) T closed under finite intersection and arbitrary unions.

An element of T is called an open set.

2. A Euclidean topology on Rⁿ is the smallest topology containing all open ball
B(x, r) = { y : || x - y || < r }
where || ( x₁, ..., x_n)|| = (x₁²+ ...+ x_n² )^1/2

3. Let (X,T) and (Y,S) be topological spaces and f : X --> Y. The function f is said to be continuous if f^-1(S) is a subset of T.

4. A homeomorphism between topological spaces X and Y is a one-one and onto function f : X --> Y such that both f and f^-1 are continuous.

5. An n-dimentional topological manifolds M is a topological space such that for every point x in M, there exists an open subset U of Rⁿ, an open subset V of M and a function f : U --> V such that
i) x is in V
ii) f is a homeomorphism

an ordered pair (f,U) is called a (coordinated )chart.

6. An n-dimentional differentiable manifold is an n-dimentional topological manifolds such that for any charts (f,U) and (g,V), the composion g^-1f is differentiable whenever defined.

7. A function H : M --> N between manifolds is differentiable if for any chart (f,U) of M and (g,V) of N, the composition g^-1Hf is differeniable.

8. A Lie group G is a group and manifold such that both function H : GxG --> G defined by H(x,y) = xy and function I : G --> G defined by I(x) = x^-1 are differentiable.

ขออภัยที่เขียนเป็นภาษาอังกฤษครับ ไว้ผมจะมาอธิบายศัพท์อีกที แต่ถ้าใครว่างๆ ก็ช่วยด้วยนะครับ

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 7 20 ก.พ. 2549 (21:28)
1. A topological space is an ordered pair (X,T) such that
i) X is a nonempty set
ii) T is a subset of power set of X, called the topoloy on X
iii) T contains both empty set and X
iv) T closed under finite intersection and arbitrary unions.

An element of T is called an open set.

อยากให้อธิบายตรงจุดนี้เพิ่มครับ

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 8 20 ก.พ. 2549 (22:43)
ลองดาวโหลดไปอ่านดูครับ ผมว่าเป็นหนังสือเกี่ยวกับ topologyที่อ่านเองได้ง่ายที่สุดแล้วครับเท่าที่หาได้
http://uob-community.ballarat.edu.au/~smorris/topology.htm

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 9 21 ก.พ. 2549 (10:47)
ขอบคุณครับ ถึงจะอ่านยากไปหน่อยก็เถอะ

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 10 21 ก.พ. 2549 (18:49)
ฮ่าๆเล่มนี้เป็น topology without tears แล้วนะครับ
น่าจะมี DG กับ Lie-groups without tears ด้วยนะ หาอยู่เหมือนกัน

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 11 22 ก.พ. 2549 (18:29)
without tears จริงๆแล้วมันหมายถึงอะไรครับ

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 12 23 ก.พ. 2549 (00:56)
ขอบคุณ คุณ John Doe และคุณ bug (สำหรับหนังสือ) อีกครั้ง
คุณทั้งสองทำให้ผมได้มุมมองใหม่ๆเยอะมากเลยครับ
ขอบคุณครับ

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 13 25 เม.ย. 2550 (22:47)
เข้าไปอ่านที่ http://mathworld.wolfram.com ที่นี่มีข้อมูลที่เรียงไว้เป็นหมวดหมู่ดีมาก มีทุกอย่างที่สนใจเกี่ยวกับ math science

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 14 25 เม.ย. 2550 (23:09)
จริงๆแล้วขึ้นอยู่กับว่าจะเอาไปใช้ทำอะไร ในสาขาไหน ถ้าไม่จำเป็นต้องเอาไปยุ่งกับพวก Differntial Geometry หรือ Topology ก็ไม่จำเป็นที่จะต้องพูดถึง Manifold ให้ซับซ้อน แต่แน่นอนว่าในระดับสูงขึ้นไปก็ย่อมจำเป็น

เอาคำอธิบายแบบสองสามประโยค ซึ่งอาจจะไม่รัดกุมนักสำหรับนักคณิตศาสตร์แต่พอจะเห็นภาพได้ และมักจะใช้สอนเด็กฟิสิกส์ก็คือ

Lie group เป็นกรุ๊ปที่มีจำนวนสมาชิกเป็นอนันต์ และสามารถที่จะ Label สมาชิกแต่ละตัวได้ด้วยเซตของ continuous parameters ที่มีจำนวนจำกัด

ยกตัวอย่างเช่น การหมุนในระนาบสองมิติก็ถือเป็น Lie group (เรียกว่า U(1) หรือ Unitary group) เราอาจจะเลือกตัวแทน (หรือ representation) ในรูปของเมตริกซ์ 2x2 เช่น




เนื่องจากว่า หรือมุมในการหมุนพิกัดเป็น continuous parameter ที่มีค่าอยู่ระหว่าง 0 ถึง ใช้ label สมาชิกแต่ละตัวในกลุ่ม ซึ่งแน่นอน มุมที่หมุนได้มีจำนวนเป็นอนันต์ ดังนั้นสมาชิกกรุ๊ปก็มีจำนวนเป็นอนันต์ด้วย

เวลาที่จะศึกษา Lie group เรามักจะศึกษาจาก Lie algebra ของมัน เพราะจำนวน Generator ของมันมีจำนวนจำกัด

ในฟิสิกส์ ใช้ประโยชน์จากทฤษฎีของ Lie group มากมาย อย่างทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้านี่ก็เป็น Gauge theory ที่มีสมมาตรเป็น U(1)

นอกจากนี้กรุ๊ปที่สำคัญๆส่วนใหญ่ก็จะเป็น Lie group เกือบทั้งหมด ไม่ว่าจะเป้น Lorentz group ฯลฯ