จำนวน 20 ความเห็น, หน้า่ | -1- 2|

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 1 10 มี.ค. 2549 (13:01)
ไม่มีนิยามชัดเจน เพราะนำไปสู่ Paradox

อ้างอิงจาก: ผู้ชายที่หลงรักตัวเลข

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 2 10 มี.ค. 2549 (14:44)
ระบบทุกระบบมี paradox ครับ คุณ godel เค้าพิสูจน์ไว้อย่างนั้น

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 3 10 มี.ค. 2549 (17:21)
เซต เป็นคำ ที่ไม่ต้องนิยาม

ใช้ในความหมายของโครงสร้าง ที่บรรจุ สิ่งที่เรียกว่า

สมาชิก (elements)


ที่สำคัญ เราต้องสามารถระบุได้ว่า อะไรเป็นสมาชิกของเซตที่เรากำลังสนใจ

การเลี่ยงปัญหา หรือ paradox ทำได้ง่ายๆ โดย
การกำหนดเอกภพสัมพัทธ์ (universal set)

และสนใจเฉพาะสมาชิกที่มาจากเอกภพสัมพัทธ์เท่านั้น

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 4 10 มี.ค. 2549 (18:39)
มาถึงพี่เล็กก็ตัดบทซะละนะครับกะจะเล่นอะไรสักหน่อยเหอๆ
แล้วคุณMathGuyมั่นใจหรอครับว่าถ้ากำหนดuniversal setแล้วจะไม่มีปัญหา
เช่นถ้าผมให้
U={เซตทุกเซต}
ให้เซตปกติคือเซตที่ไม่เป็นสมาชิกของตัวเอง
และให้เซตไม่ปกติคือเซตที่เป็นสมาชิกของตัวเอง
แล้วผมถามว่าถ้าผมให้A={เซตปกติทุกเซต}
แล้วAเป็นเซตปกติหรือไม่ปกติล่ะครับ?ทั้งๆที่มีUniversal Setแล้วยังมีParadoxได้เลยอ่าครับ

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 5 10 มี.ค. 2549 (21:03)
เซตเป็น "อนิยาม" ครับ
(ในคณิตศาสตร์ มีทั้ง "นิยาม" "อนิยาม" "สัจพจน์" "ทฤษฎีบท")

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 6 10 มี.ค. 2549 (21:22)
ตัวอย่าง paradox ที่อาจเกิดเกี่ยวกับ set คือ

กำหนด A เป็นเซตทุกเซตที่ไม่มีตัวเองเป็นสมาชิก

คำถามคือ A เป็นสมาชิกของ A หรือไม่

ถ้า A เป็น -> ขัดแย้ง เพราะนิยามให้ว่า ต้องไม่มีตัวเองเป็นสมาชิก
ถ้า A ไม่เป็น -> ขัดแย้ง เพราะ A อยู่ในข่ายของนิยามข้างต้น

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 7 10 มี.ค. 2549 (23:30)
โทษทีน้อง Timestopper ที่ผมเล่นมุข "หยุดเวลา" ซะเฉยๆ
ผมพอจะเดาใจกระทู้นี้ออก และเพิ่งอ่านหนังสือเล่มนี้ใหม่ๆ
ก็เลยแกล้งเล่นๆ

แต่ผมเชื่อว่ากระทู้ต้องมีคนหาข้อมูลมาลงเยอะแน่ เพราะเรื่อง
Paradox ยิ่งอ่านยิ่งมันส์ ไม่น่าเชื่อว่าระบบคณิตศาสตร์จะมี
ช่องโหว่ที่ใหญ่ได้ขนาดนี้

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 8 11 มี.ค. 2549 (12:55)
๕๕๕+ครับพี่ผมอ่านเจอก็งงเป็นไก่ตาแตกเหมือนกันครับไม่เคยนึกถึงมาก่อนเลยครับ

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 9 11 มี.ค. 2549 (15:11)
เซต เป็นคำอนิยามครับ

แต่ถ้าจะกล่าวถึงความหมายแล้ว เซตคือการจัดกลุ่ม สมาชิก พรรคพวก ตามกฏที่จำแนก

เช่น เซตของวันในสัปดาห์ เซตของคนบนโลก เซตของชื่อของคนบนโลก ฯลฯ

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 10 15 มี.ค. 2549 (12:59)
ผมเคยอ่านเจอในบทความวิชาการว่า ตอนที่คุณ Godel พิสูจน์ว่าระบบทุกระบบมี paradox (หรือพูดอีกนัยหนึ่งว่า ไม่สมบูรณ์) เกิดเรื่องขึ้นเยอะครับ ทำเอาคนที่รักคณิตศาสตร์ช่วงนั้นหลายๆ ตัดสินใจว่าจะไม่เรียนคณิตศาสตร์ไปเลย แล้วหลายๆ คนก็เป็นห่วงว่า อนาคตวงการคณิตศาสตร์จะเป็นยังไง

แต่พอผ่านมาได้เรื่อยๆ เราก็มาพิสูจน์ได้ทีหลังว่า การที่ระบบทุกระบบไม่สมบูรณ์เป็นเรื่องปกติ ลักษณะเดียวกันกับปัญหา halting problem (ขอโทษคนที่ไม่ได้เรียนคอมพ์ด้วยครับ) ที่ว่า ไม่ว่าระบบจะ "สมบูรณ์" แค่ไหน ก็ไม่มีทางแก้ halting problem ได้

ตอนหลังคนก็เลยมาสรุปว่า ไม่ว่าระบบจะดีแค่ไหน เราก็ไม่สามารถอธิบายทุกสิ่งที่อยู่ในระบบได้โดยไม่นำเอาสิ่งที่อยู่นอกระบบมาช่วยอธิบาย

จริงๆ ผมอยากแปลบทความนี้เป็นภาษาไทยเหมือนกัน แต่ก็ออกจะขี้เกียจอยู่ซักหน่อย (ขอโทษคร๊าบ) แล้วก็เป็นบทความเกี่ยวกับ information theory ด้วย ไม่รู้จะมีใครสนใจหรือไม่

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 11 20 เม.ย. 2549 (18:26)
เซต
ความหมายของเซต
เซต เป็นคำไม่นิยาม แต่เมื่อกล่าวถึงเซตจะหมายถึง กลุ่ม พวก หมู่ ฝูง โหลง สำรับ ชุด ของสิ่งใดสิ่งหนึ่งที่ถูกจัดไว้ด้วยกันด้วยหลักเกณฑ์ที่แน่นอน เช่น เซตของนักเรียนชายในโรงเรียน เซตของจำนวนเฉพาะที่เป็นจำนวนคู่ เป็นต้น

การเขียนเซต
วิธีเขียนเซตโดยทั่วไปจะใช้อักษรตัวใหญ่ A, B, C, … แทนเซต การเขียนเซตเขียนได้ 2 แบบ คือ
1) แบบแจกแจงสมาชิก (Roster from or Tubular form) วิธีนี้จะเขียนสมาชิกทั้งหมดของเซตลงในเครื่องหมายวงเล็บปีกกา ใช้เครื่องหมายจุลภาค " , " คั่นระหว่างสมาชิกแต่ละตัว ถ้าไม่สามารถเขียนสมาชิกได้ครบทุกตัวหรือเขียนแล้วจะทำให้ยาวเกินไปจะใช้เครื่องหมาย " … " ช่วย เช่น
A = { 1, 2, 3, 4 }
B = { a, b, c, d }
C = { 1, 2, …, 20 }
D = { 1, 2, 3, … }

2) แบบกำหนดเงื่อนไข ( Builder form) วิธีนี้จะไม่เขียนสมาชิกทุกตัวของเซตลงไป แต่จะใช้ตัวแปร เช่น x แทนสมาชิกแล้วบอกเงื่อนไขหรือคุณสมบัติของตัวแปร เช่น
A = { x | x เป็นจำนวนเต็ม }
B = { xฮ| x < 5 }
เซต B หมายถึง เซตที่มีสมาชิกเป็นจำนวนเต็มบวก และน้อยกว่า 5 ถ้าเขียนแบบแจกแจงสมาชิกจะได้ B = { 1, 2, 3, 4 }

สมาชิกของเซต ( Element )
สมาชิกของเซต หมายถึง แต่ละสิ่งที่รวมกันเป็นเซต หรือ ถูกจัดไว้ในเซตใช้สัญลักษณ์
ฮ แทนคำว่า "เป็นสมาชิกของ "
ฯ แทนคำว่า "ไม่เป็นสมาชิกของ "

เอกภพสัมพันธ์ ( Relative Universe )
เอกภพสัมพันธ์ หมายถึง เซตที่กำหนดขึ้นมา เพื่อเป็นขอบข่ายในการสร้างสับเซตหรือเป็นขอบเขตที่เราจะทำการศึกษา ใช้สัญลักษณ์ U แทนเอกภพสัมพันธ์
ตัวอย่าง ให้ U เป็นเซตของจำนวนจริง เราสามารถสร้างเซตใหม่ซึ่งเป็นสับเซตของ U ได้มากมาย เช่น
A = { x | x เป็นจำนวนเต็ม }
B = { x | x =a/b เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็ม b&#61472;น 0 }
ทั้ง A และ B ต่างเป็นสับเซตของ U

ประเภทของเซต
เซตจำกัด คือ เซตที่จำนวนสมาชิกของเซตเท่ากับจำนวนเต็มบวกใดๆ หรือศูนย์ หรือจำนวนสมาชิกของเซตสามารถนับได้จบสิ้น
เซตอนันต์ คือ เซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด จำนวนสมาชิกของเซตมีไม่จำกัด
เซตว่าง เรียกเซตที่ไม่มีสมาชิกว่า เซตว่าง เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ { } หรือ

การเท่ากันของเซต
นิยาม เซต A และ เซต B จะเท่ากันก็ต่อเมื่อ เซตทั้งสิงมีสมาชิกเหมือนกัน เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ A = B ถ้า เซต A ไม่เท่ากับเซต B เขียนแทนด้วย A นB

สับเซต (Subset)
นิยาม ให้ A และ B เป็นเซตใดๆ A จะเป็นสับเซตของ B ก็ต่อเมื่อสมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B ด้วย A เป็นสับเซตของ B เขียนแทนด้วย A ฬ&#61472;B

เพาเวอร์เซต
นิยาม ให้ A เป็นเซตใดๆ เพาเวอร์เซตของ A เขียนแทนด้วย P(A) คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสับเซตของ A ทุกตัว

แผนภาพของเวนน์ - ออยเลอร์
การเขียนแผนภาพแทนเซตจะช่วยให้มโนภาพเกี่ยวกับเซตแจ่มชัดขึ้น แผนภาพที่เขียนแทนเซตนี้เรียกว่า "แผนภาพของเวนน์ - ออยเลอร์" ชื่อของแผนภาพนี้เป็นชื่อของนักคณิตศาสตร์ 2 ท่าน เวนน์ และ ออยเลอร์ แผนภาพนี้บางครั้งจะเรียกสั้นๆ ว่า แผนภาพของเวนน์ การเขียนแผนภาพมักจะแทนเอกภพสัมพัทธ์ (U) ด้วยรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า หรือรูปปิดใดๆ ส่วนเซต A, B, C, … ซึ่งเป็นสับเซตของ U อาจเขียนแทนด้วยวงกลม วงรี หรือรูปปิดใดๆ ที่มีพื้นที่จำกัด ดังรูป



โอเปอเรชันของเซต
โอเปอเรชันของเซต เป็นเรื่องของการทำให้เกิดเซตใหม่จากเซตเดิมที่กำหนดให้ ซึ่งมีวิธีการดังต่อไปนี้
1. ยูเนียน
นิยาม ให้ A และ B เป็นเซตใดๆ ยูเนียนของ A และ B เขียนแทนด้วย A&#61472;ศ B หมายถึง เซตที่มีสมาชิกอยู่ในเซต A และเซต Bหรือทั้งเซต A และเซต B หรืออาจจะนิยม A ศ B = { x | x ฮ A,^ x ฯB }
2. อินเตอร์เซคชัน
นิยาม ให้ A และ B เป็นเซตใดๆ อินเตอร์เซคชันของเซต A และ B เขียนแทนด้วย A ว B หมายถึงเซตที่
มีสมาชิกทั้งหมดอยู่ในเซต A และเซต B หรือ อาจให้นิยาม A วB = { x | x ฮA,^ x ฮB }
3. ผลต่าง
นิยาม ให้ A และ B เป็นเซตใดๆ ผลต่าง ของ A กับ B เขียนแทนด้วย A - B หมายถึงเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกอยู่ในเซต A แต่ไม่อยู่ในเซต B หรืออาจนิยาม A - B = { x | x&#61472;ฮ A,^ x ฯB }
4. คอมพลีเมนต์
ถ้า A เป็นเซตใดๆ ที่เป็นสับเซตของ U เราจะเรียกเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของ U ที่ไม่อยู่ใน A ว่าคอมพลิเมนต์ของ A
นิยาม คอมพลีเมนต์ของเซต A เป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ U หมายถึง เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่อยู่ใน U แต่ไม่อยู่ใน A คอมพลีเมนต์ของ A เมื่อเทียบกับ U เขียนแทนด้วย A' หรือ (A')' หรืออาจนิยาม
A - B = { x | x ฮU^ x ฯA }

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 12 20 เม.ย. 2549 (19:01)
อ๋อ! เข้าใจแล้วครับ

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 13 21 เม.ย. 2549 (06:55)
แค่อยากจะบอกอะไรอย่างหนึ่งว่า paradox ใน คคห ที่ 4 และ 6 (ซึ่งเรียกว่า Russell paradox) นั้น
เกิดขึ้นเฉพาะใน Naive set theory เท่านั้นนะครับ

Naive set theory ก็คือวิชาเซ็ต โดยที่เซ็ตก็คือเซ็ตในความหมายที่คนทั่วไปเข้าใจ (ในความหมายของ common sense)
ซึ่งวิชาเซ็ตที่เราเรียนกันตอน ม ปลาย ก็คือ Naive set theory นั่นเอง

เมื่อเข้ามหาลัย คุณอาจจะได้เรียนวิชา set theory อีกระบบหนึ่ง ที่เรียกว่า Zermelo-Fraenkel set theory
(ซึ่งสมบูรณ์มากกว่า Naive set theory)
ซึ่งในระบบนี้ Russell paradox จะไม่มีทางเกิดขึ้นเพราะว่าจะมี axiom ที่ชื่อ Axiom of separation อยู่
ซึ่งไม่อนุญาตให้เรานิยามเซ็ตแบบใน Russell paradox ได้

นอกจาก Russell paradox แล้ว ยังมีอีกหลาย paradox ที่เกิดใน Naive set theory แต่ไม่เกิดใน Zermelo-Fraenkel set theory
เช่น
- Burali-Forti paradox http://en.wikipedia.org/wiki/Burali-Forti_paradox
- Cantor's paradox http://en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_paradox

ด้วยเหตุนี้ ในระดับมหาลัย เค้าจึงไม่นิยมเรียน Naive set theory กัน เพราะว่ามันมี paradox มากเกินไป
(ระบบที่ดี จะต้องไม่มี paradox หรือมีน้อยที่สุด)

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 14 4 เม.ย. 2550 (11:07)
ช่วยตอบนู๋ด้วยนะคะ คือว่า ตรรกศาสตร์อ่ะค่ะ ไม่ค่อยเข้าใจเลยอ่ะ มันคืออาไรหรอคะ
เอาแบบสั้นๆได้ใจความนะคะ ขอบคุณล่วงหน้านะคะ

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 15 22 พ.ค. 2550 (20:23)
ยัง งง กับคำถามของการบ้านคณิตศาสตร์เรื่องเซตอยู่เลย ปวดหัวๆๆๆๆๆๆ

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 16 5 มิ.ย. 2550 (06:32)
ม่ายเข้าใจ


ง่าแงๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆ


ทามการบ้านม่ายได้

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 17 4 ก.ค. 2550 (21:26)
เซตเป็นคำที่อนิยาม แต่ส่วนตัวเซตสามารถสร้างได้ตาม Axiom การกำหนด Universal set ก็เป็นอีกวิธีหนึ่งที่ทำไม่ให้เกิด Paradox การที่กำหนดให้ U=เซตของทุกๆเซต นั้น U ไม่เป็นเซต

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 18 4 ก.ย. 2550 (11:03)
ใครมีคำตอบบ้างช่วยหนูทีนะ
ข้อ 1. พิจารณาเซตต่อไปนี้ ให้เขียนเซตทั้งแบบแจกแจงสมาชิกและแบบบอกลักษณะสมาชิก ในที่นี้ N={1,2,3,...}
ก. A เป็นจำนวนเต็มบวกที่อยู่ระหว่าง 3 และ 12
ข. B เป็นจำนวนเต็มบวกคู่ที่น้อยกว่า 15
ค. C เป็นจำนวนเต็มบวกที่สอดคล้องกับเงื่อนไข 4 + X = 3

ข้อ 2. กำหนดเซต A,B และ C ให้พิจารณาเซต C เป็นเซตย่อยของเซต A และ เซต C เป็นเซตย่อยของเซต B หรือไม่
A = {1,3,4,5,8,9}
B = {1,2,3,5,7}
C = {1,5}

ข้อ 3. พิจารณาเซตต่อไปนี้ เมื่อเอกภพสัมพันธ์เป็นจำนวนนับ
A = {1}
B = {1,3}
C = {1,5,9}
D = {1,2,3,4,5}
ให้บอกว่าเซตคู่ต่อไปนี้ เป็นเซตย่อยหรือไม่ พร้อมใส่เครื่องหมายที่ถูกต้อง
ก.) 0,A
ข.) A,B
ค.) B,C
ง.) C,D
จ.) D,U

ข้อ 4. กำหนดให้ U = {1,2,...,8,9} และ
A = {1,2,3,4,5}
B = {4,5,6,7}
C = {5,6,7,8,9}
D = {1,3,5,7,9}
ให้เขียนของเซตต่อไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก
ก.) A Union B และ A Intersection B
ข.) B Union D และ B Intersection D
ค.) A Union C และ A Intersection C
ง.) Complement ของ A

ข้อ 5. ให้เขียนแผนภาพเวนน์ ของวิทยาลัยแห่งหนึ่งที่มีนักศึกษาในสาขาคณิตศาสตร์ 120 คน สมมุติว่ามีนักเรียน เลือกเรียนภาษาต่างๆ ดังนี้
ก.) 100 คน เลือกเรียนภาษา ฝรั่งเศษ เยอรมัน และ รัสเซีย อย่างน้อย 1 ภาษา
ข.) 65 คน เลือกเรียนภาษา ฝรั่งเศษ
ค.) 45 คน เลือกเรียนภาษา เยอรมัน
ง.) 42 คน เลือกเรียนภาษา รัสเซีย
จ.) 20 คน เลือกเรียนภาษา ฝรั่งเศษ และ เยอรมัน
ฉ.) 25 คน เลือกเรียนภาษา ฝรั่งเศษ และ รัสเซีย
ช.) 15 คน เลือกเรียนภาษา เยอรมัน และ รัสเซีย

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 20 18 พ.ค. 2551 (09:15)

Generally speaking, set is a collection of well defined object(s).

An object is said to be well defined if everyone define it in the same way.

Please note that these are not mathematical definitions because one does not have a concrete definition of what is a "collection" and what is "the same way" if I understand it correctly.

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 21 3 ก.ค. 2551 (10:56)

ช่วยเซตผมที่ครับๆๆๆๆๆๆๆๆๆ

1 .   U=N   จงเขียนเซตต่อไปนี้เป็นแบบแจกแจงสาชิกและบอกจำนวนสมาชิกของเซต

1.A={X/X} ≤  6      2.  B={X/ +2X-24=0}             

 3.   c={X/ +4=0}
4. .  D={X/ =4}     5.   E={X/ +7X+12=0}      

 6.  F={X/ -7X12=0}

 7.  G={X/X≤20 และหารด้วย3 ลงตัว}   8.  H={X/X≤20 และหารด้วย4 ลงตัว}    

9.  I={X/X  เป็นจำนวนที่น้อยกว่า 10}  

 10. J=