ความเห็นเพิ่มเติมที่ 1 12 ก.พ. 2550 (18:24) ลำดับและอนุกรม
เรื่องลำดับและอนุกรมเลขคณิตและเรขาคณิต
ลำดับ คือฟังก์ชั่นที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก
1. ลำดับจำกัด คือฟังก์ชั่นที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก n ตัวแรก เช่น
f = { ( 1,2),(2,3),(3,4), (4,5) } หรือจะเขียน 2 , 3 , 4 , 5 แทนลำดับนี้ก็ได้ (เขียนเฉพาะสมาชิกของเรนจ์ทุกตัว)
g = { (1,g(1) ) ,(2,g(2) ) ,( 3,g(3) ) ,(4,g(4) ) } หรือจะเขียน g(1),g(2),g(3), แทนลำดับนี้ก็ได้
นั่นคือฟังก์ชัน f = {(x, f(x) / x= 1,2,3,
..,n และ ax = f(x)} คือลำดับ f(1) , f (2) , f(3) ,......,f(n)หรือ
a 1 , a 2 , a3 ,
..,a n และเรียกแต่ละค่าว่า พจน์ โดยเรียกพจน์ an = f(n) ว่าพจน์ทั่วไปหรือพจน์ที่ n ของลำดับ
สรุป 1. a1 เรียกว่าพจน์ที่1 , a2 เรียกว่าพจน์ที่2 , a3 เรียกว่าพจน์ที่3 , a4 เรียกว่าพจน์ที่4 , a n เรียกว่าพจน์ที่ n
2. ฟังก์ชัน f = {(x, f(x) / x= 1,2,3,
..,n และ ax = f(x)} คือลำดับ f(1) , f (2) , f(3) ,......,f(n)หรือ
a 1 , a 2 , a3 ,
..,a n เป็นลำดับจำกัด
2. ลำดับอนันต์ คือฟังก์ชั่นที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก
นั่นคือฟังก์ชัน f = {(x, f(x) / x= 1,2,3,
..,n ,
และ ax = f(x)} คือลำดับอนันต์ f(1) , f (2) , f(3) ,......,f(n),
หรือ
a 1 , a 2 , a3 ,
..,a n ,
พจน์ทั่วไปของลำดับจำกัด (an ) คือการแสดงว่าค่าแต่ละพจน์ของลำดับสัมพันธ์กับค่าของจำนวน 1,2,3,
..,n ตามลำดับ
อย่างไร เช่น
1. 2,4,6,8,10, = 2(1), 2(2) , 2(3), 2(4) , 2(5) ดังนั้น an = 2n
2. 3,5,7,9,11, = 2(1)+1, 2(2)+1 , 2(3)+1, 2(4)+1 , 2(5)+1 ดังนั้น an = 2n + 1
3. 2,4,8,16,32, = 21, 22 , 23, 24 , 25 ดังนั้น an = 2n
4. 1,2,5,12,27, = 21-1 , 22 - 2, 23 -3 , 24 -4 , 25 - 5 ดังนั้น an = 2n - n
หมายเหตุ พจน์ทั่วไปของลำดับที่กำหนดพจน์แรกๆมาให้จำนวนหนึ่งโดยไม่มีเงื่อนไขอื่นเพิ่มเติม คำตอบจะมีได้มากกว่า 1 คำตอบ เช่น
1. 2 , 4 , 6,
.. มี a n = 2n
2. 2 , 4 , 6 ,
.. มี a n = 2n +(n-1)(n-2)(n-3)
3. 2 , 4 , 6,
.. มี a n = 2n + n(n-1)(n-2)(n-3)
เรื่องลำดับเลขคณิต
ลำดับเลขคณิต( Arithmetic Sequence ) คือลำดับที่ผลต่างซึ่งได้จาก พจน์ที่ n+1 ลบด้วยพจน์ที่ n มีค่าคงที่ เรียกค่าคงที่นี้ว่า ผลต่างร่วม (Common Difference ) แทนด้วยสัญลักษณ์ d
จากความหมายของลำดับเลขคณิต ค่าของ d = an+1 - an , n = 1,2,3,
.. หรือ an+1 = an + d
นั่นคือ ถ้าพจน์ที่1 คิอ a1
พจน์ที่ 2 คือ a2 = a1+ d
พจน์ที่ 3 คือ a3= a2+ d = ( a1+ d ) + d = a1+ 2d
พจน์ที่ 4 คือ a4= a3+ d = ( a1+ 2d ) + d = a1+ 3d
พจน์ที่ 5 คือ a5= a4+ d = ( a1+ 3d ) + d = a1+ 4d
พจน์ที่ n คือ a n = + d = a1+ ( n 1 )d
สรุป a n = a1+ ( n 1 )d คือพจน์ทั่วไปหรือพจน์ที่ n ของลำดับเลข คณิต
ในรูปของพจน์ที่1 ( a1 ) กับ ผลต่างร่วม (d )
ตัวอย่างที่1 จงเขียนลำดับเลขคณิตที่กำหนดค่า a1 และ d ให้ดัง ต่อไปนี้แบบแจกแจงพจน์ 5 พจน์แรก
1.1 a1 = 8 และ d = -3 ได้ลำดับคือ 8,5,2,-1,-4
1.1 a1 = 8 และ d = 3 ได้ลำดับคือ 8, 11, 14,17 , 20
1.1 a1 = -8 และ d = -3 ได้ลำดับคือ - 8,-11, -14,-17,-20
ตัวอย่างที่2 จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตต่อนี้ ( a n )
2.1 6,2,-2,-6,-10,
.. จากสูตร a n = a1+ ( n 1 )d ได้ a n = 6+(n-1)(-4) = 10 - 4n
2.2 -10, -6,-2,2,6
.. จากสูตร a n = a1+ ( n 1 )d ได้ a n = -10+(n-1)4 =-14 + 4n
ตัวอย่างที่3 จงหาพจน์ที่ 10 และ พจน์ที่ 12 ของลำดับเลขคณิต 6,2,-2,-6,-10,
..
วิธีทำ จากสูตร a n = a1+ ( n 1 )d
ได้ a n = 6+(n-1)(-4) = 10 - 4n
ดังนั้ a 10 = 10 - 4(10) = 10 - 40 = - 30
a 12 = 10 - 4 ( 12 ) = 10 - 48 = - 38
เรื่องลำดับเรขาคณิต
ลำดับเรขาคณิต( Geometric Sequence )คือลำดับที่อัตราส่วนระหว่างพจน์ที่ n+1 กับพจน์ที่ n มีค่าคงที่ เรียกค่าคงที่นี้ว่า อัตราส่วนร่วม (Common Ratio ) แทนด้วยสัญลักษณ์ r นั่นคือ
r = หรือ r เมื่อ n I+
ถ้าพจน์ที่1 คือ a1 และ r คืออัตราส่วนร่วม
พจน์ที่2 คือ a2 = a1 r
พจน์ที่3 คือ a3 = a2 r = ( a1 r ) r = a1 r2
พจน์ที่4 คือ a4 = a3 r = ( a1 r2 ) r = a1 r3
พจน์ที่5 คือ a5 = a4 r = ( a1 r3) r = a1 r4
ดังนั้น พจน์ที่ n คือ a n = r = ( a1 rn-1) r = a1 rn-1
สรุป a n = a1 rn-1 คือพจน์ทั่วไปหรือพจน์ที่ n ของลำดับเรขาคณิต
ในรูปของพจน์ที่1 ( a1 )กับ อัตราส่วนร่วม ( r )
ตัวอย่างที่ 1. 2 , 4 , 8 , 16 ,
.. เป็นลำดับเรขาคณิต เพราะมีอัตราส่วนร่วมคือ 2 ( คงที่ )
27 , 9 , 3 , 1,
เป็นลำดับเรขาคณิตเพราะมี่อัตราส่วนร่วมคือ .( คงที่ )
, , , ,
. เป็นลำดับเรขาคณิตเพราะมี่อัตราส่วนร่วมคือ ( คงที่ )
2 , 4 , -8 , 16 ,
.. ไม่เป็นลำดับเรขาคณิต เพราะมีอัตราส่วนร่วมไม่คงที่
2 , -4 , -8 , 16 ,
.. ไม่เป็นลำดับเรขาคณิต เพราะมีอัตราส่วนร่วมไม่คงที่
ตัวอย่างที่ 2 จงหาพจน์ที่ 5 , 10 และ พจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิต 2 , 4 , 8 , 16 ,
..
วิธีทำ r = 2 และจาก a n = a1 rn-1
ดังนั้น พจน์ที่5 คือ a5 = a1 r5-1 = 2( 2 )4 = 32
พจน์ที่10 คือ a11 = a1 r10-1 = 2( 2 )9 = 1,024
พจน์ที่n คือ an = a1 rn-1 2( 2 )n-1 = 2n
เรื่องอนุกรมและสัญลักษณ์การบวก
1. อนุกรม (Series ) คือ การบวกพจน์ทุกพจน์เรียงตามลำดับของลำดับ และนิยมใช้สัญลักษณ์แทนการบวกด้วย อักษรกรีก คือ อ่านว่า ซิกมา ( Sigma )
เรียกอนุกรมที่ได้จากลำดับจำกัดว่า อนุกรมจำกัด และเรียกอนุกรมที่ได้จากลำดับอนันต์ว่า อนุกรมอนันต์
นั่นคือ a 1 , a 2 , a3 ,
..,a n เป็นลำดับจำกัด จะได้อนุกรมจำกัดคือ a 1 + a 2 + a3 +
..+ a n =
อ่านว่า การบวก ai เมื่อ i = 1 ถึง n ตามลำดับ ( i = 1,2,3,4,
,n )
a 1 , a 2 , a3 ,
..,a n ,
.. เป็นลำดับอนันต์ จะได้อนุกรมอนันต์คือ a 1 + a 2 + a3 +
..+a n +
.. =
อ่านว่า การบวก ai เมื่อ i มีค่าตั้งแต่ 1 ขึ้นไปตามลำดับ ( i = 1,2,3,
..)
Note จะแทนอักษรภาษาอังกฤษตัวอื่นแทน i ก็ได้ เช่น ,
2. จากอนุกรม a 1 + a 2 + a3 +
..+ a n = และ a 1 + a 2 + a3 +
..+a n +
.. =
เรียก a 1 ว่าพจน์ที่ 1 ของอนุกรม เรียก a 2 ว่าพจน์ที่ 2 ของอนุกรม
เรียก a3 ว่าพจน์ที่3 ของอนุกรม เรียก a n ว่าพจน์ที่ n ของอนุกรม
3. อนุกรมจำกัดมีผลบวกที่แทนด้วยจำนวนจริงจำนวนหนึ่งที่หาค่าได้แน่นอน ส่วนอนุกรมอนันต์เนื่องจากไม่สามารถหาค่าของ พจน์สุดท้ายได้ จึงหาผลบวกไม่ได้ค่าที่แน่นอน เช่น 3.1 [ 2i + 1 ] = [2(1) +1] +[2(2)+1]+[2(3)+1]+[2(4)+1]
= 3+5+7+9 = 24
3.2 k2 = 12+22+32+42+52 = 1+4+9+16+25= 55
3.3 [ 2i +1] = [2(1) +1]+[2(2)+1]+[2(3)+1]+[2(4)+1] +
.
= 3+5+7+9+
..
3.4 k2 = 12+22+32+42+52 +
.. = 1+4+9+16+25+
.
เรื่องอนุกรมเลขคณิต
อนุกรมเลขคณิต คือ อนุกรมที่เกิดจากผลบวกของลำดับเลขคณิต ทีมีผลต่างร่วม = d
ใช้สัญลักษณ์ sn แทนผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต นั่นคือ sn = a1 + a2+ a3 +
..+ an
การสูตรสำเร็จของ sn อนุกรมเลขคณิต
จาก sn = a1 + a2+ a3 +
..+ an จะได้สองสมการที่เป็นจริงดังต่อไปนี้ในรูปของ a1 , n , d
sn = a1 + (a1 +d ) + ( a1 + 2d ) +
.+ [a1 +(n-1)d ]
(1)
sn = [a1 +(n-1)d ] + [a1 +(n-2)d ] +[a1 +(n-3)d ] +
.+ a1
(2)
(1)+(2) 2 sn = [2a1 +(n-1)d ] + [2a1 +(n-1)d ] +
.+ [2a1 +(n-1)d ] จำนวน n พจน์
= n [2a1 +(n-1)d ]
ดังนั้น ........สูตรรูปแบบที่1
แต่เนื่องจาก 2 a1 = a1 + a1 และ an = a1 + (n-1)d นั่นคือ 2 a1 + (n-1)d = a1 + a1 + (n-1)d
= a1 + an
ดังนั้น ........สูตรรูปแบบที่2
ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลบวก 20 พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต 2 + 7 + 12 + 17 + ........
วิธีทำ จากสูตร
N = 20 , a1 = 2 , d = 5
ดังนั้น S20=
. = 10(99) = 990 Ans.
ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลบวก 20 พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต ที่มีพจน์ทั่วไปคือ an = 2n + 1
วิธีทำ จากสูตร
S20 = 10[ 3 + 41] = 440 Ans.
เรื่องอนุกรมเรขาคณิต
อนุกรมเรขาคณิต คือ อนุกรมที่เกิดจากผลบวกของลำดับเรขาคณิต ทีมีอัตราส่วนร่วม = r
ใช้สัญลักษณ์ sn แทนผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต นั่นคือ sn = a1+ a2+ a3+
..+ an
การสูตรสำเร็จของ sn อนุกรมเรขาคณิต
จาก sn = a1 + a2+ a3 +
..+ an จะได้สองสมการที่เป็นจริงดังต่อไปนี้ในรูปของ a1 , n , r ดังนี้
sn = a1 + a1 r + a1 r2 +
+ a1 rn-1
(1)
rsn = a1r + a1 r2 + a1 r3 +..
+ a1 rn
(2)
(1)-(2) sn - rsn = a1 - a1 rn
( 1 r ) sn = ( 1 rn ) a1 = a1 ( 1 rn )
ดังนั้นจะได้ว่า โดยที่ ค่าของ r 1
Note ถ้าค่าอัตราส่วนร่วม r = 1 จะได้ค่าของ Sn = na1
ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต 3 + 6 + 12 + ........
วิธีทำ จากสูตร ; a1 = 3 , r = 2 , n = 10
S10 = 3,069 Ans.
ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลบวก 8 พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต 4 + 8 + 16 + ........
วิธีทำ จากสูตร ; a1 = 4 , r = 2 , n = 8
S8 = 1,020 Ans.
patongko.na_rak@hotmail.com (IP:210.86.221.149)
ตอบแล้ว:
25
