ศิลปะอิสลาม กับ quasicrystals และ Penrose tile

สถาปนิก และ นักคณิตศาสตร์มุสลิมในยุคกลางอาจได้ชื่อว่าเป็นผู้สร้างรูปแบบทางคณิตศาสตร์ที่เรียกกันว่า Quasicrystal ได้ก่อนนักคณิตศาสตร์ตะวันตกมากกว่า 500 ปีเลยทีเดียว อ้างอิงจากการศึกษาของ สองนักฟิสิกส์อเมริกัน Peter J Lu แห่งมหาวิทยาลัย Harvard และ Paul Steinhardt แห่งมหาวิทยาลัย Princeton ทั้งสองเชื่อว่ากระเบื้องรูปแบบพิเศษที่พัฒนาขึ้นในศตวรรษที่ 13 ช่วยให้สถาปนิกชาวมุสลิมใช้คณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนสร้างลวดลายเลขาคณิตที่งดงามมาประดับสุเหร่าของพวกเขาแม้ว่าจะไม่เข้าใจทฤษฎีพื้นฐานก็ตาม

Peter J Lu เป็นนักศึกษาปริญญาเอกสาขาฟิสิกส์ที่มหาวิทยาลัย Harvard ได้เดินทางไปยังประเทศอุซเบกิสถานเพื่อบรรยายงานวิจัยด้านฟิสิกส์ และในดินแดนนี้เองที่ Lu ได้เกิดความหลงใหลและพิศวง ในความสวยงามและลวดลายทางเรขาคณิตอันน่าทึ่งของ ลายกระเบื้องที่เรียกว่า กิริด (girih) ที่ใช้ประดับอยู่บนสุเหร่าเก่าแก่อายุกว่า 800 ปี และพยายามทำความเข้าใจว่าศิลปินโบราณเหล่านี้สร้างมันขึ้นมาได้อย่างไร คำตอบที่เขาพบไม่ใช่เพียงแค่วิธีที่จะสร้างมันขึ้นมา เขายังค้นพบความลึกซึ้งทางคณิตศาสตร์ที่ซ่อนอยู่ในแบบลวดลายเหล่านั้นยังเชื่อมโยงถึงความคิดทางคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ผลงานของเขาได้ตีพิมพ์บทความลงในวารสาร Science ฉบับวันที่ 23 กุมภาพันธ์ 2550 (Science 315 1106)

เครื่องมือคณิตศาสตร์ที่สถาปนิกสมัยนั้นใช้ออกแบบคือใบบรรทัดและวงเวียน ในทางทฤษฎี ลวดลายเหล่านี้สามารถสร้างได้โดยการลากเส้นลงบนสิ่งก่อสร้างโดยตรง หากแต่ ปีเตอร์ ลู พบว่าลวดลายเหล่านั้นมีความสมบูรณ์อย่างน่ามหัศจรรย์แม้แต่จะเป็นลวดลายที่อยู่บนพื้นที่ขนาดใหญ่ ซึ่งถ้าลวดลายดังกล่าวสร้างจากการวาดลบบนผนังโดยตรงก็ควรจะมีความผิดพลาดเล็กๆซึ่งสามารถเห็นได้ในพื้นที่ขนาดใหญ่ๆ แต่ปีเตอร์ ลู ไม่พบความผิดพลาดดังกล่าวทำให้เขาเชื่อว่า ศิลปิน และ สถาปนิกมุสลิมโบราณจะต้องมีเทคนิคอื่นในการวางกระเบื้องเหล่านี้ ซึ่งเขาได้อาศัยประสบการณ์และความรู้จากการทำโครงการปริญญาตรีเรื่อง Quasicrystal มาสังเกตุพบว่าลวดลายกระเบื้องบนสิ่งก่อสร้างของศาสนาอิสลามมีลักษณะคล้ายกับสิ่งที่เรียกว่า Penrose tiles หรือ กระเบื้องเพนโรส ซึ่งเป็นรูปทรงเลขาคณิตสองรูป (รูปว่าวและลูกศร) ซึ่งเมื่อปูกระเบื้องเหล่านี้จะสามารถสร้างเป็นลวดลายที่ไม่ซ้ำกัน

เพื่อที่จะให้เข้าใจว่า Quasicrystal คืออะไรเราอาจจะมาพิจารณากันก่อนว่า Crystal หรือผลึกในทางคณิตศาสตร์นั้นคืออะไร คำว่าผลึกนั้น อาจหมายถึง เซตของจุด หรือ ลวดลาย ซึ่งมีการกระจายตัวกันอย่างมีระเบียบ เป็นรูปแบบที่ซ้ำกัน และแผ่ขยายออก ซึ่งในทางคณิตศาสตร์เราจะบอกว่าผลึกมีสมมาตรภายใต้การเลื่อนตำแหน่ง คือถ้าเราเลื่อนไปทางทิศทางใดทิศทางหนึ่งเป็นระยะทางที่เหมาะสม เราพบลวดลายที่ซ้ำเดิม ผลึกมีสมมาตรภายใต้การหมุดเช่นเดียวกัน คือ ถ้าหมุนลวดลายทั้งหมดด้วยมุมที่เหมาะสมก็จะได้ลวดลายเดิมเช่นเดียวกัน

ในกรณีของ Quasicrystals นั้นเป็นลวดลาย ซึ่งมีการกระจายตัวกันอย่างมีระเบียบ และแผ่ขยายออก แต่ไม่ได้มีสมมาตรภายใต้การเลื่อนตำแหน่ง นั่นคือถ้าเราเลื่อนลวดลายไปในทิศทางใดๆก็ตามเราจะไม่สามารถที่จะทับลวดลายเดิมได้สนิท

นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ Sir Roger Penrose ได้อธิบาย Quasicrystal ไว้เป็นคนแรก ทฤษฎีของเขาเป็นที่รู้จักกันในชื่อของ Penrose tile และหลังจากนั้น Danny Schechtman นักฟิสิกส์ชาวอิสราเอลก็ค้นพบตำแหน่งของอะตอมในโลหะอัลลอยด์ โครงสร้างแบบ Quasicrystal หลังจากนั้นโครงสร้างแบบ Quasicrystal ก็ถูกค้นพบอีกหลายร้อยโครงสร้างในธรรมชาติ ในทางฟิสิกส์นั้น Quasicrystal มีคุณสมบัติที่น่าสนใจ เช่น โลหะที่เป็น Quasicrystals จะนำความร้อนได้ไม่ดี ซึ่งได้มีการนำไปใช้ผลิตสารเคลือบผิวไม่ให้อาหารติดกระทะเป็นต้น

Penrose tiling นั้นมีความละม้ายคล้ายคลึงกับลวดลาย girih ของสถาปัตยกรรมอิสลามมาก ขณะที่เดินทางอยู่ในประเทศอุซเบกิสถาน ปีเตอร์ ลูได้ค้นพบว่าลวดลายกระเบื้องมีสมาตรภายใต้การหมุนที่เรียกว่า 10-fold rotational symmetry ซึ่งเป็นสมมาตรที่พบใน Penrose tiling บางแบบ และนี่เองเป็นจุดเริ่มต้นที่ทำให้เขาค้นหาตรวจสอบภาพของสถาปัตยกรรมอิสลามนับพันภาพเพื่อที่จะหาโครงสร้างของ Quasicrystal ซึ่งในที่สุดเขาก็พบลวดลายกระเบื้องที่วิหาร Darb-i Imam ในประเทศอีหร่านในรูป (ก) ที่สร้างขึ้นในปี ค.ศ. 1453

ปีเตอร์ ลู กล่าวว่า ลวดลายกระเบื้องที่ Darb-i Imam นั้นเกือบจะเป็น Quasicrystal ที่สมบูรณ์แบบ มีเพียงกระเบื้องบางแผ่นเท่านั้นที่วางผิดที่ไป และเขาเชื่อว่าลวดลายกระเบื้องที่วิหารแห่งนี้ออกแบบมาให้เป็น Quasicrystal ที่สมบูรณ์แบบแต่อาจจะเกิดความผิดพลาดในระหว่างการก่อสร้างหรือการซ่อมแซม

การจะสร้างลวดลาย Quasicrystal ต้องอาศัยการประยุกต์ของหลักคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน ซึ่งดูเหมือนว่าจะอยู่เหนือความสามารถของศิลปินมุสลิมในยุคนั้น ปีเตอร์ ลู กล่าวว่า นักคณิตศาสตร์มุสลิมใส่ความเข้าใจในเรื่อง Quasicrystal ลงไปในกระเบื้องที่มีรูปร่างต่างกันห้าแบบ ได้แก่ รูปหลายเหลี่ยม (สิบเหลี่ยม หกเหลี่ยมและห้าเหลี่ยม) รูปโบ รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ดังแสดงในรูป (ค) กระเบื้องแต่ละแผ่นจะมีการลากเส้นเชื่อมระหว่างด้านหนึ่งไปยังอีกด้านหนึ่ง ซึ่งเมื่อปูกระเบื้องเหล่านี้ให้ด้านข้างชนกัน เส้นที่ลากไว้จะต่อกันเป็นลวดลายที่ต่อเนื่องดังที่เห็นในรูป (ง) ซึ่ง ปีเตอร์ ลู เชื่อว่าน่าจะเป็นการคำนวณโดยคนงานที่มีพื้นฐานทางคณิตศาสตร์

นักวิจัยทั้งสองคนได้นำกระเบื้อง girih เหล่านี้มาปูต่อกันได้เป็นลวดลายต่างๆหลายชนิด ซึ่งรวมถึงลวดลายกระเบื้องที่ปรากฏที่วิหาร Darb-i Imam และพวกเขายังอ้างว่าแบบร่างของกระเบื้องทั้งห้าแบบสามารถพบได้ในม้วนกระดาษโบราณสมัยศตวรรษที่ 15 ซึ่งตั้งแสดงอยู่ที่พิพิธพันธ์ในกรุงอีสตัลบูล ประเทศตุรกี นอกจากนี้พวกเขายังอ้างด้วยว่า ม้วนกระดาษโบราณ และ วิหาร Darb-i Imam เป็นตัวอย่างที่แสดงว่ากระเบื้องลักษณะนี้สามารถใช้สร้าง self-similarity transformation เพื่อสร้างลวดลายในขนาดต่างๆ ซึ่งเป็นแสดงให้เห็นว่ากระเบื้องเหล่านี้ซ่อนคณิตศาสตร์ชั้นสูงอยู่ภายใน

อย่างไรก็ตามงานวิจัยชิ้นนี้ไม่ใช้ครั้งแรกที่มีการเชื่อมโยง ลวดลาย girih กับ Penrose tiling ในปี คศ 1992 นักผลึกวิทยาชาวเดนมาร์ก Emil Makovicky ได้ตีพิมพ์บนความอ้างความเชื่อมโยงระหว่างลวดลายกระเบื้องที่พบในอีหร่านกับ Penrose tiling อย่างไรก็ตามก่อนหน้างานของ Lu และ Steinhardt นักวิชาการส่วนใหญ่เชื่อว่าความคล้ายคลึกกันของลวดลายเหล่านี้เป็นความบังเอิญมากกว่าจะมีการเชื่องโยงทางวิชาการ

อ้างอิงจาก

- วารสาร Science http://www.sciencemag.org/current.dtl

- Physics Web http://physicsweb.org/articles/news/11/2/20

- BBC-online http://news.bbc.co.uk/2/hi/middle_east/6389157.stm

- เว็บไซต์ข่าวสารของมหาวิทยาลัย Harvard http://www.fas.harvard.edu/home/news_and_events/releases/architecture_02222007.html

- Mathtrek http://blog.sciencenews.org/mathtrek/2007/02/ancient_islamic_penrose_tiles_1.html

ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับ Quasicrystal

- http://www.jcrystal.com/steffenweber/qc.html

- http://en.wikipedia.org/wiki/Quasicrystal

- http://haides.caltech.edu/~lifshitz/quasicrystals.html

- อธิบายสมมาตรในการเลื่อนตำแหน่ง http://en.wikipedia.org/wiki/Translational_symmetry

- Penrose Tiles http://en.wikipedia.org/wiki/Penrose_tiling