วิชาการ.คอม - อนุกรม . . . ลู่เข้า ลู่ออก

อนุกรม . . . ลู่เข้า ลู่ออก

โพสต์เมื่อ: 22:19 วันที่ 6 มี.ค. 2550 ชมแล้ว: 1,170 ตอบแล้ว: 14

สืบเนื่องจากกระทู้ แบบฝึกหัด . . . calculus1 ก็มีผู้เรียกร้องอยากได้ calculus2 บ้าง
จึงขอนำเนื้อหา+โจทย์ ส่วนที่เกี่ยวข้องกับการทดสอบการลู่เข้า,ลู่ออกของอนุกรมอนันต์มาโพสครับ

deathspirit

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 2455 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 234 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

จำนวน 14 ความเห็น, หน้า่ | -1-

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 1 6 มี.ค. 2550 (22:27)
อ้าว edit โพสแรกของกระทู้ไม่ได้ (ก๊อบโค้ด html มา แล้วลืมแก้ครับ)
ต้องอันนี้ >>> แบบฝึกหัด . . . calculus1<<<

เข้าสู่เนื้อหาก่อนเลยนะครับ

สิ่งที่ควรรู้ (ไม่ได้เรียงลำดับข้อตามเนื้อหานะครับ)
*ในที่นี้ จะพูดถึงแต่อนุกรมของจำนวนจริงนะครับ

1.
ให้ $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty a_n}$ เป็นอนุกรมลู่เข้า และ $m \in N$ จะได้ว่า
$\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty a_n}$ เป็นอนุกรมลู่เข้า ก็ต่อเมื่อ $\displaystyle{\sum_{n=m}^\infty a_n}$ เป็นอนุกรมลู่เข้า
$\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty a_n}$ เป็นอนุกรมลู่ออก ก็ต่อเมื่อ $\displaystyle{\sum_{n=m}^\infty a_n}$ เป็นอนุกรมลู่ออก

2.
ถ้า $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty a_n}$ เป็นอนุกรมลู่เข้า จะได้ว่า $\displaystyle{\lim_{n \to \infty} a_n = 0}$
ในทางปฏิบัติ จะใช้แบบนี้มากกว่า (n th term test)
ถ้า $\displaystyle{\lim_{n \to \infty} a_n \ne 0}$ แล้ว $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty a_n}$ เป็นอนุกรมลู่ออก

3.
ถ้า $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty a_n}$ และ $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty b_n}$ เป็นอนุกรมลู่เข้า แล้ว $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty (a_n + b_n)}$ เป็นอนุกรมลู่เข้า
ถ้า $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty a_n}$ และ $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty b_n}$ เป็นอนุกรมลู่ออก เราไม่สามารถสรุปได้ว่า $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty (a_n + b_n)}$ เป็นอนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออก
ถ้า $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty a_n}$ เป็นอนุกรมลู่เข้า และ $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty b_n}$ เป็นอนุกรมลู่ออก แล้ว $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty (a_n + b_n)}$ เป็นอนุกรมลู่ออก

4.
ถ้า $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \left| {a_n} \right|$ เป็นอนุกรมลู่เข้า แล้ว $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty a_n}$ เป็นอนุกรมลู่เข้า

5. อนุกรมเรขาคณิต (geometric series)
คืออนุกรมที่อยู่ในรูป $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty ar^{n-1}}$ เมื่อ $a \ne 0$
ซึ่งจะเป็นอนุกรมลู่เข้าเมื่อ |r|<1

โดยจะมีผลบวกของอนุกรมเป็น $\displaystyle{\frac{a}{1-r}}$
และเป็นอนุกรมลู่ออกเมื่อ $|r| \ge 1$

6. อนุกรมพี (p-series)
คืออนุกรมที่อยู่ในรูป $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}}$ เมื่อ $p \in R$
อนุกรมพี จะเป็นอนุกรมลู่เข้า เมื่อ p>1

และจะเป็นอนุรมลู่ออกเมื่อ $p \le 1$

7. Integral test
ถ้า $\displaystyle{\int_1^\infty f(x) dx}$ ลู่เข้า แล้ว $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty f(n)}$ ลู่เข้า

8. Comparison test
ถ้า $0 \le a_n \le b_n$ และ $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty b_n}$ เป็นอนุกรมลู่เข้า แล้ว $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty a_n}$ เป็นอนุกรมลู่เข้า
ถ้า $0 \le c_n \le a_n$ และ $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty c_n}$ เป็นอนุกรมลู่ออก แล้ว $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty a_n}$ เป็นอนุกรมลู่ออก

9. Limit comparison test
ถ้า $\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = c > 0}$ แล้ว อนุกรมทั้งสองจะลู่เข้าด้วยกัน หรือลู่ออกด้วยกัน
ถ้า $\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = 0}$ และ $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty b_n}$ เป็นอนุกรมลู่เข้า แล้ว $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty a_n}$ เป็นอนุกรมลู่เข้า
ถ้า $\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \infty}$ และ $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty b_n}$ เป็นอนุกรมลู่ออก แล้ว $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty a_n}$ เป็นอนุกรมลู่ออก

10. อนุกรมสลับ (alternating series)
อนุกรมสลับ $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty (-1)^n a_n}$ เป็นอนุกรมลู่เข้า ถ้า $\displaystyle{\lim_{n \to \infty} a_n = 0}$ และ $a_{n+1} < a_n$

11. อนุกรมลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ (absolutely convergent series), อนุกรมลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข (conditionally convergent series)
$\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty a_n}$ เป็นอนุกรมลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ ถ้า $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \left| {a_n} \right|$ เป็นอนุกรมลู่เข้า
$\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty a_n}$ เป็นอนุกรมลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข ถ้า $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \left| {a_n} \right|$ เป็นอนุกรมลู่ออก แต่ $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty a_n}$ เป็นอนุกรมลู่เข้า

12. Ratio test
ถ้า $\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \left| {\frac{a_{n+1}}{a_n}} \right|< 1}$ แล้ว $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty a_n}$ เป็นอนุกรมลู่เข้าแบบสัมบูรณ์
ถ้า $\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \left| {\frac{a_{n+1}}{a_n}} \right|> 1}$ หรือ $\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \left| {\frac{a_{n+1}}{a_n}} \right|= \infty}$ แล้ว $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty a_n}$ เป็นอนุกรมลู่ออก
แต่ถ้าหาค่าลิมิตได้เป็น 1 จะสรุปไม่ได้

13. Root test
ถ้า $\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| {a_n} \right|} < 1}$ แล้ว $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty a_n}$ เป็นอนุกรมลู่เข้าแบบสัมบูรณ์
ถ้า $\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| {a_n} \right|} > 1}$ หรือ $\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| {a_n} \right|} = \infty}$ แล้ว $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty a_n}$ เป็นอนุกรมลู่ออก
แต่ถ้าหาค่าลิมิตได้เป็น 1 จะสรุปไม่ได้

deathspirit

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 2 6 มี.ค. 2550 (23:01)
โจทย์ระลึกความหลัง
Telescoping
ถ้าเราสามารถหาค่าของอนุกรมออกมาให้ได้ ก็ถือว่าเป็นการแสดงว่าอนุกรมลู่เข้าอย่างนึงครับ (อาจช้าเสียเวลานิดหน่อย)

$\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}}$
$\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \ln \left( {1+\frac{1}{n}} \right)}$
$\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}$
$\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \ln \left( {\frac{n}{n+1}} \right)}$

วิธีการก็คือ หา $\displaystyle{\sum_{n=1}^k a_n}$ ออกมาก่อน จากนั้นก็หาลิมิตเมื่อ $k \to \infty$
ได้ค่าลิมิตออกมาเป็นเท่าไหร่ ค่านั้นก็เป็นค่าผลบวกของอนุกรม
แต่ถ้าหาลิมิตมาไม่ได้ หรืออาจได้เป็น $\infty$ หรือ $- \infty$ ก็ถือว่าอนุกรมนี้ลู่ออกเหมือนกัน

deathspirit

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 3 6 มี.ค. 2550 (23:49)
โจทย์ในกระทู้นี้ จะให้ตอบแค่ว่า ลู่เข้า หรือ ลู่ออกนะครับ (แต่ถ้าแสดงวิธีทำคร่าวๆมาด้วยก็จะเป็นประโยชน์แก่ผู้อ่านกระทู้ครับ

)

สำหรับข้อ 1-6 นี่เอาไว้เป็นพื้นนะครับ
จะขอค่อยๆไล่ไปทีละหัวข้อก่อน
ให้ใช้ integral test (หรือข้อ1-6) ทดสอบอนุกรมเหล่านี้

1. $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2+1}}$
2. $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty n^2 e^{-n^3}}$
3. $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty n-\frac{n^2}{n+1}}$
4. $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{\ln n}{n}}$
5. $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \left( \frac{n}{n+1} \right)^n }$
6. $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}}}$
7. $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n \ln n}}$
8. $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty n^{4^{-n^2}}}$
9. $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin (1/n)}{n^2} }$
10. $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty (0.999)^n+\left( {\frac{\pi}{e}} \right)^n}$

หมายเหตุ เวลาอินทิเกรต ขอบเขตอาจไม่จำเป็นต้องเริ่มจาก 1 ก็ได้ (ดู ความเห็น1 ข้อ1)

deathspirit

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 4 7 มี.ค. 2550 (15:06)
#2

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}=\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right]=1+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n+1}=1}$ ...ลู่เข้า

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\ln\left(\frac{n+1}{n}\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\ln\left(\frac{2}{1}\times\frac{3}{2}\times...\times\frac{n+1}{n}\right)=\infty}$ ....ลู่ออก

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\times\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}\right]=\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n+1}=\infty}$ ...ลู่ออก

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\ln\left(\frac{n}{n+1}\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\ln\left(\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\times...\times\frac{n}{n+1}\right)=\lim_{n\rightarrow \infty}\ln\frac{1}{n}=-\infty}$ ...ลู่ออก

ขอประเดิมก่อนเลยนะครับ

Timestopper_STG

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 1760 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 277 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 5 7 มี.ค. 2550 (18:26)
ข้อ หนึ่งครับ
(ในที่สุดก้อออกมาแว้ว แคลสอง 555)

Artemis

ร่วมแบ่งปันความรู้และความเห็นแล้ว 358 ครั้ง - ได้รับดาวแล้ว 151 ดวง - โหวตเพิ่มดาว

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 6 7 มี.ค. 2550 (18:37)

ข้อ 9 ครับ
ผมอินทิเกรตผิดป่าวหว่า ไมตัวเลขมันแปลกๆ

Artemis

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 7 7 มี.ค. 2550 (18:49)

ข้อนี้ไม่ค่อยแน่ใจ งงๆ แฮะ
ต้องตอบ diverges นะคับ สรุปผิด

Artemis

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 8 7 มี.ค. 2550 (20:48)
ความเห็นที่ 4,5,6 ถูกต้องแล้วครับ

ความเห็นที่ 7
หาลิมิตได้เป็น 1 $\ne$ 0 จึงต้องสรุปว่าลู่ออกครับ

*หมายเหตุ ในการทดสอบแบบ integral test ค่าที่อินทิเกรตออกมาได้นั้น ไม่ใช่ค่าผลบวกของอนุกรมครับ

deathspirit

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 9 7 มี.ค. 2550 (21:00)
อ่อ ช่ายๆ ได้ลิมิตเปน 1 ตอบ converges ซะงั้น

Artemis

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 10 11 มี.ค. 2550 (00:04)
เฉลยความเห็นที่ 3 คร่าวๆ (ข้อแก้โจทย์ข้อ 7 จาก n=1 เป็น n=2 นะครับ เพราะว่าที่ n=1 จะได้พจน์แรกเป็น 1/0)

ข้อ 2.
$\int\limits_1^\infty {x^2 e^{ - x^3 } dx} = \left[ { - \frac{1}{3}e^{ - x^3 } } \right]_1^\infty = \frac{1}{{3e}}$
ตอบ ลู่เข้า

ข้อ 3.
$\lim n-\frac{n^2}{n+1} = \lim \frac{n}{n+1} = 1 \ne 0$
ตอบ ลู่ออก

ข้อ 4.
$\int\limits_1^\infty {\frac{{\ln x}}{x}dx} = \left[ {\frac{{(\ln x)^2 }}{2}} \right]_1^\infty = \infty$
ตอบ ลู่ออก

ข้อ 5.
$\lim \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = \lim \left( 1-\frac{1}{n+1} \right)^n = e^{-1} \ne 0$
ตอบ ลู่ออก

ข้อ 6.
เป็นอนุกรมพี ซึ่ง $p = \frac{1}{2} \le 1$
ตอบลู่ออก

ข้อ 7.
$\int\limits_2^\infty {\frac{1}{{x\ln x}}dx} = \left[ {\ln \ln x} \right]_2^\infty = \infty$
ตอบลู่ออก

ข้อ 10.
$\sum (0.999)^n$ เป็นอนุกรมเรขาคณิต ซึ่งลู่เข้า
$\sum \left( \frac{\pi}{e} \right)^n$ เป็นอนุกรมเรขาคณิต ซึ่งลู่ออก
ตอบลู่ออก

deathspirit

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 11 11 มี.ค. 2550 (00:28)
ต่อไป ให้ใช้ ratio test หรือ root test หรือข้อ 1-7 นะครับ

1. $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} }$
2. $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n2^n} }$
3. $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n^4+n+1} }$
4. $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{(2n)!}{(n!)^2} }$
5. $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^n} }$
6. $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty n \left( \frac{4}{5} \right)^n }$
7. $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot ... \cdot (2n+3)} }$
8. $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \left( \frac{n}{n+1} \right)^{n^3} }$

deathspirit

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 12 1 พ.ค. 2550 (22:08)
เข้ามาปัดฝุ่น

เฉลยความเห็นที่ 11
1. ใช้ ratio test จะได้ $\lim |\frac{a_{n+1}}{a_n}| = \lim \frac{1}{n+1} = 0 < 1$
ตอบ ลู่เข้า
2. ใช้ ratio test จะได้ $\lim |\frac{a_{n+1}}{a_n}| = \lim \frac{n}{2(n+1)} = \frac{1}{2} < 1$
ตอบ ลู่เข้า
3. พิจารณา $\lim_{n \to \infty} a_n \ne 0$
ตอบ ลู่ออก
4. ใช้ ratio test จะได้ $\lim |\frac{a_{n+1}}{a_n}| = \lim \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2} = 4 > 1$
ตอบ ลู่ออก
5. ใช้ root test จะได้ $\lim \sqrt{|a_n|} = \lim \frac{1}{n} = 0 < 1$
ตอบ ลู่เข้า
6. ใช้ ratio test จะได้ $\lim |\frac{a_{n+1}}{a_n}| = \lim \frac{4(n+1)}{5n} = \frac{4}{5} < 1$
ตอบ ลู่เข้า
7. ใช้ ratio test จะได้ $\lim |\frac{a_{n+1}}{a_n}| = \lim \frac{n+1}{2n+5} = \frac{1}{2} < 1$
ตอบ ลู่เข้า
8. ใช้ root test จะได้ $\lim \sqrt{|a_n|} = \lim (\frac{n}{n+1})^{n^2} = 0 < 1$
ตอบ ลู่เข้า

deathspirit

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 13 1 พ.ค. 2550 (23:01)
ต่อไป comparison test / limit comparison test (หัวข้อนี้ตอนทำแรกๆจะรู้สึกว่ายากนิดนึงนะครับ)

ตัวอย่าง จงทดสอบว่าอนุกรมต่อไปนี้ลู่เข้าหรือลู่ออก
1) $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2+1}{n^4+n}}$
2) $\displaystyle{\sum_{n=2}^\infty \frac{n^2+1}{n^4-n}}$
3) $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n2^n}}$
4) $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{\ln n}{n^2}}$
5) $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin^2 n}{n^3}}$
6) $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty (n+2)^{-2\ln n}}$
7) $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n}{n^3}}$
8) $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{\ln n}{n^{0.99}}}$
9) $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt[3]{n^2+1}}{\sqrt{n^3+1}}}$
10) $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n2^n+2}}$
11) $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n^22^n+2}}$
12) $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(3+\cos n)^n}}$
13) $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{\ln n}{5^n}}$
14) $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty n \sin \frac{1}{n^3}}$
15) $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \sqrt{n^4+1}-n^2}$

1) $\because 0 \le \frac{n^2+1}{n^4+n} \le \frac{n^2+1}{n^4} = \frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^4}$
และเนื่องจาก $\sum \frac{1}{n^2}$ และ $\sum \frac{1}{n^4}$ ต่างก็เป็นอนุกรมลู่เข้า (อนุกรมพีซึ่ง p>1

)
ดังนั้น $\sum \frac{n^2+1}{n^4+n}$ ลู่เข้า

2) จะใช้ limit comparison test โดยการให้ $a_n = \frac{n^2+1}{n^4-n}$ และ $b_n = \frac{1}{n^2}$
เราจะได้ว่า $\lim \frac{a_n}{b_n} = \lim \frac{n^4+n^2}{n^4+n} = 1>0$
และเนื่องจาก $\sum b_n$ เป็นอนุกรมพี (p=2) ซึ่งลู่เข้า ดังนั้น $\sum a_n$ จึงลู่เข้าด้วย
(ลองสังเกตว่า ถ้าหากเราเลือก b_n

เป็นตัวอื่น จะเกิดอะไรขึ้นกับค่าลิมิตที่หาออกมาได้)

3) $\because 0 \le \frac{1}{n2^n} \le \frac{1}{2^n}$
และ $\sum \frac{1}{2^n}$ เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่ลู่เข้า
ดังนั้น $\sum \frac{1}{n2^n}$ จึงลู่เข้า
(ลองเปรียบเทียบกับความเห็นที่ 11,12 ข้อที่ 2 จะเห็นว่าโจทย์แต่ละข้อ อาจมีวิธีทำมากกว่า 1 วิธี)

ต่อไปจะไม่แสดงวิธีละเอียดมากนะครับ

4) ใช้ limit comparison test กับ $\frac{1}{n^{3/2}}$ (หมายถึงว่าเลือก b_n

เป็น $\frac{1}{n^{3/2}}$ จากนั้นก็หา $\lim \frac{a_n}{b_n}$ )
จะได้คำตอบว่า ลู่เข้า

5) ใช้ comparison test กับ $\frac{1}{n^3}$ ตอบว่าลู่เข้า

6) ใช้ comparison test กับ $e^{-2\ln n} = \frac{1}{n^2}$ ตอบว่าลู่เข้า

7) พิจารณา $\sum |\frac{\sin n}{n^3}|$ ก่อน โดยใช้ comparison test กับ $\frac{1}{n^3}$ จะได้ว่า $\sum |\frac{\sin n}{n^3}|$ ลู่เข้า
จากนั้น ลองดูทฤษฎีในความเห็นที่ 1 ข้อ 4 เราจะได้ว่า $\sum \frac{\sin n}{n^3}$ ลู่เข้าด้วย

8) ใช้ limit comparison test กับ $\frac{1}{n^{0.99}}$ ตอบว่าลู่ออก

9) ใช้ limit comparison test กับ $\frac{1}{n^{3/2-2/3}} = \frac{1}{n^{5/6}}$ ตอบว่าลู่ออก

10) ใช้ limit comparison test กับ $\frac{1}{n}$ ตอบว่าลู่ออก

11) ใช้ limit comparison test กับ $\frac{1}{n^2}$ ตอบว่าลู่เข้า

12) ใช้ comparison test กับ $\frac{1}{2^n}$ ตอบว่าลู่เข้า

13) ใช้ comparison test กับ $\frac{n}{5^n}$ ซึ่ง $\sum \frac{n}{5^n}$ ลู่เข้าโดย ratio test
ตอบว่า ลู่เข้า

14) ใช้ limit comparison test กับ $\frac{1}{n^2}$ ตอบว่าลู่เข้า

15) เนื่องจาก $\sqrt{n^4+1}-n^2 = \frac{1}{\sqrt{n^4+1}+n^2}$ เราจึงใช้ comparison test กับ $\frac{1}{n^2}$
ตอบ ลู่เข้า

deathspirit

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 14 2 พ.ค. 2550 (12:58)
กระทู้นี้ดีจังเลยนะครับมีทั้งโจทย์ทั้งเฉลยครบครันอิอิ

Timestopper_STG

ความเห็นเพิ่มเติม วิชาการ.คอม

ชื่อ / email:
ข้อความ

รูปภาพ หรือ ไฟล์

กรุณาล๊อกอินก่อน เพื่อโพสต์รูปภาพ และ ใช้ LaTex ค่ะ สมัครสมาชิกฟรีตลอดชีพที่นี่

ตัวช่วย 1: CafeCode วิธีการใช้
ตัวช่วย 2: VSmilies

วิธีการใช้
ตัวช่วย 3: พจนานุกรมไทย ออนไลน์ ฉบับราชบัณฑิต
ตัวช่วย 4 : dictionary ไทย<=>อังกฤษ ออนไลน์ จาก NECTEC
ตัวช่วย 5 : ดาวน์โหลด โปรแกรมช่วยพิมพ์ Latex เพื่อแสดงสมการบนวิชาการ.คอม