จำนวน 12 ความเห็น, หน้า่ | -1-

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 1 26 เม.ย. 2550 (23:07)
2ข้อนี้เป็นว่า n ,p,k เป็นจำนวนธรรมชาติหละกันครับ

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 2 1 พ.ค. 2550 (14:05)
ผมเห็นว่าโจทย์น่าสนใจดี(ขุดให้ครับ)แต่ผมก็ยังทำไม่ได้หรอกนะครับ

มีแต่คำตอบข้อแรกเฉย ๆ ครับตอบว่า 24 (ใช้คอมคิดให้ครับ(พิมพ์เลขผิดครับตอนแรกแก้ละๆ))

พร้อมกับสิ่งที่สังเกตได้นิดหน่อยก็คือ

1)38 เป็นจำนวนคู่ทำให้ 38ⁿ mod 100 เป็นจำนวนคู่เสมอ

2)38*38 mod 100 = 38*88 mod 100 เลขคู่ 2 หลักอื่น ๆ ก็ทำนองเดียวกัน

ไม่รู้ว่าข้อสังเกตของผมจะช่วยให้ง่ายขึ้นหรือทำให้คุณ pornlarpmek ไปผิดทางก็ไม่รู้นะครับ

ปล. 88 = 50 + 38

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 3 1 พ.ค. 2550 (23:15)
ข้อ 1.

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 4 2 พ.ค. 2550 (12:35)
ขอบคุณจริงๆครับที่ช่วยขุด เเละ ตอบคำถามของผมตลอด
เป็นข้อสอบของ สอวน เข้ารอบ 3 ที่ ของ KU ครับ เคยเห็นใน mathcenter ครับ ซึ่งเห็นเขาบอกกันว่า ข้อนี้ คะเเนนเเค่ 6 เเละข้อ 2 น่าจะเป็น 12 มั้งครับ ส่วนคะเเนนสูงสุดเป็นของ เรื่องคอมบินา 20 คะเเนน ซึ่งอยู่ใน IMO 1978 เเละดัดเเปลงมาจาก หนังสือ สอวน ท้ายบทครับ (รู้สึกว่าจะขี้เกียจออกข้อสอบคงงั้นมั้งครับ) http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=2368

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 5 2 พ.ค. 2550 (12:52)
ทั้งคุณ Cartoon และ คุณ pornlarpmek เป็นตัวแทนศูนย์ไปแข่งที่เตรียมทหารทั้งคู่เลยรึเปล่าครับ
ถ้าใช่ก็ขออวยพรให้ได้เหรียญทองกันถ้วนหน้านะครับ

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 7 4 พ.ค. 2550 (02:33)
อะไรอ่ะ อีกข้อเดียวเอง ขุดต่อ

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 8 4 ก.ย. 2550 (01:10)
ขุดครับ

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 9 4 ก.ย. 2550 (03:08)
For Problem 2.

We shall prove that n=1, n=2, and n=3 are only the eligible answers. Suppose contrary that there are other solutions. We choose a solution for which n is minimum. Keep in mind that n>3.

Let d = gcd(n,phi(n)), where phi is the Euler totient function. With some work, which I don't show here , we have n divides (p-1)^d+1. (It isn't trivial. I leave this crucial step for the reader, but if you don't get how things work. I shall attach the reasoning for this part again.) Therefore, k:=n/d is odd and thus,
x^k+1 = (x+1)(x^{k-1}-x^{k-2}+...-x+1).
For x = (p-1)^d+1, we get n divides (x+1) and n^{p-1} divides x^k+1. Observe that
x^{k-1}-x^{k-2}+...-x+1 = k = n/d (mod n).
Thus x^k+1 = (x+1)(ny+n/d) = (x+1)(n/d)(dy+1) for some y. Note that
n^{p-1}|(x^k+1) => dn^{p-1}|(x+1)n(dy+1) => dn^{p-2}|(x+1)(dy+1).
Because d divides n, hence, d^{p-1}|(x+1)(dy+1). Thus, d^{p-1} divides x+1 = (p-1)^d+1, as gcd(d,dy+1)=1. Consequently, d is a solution to the condition which is less than n. Therefore, d=1, d=2, or d=3.

Case 1: d=1.
n divides (p-1)^d+1 => n|p => n=1 or n=p. Since n>3, then n=p. Therefore, p^{p-1} divides (p-1)^p+1. Note that p>3, therefore, the largest power of p that divides (p-1)^p+1 is p^2. This implies p^{p-1}|p^2 or p-1 <= 2. This is then again a contradiction.

Case 2: d=2.
d divides (p-1)^d+1 => 2 divides (p-1)^2+1 = p^2-2p+2 => p=2 => n divides 2, a contradiction again.

Case 3: d=3.
d divides (p-1)^d+1 => 3 divides p^3-3p^2+3p => p=3.
n divides (p-1)^d+1 => n divides 2^3+1 = 9. Since n>3, n=9.
However, 9^2 does not divides 2^9+1!

Therefore, the only solutions are
1) n=1 and p is arbitrary, and
2) n=p= 2 or 3.

P.S.
Why don't you try the problem from Czech and Slovak I posted here: http://www.vcharkarn.com/include/vcafe/showkratoo.php?Pid=110886

I really desire to see a simple solution.

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 10 4 ก.ย. 2550 (21:18)
ขอบพระคุณครับบบบบ

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 11 4 ก.ย. 2550 (21:22)
ถ้าผมว่างจะไปชมครับกระทู้ดังกล่าวครับ

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 12 20 ม.ค. 2551 (22:44)
#9
problem2
why b=1,b=2,b=3
ช่วยชี้เเจงให้ด้วยครับ

ความเห็นเพิ่มเติมที่ 13 20 มี.ค. 2551 (07:07)
Nice site!